Градусна міра виміру кутів. Градусний захід кута

Як знайти градусну міру кута?

Для багатьох у школі геометрія – це справжнє випробування. Однією з основних геометричних фігур є кут. Під цим поняттям мають на увазі два промені, які беруть початок в одній точці. Для вимірювання значення (величини) кута використовують градуси чи радіани. Як знайти градусну міру кута, ви дізнаєтесь із нашої статті.

Види кутів

Допустимо, у нас є кут. Якщо ми його розкладемо в пряму, тоді його величина дорівнюватиме 180 градусів. Такий кут називають розгорнутим, а одним градусом вважають 1/180 його частину.

Крім розгорнутого кута розрізняють ще гострі (менше 90 градусів), тупі (більше 90 градусів) та прямі (рівні 90 градусам) кути. Ці терміни використовують для характеристики величини градусної міри кута.

Вимірювання кута

Величину кута вимірюють за допомогою транспортира. Це спеціальний прилад, на якому півколо вже розбито на 180 частин. Додайте транспортир до кута так, щоб одна зі сторін кута збігалася з нижньою частиною транспортира. Другий промінь має перетинати дугу транспортира. Якщо цього не відбувається, приберіть транспортир та за допомогою лінійки подовжіть промінь. Якщо кут "відкривається" праворуч від вершини, зчитують його значення за верхньою шкалою, якщо ліворуч - нижньою.

У системі СІ прийнято вимірювати величину кута в радіанах, а чи не в градусах. У розгорнутому вугіллі міститься всього 3,14 радіана, тому ця величина незручна і практично майже не застосовується. Саме тому потрібно знати, як перевести радіани в градуси. І тому існує формула:

Градуси = радіани/π х 180

Наприклад, величина кута дорівнює 1,6 радіану. Перекладаємо в градуси: 1,6 / 3,14 * 180 = 92

Властивості кутів

Тепер ви знаєте, як вимірювати та перераховувати градусні заходи кутів. Але для вирішення завдань потрібно знати властивості кутів. На сьогоднішній день сформульовані такі аксіоми:

Будь-який кут можна виразити в градусній мірі, більшій за нуль. Розмір розгорнутого кута - 360.
Якщо кут складається з кількох кутів, його градусна міра дорівнює сумі всіх кутів.
У задану напівплощину від будь-якого променя можна побудувати кут заданої величини, менший за 180 градусів, причому лише один.
Величини рівних кутів однакові.
Щоб скласти два кути, треба скласти їх величини.

Розуміння цих правил та вміння вимірювати кути – ключ до успішного вивчення геометрії.

Градусний захід кута. Радіанний захід кута. Переведення градусів у радіани та назад.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми опанували відлік кутів на тригонометричному колі. Дізналися, як відраховувати позитивні та негативні кути. Усвідомили, як намалювати кут понад 360 градусів. Настав час розібратися з виміром кутів. Особливо з числом "Пі", яке так і норовить заплутати нас у хитрих завданнях, та...

Стандартні завдання тригонометрії з числом "Пі" вирішуються непогано. Зорова пам'ять рятує. А ось будь-яке відхилення від шаблону – валить наповал! Щоб не впасти - розумітитреба. Що ми з успіхом зараз і зробимо. У сенсі – все зрозуміємо!

Отже, у чому вважаються кути? У шкільному курсі тригонометрії вживаються два заходи: градусний захід кутаі радіальний захід кута. Розберемо ці заходи. Без цього у тригонометрії – нікуди.

Градусний захід кута.

До градусів ми якось звикли. Геометрію сяк-так проходили... Та й у житті частенько зустрічаємося з фразою "повернув на 180 градусів", наприклад. Градус, коротше, штука проста...

Так? Дайте відповідь мені тоді, що таке градус? Що, не виходить із ходу? Отож...

Градуси придумали у Стародавньому Вавилоні. Давненько це було... Віків 40 тому... І придумали просто. Взяли та розбили коло на 360 рівних частин. 1 градус - це 1/360 частина кола. І все. Могли розбити на 100 частин. Або на 1000. Але розбили на 360. До речі, чому саме на 360? Чим 360 краще за 100? 100, начебто якось рівніше... Спробуйте відповісти на це питання. Чи слабко проти Стародавнього Вавилону?

Десь у той же час, у Стародавньому Єгипті мучилися іншим питанням. У скільки разів довжина кола більша за довжину її діаметра? І так вимірювали, і так... Все виходило трохи більше трьох. Але якось кудлато виходило, нерівно... Але вони, єгиптяни не винні. Після них ще століть 35 мучилися. Поки що остаточно не довели, що як би дрібно не нарізати коло на рівні шматочки, з таких шматочків скласти рівнодовжину діаметра не можна... У принципі, не можна. Ну, скільки разів коло більше діаметра встановили, звичайно. Приблизно. У 3,1415926... разів.

Це і є число "Пі". Ось уже кудлате, так кудлате. Після коми - нескінченна кількість цифр без жодного порядку... Такі числа називаються ірраціональними. Це, до речі, і означає, що з рівних шматочків кола діаметр рівноне скласти. Ніколи.

Для практичного застосування прийнято запам'ятовувати лише дві цифри після коми. Запам'ятовуємо:

Раз ми зрозуміли, що довжина кола більше діаметра в "Пі" раз, має сенс запам'ятати формулу довжини кола:

Де L- Довжина кола, а d- Її діаметр.

У геометрії знадобиться.

Для загальної освіти додам, що число "Пі" сидить не тільки в геометрії ... У різних розділах математики, а особливо в теорії ймовірності, це число виникає постійно! Само собою. Поза нашими бажаннями. Ось так.

Але повернемося до градусів. Ви зрозуміли, чому у Стародавньому Вавилоні коло розбили на 360 рівних частин? А чи не на 100, наприклад? Ні? Ну добре. Висловлю версію. У стародавніх вавилонян не спитаєш... Для будівництва, чи, скажімо, астрономії, коло зручно ділити на рівні частини. А тепер прикиньте, на які цифри ділиться націло 100, і на які – 360? І в якому варіанті цих дільників націло- Більше? Людям такий поділ дуже зручний. Але...

Як з'ясувалося набагато пізніше Стародавнього Вавилону, не всім подобаються градуси. Вищій математиці вони не подобаються ... Вища математика - жінка серйозна, за законами природи влаштована. І ця жінка заявляє: "Ви сьогодні на 360 частин коло розбили, завтра на 100 розіб'єте, післязавтра на 245... І що мені робити? Ні вже..." Довелося послухатися. Природу не обдуриш...

Довелося запровадити міру кута, що не залежить від людських вигадок. Знайомтесь - радіан!

Радіанний захід кута.

Що таке радіан? В основі визначення радіана – все одно коло. Кут в 1 радіан, це кут, який вирізує з кола дугу, довжина якої ( L) дорівнює довжині радіусу ( R). Дивимося картинки.

Маленький такий кут, майже немає його... Наводимо курсор на картинку (або торкнемося картинки на планшеті) і бачимо приблизно один радіан. L = R

Відчуваєте різницю?

Один радіан набагато більший за один градус. А скільки разів?

Дивимося таку картинку. На якій я намалював півколо. Розгорнутий кут розміром, звичайно, 180°.

А тепер я наріжу це півколо радіанами! Наводимо курсор на картинку і бачимо, що 180° укладається 3 з хвостиком радіана.

Хто вгадає, чому дорівнює цей хвостик!

Так! Цей хвостик - 0,1415926.... Здрастуйте, число "Пі", ми тебе ще не забули!

Справді, в 180 градусах укладається 3,1415926... радіан. Як ви самі розумієте, постійно писати 3,1415926... незручно. Тому замість цього нескінченного числа завжди пишуть просто:

А ось в Інтернеті число

писати незручно... Тому я в тексті пишу його на ім'я - "Пі". Не заплутаєтеся, мабуть?

Ось тепер цілком осмислено можна записати наближену рівність:

Або точну рівність:

Визначимо, скільки градусів в одному радіані. Як? Легко! Якщо в 3,14 радіанах 180 градусів, то в 1 радіані в 3,14 разів менше! Тобто ми ділимо перше рівняння (формула - це теж рівняння!) на 3,14:

Це співвідношення корисно запам'ятати В одному радіані приблизно 60 °. У тригонометрії дуже часто доводиться прикидати, оцінювати ситуацію. Ось тут це знання дуже допомагає.

Але головне вміння цієї теми – переведення градусів у радіани і назад.

Якщо кут заданий у радіанах із числом "Пі", все дуже просто. Ми знаємо, що "Пі" радіан = 180 °. Ось і підставляємо замість "Пі" радіан – 180°. Отримуємо кут у градусах. Скорочуємо, що скорочується, і відповідь готова. Наприклад, нам потрібно з'ясувати, скільки градусіву куті "Пі"/2 радіан? Ось і пишемо:

Або, більш екзотичний вираз:

Чи легко, так?

Зворотний переклад трохи складніший. Але не дуже. Якщо кут дано в градусах, ми повинні зрозуміти, чому дорівнює один градус у радіанах, і помножити це число на кількість градусів. Чому дорівнює 1° у радіанах?

Дивимося на формулу і розуміємо, що якщо 180 ° = "Пі" радіан, то 1 ° в 180 разів менше. Або, іншими словами, ділимо рівняння (формула - це теж рівняння!) на 180. Уявляти "Пі" як 3,14 ніякої потреби немає, його все одно завжди буквою пишуть. Отримуємо, що один градус дорівнює:

От і все. Помножуємо число градусів на це значення та отримуємо кут у радіанах. Наприклад:

Або, аналогічно:

Як бачите, у неспішній бесіді з ліричними відступами з'ясувалося, що радіани – це дуже просто. Та й переклад без проблем... І "Пі" - цілком толерантна штука... То звідки плутанина!?

Незабаром таємницю. Справа в тому, що в тригонометричних функціях значок градусів пишеться. Завжди. Наприклад, sin35 °. Це синус 35 градусів . А значок радіанів ( радий) – не пишеться! Він мається на увазі. Чи ліньки математиків охопила, чи ще що... Але вирішили не писати. Якщо всередині синуса – котангенса немає жодних значків, то кут – у радіанах ! Наприклад, cos3 - це косинус трьох радіанів .

Це і призводить до незрозумілих... Людина бачить "Пі" і вважає, що це 180°. Завжди і скрізь. Це, до речі, спрацьовує. До певного часу, поки приклади - стандартні. Але "Пі" – це число! Число 3,14, а ніякі не градуси! Це "Пі" радіан = 180 °!

Ще раз: "Пі" - це число! 3,14. Ірраціональне, але число. Таке саме, як 5 або 8. Можна, наприклад, зробити приблизно "Пі" кроків. Три кроки і ще трішки. Або купити "Пі" кілограмів цукерок. Якщо продавець освічений попадеться...

"Пі" – це число! Що, дістав я вас цією фразою? Ви вже давно зрозуміли? Ну добре. Перевіримо. Скажіть, яке число більше?

Або що менше?

Це із серії трохи нестандартних питань, які можуть і у ступор увігнати...

Якщо ви теж у ступор впали, згадуємо заклинання: "Пі" – це число! 3,14. У першому синусі чітко зазначено, що кут - у градусах! Отже, замінювати "Пі" на 180 ° - не можна! "Пі" градусів - це приблизно 3,14 °. Отже, можна записати:

У другому синусі позначень жодних немає. Значить, там - радіани! Ось тут заміна "Пі" на 180 ° цілком прокотить. Перекладаємо радіани в градуси, як написано вище, отримуємо:

Залишилося порівняти ці два синуси. Що. забули, як? За допомогою тригонометричного кола, звичайно! Малюємо коло, малюємо зразкові кути в 60 ° і 1,05 °. Дивимося, які синуси у цих кутів. Коротше, все, як наприкінці теми про тригонометричне коло розписано. На колі (навіть самому кривому!) буде чітко видно, що sin60°значно більше, ніж sin1,05°.

Абсолютно аналогічно зробимо і з косинусами. На колі намалюємо кути приблизно 4 градусита 4 радіана(Не забули, чому приблизно дорівнює 1 радіан?). Коло все й скаже! Звичайно, cos4 менше cos4 °.

Потренуємося у поводженні з заходами кута.

Переведіть ці кути із градусної міри в радіальну:

360 °; 30 °; 90 °; 270 °; 45 °; 0 °; 180 °; 60°

У вас мають вийти такі значення в радіанах (в іншому порядку!)

0

Я, між іншим, спеціально виділив відповіді у два рядки. Ану, зрозуміємо, що за кути в першому рядку? Хоч у градусах, хоч у радіанах?

Так! Це осі системи координат! Якщо дивитися по тригонометричному колу, то рухома сторона кута при цих значеннях точно потрапляє на осі. Ці значення слід знати залізно. І кут 0 градусів (0 радіан) я відзначив недаремно. А то деякі цей кут ніяк на колі знайти не можуть... І, відповідно, у тригонометричних функціях нуля плутаються... Інша річ, що положення рухомої сторони в нулі градусів збігається зі становищем у 360°, так збіги на колі - суцільно. поряд.

У другому рядку - теж кути спеціальні... Це 30 °, 45 ° і 60 °. І що у них такого спеціального? Особливо – нічого. Єдина відмінність цих кутів від решти - саме про ці кути ви повинні знати всі. І де вони розташовуються, і які у цих кутів тригонометричні функції. Скажімо, значення sin100°ви знати не повинні. А sin45°- Будьте люб'язні! Це обов'язкові знання, без яких у тригонометрії нема чого робити... Але про це докладніше - у наступному уроці.

А поки що продовжимо тренування. Переведіть ці кути з радіанної міри в градусну:

У вас повинні вийти такі результати (безладно):

210 °; 150 °; 135 °; 120 °; 330 °; 315 °; 300 °; 240 °; 225 °.

Вийшло? Тоді можна вважати, що переведення градусів у радіани і назад- вже не ваша проблема.) Але переклад кутів - це перший крок до осягнення тригонометрії. Там же ще із синусами-косинусами працювати треба. Та й із тангенсами, котангенсами теж...

Другий потужний крок – це вміння визначати положення будь-якого кута на тригонометричному колі.І у градусах, і в радіанах. Про це вміння я буду вам у всій тригонометрії занудно натякати, так...) Якщо ви все знаєте (або думаєте, що все знаєте) про тригонометричне коло, і відлік кутів на тригонометричному колі, можете перевіритися. Розв'яжіть ці нескладні завдання:

1. У яку чверть потрапляють кути:

45 °, 175 °, 355 °, 91 °, 355 °?

Чи легко? Продовжуємо:

2. У яку чверть потрапляють кути:

402 °, 535 °, 3000 °, -45 °, -325 °, -3000 °?

Теж без проблем? Ну, дивіться...)

3. Чи зможете розмістити по чвертях кути:

Чи змогли? Ну ви даєте..)

4. На які осі потрапить куточок:

та куточок:

Теж легко? Хм...)

5. У яку чверть потрапляють кути:

І це вийшло!? Ну, тоді я прямо не знаю...)

6. Визначити, в яку чверть попадають кути:

1, 2, 3 та 20 радіанів.

Відповідь дам тільки на останнє запитання (він трохи хитрий) останнього завдання. Кут у 20 радіанів потрапить у першу чверть.

Інші відповіді не дам не з жадібності.) Просто, якщо ви не вирішиличогось, сумніваєтесяв результаті, або на завдання №4 витратили більше 10 секунд,ви слабо орієнтуєтесь у колі. Це буде вашою проблемою у всій тригонометрії. Краще її (проблеми, а не тригонометрії!)) позбутися відразу. Це можна зробити у темі: Практична робота з тригонометричним колом у розділі 555.

Там розказано, як просто та правильно вирішувати такі завдання. Та й ці завдання вирішені, зрозуміло. І четверте завдання вирішено за 10 секунд. Так вирішено, що будь-хто зможе!

Якщо ж ви абсолютно впевнені у своїх відповідях і вас не цікавлять прості та безвідмовні способи роботи з радіанами – можете не відвідувати 555. Не наполягаю.)

Хороше розуміння - досить вагома причина, щоб рухатися далі!)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Кутом називається фігура, яка складається з точки - вершини кута та двох різних напівпрямих, що виходять з цієї точки, - сторін кута (рис. 14). Якщо сторони кута є додатковими променями, то кут називається розгорнутим.

Кут позначається або зазначенням його вершини, або зазначенням його сторін, або зазначенням трьох точок: вершини та двох точок на сторонах кута. Слово «кут» іноді заміняють

символом Кут малюнку 14 можна позначити трьома способами:

Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута якщо він виходить з його вершини і перетинає якийсь відрізок з кінцями на сторонах кута.

На малюнку 15 промінь проходить між сторонами кута так як він перетинає відрізок

У разі розгорнутого кута будь-який промінь, що виходить з його вершини і відрізняється від його сторін, проходить між сторонами кута.

Кути вимірюються у градусах. Якщо взяти розгорнутий кут і розділити його на 180 рівних кутів, то градусна міра кожного з цих кутів називається градусом.

Основні властивості вимірювання кутів виражені в наступній аксіомі:

Кожен кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Це означає, що якщо промінь з проходить між сторонами кута, то кут дорівнює сумі кутів.

Градусний захід кута знаходиться за допомогою транспортира.

Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом. Кут, менший за 90°, називається гострим кутом. Кут, більший за 90° і менший за 180°, називається тупим.

Сформулюємо основну властивість відкладання кутів.

Від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим 180°, і тільки один.

Розглянемо напівпряму а. Продовжимо її за початкову точку А. Отримана пряма розбиває площину на дві напівплощини. На малюнку 16 показано, як за допомогою транспортира відкласти від напівпрямої а у верхню напівплощину кут з даною градусною мірою 60°.

Т. 1. 2. Якщо від даної напівпрямої відкласти в одну напівплощину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної напівпрямої, проходить між сторонами більшого кута.

Нехай - кути, відкладені від даної напівпрямої, а в одну напівплощину, і нехай кут менше кута. У теоремі 1. 2 стверджується, що промінь проходить між сторонами кута (рис. 17).

Бісектриса кута називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між сторонами і ділить кут навпіл. На малюнку 18 промінь - бісектриса кута

У геометрії існує поняття плоского кута. Плоським кутом називається частина площини, обмежена двома різними променями, що виходять із однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута. Існують два плоскі кути з цими сторонами. Вони називаються додатковими. На малюнку 19 заштрихований один із плоских кутів зі сторонами а і

Математика, геометрія – багатьом ці науки, як, втім, більшість інших точних, даються вкрай важко. Людям важко розібратися у формулах та дивній термінології. Що ховається під цим дивним поняттям?

Визначення

Для початку потрібно розглянути просто міру кута. У цьому допоможе зображення променя та прямої лінії. Спочатку необхідно провести, наприклад, горизонтальну пряму лінію. Потім від першої точки проводиться промінь, не паралельний прямий. Таким чином, між прямим і променем з'являється деяка відстань, невеликий кут. Міра кута – це розмір цього повороту променя.

Це поняття позначає певне цифрове значення, яке буде більшим за нуль. Воно виявляється у градусах, і навіть його складових частинах, тобто хвилинах і секундах. Та кількість градусів, яка поміститься в кут між променем і прямим, і буде градусним заходом.

Властивості кутів

Абсолютно кожен кут матиме певний градусний захід.
Якщо він повністю розгорнутий, то число дорівнюватиме 180 градусів.
Для знаходження градусного заходу розглядається сума всіх кутів, які розбив промінь.
За допомогою будь-якого променя можна створити напівплощину, в якій реально зробити кут. Він матиме градусний захід, величина якого буде менше 180, і такий кут може бути лише один.

Як дізнатися міру кута?

Як правило, мінімальним градусним заходом є 1 градус, який складе 1/180 від розгорнутого кута. Однак іноді не можна отримати такої чіткої цифри. У цих випадках застосовують секунди та хвилини.

При знаходженні значення можна перевести в градуси, в такий спосіб вийде частка градуса. Іноді застосовують дробові числа на кшталт 80,7 градуса.

Також важливо запам'ятати ключові величини. Прямий кут завжди дорівнюватиме 90 градусам. Якщо міра більша, то вона вважатиметься тупою, а якщо меншою, то гострим.

Кути вимірюють у різних одиницях вимірах. Це можуть бути градуси, радіани. Найчастіше кути вимірюють у градусах. (Не слід плутати цей градус із мірою вимірювання температури, де також використовується слово «градус»).

1 градус - це кут, що дорівнює 1/180 частини розгорнутого кута. Іншими словами, якщо взяти розгорнутий кут і поділити його на 180 рівних між собою частин-кутів, то кожен такий маленький кут дорівнюватиме 1 градусу. Розмір всіх інших кутів визначається тим, скільки таких маленьких кутів можна всередині кута укласти.

Позначається градус знаком °. Це не нуль і не буква О. Це такий спеціальний символ, введений для позначення градуса.

Таким чином, розгорнутий кут дорівнює 180 °, прямий кут дорівнює 90 °, гострі кути мають розмір менший, ніж 90 °, а тупі - більший, ніж 90 °.

У метричній системою для вимірювання відстані використовується метр. Однак використовуються і більші та дрібніші одиниці. Наприклад, сантиметр, міліметр, кілометр, дециметр. За аналогією з цим у градусній мірі кутів також виділяють хвилини та секунди.

Одна градусна хвилина дорівнює 1/60 градусів. Позначається вона одним знаком”.

Одна градусна секунда дорівнює 1/60 хвилин або 1/3600 градуса. Позначається секунда двома знаками ", тобто "".

У шкільній геометрії градусні хвилини і секунди використовуються рідко, проте треба вміти розуміти, наприклад, такий запис: 35 ° 21 "45"". Це означає, що кут дорівнює 35 градусів + 21 хвилина + 45 секунд.

З іншого боку, якщо кут не можна виміряти лише в цілих градусах, то не обов'язково вводити хвилини і секунди. Достатньо використовувати дробові значення градуса. Наприклад, 96,5 °.

Зрозуміло, що хвилини та секунди можна перевести в градуси, висловивши їх у частках градуса. Наприклад, 30" дорівнює (30/60) ° або 0,5 °. А 0,3 ° дорівнює (0,3 * 60)" або 18". Таким чином, використання хвилин і секунд - це лише питання зручності.