Формули для знаходження первісних. Первісна функції та загальний вигляд

Навчитися інтегрування не складно. Для цього необхідно лише засвоїти певний, досить невеликий набір правил і розробити у себе свого роду чуття. Вивчити правила і формули, звичайно, легко, але зрозуміти, де і коли потрібно застосувати те чи інше правило інтегрування або диференціювання, досить важко. У цьому, власне, і є вміння інтегрувати.

1. Первісна. Невизначений інтеграл.

Передбачається, що до моменту читання цієї статті читач вже має якісь навички диференціювання (тобто знаходження похідних).

Визначення 1.1:Функція називається первісної функції, якщо виконується рівність:

Коментарі:> Наголос у слові “первоподібна” можна ставити двома способами: перш образна або першообр азнаючи.

Властивість 1:Якщо функція є первісною функцією, то функція також є першорідною функцією.

Доведення:Доведемо це з визначення первісної. Знайдемо похідну функції:

Перший доданок по визначення 1.1одно , а другий доданок є похідною константи, яка дорівнює 0.

.

Підведемо підсумок. Запишемо початок і кінець ланцюжка рівностей:

Отже, похідна функції дорівнює , отже, за визначенням, є її первообразной. Властивість доведено.

Визначення 1.2:Невизначеним інтегралом функції називається вся множина первісних цієї функції. Це означає так:

.

Розглянемо назви кожної частини запису докладно:

- загальне позначення інтеграла,

- Підінтегральний (підінтегральний) вираз, інтегрована функція.

— диференціал, і вираз після літери , у разі це , називатимемо змінної інтегрування.

Коментарі:Ключові слова у цьому визначенні - "все безліч". Тобто. якщо у майбутньому у відповіді нічого очікувати записано це «плюс З», то перевіряючий має повне право не зарахувати це завдання, т.к. необхідно знайти все безліч первісних, а якщо С відсутня, то знайдено лише одну.

Висновок:Для того, щоб перевірити, чи правильно обчислений інтеграл, необхідно знайти від результату похідну. Вона має збігтися з підінтегральним виразом.
Приклад:
Завдання:Обчислити невизначений інтеграл та виконати перевірку.

Рішення:

Те, як обчислений цей інтеграл, у разі немає ніякого значення. Припустимо, що це одкровення згори. Наше завдання показати, що одкровення нас не обдурило, а зробити це можна за допомогою перевірки.

Перевірка:

При диференціювання результату отримали подынтегральное вираз, отже, інтеграл обчислений правильно.

2. Початок. Таблиця інтегралів.

Для інтегрування не потрібно щоразу згадувати функцію, похідна якої дорівнює даної підінтегральної функції (тобто використовувати безпосередньо визначення інтегралу). У кожному збірнику завдань чи підручнику з математичного аналізу наведено список властивостей інтегралів та таблицю найпростіших інтегралів.

Перелічимо властивості.

Властивості:
1.
Інтеграл від диференціала дорівнює змінній інтеграції.
2. де - Константа.
Множник-константу можна виносити за знак інтегралу.

3.
Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів (якщо кількість доданків звичайно).
Таблиця інтегралів:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Найчастіше завдання полягає в тому, щоб за допомогою властивостей та формул звести досліджуваний інтеграл до табличного.

Приклад:

[ Скористаємося третьою властивістю інтегралів і запишемо у вигляді суми трьох інтегралів.]

[ Скористаємося другою властивістю і винесемо константи за знак інтегрування.]

[ У першому інтегралі скористаємося табличним інтегралом №1 (n=2), у другому – тієї ж формулою, але n=1, а третього інтеграла можна або скористатися тим самим табличним інтегралом, але з n=0, чи першим властивістю. ]
.
Перевіримо диференціюванням:

Отримано вихідне підінтегральне вираз, отже, інтегрування виконано без помилок (і навіть не забуто додаток довільної константи С).

Табличні інтеграли потрібно вивчити напам'ять з однієї простої причини – щоб знати, чого прагнути, тобто. знати мету перетворення даного висловлювання.

Наведемо ще кілька прикладів:
1)
2)
3)

Завдання для самостійного вирішення:

Завдання 1.Обчислити невизначений інтеграл:

+ Показати/сховати підказку №1.

1) Скористатися третьою властивістю та подати цей інтеграл як суму трьох інтегралів.

+ Показати/сховати підказку №2.

+ Показати/сховати підказку №3.

3) Для перших двох доданків скористатися першим табличним інтегралом, а третього – другим табличним.

+ Показати/сховати Рішення та Відповідь.

4) Рішення:

Відповідь:

Первісна

Визначення первісної функції

• функцію у = F (x)називають первісною для функції у = f (x)на заданому проміжку Х,якщо для всіх х ∈Хвиконується рівність: F′(x) = f(x)

Можна прочитати двома способами:

1. f похідна функції F
2. F первісна для функції f

Властивість первісних

• Якщо F(x)- Первісна для функції f(x)на заданому проміжку, то функція f(x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + Сде С - довільна постійна.

Геометрична інтерпретація

• Графіки всіх первісних цієї функції f(x)виходять з графіка будь-якої однієї первісної паралельними переносами вздовж осі у.

Правила обчислення первісних

1. Первісна сума дорівнює сумі первісних. Якщо F(x)- первісна для f(x), а G(x) - первісна для g(x), то F(x) + G(x)- первісна для f(x) + g(x).
2. Постійний множник можна виносити за знак похідної. Якщо F(x)- первісна для f(x), і k- Постійна, то k·F(x)- первісна для k·f(x).
3. Якщо F(x)- первісна для f(x), і k, b- постійні, причому k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b)- первісна для f(kx + b).

Запам'ятай!

Будь-яка функція F(x) = х 2 + С , де С - довільна постійна, і тільки така функція є первісною для функції f(x) = 2х.

• Наприклад:

  F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х,т.к. F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х,т.к. F"(x) = (х 2 -3)" = 2x = f(x);

Зв'язок між графіками функції та її первісної:

1. Якщо графік функції f(x)>0 F(x)зростає у цьому проміжку.
2. Якщо графік функції f(x)<0 на проміжку, то графік її первісної F(x)зменшується у цьому проміжку.
3. Якщо f(x)=0, то графік її первісної F(x)у цій точці змінюється з зростаючого на спадний (або навпаки).

Для позначення первісної використовують знак невизначеного інтеграла, тобто інтеграла без зазначення меж інтегрування.

Невизначений інтеграл

Визначення:

• Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається вираз F(x) + С, тобто сукупність всіх первісних цієї функції f(x). Позначається невизначений інтеграл так: f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- називають підінтегральною функцією;
• f(x) dx- називають підінтегральним виразом;
• x- називають змінною інтегрування;
• F(x)- Одна з первісних функцій f(x);
• З- Довільна постійна.

Властивості невизначеного інтегралу

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції: (\int f (x) dx) \ prime = f (x) .
2. Постійний множник підінтегрального виразу можна виносити за знак інтегралу: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Якщо k, b- постійні, причому k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Таблиця первісних та невизначених інтегралів

Функція f(x)	Первісна F(x) + C	Невизначені інтеграли \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) = sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin(^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos(^2) x)	F(x) = tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac(x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac(x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac(x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx = - l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x) = l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac(dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac(dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай f(х)дана функція, Fїї довільна первісна.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

де F(x)- первісна для f(x)

Тобто, інтеграл функції f(x)на інтервалі дорівнює різниці первісних у точках bі a.

Площа криволінійної трапеції

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід'ємної та безперервної на відрізку функції f, віссю Ox та прямими x = aі x = b.

Площа криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Нижче наведено чотири основні методи інтегрування.

1) Правило інтегрування суми чи різниці.
.
Тут і далі u, v, w - функції змінної інтегрування x .

2) Винесення постійної за знак інтегралу.
Нехай c - постійна, що не залежить від x. Тоді її можна винести за знак інтегралу.

3) Метод заміни змінної.
Розглянемо невизначений інтеграл.
Якщо вдасться підібрати таку функцію? (x)від x , так що
,
то, виконавши заміну змінної t = φ(x) , маємо
.

4) Формула інтегрування частинами.
,
де u та v - це функції від змінної інтегрування.

Кінцева мета обчислення невизначених інтегралів - це шляхом перетворень привести заданий інтеграл до найпростіших інтегралів, які називаються табличними. Табличні інтеграли виражаються через елементарні функції за відомими формулами.
Див. Таблиця інтегралів >>>

приклад

Обчислити невизначений інтеграл

Рішення

Зауважуємо, що підінтегральна функція є сумою та різницею трьох членів:
, та .
Застосовуємо метод 1 .

Далі зауважуємо, що підінтегральні функції нових інтегралів помножені на постійні 5, 4, і 2 відповідно. Застосовуємо метод 2 .

У таблиці інтегралів знаходимо формулу
.
Вважаючи n = 2 знаходимо перший інтеграл.

Перепишемо другий інтеграл у вигляді
.
Помічаємо, що . Тоді

Застосовуємо третій метод. Робимо заміну змінної t = φ (x) = ln x.
.
У таблиці інтегралів знаходимо формулу

Оскільки змінна інтегрування може позначатися будь-якою літерою, то

Перепишемо третій інтеграл у вигляді
.
Застосовуємо формулу інтегрування частинами.
Покладемо.
Тоді
;
;

;
;
.

Остаточно маємо
.
Зберемо члени з x 3 .
.

Відповідь

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.