Фундаментальна система розв'язків однорідної системи диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами

ЛДУ n-ого порядка- ур-е, лінійне щодо невідомої ф-ії та її похідних і має вигляд

a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n-1) + ... )

φ(x)≠0- ЛНОУ

y(n) +p 1 (x)y(n -1) +…+p n -1 (x)y'+p n (x)y=g(x)- (1) ур-е у наведеному вигляді

*якщо y 1 - рішення ЛОУ, то З y 1, де С-довільна стала також є рішенням цього ур-я.

*Сума y 1 + y 2 рішень ЛОУ є рішенням того ж ур-я.

1 0 Лінійна комбінація з довільними постійними реш-й y 1, y 2, ..., y m ЛОУ є реш-ем того ж ур-я.

*якщо ЛОУ (1) з дійсними коефіцієнтами pi (x)∈R має комплексне рішення y(x)=u(x)+iv(x), то дійсна частина цього рішення Rey=u(x) та його уявна частина Imy= v(x) окремо є рішеннями однієї й тієї ж ур-я.

Ф-ії y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) називаються лінійно залежнимина деякому інтервалі (a,b), якщо існують постійні величини a1,a2,…,an≠0 такі, що для всіх x інтервалу (a,b) справедлива тотожність a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x )+…+a n -1 (x)y'+a n y n (x)=0. Якщо ф-ии лінійно завис.,то хоча одна з них є лінійною комбінацією інших.

Якщо ж тотожність справедлива лише за a1=a2=…=an=0, то ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) називаються лінійно незалежнимина інтервалі (a, b).

*якщо ф-ії y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) лінійно залежніна інтервалі (a, b), то визначник (о. Вронського)

W(x)=W= =0 цьому інтервалі.

Умова лінійної незалежності приватних рішень:

* Якщо лінійно незалежні ф-ії y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) є рішеннями ЛОУ (1) з безперервними на інтервалі (a, b) коефіцієнтами p i (x), то складений для них визначник Вронського в жодній точці інтервалу (a, b) не = 0.

Загальним рішенням ЛОУ (1) з безперервними на (a, b) коефіцієнтами p i (x) (i = 1,2, ..., n) є лінійна комбінація y оо = n лінійно незалежних на тому ж інтервалі приватних рішень y i з довільними постійними коефіцієнтами .

1 0 максимальне число лінійно незалежних рішень ЛОУ дорівнює його порядку.

ФСР-будь-які n незалежних приватних реш-й ЛОУ n-ого порядку.

*y oн =y oo +y чн

Структура загального розв'язання лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Метод варіації довільних постійних віднайти приватного рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку.

ЛНДУ вирішуються шляхом варіації довільних постійних. Спочатку знаходиться спільне рішення однорідного рівняння , Що має ту ж ліву частину, що і вихідне неоднорідне рівняння . Потім рішення рівняння у вигляді , тобто. передбачається, що постійні З явл ф-ми незалежної змінної х. При цьому ф-і 1 (х) і 2 (х) можуть бути отримані як рішення системи

У він = у оо + у чн

максимальне число рішень рівняння дорівнює його порядку.

спільне рішення

44*. Лінійне однорідне диференціальне рівняння із постійними коефіцієнтами. Характеристичний багаточлен та характеристичне рівняння. Побудова фундаментальної системи рішень у разі простих коренів характеристичного багаточлена (дійсних та комплексних).

Рівняння виду y" + p (x) y = f (x), де p (x), f (x) - безперервні ф-ії на інтервалі a

Якщо f(x)= 0, то рівняння називається однорідним.

Якщо в ЛВ ур-ії y (n) + p 1 (x) y (n -1) + ... + p n-1 (x) y '+ p n (x) y = 0

Усі коефіцієнти pi постійні, його приватні рішення може бути знайдено як y=e kx , де k- постійна. Підставляючи в ур-і

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Скорочуючи на e kx отримуємо так зв. Характеристичний ур-е

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Це ур-е n-ого ступеня визначає ті значення k, При яких y= e kx є рішення вихідного ДУ з постійними коеф-ами.

1.k 1, k 2, ..., k n-речові та різні

ФСР: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 = ... = k m = k ~ ,

k ~ - m-кратний корінь ур-я, а всі інші n-m коренів різні

ФСР: e k ~ x , x e k ~ x , …, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальне рівняння другого порядку має вигляд.

Визначення.Загальним рішенням рівняння другого порядку називається така функція, яка за будь-яких значеннях і є рішенням цього рівняння.

Визначення.Лінійним однорідним рівнянням другого порядку називається рівняння. Якщо коефіцієнти і незмінні, тобто. Не залежать від , це рівняння називають рівнянням з постійними коефіцієнтами і записують його так: .

Рівняння називатимемо лінійним неоднорідним рівнянням.

Визначення.Рівняння, що виходить з лінійного однорідного рівняння заміною функції одиницею, а і - відповідними ступенями, називається характеристичним рівнянням.

Відомо, що квадратне рівняння має рішення, що залежить від дискримінанта: , тобто. якщо , то коріння і - дійсні різні числа. Якщо то . Якщо ж, тобто. , буде уявним числом, а коріння і - комплексними числами. І тут умовимося позначати .

приклад 4.Вирішити рівняння .

Рішення.Дискримінант цього квадратного рівняння, тому.

Покажемо, як у вигляді коренів характеристичного рівняння знайти загальне рішення однорідного лінійного рівняння другого порядку.

Якщо - дійсне коріння характеристичного рівняння, то .

Якщо коріння характеристичного рівняння однакові, тобто. , то загальне рішення диференціального рівняння шукають за формулою або .

Якщо ж характеристичне рівняння має комплексне коріння, то.

Приклад 5.Знайти загальне рішення рівняння.

Рішення.Складемо характеристичне рівняння даного диференціального рівняння: . Його коріння, дійсне і різне. Тому загальне рішення .

Фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Теорема про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння . У цьому розділі ми доведемо, що базисом лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння може служити будь-який набір n його лінійно-незалежних рішень.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальної системи рішень. Фундаментальною системою рішеньлінійного однорідного диференціального рівняння n -го порядку називається будь-яка лінійно незалежна система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) його n приватних рішень.
Теорема 14.5.5.1.1 про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння. Спільне рішення y (x ) лінійного однорідного диференціального рівняння є лінійна комбінація функцій із фундаментальної системи розв'язків цього рівняння:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Док-во. Нехай y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Потрібно довести, що будь-яке приватне рішення y чо ( x ) цього рівняння міститься у формулі y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при деякому наборі постійних C 1 , C 2 , …, C n . Візьмемо будь-яку точку, обчислимо в цій точці числа і знайдемо постійні C 1 , C 2 , …, C n як рішення лінійної неоднорідної системи рівнянь алгебри

Таке рішення існує і єдино, оскільки визначник цієї системи дорівнює. Розглянемо лінійну комбінацію y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функцій з фундаментальної системи рішень із цими значеннями постійних C 1 , C 2 , …, C n і порівняємо її з функцією y чо ( x ). Функції y (x ) та y чо ( x ) задовольняють одному рівнянню та однаковим початковим умовам у точці x 0 , отже, за єдиністю вирішення завдання Коші, вони збігаються: y чо ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорему доведено.
З цієї теореми випливає, що розмірність лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння з безперервними коефіцієнтами не перевищує n . Залишилося довести, що ця розмірність не менша n .
Теорема 14.5.5.1.2 про існування фундаментальної системи розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Будь-яке лінійне однорідне диференціальне рівняння n -го порядку з безперервними коефіцієнтами має фундаментальну систему рішень, тобто. систему з n лінійно-незалежних рішень.
Док-во. Візьмемо будь-який числовий визначник n -го порядку, не рівний нулю

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Щоб зрозуміти, що таке фундаментальна система рішеньВи можете переглянути відео-урок для цього ж прикладу, клацнувши . Тепер перейдемо до опису всієї необхідної роботи. Це допоможе вам детальніше розібратися в суті цього питання.

Як знайти фундаментальну систему розв'язків лінійного рівняння?

Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:

Знайдемо розв'язання цієї лінійної системи рівнянь. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.

Перетворимо цю матрицю на трикутну.Перший рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(11)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(21)$, треба від другого рядка відняти першу, і різницю записати в другому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від третього рядка відняти першу і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(41)$, треба від четвертого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в п'ятому рядку.

Перший та другий рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(22)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(32)$, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(42)$, треба від четвертого рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(52)$, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 і різницю записати в п'ятому рядку.

Бачимо, що останні три рядки – однаковітому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими.

За цією матрицею записуємо нову систему рівнянь.

Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас лише три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень складатиметься з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі праворуч.

Тепер починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять у лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо $x_3$, потім отриманий результат підставимо на друге рівняння і висловимо $x_2$, а потім у перше рівняння і тут висловимо $x_1$. Таким чином ми всі невідомі, що стоять у лівій частині, висловили через невідомі, що стоять у правій частині.

Після чого ви замість $x_4$ і $x_5$ можемо підставляти будь-які числа і знаходити $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять до ФСРнам треба замість $x_4$ підставити 1, а замість $x_5$ підставити 0, знайти $x_1$, $x_2$ і $x_3$, та був навпаки $x_4=0$ і $x_5=1$.

див. також Рішення лінійних диференціальних рівнянь онлайн
Пошук фундаментальної системи рішень у випадку є досить важким завданням. Тим не менш, є клас рівнянь, для якого це завдання досить легко вирішується. До вивчення цього класу ми й приступаємо.
(*)

Лінійне диференціальне рівняння (*) назвемо рівнянням з постійними коефіцієнтами, якщо у цьому рівнянні коефіцієнти постійні, тобто a i (x) = const. Тоді відповідне однорідне рівняння L(y)=0 матиме вигляд
. (6)
Рішення рівняння (6) шукатимемо у вигляді y = e rx . Тоді y" = r·e rx , y"" = r 2 ·e rx ,…, y (n) = r n ·e rx . Підставляючи (6), отримуємо

Так як e rx ніде в нуль не звертається, то
. (7)
Рівняння (7) називається характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
Отже, нами доведено таку теорему. Теорема.Функція y = e rx є рішенням лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами (6) і тоді, коли r є корінь характеристичного рівняння (7).
Можливі нижче такі випадки.
1. Усі коріння характеристичного многочлена речові і різні. Позначимо їх r 1, r 2, ..., r n. Тоді отримаємо n різних рішень
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
рівняння (6). Доведемо, що отримана система рішень є лінійно незалежною. Розглянемо її визначник Вронського

.

Множник e (r 1+ r 2+..+ rn) x у правій частині W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) ніде на нуль не звертається. Тому залишилося показати, що другий співмножник (визначник) не дорівнює нулю. Припустимо, що

Тоді рядки цього визначника лінійно залежні, тобто існують числа α 1 , α 2 , …, α n такі, що
Таким чином, ми отримали, що r i , i = 1,2,..,n є n різних коренів полінома (n-1)-го ступеня, що неможливо. Отже, визначник у правій частині W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) не дорівнює нулю і система функцій (8) утворює фундаментальну систему розв'язків рівняння (6) у разі, коли коріння характеристичного рівняння різні.

Приклад. Для рівняння y""-3y" + 2y=0 коріння характеристичного рівняння r 2 - 3r + 2 = 0 рівні r 1 = 1, r 2 = 2 (коріння було знайдено через сервіс знаходження дискримінанта). Отже, фундаментальну систему рішень складають функції y 1 = e x , y 2 = e 2 x , а загальне рішення записується у вигляді y = C 1 e x + C 2 e 2 x .
2. Серед коренів характеристичного рівняння є кратні. Припустимо, що r 1 має кратність α, проте інші різні. Розглянемо спочатку випадок r 1 = 0. Тоді характеристичне рівняння має вигляд

тому що в іншому випадку не було б коренем кратності α. Отже, диференціальне рівняння має вигляд
тобто не містить похідних порядку нижче. Цьому рівнянню задовольняють усі функції, у яких похідні порядку і вище дорівнюють нулю. Зокрема, такими є всі поліноми ступеня не вище α-1, наприклад,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Покажемо, що ця система лінійно незалежна. Склавши визначник Вронського цієї системи функцій, отримаємо

.

Це визначник трикутного вигляду із відмінними від нуля елементами, що стоять на головній діагоналі. Тому він відмінний від нуля, як і доводить лінійну незалежність системи функцій (9). Зауважимо, що у одному з прикладів попереднього параграфа ми доводили лінійну незалежність системи функцій (9) іншим способом. Нехай тепер коренем характеристичного рівняння кратності є число r 1 ≠0. Зробимо в рівнянні (6) L(y) = 0 заміну y = r 1 x = z exp (r 1 x). Тоді

і так далі. Підставляючи отримані значення похідних вихідне рівняння, знову отримаємо лінійне однорідне рівняння з постійними коефіцієнтами
(0)
з характеристичним рівнянням
. (1)
Зазначимо, якщо k - корінь характеристичного рівняння (1), то z = e kx - рішення рівняння (0), а y = ye r 1 x = e (k + r 1) x є рішенням рівняння (6). Тоді r=k+r 1 – корінь характеристичного рівняння (7). З іншого боку, рівняння (6) може бути отримане із рівняння (0) зворотною заміною z = ye - r 1 x і тому кожному кореню характеристичного рівняння (7) відповідає корінь k = r - r 1 характеристичного рівняння (1). Таким чином, встановлено взаємно однозначну відповідність між корінням характеристичних рівнянь (7) і (1), причому різним корінням одного рівняння відповідають різні корені іншого. Так як r = r 1 - корінь кратності рівняння α (7), то рівняння (1) має k = 0 коренем кратності α. За доведеним раніше рівняння (0) має α лінійно незалежних рішень
яким відповідає α лінійно незалежних рішень
(2)
рівняння (7). Приєднуючи отриману систему рішень (2) до n-α рішень, відповідним іншим корінням характеристичного рівняння, отримаємо фундаментальну систему рішень для лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі кратного коріння.
приклад. Для рівняння y""-4y""+4y" = 0 характеристичне рівняння r 3 -4r 2 + 4r = 0 має коріння r=0 кратності 1 і r=2 кратності 2, тому що r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 тому фундаментальною системою рішень вихідного рівняння є система функцій y 1 = 1, y 2 = e 2 x , y 3 = xe 2 x , а загальне рішення має вигляд y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x.
3. Серед коренів характеристичного рівняння є комплексне коріння. Можна розглядати комплексні рішення, але з рівнянь із дійсними коефіцієнтами це дуже зручно. Знайдемо дійсні рішення, що відповідають комплексним корінням. Оскільки ми розглядаємо рівняння з дійсними коефіцієнтами, то кожного комплексного кореня r j = a+bi кратності α характеристичного рівняння комплексно пов'язане йому число r k = a-bi також є коренем кратності α цього рівняння. Відповідним цим корінням парами рішень є функції і , l=0,1,.., α-1. Замість цих рішень розглянемо їх лінійні комбінації 3. Для рівняння y(4) + 8y"" + 16y =0 характеристичне рівняння r 4 +8r 2 +16=0 має r 1 = 2i, r 2 = -2i кратності 2, оскільки r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2 тому фундаментальною системою рішень вихідного рівняння є система функцій y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x, y 4 = xsin2x, а загальне рішення має вигляд y = C 1 cos2x + C 2 sin2x + C 3 xcos2x + C 4 xsin2x.

Ми продовжимо шліфувати техніку елементарних перетвореньна однорідної системи лінійних рівнянь.
За першими абзацами матеріал може здатися нудним і звичайним, але це враження оманливе. Крім подальшого відпрацювання технічних прийомів, буде багато нової інформації, тому, будь ласка, постарайтеся не нехтувати прикладами цієї статті.

Що таке однорідна система лінійних рівнянь?

Відповідь напрошується сама собою. Система лінійних рівнянь є однорідною, якщо вільний член кожногорівняння системи дорівнює нулю. Наприклад:

Цілком зрозуміло, що однорідна система завжди спільнатобто завжди має рішення. І, перш за все, в очі впадає так зване тривіальнеРішення . Тривіальне, для тих, хто зовсім не зрозумів сенс прикметника, отже безпонтове. Не академічно, звичайно, але зате зрозуміло =) …Чого ходити навколо і навколо, давайте з'ясуємо, чи немає в даної системи якихось інших рішень:

Приклад 1

Рішення: щоб вирішити однорідну систему необхідно записати матрицю системиі за допомогою елементарних перетворень привести її до ступінчастого вигляду. Зверніть увагу, що тут відпадає необхідність записувати вертикальну межу та нульовий стовпець вільних членів – адже що не роби з нулями, вони так і залишаться нулями:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -3.

(2) До третього рядка додали другий рядок, помножений на -1.

Ділити третій рядок на 3 немає особливого сенсу.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну однорідну систему , і, застосовуючи зворотний хід методу Гауса, легко переконатися, що рішення єдине.

Відповідь:

Сформулюємо очевидний критерій: однорідна система лінійних рівнянь має тільки тривіальне рішення, якщо ранг матриці системи(у разі 3) дорівнює кількості змінних (у разі – 3 прим.).

Розігріємося та налаштовуємо свій радіоприймач на хвилю елементарних перетворень:

Приклад 2

Розв'язати однорідну систему лінійних рівнянь

Щоб остаточно закріпити алгоритм, розберемо фінальне завдання:

Приклад 7

Вирішити однорідну систему, відповідь записати у векторній формі.

Рішення: запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) У першому рядку змінили знак. Ще раз загострюю увагу на прийомі, що неодноразово зустрічався, який дозволяє істотно спростити наступну дію.

(1) До 2-го та 3-го рядків додали перший рядок. До 4-го рядка додали перший рядок, помножений на 2.

(3) Останні три рядки пропорційні, два з них видалили.

В результаті отримана стандартна ступінчаста матриця, і рішення продовжується за накатаною колією:

- Базисні змінні;
- Вільні змінні.

Виразимо базисні змінні через вільні змінні. З 2-го рівняння:

- Підставимо в 1-е рівняння:

Таким чином, загальне рішення:

Оскільки в цьому прикладі три вільні змінні, то фундаментальна система містить три вектори.

Підставимо трійку значень у загальне рішення і отримаємо вектор координати якого задовольняють кожному рівнянню однорідної системи. І знову повторюся, що дуже бажано перевіряти кожен отриманий вектор - часу займе не так багато, а від помилок вбереже повністю.

Для трійки значень знаходимо вектор

І, нарешті, для трійки отримуємо третій вектор:

Відповідь: , де

Бажаючі уникнути дробових значень можуть розглянути трійки та отримати відповідь в еквівалентному вигляді:

До речі про дроби. Подивимося на отриману в задачі матрицю і поставимо запитання – чи не можна спростити подальше рішення? Адже тут ми спочатку висловили через дроби базисну змінну, потім через дроби базисну змінну, і, треба сказати, процес це був не найпростіший і не найприємніший.

Другий варіант вирішення:

Ідея полягає в тому, щоб спробувати вибрати інші базисні змінні. Подивимося на матрицю і помітимо дві одиниці у третьому стовпці. То чому б не отримати нуль вгорі? Проведемо ще одне елементарне перетворення: