Фрактальні статечні залежності. Динамічні, або фракції алгебри

Як стало зрозуміло в останні десятиліття (у зв'язку з розвитком теорії самоорганізації), самоподібність зустрічається в різних предметах і явищах. Наприклад, самоподібність можна спостерігати у гілках дерев та чагарників, при розподілі заплідненої зиготи, сніжинках, кристалах льоду, при розвитку економічних систем, у будові гірських систем, хмар.

Всі перелічені об'єкти та інші, подібні до них за своєю структурою є фрактальними. Тобто вони мають властивості самоподібності, або масштабної інваріантності. А це означає, що деякі фрагменти їхньої структури суворо повторюються через певні просторові проміжки. Очевидно, що ці об'єкти можуть мати будь-яку природу, причому їхній вигляд і форма залишаються незмінними незалежно від масштабу. І в природі, і в суспільстві досить великих масштабах відбувається самоповторення. Так, хмара повторює свою клаптувату структуру від 10 4 м (10 км) до 10 -4 м (0,1 мм). Гіллястість повторюється у дерев від 10 -2 до 10 2 м. Матеріали, що породжують тріщини, що руйнуються, також повторюють свою самоподібність на декількох масштабах. Сніжинка, що впала на руку, тане. У період танення, переходу від однієї фази до іншої сніжинка-крапля також – фрактал.

Фрактал- це об'єкт, що має нескінченну складність, що дозволяє поблизу розглянути не менше деталей, ніж здалеку. Класичний приклад тому – Земля. З космосу вона виглядає як куля. Наближаючись до неї, ми виявимо океани, континенти, узбережжя та ланцюги гір. Пізніше погляду з'являться дрібніші деталі: шматочок землі лежить на поверхні гори, настільки ж складний і нерівний, як сама гора. Потім з'являться крихітні частинки ґрунту, кожна з яких сама є фрактальним об'єктом.

Фрактал є нелінійною структурою, що зберігає самоподібність при нескінченному збільшенні чи зменшенні масштабу. Тільки малих довжинах нелінійність перетворюється на лінійність. Це особливо яскраво проявляється у математичній процедурі диференціювання.

Отже, можна сказати, що фрактали як моделі застосовують у тому випадку, коли реальний об'єкт не можна у вигляді класичних моделей. А це означає, що ми маємо справу з нелінійними зв'язками та недетермінованою природою даних. Нелінійність у світоглядному значенні означає багатоваріантність шляхів розвитку, наявність вибору з альтернатив шляхів та певного темпу еволюції, а також незворотність еволюційних процесів. У математичному сенсі нелінійність - це певний вид математичних рівнянь (нелінійні диференціальні рівняння), що містять шукані величини в ступенях, більше одиниці або коефіцієнти, що залежать від властивостей середовища. Тобто коли ми застосовуємо класичні моделі (наприклад, трендові, регресійні тощо), ми говоримо, що майбутнє об'єкта однозначно детерміноване. І ми можемо передбачити його, знаючи минуле об'єкта (початкові дані для моделювання). А фрактали застосовуються у тому випадку, коли об'єкт має кілька варіантів розвитку та стан системи визначається положенням, у якому вона перебуває на даний момент. Тобто ми намагаємось змоделювати хаотичний розвиток.

Коли говорять про детермінованість певної системи, мають на увазі, що її поведінка характеризується однозначним причинно-наслідковим зв'язком. Тобто, знаючи початкові умови та закон руху системи, можна точно передбачити її майбутнє. Саме таке уявлення про рух у Всесвіті характерне для класичної, ньютонівської динаміки. Хаос же, навпаки, має на увазі безладний, випадковий процес, коли перебіг подій не можна ні передбачити, ні відтворити.

Хаос породжується власною динамікою нелінійної системи - її властивістю експоненційно швидко розводити як завгодно близькі траєкторії. У результаті форма траєкторій дуже залежить від початкових умов. При дослідженні систем, які, здавалося б, розвиваються хаотично, часто користуються теорією фракталів, т.к. саме цей підхід дозволяє побачити певну закономірність у виникненні "випадкових" відхилень у розвитку системи.

Вивчення природних фрактальних структур дає можливість глибше зрозуміти процеси самоорганізації та розвитку нелінійних систем. Ми вже з'ясували, що природні фрактали найрізноманітніших, звивистих ліній зустрічаються навколо нас. Це берег моря, дерева, хмари, розряд блискавки, структура металу, нервова чи судинна система людини. Ці хитромудрі лінії і шорсткі поверхні опинилися в полі зору наукових досліджень, тому що природа демонструвала нам зовсім інший рівень складності, ніж в ідеальних геометричних системах. Досліджувані структури у просторово-часовому відношенні виявилися самоподібними. Вони нескінченно самовідтворювалися і повторювали себе різних масштабах довжин і часу. Будь-який нелінійний процес в кінцевому підсумку призводить до розвилки. Система у разі, у точці розгалуження, вибирає той чи інший шлях. Траєкторія розвитку системи виглядатиме у вигляді фракталу, тобто ламаної лінії, форма якої може бути описана у вигляді гіллястого, заплутаного шляху, що має свою логіку та закономірність.

Розгалуження системи можна порівняти з розгалуженням дерева, де кожна гілка відповідає третині всієї системи. Розгалуження дозволяє лінійній структурі заповнити об'ємний простір або, точніше кажучи: фрактальна структура узгоджує різні простори. Фрактал може рости, заповнюючи навколишній простір, так само, як росте кристал у пересиченому розчині. При цьому характер розгалуження пов'язаний не з випадковістю, а з певною закономірністю.

Фрактальна структура самоподібно повторюється і інших рівнях, більш рівні організації життя, наприклад на рівні самоорганізації колективу чи команди. Самоорганізація мереж і форм переходить із мікрорівня на макрорівень. У сукупності вони є цілісне єдність, де в частині можна будувати висновки про целом. У цій роботі як приклад розглядаються фрактальні властивості соціальних процесів, що говорить про універсальність теорії фракталів та її лояльності до різних галузей науки.

Робиться висновок, що фрактал - це спосіб організованої взаємодії просторів різної розмірності та природи. До вищесказаного слід додати, що не лише просторового, та й тимчасового. Тоді навіть людський мозок і нейронні мережі являтимуть собою фрактальну структуру.

Природа дуже любить фрактальні форми. Фрактальний об'єкт має розряджену структуру. При спостереженні таких об'єктів зі зростаючим збільшенням можна побачити, що вони виявляють малюнок, що повторюється на різних рівнях. Ми вже говорили про те, що фрактальний об'єкт може виглядати абсолютно однаково незалежно від того, чи ми його спостерігаємо в метровому, міліметровому або мікронному (1:1 000 000 частки метра масштабі). Властивість симетрії фрактальних об'єктів проявляється в інваріантності по відношенню до масштабу. Фрактали симетричні щодо центру розтягування чи зміни масштабу як і, як круглі тіла симетричні щодо осі обертання.

Обожнюваний образ нелінійної динаміки - фрактальні структури, у яких зі зміною масштабу опис будується по тому самому правилу. У реальному житті реалізація цього принципу можлива із невеликими варіаціями. Наприклад, у фізиці при переході з рівня на рівень (від атомних до ядерних, від ядерних до елементарних частинок) змінюються закономірності, моделі, способи опису. Те саме ми спостерігаємо в біології (рівень популяції організму, тканини, клітини і т.д.) Майбутнє синергетики залежить від того, якою мірою нелінійній науці вдасться допомогти в описі цієї структурної неоднорідності та різних "міжрівневих" явищ. Нині більшість наукових дисциплін немає надійних фрактальних концептуальних моделей.

Сьогодні розробки в рамках теорії фракталів ведуться у будь-якій приватній науці – фізиці, соціології, психології, лінгвістиці тощо. Тоді і суспільство, і соціальні інститути, і мова, і навіть думка – фрактали.

У дискусіях, які в останні роки розгорнулися серед учених і філософів навколо концепції фракталів, найбільш спірне питання полягає в наступному: чи можна говорити про універсальність фракталів, про те, що кожен об'єкт природи містить фрактал або проходить фрактальну стадію? Склалися дві групи вчених, які відповідають це питання прямо протилежним чином. Перша група ("радикали", новатори) підтримує тезу про універсальність фракталів. Друга група ("консерватори") заперечує цю тезу, але все ж таки стверджує, що не кожен об'єкт Природи має фрактал, але в кожній області Природи можна знайти фрактал.

Сучасна наука досить успішно адаптувала теорію фракталів для різних галузей знання. Так, в економіці теорія фракталів використовується при технічному аналізі фінансових ринків, які існують у розвинених країнах світу вже не одну сотню років. Вперше можливість прогнозувати подальшу поведінку ціни на акції, якщо відомий її напрям за якийсь останній період, зауважив Ч. Доу. У дев'яностих роках XIX ст, опублікувавши ряд статей, Доу зауважив, що ціни на акції схильні до циклічних коливань: після тривалого зростання слідує тривале падіння, потім знову зростання і падіння.

У середині XX століття, коли весь науковий світ захоплювався теорією фракталів, що тільки що з'явилася, інший відомий американський фінансист Р. Еліот запропонував свою теорію поведінки цін на акції, яка була заснована на використанні теорії фракталів. Еліот виходив з того, що геометрія фракталів має бути не тільки в живій природі, а й у суспільних процесах. До громадських процесів він відносив торгівлю акціями на біржі.

Основою теорії є так звана хвильова діаграма. Ця теорія дозволяє прогнозувати подальшу поведінку тренду ціни, ґрунтуючись на знанні передісторії його поведінки та дотримуючись правил розвитку масової психологічної поведінки.

Теорія фракталів знайшла застосування у біології. Фрактальну природу, деяку її подобу, мають багато, якщо не всі, біологічні структури та системи рослин, тварин і людини: нервова система, система легень, кровоносна та лімфатична системи тощо. З'явилися дані, що розвиток злоякісної пухлини так само йде за фрактальним принципом. Враховуючи принцип самоафінності і конгруентності фракталу можна пояснити низку труднорозв'язних проблем еволюції органічного світу. Для фрактальних об'єктів також характерна така особливість, як прояв комплементарності. Комплементарність у біохімії – взаємна відповідність у хімічній будові двох макромолекул, що забезпечує їхню взаємодію – спарювання двох ниток ДНК, з'єднання ферменту з субстратом, антигену з антитілом. Комплементарні структури підходять одна до одної як ключ до замку (Енциклопедія Кирила та Мефодія). Ця властивість має полінуклеотидні ланцюги ДНК.

Одні з найпотужніших додатків фракталів лежать у комп'ютерній графіці. По-перше, це фрактальне стиснення зображень, і по-друге побудова ландшафтів, дерев, рослин та генерування фрактальних текстур. При цьому для стиснення запису інформації необхідно самоподібне збільшення фракталу, а для її зчитування відповідно - самоподібне збільшення.

Переваги алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже малий розмір упакованого файлу і короткий час відновлення картинки. Фрактально упаковані зображення можна масштабувати без появи пікселізації. Але процес стиснення займає тривалий час і іноді триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки із втратою якості дозволяє встановити ступінь стиснення, аналогічно формату jpeg. В основі алгоритму лежить пошук великих частин зображення подібних до деяких маленьких частин. І у вихідний файл записується лише інформація про подібність однієї частини іншої. При стиску зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що призводить до невеликої незграбності при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена такого недоліку.

Серед літературних творів знаходять такі, які мають текстуальну, структурну або семантичну фрактальну природу. У текстуальних фракталах потенційно нескінченно повторюються елементи тексту. До текстуальних фракталів відносяться нескінченне дерево, що не розгалужується, тотожні самим собі з будь-якої ітерації ("У попа був собака...", "Притча про філософа, якому сниться, що він метелик, якому сниться, що він філософ, якому сниться...", "Помилкове твердження , що істинно твердження, що хибне твердження ... "); нерозгалужені нескінченні тексти з варіаціями ("У Пеггі був веселий гусак ...") і тексти з нарощеннями ("Будинок, який побудував Джек").

У структурних фракталах схема тексту потенційно фрактальна. Тексти, що володіють такою структурою, прагнуть за такими принципами: вінок сонетів (15 віршів), вінок вінків сонетів (211 віршів), вінок вінків вінків сонетів (2455 віршів); "оповідання в оповіданні" ("Книга тисячі та однієї ночі", Я.Потоцький "Рукопис, знайдений у Сарагосі"); передмови, що приховують авторство (У.Еко "Ім'я троянди").

Я виявив цей фрактал, коли розглядав інтерференцію хвиль на поверхні річки. Хвиля рухається до берега, відбивається і накладається сама на себе. Чи є порядок у тих візерунках, що створюються хвилями? Спробуймо знайти його. Розглянемо всю хвилю, лише вектор її руху. "Береги" зробимо гладкими, для простоти експерименту.

Експеримент можна провести на звичайному листку у клітинку зі шкільного зошита.

Або використовуючи JavaScript реалізацію алгоритму.

Візьмемо прямокутник зі сторонами q та p. Відправимо промінь (вектор) із кута в кут. Промінь рухається до однієї зі сторін прямокутника, відбивається і продовжує рух до наступної сторони. Це триває доти, поки промінь не потрапить в один з кутів, що залишилися. Якщо розмір сторони q і p - взаємно прості числа, виходить візерунок (як побачимо пізніше - фрактал).

На зображенні ми ясно бачимо, як працює цей алгоритм.

Gif-анімація:

Найдивовижніше те, що з різними сторонами прямокутника – отримуємо різні візерунки.

Чому я називаю ці візерунки фракталами? Як відомо, «фрактал» - це геометрична фігура, що має властивості самоподібності. Частина картинки повторює всю картинку загалом. Якщо значно збільшити розміри сторін Q і P - ясно, що ці візерунки мають властивості самоподібності.

Спробуємо збільшити. Збільшуватимемо хитрим способом. Візьмемо, наприклад, візерунок 17x29. Наступні візерунки будуть: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75).
Одна сторона: F(n);
Друга сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Як числа Фібоначчі, тільки з іншими першим та другим членом послідовності: F(0)=17, F(1)=29.

Якщо велика сторона парна, виходить такий візерунок:

Якщо менша сторона парна:

Якщо обидві сторони непарні – отримуємо симетричний візерунок:

Залежно від того, як починається промінь:

або

Спробую пояснити, що відбувається у цих прямокутниках.

Відокремимо від прямокутника квадрат і подивимося, що відбувається на кордоні.

Промінь виходить у тій самій точці, звідки зайшов.

При цьому кількість квадратиків, які проходить промінь - завжди парне число.

Тому, якщо відрізати від прямокутника квадрат – залишиться не змінена частина фракталу.

Якщо відокремлювати від фракталу квадрати стільки разів, скільки це можливо – можна дістатися «початку» фракталу.

Схоже на спіраль Фібоначчі?

З чисел Фібоначчі також можна отримати фрактали.

У математиці числами Фібоначчі (ряд Фібоначчі, послідовність Фібоначчі) називають числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
За визначенням, перші дві цифри в послідовності Фібоначчі 0 і 1, а кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Поїхали:

Як бачимо, що ближче ставлення сторін наближається до золотого перерізу - то більше вписувалося деталізація фрактала.

При цьому фрактал повторює частину фракталу, збільшеного на .

Замість чисел Фібоначчі можна використовувати ірраціональні розміри сторін:

Отримаємо той же фрактал.

Те ж фрактали можна отримати і в квадраті, якщо пускати промінь під іншим кутом:

Що можна сказати наприкінці?
Хаос – це також порядок. Зі своїми закономірностями. Порядок цей не вивчений, але цілком піддається вивченню. А все прагнення науки – виявити ці закономірності. І зрештою з'єднати деталі головоломки, щоб побачити загальну картину.
Давайте подивимося на поверхню річки. Якщо кинути у неї камінь – підуть хвилі. Кола, що цілком піддаються вивченню. Швидкість, період, довжину хвилі – все це можна підрахувати. Але доки хвиля не дійде до берега, не позначиться і не почне накладатися на саму себе. Отримаємо хаос (інтерференцію), який вже важко піддається вивченню.
Що, якщо рухатися від зворотного? Спростити поведінку хвилі стільки, скільки це можливо. Спростити, знайти закономірність і після цього спробувати описати повну картину того, що відбувається.
Що можна спростити? Очевидно, що зробити поверхню, що відбиває прямий, без вигинів. Далі замість самої хвилі використовувати тільки вектор руху хвилі. В принципі, цього достатньо, щоб побудувати простий алгоритм та змоделювати процес на комп'ютері. І навіть цілком достатньо, щоб зробити модель поведінки хвилі на звичайному листку в клітинку.
Що маємо у результаті? В результаті бачимо, що в хвильових процесах (також бриж на поверхні річки) маємо не хаос, а накладення фракталів (самоподібних структур) один на одного.

Розглянемо інший вид хвиль. Як відомо, електромагнітна хвиля складається з трьох векторів - хвильовий вектор та вектора напруженості електричного та магнітного поля. Як бачимо, якщо «словити» таку хвилю в замкнутій області – там, де ці вектори перетинаються, отримуємо цілком чіткі замкнуті структури. Можливо, елементарні частинки - це такі ж фрактали?

Всі фрактальчики в прямокутниках від 1 до 80 (6723х6723 px):

Замкнуті області у фракталах (6723х6723 px):

Просто красивий фрактал (4078x2518 px):

Фрактальні властивості - не дурощі і не плід дозвільної фантазії математиків. Вивчаючи їх, ми вчимося розрізняти і передбачати важливі особливості навколишніх предметів і явищ, які раніше, якщо й не ігнорувалися повністю, то оцінювалися лише приблизно, якісно, на око. Наприклад, порівнюючи фрактальні розмірності складних сигналів, енцефалограм або шумів у серці, медики можуть діагностувати деякі тяжкі захворювання на ранній стадії, коли хворому ще можна допомогти. Також і аналітик, порівнюючи попередню поведінку цін, на початку зародження моделі може передбачати її подальший розвиток, тим самим, не допускаючи грубих помилок у прогнозуванні.

Нерегулярність фракталів

Першою властивістю фракталів є їхня нерегулярність. Якщо фрактал описувати функцією, то властивість нерегулярності в математичних термінах означатиме, що така функція не диференційована, тобто не гладка в жодній точці. Власне до ринку це має пряме відношення. Коливання цін часом такі волатильні та мінливі, що це призводить багатьох трейдерів до замішання. Нашим завданням варто розібрати весь цей хаос і привести його до порядку.

Чи знаєте ви, що:посівши з 1-го по 10-е місце у конкурсі демо-рахунків "Віртуальна реальність"від компанії Альпарі, Ви можете виграти від $70 до $500. Призова сума доступна для зняття без обмежень. Переможці, які посіли призові місця з 11 по 30 отримають від 1000 до 10000 бонусних балів .

Самоподібність фракталів

Друга властивість свідчить, що фрактал - це об'єкт, що володіє властивістю самоподібності. Це рекурсивна модель, кожна частина якої повторює у своєму розвитку розвиток усієї моделі в цілому та відтворюється у різних масштабах без видимих змін. Однак, зміни все ж таки відбуваються, що значною мірою може вплинути на сприйняття нами об'єкта.

Самоподібність означає, що об'єкт не має характерного масштабу: якби він мав такий масштаб, ви відразу відрізнили б збільшену копію фрагмента від вихідного знімка. Самоподібні об'єкти мають нескінченно багато масштабів на всі смаки. Суть самоподібності можна пояснити на прикладі. Уявіть собі, що перед вами знімок «справжньої» геометричної прямої, «довжини без ширини», як визначав лінію Евклід, і ви бавитесь з приятелем, намагаючись вгадати, чи пред'являє він вам вихідний знімок (оригінал) або збільшений у потрібне число разів знімок будь-якого фрагмента прямий. Як би не намагалися, вам ні за що не вдасться відрізнити оригінал від збільшеної копії фрагмента, пряма у всіх своїх частинах влаштована однаково, вона подібна до самої себе, але ця її чудова властивість дещо приховується нехитрою структурою найпрямішою, її «прямолінійністю» (мал. 7).

Якщо ви так само не зможете відрізнити знімок якогось об'єкта від належним чином збільшеного знімка будь-якого його фрагмента, то перед вами – самоподібний об'єкт. Усі фрактали, які мають хоча б якусь симетрію, самоподібні. А це означає, що деякі фрагменти їхньої структури суворо повторюються через певні просторові проміжки. Очевидно, що ці об'єкти можуть мати будь-яку природу, причому їхній вигляд і форма залишаються незмінними незалежно від масштабу. Приклад самоподібного фракталу:

У фінансах ця концепція – не безпідставна абстракція, а теоретичне переформулювання практичного ринкового приказки – а саме, що рухи акції чи валюти зовні схожі, незалежно від масштабу часу та ціни. Спостерігач не може сказати на вигляд графіка, чи відносяться дані до тижневих, денних або годинних змін.

Зрозуміло, далеко не всі фрактали мають таку правильну структуру, що нескінченно повторюється, як ті чудові експонати майбутнього музею фрактального мистецтва, які народжені фантазією математиків і художників. Багато фракталів, що зустрічаються в природі (поверхні розлому гірських порід і металів, хмари, валютні котирування, турбулентні потоки, піна, гелі, контури частинок сажі і т. д.) позбавлені геометричної подоби, але вперто відтворюють у кожному фрагменті статистичні властивості цілого. Фрактали з нелінійною формою розвитку були названі Мандельбротом як мультифрактали. Мультифрактал – це квазіфрактальний об'єкт із змінною фрактальною розмірністю. Природно, що реальні об'єкти та процеси набагато краще описуються мультифракталами.

Така статистична самоподібність, або самоподібність у середньому, виділяє фрактали серед безлічі природних об'єктів.

Розглянемо приклад самоподібності на валютному ринку:

На цих малюнках бачимо, що вони схожі, маючи різний масштаб часу, на рис. а 15-хвилинний масштаб, на рис. б тижневий масштаб цін. Як бачимо, дані котирування не мають властивість ідеально повторювати друга, проте ми можемо вважати їх подібними.

Навіть найпростіші з фракталів – геометрично самоподібні фрактали – мають незвичні властивості. Наприклад, сніжинка фон Коха має периметр нескінченної довжини, хоча обмежує кінцеву площу (рис. 9). Крім того, вона така колюча, що в жодній точці контуру до неї не можна провести дотичну (математик сказав би, що сніжинка фон Коха ніде не диференційована, тобто не гладка в жодній точці).

Мандельброт виявив, що результати фракційного виміру залишаються постійними для різних ступенів посилення неправильності об'єкта. Іншими словами, існує регулярність (правильність, упорядкованість) для будь-якої нерегулярності. Коли ми ставимося до чого – або, як до випадкового, що виникає, то це вказує на те, що ми не розуміємо природу цієї хаотичності. У термінах ринку це означає, що формування тих самих типових формацій мають відбуватися у різних часових рамках. Однохвилинний графік описуватиме фрактальну формацію так само, як і місячний. Таке «само – уподібнення», що знаходиться на графіках товарних та фінансових ринків, показує всі ознаки того, що дії ринку ближчі до парадигми поведінки «природи», ніж поведінки економічного, фундаментального аналізу.

На цих малюнках можна знайти підтвердження сказаного вище. Зліва зображено графік з хвилинним масштабом, праворуч тижневий. Тут зображені валютні пари Долар/Єна (рис. 9 (а)) та Євро/Долар (рис. 9 (б)) з різними масштабами цін. Навіть незважаючи на те, що валютна пара JPY/USD має іншу волатильність по відношенню до EUR/USD ми можемо спостерігати ту саму структуру руху ціни.

Фрактальна розмірність

Третьою властивістю фракталів є те, що фрактальні об'єкти мають розмірність, відмінну від евклідової (тобто топологічна розмірність). Фрактальна розмірність є показником складності кривої. Аналізуючи чергування ділянок з різною фрактальною розмірністю та тим, як на систему впливають зовнішні та внутрішні чинники, можна навчитися передбачати поведінку системи. І що найголовніше, діагностувати та передбачати нестабільні стани.

В арсеналі сучасної математики Мандельброт знайшов зручну кількісну міру неідеальності об'єктів – звивистості контуру, зморшкуватості поверхні, тріщинуватості та пористості об'єму. Її запропонували два математики - Фелікс Хаусдорф (1868-1942) та Абрам Самойлович Безікович (1891-1970). Нині вона заслужено носить славні імена своїх творців (розмірність Хаусдорфа – Безіковіча) – розмірність Хаусдорфа – Безіковіча. Що таке розмірність і для чого вона нам знадобиться стосовно аналізу фінансових ринків? До цього нам був відомий лише один вид розмірності – топологічна (рис. 11). Саме слово розмірність показує, скільки вимірів має об'єкт. Для відрізка прямої лінії вона дорівнює 1, тобто. ми маємо лише один вимір, зокрема довжину відрізка чи прямий. Для площини розмірність буде 2, оскільки маємо двомірний вимір, довжина і ширина. Для простору або об'ємних об'єктів розмірність дорівнює 3: довжина, ширина і висота.

Давайте розглянемо приклад із комп'ютерними іграми. Якщо гра зроблена у 3D графіці, вона просторова і об'ємна, якщо у 2D графіці – графіка зображується на площині (рис. 10).

Найнезвичайніше (правильніше було б сказати – незвичне) у розмірності Хаусдорфа – Безіковіча було те, що вона могла приймати не лише цілі, як топологічна розмірність, а й дробові значення. Рівна одиниці для прямої (нескінченної, напівнескінченної або кінцевого відрізка), розмірність Хаусдорфа – Безиковича збільшується у міру зростання звивистості, тоді як топологічна розмірність завзято ігнорує всі зміни, що відбуваються з лінією.

Розмірність характеризує ускладнення множини (наприклад прямий). Якщо це крива, з топологічною розмірністю рівною 1 (пряма лінія), то криву можна ускладнити шляхом нескінченного числа згинань і розгалужень настільки, що її фрактальна розмірність наблизиться до двох, тобто. заповнить майже всю площину (рис. 12)

Збільшуючи своє значення, розмірність Хаусдорфа - Безіковіча не змінює його стрибком, як зробила б "на її місці" топологічна розмірність, перехід з 1 відразу до 2. Розмірність Хаусдорфа - Безіковіча - і це на перший погляд може здатися незвичним і дивним, набуває дробових значень : рівна одиниці для прямої, вона стає рівною 1,15 для злегка звивистої лінії, 1,2 – для більш звивистої, 1,5 – для дуже звивистої і т.д.

Саме для того, щоб особливо підкреслити здатність розмірності Хаусдорфа – Безіковіча набувати дробових, неціліших, значень, Мандельброт і придумав свій неологізм, назвавши її фрактальною розмірністю. Отже, фрактальна розмірність (не тільки Хаусдорфа – Безіковіча, а й будь-яка інша) – це розмірність, здатна набувати необов'язково цілі значення, а й дробові.

Для лінійних геометричних фракталів розмірність характеризує їх самоподібність. Розглянемо рис. 17 (А), лінія складається з N=4 відрізків, кожен із яких має довжину r = 1/3. У результаті отримуємо співвідношення:

D = logN/log(1/r)

Зовсім справа інакше, коли ми говоримо мультифракталах (нелінійних). Тут розмірність втрачає свій сенс як визначення подоби об'єкта і визначається за допомогою різних узагальнень, значно менш природних, ніж унікальна розмірність самоподібних об'єктів.

На валютному ринку розмірністю можна охарактеризувати волатильність котирувань ціни. Для кожної валютної пари характерна поведінка в масштабі цін. У пари Фунт/Долар (рис. 13(а)) воно спокійніше, ніж у Євро/Долар (рис. 13(б)). Найцікавіше в тому, що дані валюти рухаються однаковою структурою до цінових рівнів, однак, розмірність у них різна, що може позначитися на внутрішньоденній торгівлі і на змінах моделей, що вислизають від не досвідченого погляду.

На рис. 14 показана розмірність стосовно математичної моделі, для того щоб ви більш глибоко перейнялися значення даного терміна. Зверніть увагу, що у всіх трьох малюнках зображено один цикл. На рис. а розмірність дорівнює 1.2 на рис. б розмірність дорівнює 1.5, але в рис. 1.9. Видно, що зі збільшенням розмірності сприйняття об'єкта ускладнюється, зростає амплітуда коливань.

На фінансових ринках розмірність знаходить свій відбиток у ролі волатильності ціни, а й у ролі деталізації циклів (хвиль). Завдяки ній ми зможемо розрізняти належність хвилі до певного масштабу часу. На рис. 15 зображено пару Євро/Долар у денному масштабі цін. Зверніть увагу, чітко видно цикл, що сформувався і початок нового, більшого циклу. Перейшовши на годинний масштаб і збільшивши один із циклів, ми зможемо помітити дрібніші цикли, і частину великого, розташованого на D1 (рис. 16). Деталізація циклів, тобто. їх розмірність дозволяє нам визначити за початковими умовами, як може надалі розвиватися ситуація. Ми можемо сказати, що: фрактальна розмірність відбиває властивість масштабної інваріантності розглянутої множини.

Поняття інваріантності запроваджено Мандельбротом від слова «sealant» – масштабований, тобто. коли об'єкт має властивість інваріантності, він має різні масштаби відображення.

На рис. 16 навколо А виділено міні цикл (деталізована хвиля), навколо Б - хвиля більшого циклу. Саме через розмірність, ми не завжди можемо визначати ВСІ цикли на одному масштабі цін.

Про проблеми визначення та властивості розвитку неперіодичних циклів ми поговоримо у розділі «Цикли на валютному ринку», зараз для нас головне було зрозуміти, як і де розмірність проявляється на фінансових ринках.

Джонні росте на 2 дюйми на рік. Ця система пояснює, як висота Джонні змінюється у часі. Нехай х (n) буде зростанням Джонні цього року. Нехай його зростання наступного року буде записано, як х (n+1). Тоді ми можемо написати динамічну систему у формі рівняння:

х(n+1) = х(n) + 2.

Бачите? Хіба це не проста математика? Якщо ми введемо сьогоднішнє зростання Джонні х (n) = 38 дюймів, то з правого боку рівняння ми отримаємо зростання Джонні наступного року, х (n+1) = 40 дюймів:

х(n+1) = х(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Рух справа наліво у рівнянні називається ітерацією (повторенням). Ми можемо повторити рівняння знову, ввівши нове зростання Джонні 40 дюймів у потрібний бік рівняння (тобто х (n) = 40), і ми отримаємо х (n+1) = 42. Якщо ми ітеруємо (повторимо) рівняння 3 рази, ми отримаємо зростання Джонні через 3 роки, а саме 44 дюйми, почавши зі зростання 38 дюймів.

Це детермінована динамічна система. Якщо ми хочемо зробити її недетермінованою (стохастичною), ми могли б зробити таку модель: Джонні росте на 2 дюйми на рік, більше або менше і записати рівняння, як:

х(n+1) = х(n) + 2 + е

де е - невелика помилка (невелика щодо 2), представляє деяке ймовірнісне розподіл.

Повернімося до початкового детермінованого рівняння. Початкове рівняння, х(n+1) = х(n) + 2 є лінійним. Лінійне означає, що Ви додаєте змінні чи константи чи множите змінні на константи. Наприклад, рівняння

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

є лінійним. Але якщо Ви перемножите змінні, або зведете їх у ступінь більший одиниці, рівняння (система) стане нелінійним. Наприклад, рівняння

х(n+1) = х(n) 2

є нелінійним, тому що х(n) – зведено у квадрат. Рівняння

є нелінійним, тому що дві змінні, х і у, перемножені.

Коли застосовуємо класичні моделі (наприклад, трендові, регресійні тощо. буд.), говоримо, що майбутнє об'єкта однозначно детерміноване, тобто. повністю залежить від початкових умов та піддається чіткому прогнозу. Ви можете самостійно виконати одну з таких моделей в Excel. Приклад класичної моделі можна як постійно убутній, чи зростаючою тенденції. І ми можемо передбачити її поведінку, знаючи минуле об'єкта (вихідні дані для моделювання). А фрактали застосовуються у тому випадку, коли об'єкт має кілька варіантів розвитку та стан системи визначається положенням, у якому вона перебуває на даний момент. Тобто ми намагаємось змоделювати хаотичний розвиток. Саме такою системою є міжбанківський валютний ринок.

Давайте тепер розглянемо, як із прямої можна отримати те, що ми називаємо фракталом, з властивими йому властивостями.

На рис. 17 (А) зображена крива Коха. Візьмемо відрізок лінії, її довжина = 1, тобто. поки що топологічна розмірність. Тепер ми розділимо її на три частини (кожна по 1/3 довжини) і видалимо середню третину. Але ми замінимо середню третину двома відрізками (кожен по 1/3 довжини), які можна уявити, як дві сторони рівностороннього трикутника. Ця стадія два (b) конструкції зображена на рис. 17 (А). У цій точці ми маємо 4 менші частки, кожна по 1/3 довжини, так що вся довжина – 4(1/3) = 4/3. Потім ми повторюємо цей процес для кожної з 4 менших частин лінії. Це – стадія три (с). Це дасть нам 16 ще менших частин лінії, кожна по 1/9 довжини. Отже, вся довжина тепер 16/9 або (4/3) 2 . Через війну отримали дробову розмірність. Але не тільки це відрізняє структуру, що утворилася, від прямої. Вона стала самоподібною і в жодній її точці неможливо провести дотичну (рис. 17 (Б)).

Зміст

Найчастіше геніальні відкриття, здійснені в науці, здатні кардинально змінювати наше життя. Так, наприклад, винахід вакцини може врятувати велику кількість людей, а створення нового озброєння призводить до вбивства. Буквально вчора (в масштабі історії) людина «приборкала» електрику, а сьогодні вже не може уявити своє життя без неї. Однак існують і такі відкриття, які, як то кажуть, залишаються в тіні, причому незважаючи на те, що вони також чинять той чи інший вплив на наше життя. Одним із таких відкриттів став фрактал. Більшість людей навіть не чули про таке поняття і не зможуть пояснити його значення. У цій статті ми спробуємо розібратися з питанням про те, що таке фрактал, розглянемо значення цього терміну з позиції науки та природи.

Порядок у хаосі

Для того щоб зрозуміти, що таке фрактал, слід було б почати розбір польотів з позиції математики, проте перш ніж заглиблюватися в ми трохи пофілософствуємо. Кожній людині притаманна природна допитливість, завдяки якій і пізнає навколишній світ. Найчастіше у своєму прагненні пізнання він намагається оперувати логікою у судженнях. Так, аналізуючи процеси, що відбуваються навколо, він намагається обчислити взаємозв'язки та вивести певні закономірності. Найбільші уми планети зайняті вирішенням цих завдань. Грубо кажучи, наші вчені шукають закономірності там, де їх немає, та й не повинно бути. Проте навіть у хаосі є зв'язок між тими чи іншими подіями. Ось цим зв'язком і виступає фрактал. Як приклад розглянемо зламану гілку, що валяється на дорозі. Якщо уважно до неї придивитися, то ми побачимо, що вона з усіма своїми відгалуженнями та сучками сама схожа на дерево. Ось ця схожість окремої частини з єдиним цілим свідчить про так званий принцип рекурсивної самоподібності. Фрактали в природі можна знайти часто-густо, адже багато неорганічних і органічних форм формуються аналогічно. Це і хмари, і морські раковини, і равликів, і крони дерев, і навіть кровоносна система. Цей список можна продовжувати до безкінечності. Всі ці випадкові форми легко описує фрактальний алгоритм. Ось ми підійшли до того, щоб розглянути, що таке фрактал із позиції точних наук.

Трохи сухих фактів

Саме слово «фрактал» з латини перекладається як "частковий", "розділений", "роздроблений", а щодо змісту цього терміну, то формулювання як такої не існує. Зазвичай його трактують як самоподібну множину частину цілого, яка повторюється своєю структурою на мікрорівні. Цей термін вигадав у сімдесятих роках ХХ століття Бенуа Мандельброт, який визнаний батьком Сьогодні під поняттям фракталу мають на увазі графічне зображення певної структури, яка за збільшеного масштабу буде подібна сама собі. Однак математична база для створення цієї теорії була закладена ще до народження самого Мандельброта, а ось розвиватися вона не могла, доки не з'явилися електронні обчислювальні машини.

Історична довідка, або Як все починалося

На рубежі 19-20 століть вивчення природи фракталів мало епізодичний характер. Це тим, що математики воліли вивчати об'єкти, піддаються дослідженню, з урахуванням загальних теорій і методів. У 1872 році німецьким математиком К. Вейєрштрассом був побудований приклад безперервної функції, яка ніде не диференціюється. Однак ця побудова виявилася цілком абстрактною і важкою для сприйняття. Далі пішов швед Хельге фон Кох, який у 1904 році збудував безперервну криву, яка не має ніде дотичної. Її досить легко намалювати, і, як виявилось, вона характеризується фрактальними властивостями. Один із варіантів даної кривої назвали на честь її автора – «сніжинка Коха». Далі ідею самоподібності постатей розвивав майбутній наставник Б. Мандельброта француз Поль Леві. У 1938 році він опублікував статтю «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого». У ній він описав новий вигляд – С-криву Леві. Всі перелічені фігури умовно ставляться до такого виду, як геометричні фрактали.

Динамічні, або фракції алгебри

До цього класу належить безліч Мандельброта. Першими дослідниками цього напряму стали французькі математики П'єр Фату та Гастон Жюліа. В 1918 Жюліа опублікував роботу, в основі якої лежало вивчення ітерацій раціональних комплексних функцій. Тут він описав сімейство фракталів, які близько пов'язані з безліччю Мандельброту. Незважаючи на те, що ця робота прославила автора серед математиків, про неї швидко забули. І лише через півстоліття завдяки комп'ютерам працю Жюлія одержав друге життя. ЕОМ дозволили зробити видимим кожному за людини ту красу і багатство світу фракталів, які б «бачити» математики, відображаючи їх через функції. Мандельброт став першим, хто використовував комп'ютер для проведення обчислень (вручну такий обсяг неможливо провести), що дозволило побудувати зображення цих фігур.

Людина з просторовою уявою

Мандельброт розпочинав свою наукову кар'єру у дослідному центрі IBM. Вивчаючи можливості передачі на великі відстані, вчені зіштовхнулися з фактом великих втрат, що виникали через шумових перешкод. Бенуа шукав шляхи вирішення цієї проблеми. Переглядаючи результати вимірів, він звернув увагу на дивну закономірність, а саме: графіки шумів виглядали однаково в різному масштабі часу.

Аналогічна картина спостерігалася як періоду в один день, так сім днів чи години. Сам Бенуа Мандельброт часто повторював, що працює не з формулами, а грає з картинками. Цей вчений відрізнявся образним мисленням, будь-яке завдання алгебри він переводив у геометричну область, де правильна відповідь очевидна. Так що не дивно, що відрізняється багатим і став батьком фрактальної геометрії. Адже усвідомлення цієї постаті може прийти лише тоді, коли вивчаєш малюнки і вдумуєшся у зміст цих дивних завихрень, що утворюють візерунок. Фрактальні малюнки не мають ідентичних елементів, проте мають схожість за будь-якого масштабу.

Жюліа - Мандельброт

Одним із перших малюнків цієї постаті була графічна інтерпретація множини, яка народилася завдяки роботам Гастона Жюліа та була доопрацьована Мандельбротом. Гастон намагався уявити, як виглядає безліч, побудована на базі простої формули, яка проітерована циклом зворотного зв'язку. Спробуємо сказане пояснити людською мовою, так би мовити, на пальцях. Для конкретного числового значення з допомогою формули знаходимо нове значення. Підставляємо його у формулу та знаходимо наступне. В результаті виходить велика Для представлення такої множини потрібно зробити цю операцію величезну кількість разів: сотні, тисячі, мільйони. Це й зробив Бенуа. Він обробив послідовність і переніс результати у графічну форму. Згодом він розфарбував отриману фігуру (кожен колір відповідає певному числу ітерацій). Дане графічне зображення отримало ім'я «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: мистецтво, створене природою

Теорія фракталів досить швидко знайшла практичне застосування. Оскільки вона тісно пов'язана з візуалізацією самоподібних образів, то першими, хто взяв на озброєння принципи та алгоритми побудови цих незвичайних форм, стали художники. Першим став майбутній засновник студії Pixar Лорен Карпентер. Працюючи над презентацією прототипів літаків, йому на думку прийшла ідея як фон використовувати зображення гір. Сьогодні з таким завданням зможе впоратися практично кожен користувач комп'ютера, а в сімдесятих роках минулого століття ЕОМ були не в змозі виконувати такі процеси, адже графічних редакторів та додатків для тривимірної графіки на той момент ще не було. І ось Лорену попалася книга Мандельброта "Фрактали: форма, випадковість і розмірність". У ній Бенуа наводив безліч прикладів, показуючи, що існують фрактали в природі (фива), він описував їхню різноманітну форму і доводив, що вони легко описуються математичними висловлюваннями. Дану аналогію математик приводив як аргумент корисності розроблюваної ним теорії у відповідь на шквал критики від своїх колег. Вони стверджували, що фрактал - це лише красива картинка, яка не має жодної цінності, що є побічним результатом роботи електронних машин. Карпентер вирішив випробувати цей метод практично. Уважно вивчивши книгу, майбутній аніматор почав шукати спосіб реалізації фрактальної геометрії у комп'ютерній графіці. Йому знадобилося лише три дні, щоб візуалізувати цілком реалістичне зображення гірського ландшафту на своєму комп'ютері. І сьогодні цей принцип широко використовується. Як виявилося, створення фракталів не займає багато часу та сил.

Рішення Карпентера

Принцип, використаний Лореном, виявився простим. Він полягає в тому, щоб розділити великі на дрібні елементи, а ті - на аналогічні меншого розміру, і так далі. Карпентер, використовуючи великі трикутники, дробив їх на 4 дрібні, і так далі, доки у нього не вийшов реалістичний гірський краєвид. Таким чином він став першим художником, який застосував фрактальний алгоритм у комп'ютерній графіці для побудови необхідного зображення. Сьогодні цей принцип використовується для імітації різноманітних реалістичних природних форм.

Перша 3D-візуалізація на фрактальному алгоритмі

Вже за кілька років Лорен застосував свої напрацювання у масштабному проекті - анімаційному ролику Vol Libre, показаному на Siggraph у 1980 році. Це відео вразило багатьох, і його творця було запрошено працювати в Lucasfilm. Тут аніматор зміг реалізуватися повною мірою, він створив тривимірні ландшафти (цілу планету) для повнометражного фільму Star Trek. Будь-яка сучасна програма («Фрактали») або додаток для створення тривимірної графіки (Terragen, Vue, Bryce) використовує той самий алгоритм для моделювання текстур і поверхонь.

Том Беддард

У минулому лазерний фізик, а нині цифрових справ майстер і художник, Беддард створив ряд геометричних фігур, що дуже інтригують, які назвав фрактали Фаберже. Зовні вони нагадують декоративні яйця російського ювеліра, на них такий самий блискучий хитромудрий візерунок. Беддард використовував шаблонний метод створення своїх цифрових візуалізацій моделей. Отримані вироби вражають своєю красою. Хоча багато хто відмовляється порівнювати продукт ручної роботи з комп'ютерною програмою, проте слід визнати, що отримані форми надзвичайно красиві. Родзинка полягає в тому, що побудувати такий фрактал зможе будь-який бажаючий, скориставшись програмною бібліотекою WebGL. Вона дозволяє досліджувати у реальному часі різні фрактальні структури.

Фрактали у природі

Мало хто звертає увагу, але ці дивовижні постаті присутні всюди. Природа створена із самоподібних постатей, просто ми цього не помічаємо. Достатньо подивитися через збільшувальне скло на нашу шкіру або листок дерева, і ми побачимо фрактали. Або взяти, наприклад, ананас чи навіть хвіст павича – вони складаються з подібних фігур. А сорт капусти броколі Романеску взагалі вражає своїм виглядом, адже це справді можна назвати дивом природи.

Музикальна пауза

Виявляється, фрактали – це не лише геометричні фігури, вони можуть бути і звуками. Так, музикант Джонатан Колтон пише музику за допомогою фрактальних алгоритмів. Він стверджує, що відповідає природній гармонії. Композитор публікує всі свої твори під ліцензією CreativeCommons Attribution-Noncommercial, яка передбачає вільне поширення, копіювання, передачу творів іншими особами.

Індикатор-фрактал

Ця методика знайшла дуже несподіване застосування. На її основі створено інструмент для аналізу ринку фондової біржі і, як наслідок, його почали застосовувати на ринку «Форекс». Наразі індикатор-фрактал знаходиться на всіх торгових платформах і застосовується у торговій техніці, яку називають ціновим проривом. Розробив цю методику Білл Вільямс. Як коментує свій винахід автор, даний алгоритм є поєднанням кількох свічок, в якому центральна відображає максимальну або, навпаки, мінімальну екстремальну точку.

На закінчення

Ось ми й розглянули, що таке фрактал. Виявляється, у хаосі, що оточує нас, насправді існують ідеальні форми. Природа є найкращим архітектором, ідеальним будівельником та інженером. Вона влаштована дуже логічно, і якщо ми не можемо знайти закономірність, це не означає, що її нема. Можливо, потрібно шукати в іншому масштабі. З упевненістю можна сказати, що фрактали зберігають ще чимало секретів, які нам тільки належить відкрити.

Для того щоб представити все різноманіття фракталів зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації.

2.1 Геометричні фрактали

Фрактали цього класу найнаочніші. У двомірному випадку їх одержують за допомогою деякої ламаної (або поверхні у тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.

Рис 1. Побудова тріадної кривої Кох.

Розглянемо один із таких фрактальних об'єктів – тріадну криву Кох. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини (рис.1) – це 0-е покоління кривої Кох. Далі кожна ланка (у нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент, позначений на рис.1 через n=1. Внаслідок такої заміни виходить наступне покоління кривої Кох. У 1-му поколінні - це крива з чотирьох прямолінійних ланок, кожна завдовжки 1/3 . Для отримання 3-го покоління робляться ті ж дії - кожна ланка замінюється на зменшений утворюючий елемент. Отже, для отримання кожного наступного покоління всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління за будь-якого кінцевого nназивається передфракталом. На рис.1 представлено п'ять поколінь кривої. При nкрива Кох, що прагне до нескінченності, стає фрактальним об'єктом.

Рис 2. Побудова "дракона" Хартера-Хейтуея.

Для отримання іншого фрактального об'єкта необхідно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівні відрізки, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що за такої заміни відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколінь виконується правило: перша ліворуч ланка замінюється на утворює елемент так, щоб середина ланки зміщувалась ліворуч від напрямку руху, а при заміні наступних ланок, напрямки зміщення середин відрізків повинні чергуватись. На рис.2 представлені кілька перших поколінь і 11 покоління кривої, побудованої за вищеописаним принципом. Гранична фрактальна крива (при nщо прагне до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея .

У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне для отримання зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнку на поверхні об'єкта).

2.2 Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів у n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна використовувати термінологію теорії цих систем: фазовий портрет, встановився процес, атракторі т.д.

Відомо, що нелінійні динамічні системи мають несільними стійкими станами. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - атрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у кінцеві стани, що розглядаються. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжінняатракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портретцієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні нетривіальні структури.

Рис 3. Безліч Мандельброта.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта (див. рис.3 та рис.4). Алгоритм його побудови досить простий і ґрунтується на простому ітеративному вираженні:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

де Z i та C- Комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки Cпрямокутної або квадратної області - підмножини комплексної площини. Ітераційний процес триває доти, доки Z[i] не вийде за межі кола радіуса 2, центр якого лежить у точці (0,0), (це означає, що атрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад 200-500) Z[i] зійдеться до якоїсь точки окружності. Залежно від кількості ітерацій, протягом яких Z[i] залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C(якщо Z[i] залишається всередині кола протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється і ця точка растра забарвлюється в чорний колір).

Рис 4. Ділянка кордону множини Мандельброта, збільшена в 200 разів.

Вищеописаний алгоритм дає наближення до так званої множини Мандельброта. Безліч Мандельброта належать точки, які протягом нескінченногочисла ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорний колір). Крапки, що належать межі множини (саме там виникає складні структури) йдуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а точки, що лежать за межами множини, йдуть у нескінченність через кілька ітерацій (білий фон).

2.3 Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі випадково змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості та поверхні моря.

Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані (алгебраїчні та геометричні) та недетерміновані (стохастичні).