Скільки асимптот може мати графік функції?

Жодної, одна, дві, три, або нескінченно багато. За прикладами далеко не ходитимемо, згадаємо елементарні функції. Парабола, кубічна парабола, синусоїда зовсім не мають асимптоту. Графік експоненційної, логарифмічної функції має єдину асимптоту. У арктангенса, арккотангенса їх дві, а тангенса, котангенса - нескінченно багато. Не рідкість, коли графік укомплектований горизонтальними і вертикальними асимптотами. Гіпербола, буде завжди love you.

Що означає знайти асимптоти графіка функції?

Це означає з'ясувати їх рівняння, та й накреслити прямі лінії, якщо цього вимагає умова завдання. Процес передбачає знаходження меж функції.

Вертикальні асимптоти графіка функції

Вертикальна асимптота графіка, зазвичай, перебуває у точці нескінченного розриву функції. Все просто: якщо в точці функція зазнає нескінченного розриву, то пряма, задана рівнянням є вертикальною асимптотою графіка.

Зверніть увагу, що запис використовується для позначення двох абсолютно різних понять. Точка має на увазі або рівняння прямої - залежить від контексту.

Таким чином, щоб встановити наявність вертикальної асимптоти в точці досить показати, що хоча б одна з односторонніх меж нескінченна. Найчастіше це точка, де знаменник функції дорівнює нулю. Фактично, ми вже знаходили вертикальні асимптоти останніх прикладах уроку про безперервність функції. Але в ряді випадків існує тільки одна одностороння межа, і, якщо вона нескінченна, то знову - любіть і жалуйте вертикальну асимптоту. Найпростіша ілюстрація: і вісь ординат.

З вищесказаного також випливає очевидний факт: якщо функція безперервна, то вертикальні асимптоти відсутні. На думку чомусь спала парабола. Справді, де тут «устромиш» пряму? …так… розумію… послідовники дядечка Фрейда забилися в істериці =)

Зворотне твердження в загальному випадку неправильне: так, функція не визначена по всій числовій прямій, проте абсолютно обділена асимптотами.

Похилі асимптоти графіка функції

Похилі (як окремий випадок - горизонтальні) асимптоти можуть намалюватися, якщо аргумент функції прагне «плюс нескінченності» або «мінус нескінченності». Тому графік функції не може мати більше 2-х похилих асимптотів. Наприклад, графік експоненційної функції має єдину горизонтальну асимптоту при, а графік арктангенса при - двома такими асимптотами, причому різними.

Визначення . Асимптотою графіка функції називається пряма, що володіє тим властивістю, що відстань від точки графіка функції до цієї прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

За способами їх відшукання виділяють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні, похилі.

Очевидно, горизонтальні є окремими випадками похилих (при ).

Знаходження асимптот графіка функції ґрунтується на наступних твердженнях.

Теорема 1 . Нехай функція визначена хоча б у деякій півоколи точки і хоча б один з її односторонніх меж у цій точці нескінченний, тобто. рівняли. Тоді пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.

Отже, вертикальні асимптоти графіка функції слід шукати у точках розриву функції чи кінцях її області визначення (якщо це кінцеві числа).

Теорема 2 . Нехай функція визначена при значеннях аргументу, досить великих за абсолютною величиною, і існує кінцева межа функції . Тоді прямає горизонтальна асимптота графіка функції.

Може статися, що , а , Причому-кінцеві числа, тоді графік має дві різні горизонтальні асимптоти: лівосторонню і правосторонню. Якщо ж існує лише одна з кінцевих меж або, то графік має або одну лівосторонню, або одну правосторонню горизонтальну асимптоту.

Теорема 3 . Нехай функція визначена при значеннях аргументу, досить великих за абсолютною величиною, та існують кінцеві межі і . Тоді пряма є похилою асимптотою графіка функції.

Зауважимо, що якщо хоча б одна із зазначених меж нескінченна, то похилої асимптоти немає.

Похила асимптота так само, як і горизонтальна, може бути односторонньою.

приклад. Знайдіть усі асимптоти графіка функції.

Рішення.

Функція визначена за . Знайдемо її односторонні межі у точках.

Так як і (Дві інші односторонні межі можна вже не знаходити), то прямі є вертикальними асимптотами графіка функції.

Обчислимо

(застосовуємо правило Лопіталя) = .

Значить, пряма – горизонтальна асимптота.

Оскільки горизонтальна асимптота існує, то похилі не шукаємо (їх немає).

Відповідь: графік має дві вертикальні асимптоти та одну горизонтальну.

Загальні дослідження функціїy = f (x ).

Область визначення функції.Знайти її область визначення D(f). Якщо це не надто складно, то корисно знайти також область значень E(f). (Однак, у багатьох випадках, питання перебування E(f) відкладається до перебування екстремумів функції.)

Особливості функції.З'ясувати загальні властивості функції: парність, непарність, періодичність тощо. Не кожна функція має такі властивості, як парність чи непарність. Функція наперед не є ні парною, ні непарною, якщо її область визначення несиметрична щодо точки 0 на осі Ox. Так само, у будь-якої періодичної функції область визначення складається або зі всієї речової осі, або з об'єднання систем проміжків, що періодично повторюються.

Вертикальні асимптоти.З'ясувати, як поводиться функція при наближенні аргументу до граничних точок області визначення D(f), якщо такі граничні точки є. При цьому можуть бути вертикальні асимптоти. Якщо функція має такі точки розриву, в яких вона не визначена, ці точки теж перевірити на наявність вертикальних асимптот функції.

Похилі та горизонтальні асимптоти.Якщо область визначення D(f) включає в себе промені виду (a; +) або (-; b), то можна спробувати знайти похилі асимптоти (або горизонтальні асимптоти) при x + або x-відповідно, тобто. знайти limxf(x). Похилі асимптоти : y = kx + b,де k=limx+xf(x) та b=limx+(f(x)−x). Горизонтальні асимптоти : y = b,де limxf (x) = b.

Знаходження точок перетину графіка з осями. Знаходження точки перетину графіка з віссю Ой. Для цього потрібно обчислити значення f(0). Знайти також точки перетину графіка з віссю Ox, для чого знайти коріння рівняння f(x) = 0 (або переконатися у відсутності коріння). Рівняння часто вдається вирішити лише приблизно, але вже відділення коренів допомагає краще усвідомити будову графіка. Далі потрібно визначити знак функції на проміжках між корінням і точками розриву.

Знаходження точок перетину графіка з асимптотою.У деяких випадках потрібно знайти характерні точки графіка, які не були згадані в попередніх пунктах. Наприклад, якщо функція має похилу асимптоту, можна спробувати з'ясувати, чи немає точок перетину графіка з цією асимптотою.

Знаходження інтервалів опуклості та увігнутості. Це робиться за допомогою дослідження знаку другої похідної f(x). Знайти точки перегину на стиках інтервалів опуклості та увігнутості. Обчислити значення функції у точках перегину. Якщо функція має інші точки безперервності (крім точок перегину), у яких друга похідна дорівнює 0 чи немає, то цих точках також корисно обчислити значення функції. Знайшовши f(x), ми вирішуємо нерівність f(x)0. На кожному інтервалі рішення функція буде опуклою вниз. Вирішуючи зворотну нерівність f(x)0, ми знаходимо інтервали, у яких функція опукла вгору (тобто увігнута). Визначаємо точки перегину як точки, у яких функція змінює напрям опуклості (і безперервна).

Саме так формулюється типове завдання, і воно передбачає знаходження ВСІХ асимптот графіка (вертикальних, похилих/горизонтальних). Хоча, якщо бути більш точним у постановці питання - йдеться про дослідження на наявність асимптот (адже таких може зовсім не виявитися).

Почнемо з чогось простого:

Приклад 1

Рішення зручно розбити на два пункти:

1) Спочатку перевіряємо, чи є вертикальні асимптоти. Знаменник звертається в нуль при , і зрозуміло, що у цій точці функція терпить нескінченний розрив, А пряма, задана рівнянням є вертикальною асимптотою графіка функції . Але перш ніж оформити такий висновок, необхідно знайти односторонні межі:

Нагадую техніку обчислень, на якій я подібно зупинявся у статті безперервність функції. Точки розриву. У вираз під знаком межі замість «ікса» підставляємо . У чисельнику нічого цікавого:
.

А ось у знаменнику виходить нескінченно мале негативне число:
, Воно і визначає долю межі.

Лівостороння межа нескінченна, і, в принципі, вже можна винести вердикт про наявність вертикальної асимптоти. Але односторонні межі потрібні не тільки для цього – вони ДОПОМАГАЮТЬ ЗРОЗУМІТИ, ЯКрозташований графік функції та побудувати його КОРЕКТНО. Тому обов'язково обчислимо і правосторонню межу:

Висновок: односторонні межі нескінченні, отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції при .

Перша межа кінцевийОтже, необхідно «продовжити розмову» і знайти другу межу:

Друга межа теж кінцевий.

Таким чином, наша асимптота:

Висновок: Пряма, задана рівнянням є горизонтальною асимптотою графіка функції при .

Для знаходження горизонтальної асимптоти можна користуватися спрощеною формулою:

Якщо існує кінцева межа, то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції.

Неважко помітити, що чисельник та знаменник функції одного порядку зростання, а значить, межа буде кінцевою:

Відповідь:

За умовою не потрібно виконувати креслення, але якщо у розпалі дослідження функції, то на чернетці відразу ж робимо малюнок:

Виходячи з трьох знайдених меж, спробуйте самостійно прикинути, як може розташовуватися графік функції. Дуже важко? Знайдіть 5-6-7-8 пікселів і позначте їх на кресленні. Втім, графік цієї функції будується за допомогою перетворень графіка елементарної функції, і читачі, що уважно розглянули Приклад 21 зазначеної статті, легко здогадаються, що це за крива.

Приклад 2

Знайти асимптоти графіка функції

Це приклад самостійного рішення. Процес, нагадую, зручно розбити на два пункти – вертикальні асимптоти та похилі асимптоти. У прикладі рішення горизонтальна асимптота знайдена за спрощеною схемою.

На практиці найчастіше зустрічаються дробово-раціональні функції, і після тренування на гіперболах ускладнимо завдання:

Приклад 3

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: Раз, два і готове:

1) Вертикальні асимптоти знаходяться у точках нескінченного розривутому потрібно перевірити, чи звертається знаменник у нуль. Вирішимо квадратне рівняння :

Дискримінант позитивний, тому рівняння має два дійсних кореня, і роботи значно додається =)

З метою подальшого знаходження односторонніх меж квадратний тричлен зручно розкласти на множники:
(Для компактного запису «мінус» внесли в першу дужку). Для підстрахування здійснимо перевірку, подумки або на чернетці розкривши дужки.

Перепишемо функцію у вигляді

Знайдемо односторонні межі в точці:

І в точці:

Таким чином, прямі є вертикальними асимптотами графіка цієї функції.

2) Якщо подивитися на функцію , то цілком очевидно, що межа буде кінцевою і у нас горизонтальна асимптота. Покажемо її наявність коротким способом:

Таким чином, пряма (вісь абсцис) є горизонтальною асимптотою графіка цієї функції.

Відповідь:

Знайдені межі та асимптоти дають чимало інформації про графік функції. Постарайтеся подумки уявити креслення з урахуванням наступних фактів:

Схематично зобразіть вашу версію графіка на чернетці.

Звичайно, знайдені межі однозначно не визначають вид графіка, і можливо, ви припуститеся помилки, але сама вправа надасть неоціненну допомогу в ході повного дослідження функції. Правильна картинка – наприкінці уроку.

Приклад 4

Знайти асимптоти графіка функції

Приклад 5

Знайти асимптоти графіка функції

Це завдання самостійного рішення. Обидва графіки знову мають горизонтальні асимптоти, які негайно детектуються за такими ознаками: в Прикладі 4 порядок зростаннязнаменника більше, ніж порядок зростання чисельника, а Прикладі 5 чисельник і знаменник одного порядку зростання. У зразку рішення перша функція досліджена на наявність похилих асимптотів повним шляхом, а друга - через межу .

Горизонтальні асимптоти, на моє суб'єктивне враження, зустрічаються помітно частіше, ніж ті, які «по-справжньому нахилені». Довгоочікуваний загальний випадок:

Приклад 6

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: класика жанру:

1) Оскільки знаменник позитивний, то функція безперервнапо всій числовій прямий, і вертикальні асимптоти відсутні. …Чи це добре? Не те слово – чудово! Пункт №1 закрито.

2) Перевіримо наявність похилих асимптотів:

Перша межа кінцевийтому їдемо далі. Під час обчислення другої межі для усунення невизначеності «нескінченність мінус нескінченність»наводимо вираз до спільного знаменника:

Друга межа теж кінцевий, Отже, у графіка розглянутої функції існує похила асимптота:

Висновок:

Таким чином, при графік функції нескінченно близьконаближається до прямої:

Зауважте, що він перетинає свою похилу асимптоту на початку координат, і такі точки перетину цілком допустимі – важливо, щоб «все було нормально» на нескінченності (власне, мова про асимптоти і заходить саме там).

Приклад 7

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: коментувати особливо нічого, тому оформлю приблизний зразок чистового рішення:

1) Вертикальні асимптоти. Досліджуємо точку.

Пряма є вертикальною асимптотою для графіка при .

2) Похилі асимптоти:

Пряма є похилою асимптотою для графіка при .

Відповідь:

Знайдені односторонні межі та асимптоти з високою достовірністю дозволяють припустити, як виглядає графік цієї функції. Коректне креслення наприкінці уроку.

Приклад 8

Знайти асимптоти графіка функції

Це приклад самостійного рішення, для зручності обчислення деяких меж можна почленно розділити чисельник на знаменник. І знову, аналізуючи отримані результати, постарайтеся накреслити графік цієї функції.

Очевидно, що володарями «справжніх» похилих асимптот є графіки тих дрібно-раціональних функцій, у яких старший ступінь чисельника на одиницю більшестаршого ступеня знаменника. Якщо більше – похилої асимптоти вже не буде (наприклад, ).

Але в житті відбуваються й інші чудеса:

Приклад 9

Рішення: функція безперервнана всій числовій прямій, отже, вертикальні асимптоти відсутня. Але похилі цілком можуть бути. Перевіряємо:

Згадую, як ще у ВНЗ зіткнувся зі схожою функцією і просто не міг повірити, що в неї є похила асимптота. До тих пір, поки не обчислив другу межу:

Строго кажучи, тут дві невизначеності: і, але так чи інакше, потрібно використовувати метод рішення, який розібраний у Прикладах 5-6 статті про межі підвищеної складності. Помножуємо і ділимо на сполучене вираз, щоб скористатися формулою:

Відповідь:

Мабуть, найпопулярніша похила асимптота.

Досі нескінченності вдавалося «стригти під одну гребінку», але буває, що графік функції дві різніпохилі асимптоти при і при:

Приклад 10

Дослідити графік функції наявності асимптот

Рішення: підкорене вираз позитивно, значить, область визначення- будь-яке дійсно число, і вертикальних палиць не може бути.

Перевіримо, чи існують похилі асимптоти.

Якщо «ікс» прагне «мінус нескінченності», то:
(при внесенні "ікса" під квадратний корінь необхідно додати знак "мінус", щоб не втратити негативність знаменника)

Виглядає незвично, але тут невизначеність "нескінченність мінус нескінченність". Помножуємо чисельник і знаменник на поєднане вираз:

Таким чином, пряма є похилою асимптотою графіка при .

З «плюс нескінченністю» все тривіальніше:

А пряма – при.

Відповідь:

Якщо;
якщо .

Не втримаюсь від графічного зображення:


Це одна з гілок гіперболи .

Не рідкість, коли потенційна наявність асимптот спочатку обмежена. областю визначення функції:

Приклад 11

Дослідити графік функції наявності асимптот

Рішення: очевидно, що тому розглядаємо тільки праву напівплощину, де є графік функції.

1) Функція безперервнана інтервалі , отже, якщо вертикальна асимптота і є, це може бути лише вісь ординат. Досліджуємо поведінку функції поблизу точки справа:

Зверніть увагу, тут НІ невизначеності(на таких випадках акцентувалася увага на початку статті Методи розв'язання меж).

Таким чином, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою для графіка функції при .

2) Дослідження на похилу асимптоту можна провести за повною схемою, але у статті Правила Лопіталми з'ясували, що лінійна функція вищого порядку зростання, ніж логарифмічна, отже: (Див. Приклад 1 того ж уроку).

Висновок: вісь абсцис є горизонтальною асимптотою графіка функції при .

Відповідь:

Якщо;
якщо .

Креслення для наочності:

Цікаво, що в схожій функції асимптот немає взагалі (бажаючі можуть це перевірити).

Два заключні приклади для самостійного вивчення:

Приклад 12

Дослідити графік функції наявності асимптот

Для перевірки на вертикальні асимптоти спочатку потрібно знайти область визначення функції, а потім обчислити пару односторонніх меж у «підозрілих» точках. Похилі асимптоти теж не виключені, оскільки функція визначена на плюс і мінус нескінченності.

Приклад 13

Дослідити графік функції наявності асимптот

А тут можуть бути тільки похилі асимптоти, причому напрямки слід розглянути окремо.

Сподіваюся, ви знайшли необхідну асимптоту =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення :
. Знайдемо односторонні межі:

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції при .
2) Похилі асимптоти.

Пряма .
Відповідь:

Креслення до Прикладу 3:

Приклад 4:Рішення :
1) Вертикальні асимптоти. Функція зазнає нескінченного розриву в точці . Обчислимо односторонні межі:

Примітка: нескінченно мале негативне число парною рівне нескінченно малому позитивному числу: .

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.
2) Похилі асимптоти.


Пряма (вісь абсцис) є горизонтальною асимптотою графіка функції при .
Відповідь:

У багатьох випадках побудова графіка функції полегшується, якщо заздалегідь побудувати асимптоти кривої.

Визначення 1. Асимптотами називаються такі прямі , до яких скільки завгодно близько наближається графік функції, коли змінна прагне плюс нескінченності або мінус нескінченності.

Визначення 2. Пряма називається асимптотою графіка функції, якщо відстань від змінної точки Мграфіка функції до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки Мвід початку координат по будь-якій галузі графіка функції.

Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Вертикальні асимптоти

Визначення. Пряма x = aє вертикальною асимптотою графіка функції якщо точка x = aє точкою розриву другого родудля цієї функції.

З визначення випливає, що пряма x = aє вертикальною асимптотою графіка функції f(x), якщо виконується хоча б одна з умов:

При цьому функція f(x) може бути взагалі не визначена відповідно при x ≥ aі x ≤ a .

Примітка:

приклад 1.Графік функції y=ln xмає вертикальну асимптоту x= 0 (тобто збігається з віссю Ой) на межі області визначення, так як межа функції при прагненні іксу до нуля справа дорівнює мінус нескінченності:

(Мал. зверху).

самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 2.Знайти асимптоти графіка функції.

приклад 3.Знайти асимптоти графіка функції

Горизонтальні асимптоти

Якщо (межа функції при прагненні аргументу до плюс або мінус нескінченності дорівнює деякому значенню b), то y = b – горизонтальна асимптота кривий y = f(x ) (права при іксі, що прагнуть плюс нескінченності, ліва при иксі, що прагнуть мінус нескінченності, і двостороння, якщо межі при прагненні ікса до плюс або мінус нескінченності рівні).

Приклад 5.Графік функції

при a> 1 має ліву горизонтальну асимпототу y= 0 (тобто збігається з віссю Ox), так як межа функції при прагненні "ікса" до мінус нескінченності дорівнює нулю:

Правої горизонтальної асимптоти у кривої немає, оскільки межа функції при прагненні "ікса" до плюс нескінченності дорівнює нескінченності:

Похилі асимптоти

Вертикальні та горизонтальні асимптоти, які ми розглянули вище, паралельні осям координат, тому для їх побудови нам потрібно лише певне число - точка на осі абсцис або ординат, через яку проходить асимптота. Для похилої асимптоти необхідно більше – кутовий коефіцієнт k, Що показує кут нахилу прямий, і вільний член b, який показує, наскільки пряма знаходиться вище або нижче за початок координат. Не встигли забути аналітичну геометрію, та якщо з неї - рівняння прямої, помітять, що з похилої асимптоти знаходять рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Існування похилої асимптоти визначається наступною теоремою, на підставі якої і знаходять названі щойно коефіцієнти.

Теорема.Для того, щоб крива y = f(x) мала асимптоту y = kx + b необхідно і достатньо, щоб існували кінцеві межі kі bрозглянутої функції при прагненні змінної xдо плюс нескінченності та мінус нескінченності:

(1)

(2)

Знайдені в такий спосіб числа kі bі є коефіцієнтами похилої асимптоти.

У першому випадку (при прагненні ікса до плюс нескінченності) виходить права похила асимптота, у другому (при прагненні ікса до мінус нескінченності) – ліва. Права похила асимптота зображена на рис. знизу.

При знаходженні рівняння похилої асимптоти необхідно враховувати прагнення ікса і плюс нескінченності, і мінус нескінченності. У деяких функцій, наприклад, у дробно-раціональних, ці межі збігаються, однак у багатьох функцій ці межі різні і може існувати тільки один з них.

При збігу меж при іксі, що прагне до плюс нескінченності і мінус нескінченності пряма y = kx + b є двосторонньою асимптотою кривої.

Якщо хоча б одна з меж, що визначають асимптоту y = kx + b , немає, то графік функції немає похилої асимптоти (але може мати вертикальну).

Неважко бачити, що горизонтальна асимптота y = bє окремим випадком похилої y = kx + bпри k = 0 .

Тож якщо у якомусь напрямі крива має горизонтальну асимптоту, то цьому напрямі немає похилої, і навпаки.

Приклад 6.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення. Функція визначена на всій числовій прямій, крім x= 0, тобто.

Тому в точці розриву x= 0 крива може мати вертикальну асимптоту. Справді, межа функції при прагненні ікса до нуля зліва дорівнює плюс нескінченності:

Отже, x= 0 – вертикальна асимптота графіка цієї функції.

Горизонтальної асимптоти графік цієї функції не має, тому що межа функції при прагненні ікса до плюс нескінченності дорівнює плюс нескінченності:

З'ясуємо наявність похилої асимптоти:

Отримали кінцеві межі k= 2 і b= 0. Пряма y = 2xє двосторонньою похилою асимптотою графіка цієї функції (рис. усередині прикладу).

Приклад 7.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення. Функція має одну точку розриву x= −1. Обчислимо односторонні межі та визначимо вид розриву:

Висновок: x= −1 - точка розриву другого роду, тому пряма x= −1 є вертикальною асимптотою графіка цієї функції.

Шукаємо похилі асимптоти. Так як дана функція - дробово-раціональна, межі при і при збігатимуться. Таким чином, знаходимо коефіцієнти для підстановки в рівняння прямої - похилої асимптоти:

Підставляючи знайдені коефіцієнти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, отримуємо рівняння похилої асимптоти:

y = −3x + 5 .

На малюнку графік функції позначений бордовим кольором, а асимптоти – чорним.

Приклад 8.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення. Оскільки ця функція безперервна, її графік немає вертикальних асимптот. Шукаємо похилі асимптоти:

.

Таким чином, графік цієї функції має асимптоту. y= 0 при і немає асиптоти при .

Приклад 9.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення. Спочатку шукаємо вертикальні асимптоти. Для цього знайдемо область визначення функції. Функція визначена, коли виконується нерівність і у своїй . Знак змінної xзбігається зі знаком. Тому розглянемо еквівалентну нерівність. З цього отримуємо область визначення функції: . Вертикальна асимптота може бути лише на межі області визначення функції. Але x= 0 не може бути вертикальною асимптотою, тому що функція визначена при x = 0 .

Розглянемо правосторонню межу при (лівостороння межа не існує):

.

Крапка x= 2 – точка розриву другого роду, тому пряма x= 2 - вертикальна асимптота графіка цієї функції.

Шукаємо похилі асимптоти:

Отже, y = x+ 1 - похила асимптота графіка цієї функції при . Шукаємо похилу асимптоту при:

Отже, y = −x − 1 - похила асимптота при .

приклад 10.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення. Функція має область визначення . Оскільки вертикальна асимптота графіка цієї функції може бути тільки на межі області визначення, знайдемо односторонні межі функції при .

Асимптотою графіка функції y = f(x) називається пряма, що володіє тим властивістю, що відстань від точки (х, f(x)) до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

На малюнку 3.10. наведено графічні приклади вертикальною, горизонтальнихі похилійасимптот.

Знаходження асимптот графіка ґрунтується на наступних трьох теоремах.

Теорема про вертикальну асимптоту. Нехай функція у = f(х) визначена в деякій околиці точки x 0 (виключаючи, можливо, саму цю точку) і хоча б одна з односторонніх меж функції дорівнює нескінченності, тобто. Тоді пряма x = x0 є вертикальною асимптотою графіка функції у = f(х).

Очевидно, що пряма х = х 0 не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція безперервна в точці х 0 так як у цьому випадку . Отже, вертикальні асимптоти слід шукати в точках розриву функції або кінцях її області визначення.

Теорема про горизонтальну асимптоту. Нехай функція у = f(х) визначена за досить великих х і існує кінцева межа функції . Тоді пряма у = є горизонтальна асимптота графіка функції.

Зауваження. Якщо кінцева лише одна з меж, то функція має відповідно лівостороннюабо правостороннюгоризонтальну асимптоту.

У тому випадку, якщо функція може мати похилий асимптоту.

Теорема про похилий асимптот. Нехай функція у = f(х) визначена за досить великих х і існують кінцеві межі . Тоді пряма y=kx+b є похилою асимптотою графіка функції.

Без підтвердження.

Похила асимптота, як і, як і горизонтальна, то, можливо правосторонньої чи лівосторонньої, якщо у основі відповідних меж стоїть нескінченність певного знака.

Дослідження функцій та побудова їх графіків зазвичай включає такі етапи:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність-непарність.

3. Знайти вертикальні асимптоти, дослідивши точки розриву та поведінку функції на межах області визначення, якщо вони кінцеві.

4. Знайти горизонтальні або похилі асимптоти, дослідивши поведінку функції у нескінченності.

5. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції.

6. Знайти інтервали опуклості функції та точки перегину.

7. Знайти точки перетину з осями координат та, можливо, деякі додаткові точки, що уточнюють графік.

Диференціал функції

Можна довести, що й функція має за деякої базі межа, рівний кінцевому числу, її можна у вигляді суми цього числа і нескінченно малої величини за тієї ж базі (і навпаки): .

Застосуємо це теорему до функції, що диференціюється: .

Отже, збільшення функції Dу і двох доданків: 1) лінійного щодо Dх, тобто. f `(x) Dх; 2) нелінійного щодо Dх, тобто. a(Dx)Dх. При цьому, оскільки , Це другий доданок є нескінченно малу більш високого порядку, ніж Dх (при прагненні Dх до нуля воно прагне до нуля ще швидше).

ДиференціаломФункції називається головна, лінійна щодо Dх частина збільшення функції, що дорівнює добутку похідної на збільшення незалежної змінної dy = f `(x)Dх.

Знайдемо диференціал функції у = х.

Оскільки dy = f`(x)Dх = x`Dх = Dх, то dx = Dх, тобто. диференціал незалежної змінної дорівнює збільшенню цієї змінної.

Тому формулу для диференціала функції можна записати у вигляді dy = f `(x) dх. Саме тому одне з позначень похідної є дріб dy/dх.

Геометричний зміст диференціала проілюстровано
малюнком 3.11. Візьмемо на графіку функції y = f(x) довільну точку М(х, у). Дамо аргументу х збільшення Dх. Тоді функція y = f(x) отримає збільшення Dy = f(x + Dх) - f(x). Проведемо дотичну до графіку функції точці М, яка утворює кут a з позитивним напрямом осі абсцис, тобто. f `(x) = tg a. З прямокутного трикутника MKN
KN = MN * tg a = Dх * tg a = f `(x) Dх = dy.

Таким чином, диференціал функції є збільшення ординати дотичної, проведеної до графіка функції в даній точці, коли х отримує збільшення Dх.

Властивості диференціала переважно аналогічні властивостям похідної:

3. d(u±v) = du±dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Однак, існує важлива властивість диференціала функції, якою не має її похідна – це інваріантність форми диференціалу.

З визначення диференціала для функції y = f (x) диференціал dy = f `(x) dх. Якщо ця функція є складною, тобто. y = f(u), де u = j(х), то y = f і f`(x) = f`(u)*u`. Тоді dy = f`(u)*u`dх. Але для функції
u = j(х) диференціал du = u`dх. Звідси dy=f`(u)*du.

Порівнюючи між собою рівності dy = f`(x)dх та dy = f`(u)*du, переконаємося, що формула диференціала не змінюється, якщо замість функції від незалежної змінної х розглядати функцію від залежної змінної u. Ця властивість диференціала і отримала назву інваріантності (тобто незмінності) форми (або формули) диференціала.

Однак у цих двох формулах все-таки є відмінність: у першій їх диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної, тобто. dx = Dx, а другий диференціал функції du є лише лінійна частина збільшення цієї функції Du і тільки при малих Dх du » Du.