Графічний спосіб розв'язання рівнянь параметрами. Рівняння з параметрами: графічний метод розв'язання

До завданням із параметромможна віднести, наприклад, пошук розв'язання лінійних і квадратних рівнянь у загальному вигляді, дослідження рівняння на кількість наявних коренів залежно від значення параметра.

Не наводячи докладних визначень, як приклади розглянемо такі рівняння:

у = kx, де x, y – змінні, k – параметр;

у = kx + b, де x, y – змінні, k та b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0 де x - змінні, а, b і с - параметр.

Вирішити рівняння (нерівність, систему) з параметром це означає, як правило, вирішити безліч рівнянь (нерівностей, систем).

Завдання з параметром можна умовно поділити на два типи:

а)в умові сказано: розв'язати рівняння (нерівність, систему) – це означає, всім значень параметра знайти рішення. Якщо хоч один випадок залишився недослідженим, визнати таке рішення задовільним не можна.

б)потрібно вказати можливі значення параметра, при яких рівняння (нерівність, система) має певні властивості. Наприклад, має одне рішення, не має рішень, має рішення, що належать до проміжку і т. д. У таких завданнях необхідно чітко вказати, при якому значенні параметра необхідна умова виконується.

Параметр, будучи невідомим фіксованим числом, має особливу подвійність. Насамперед, необхідно враховувати, що передбачувана популярність свідчить, що параметр необхідно сприймати як число. По-друге, свобода поводження з параметром обмежується його невідомістю. Так, наприклад, операції поділу на вираз, в якому є параметр або вилучення кореня парного ступеня з подібного виразу вимагають попередніх досліджень. Тому потрібна акуратність у поводженні з параметром.

Наприклад, щоб порівняти два числа -6а та 3а, необхідно розглянути три випадки:

1) -6a буде більшим за 3a, якщо а від'ємне число;

2) -6а = 3а у разі, коли а = 0;

3) -6а буде менше, ніж 3а, якщо а число позитивне 0.

Рішення і буде відповіддю.

Нехай дано рівняння kx = b. Це рівняння - короткий запис нескінченної множини рівнянь з однією змінною.

При розв'язанні таких рівнянь можуть бути випадки:

1. Нехай k – будь-яке дійсне число не дорівнює нулю і b – будь-яке число R, тоді x = b/k.

2. Нехай k = 0 і b ≠ 0, вихідне рівняння набуде вигляду 0 · x = b. Очевидно, що такого рівняння рішень немає.

3. Нехай k і b числа, що дорівнює нулю, тоді маємо рівність 0 · x = 0. Його рішення – будь-яке дійсне число.

Алгоритм розв'язання такого типу рівнянь:

1. Визначити "контрольні" значення параметра.

2. Вирішити вихідне рівняння щодо х при тих значеннях параметра, визначених у першому пункті.

3. Вирішити вихідне рівняння щодо х при значеннях параметра, що відрізняються від обраних у першому пункті.

4. Записати відповідь можна у такому вигляді:

1) при … (значення параметра), рівняння має коріння …;

2) при … (значення параметра), у рівнянні коріння немає.

приклад 1.

Вирішити рівняння параметром |6 – x| = a.

Рішення.

Легко бачити тут a ≥ 0.

За правилом модуля 6 – x = ±a, виразимо х:

Відповідь: х = 6 ± a де а ≥ 0.

приклад 2.

Розв'язати рівняння a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 щодо змінної х.

Рішення.

Розкриємо дужки: aх - а + 2х - 2 = 0

Запишемо рівняння у стандартному вигляді: х(а + 2) = а + 2.

Якщо вираз а + 2 не нуль, тобто якщо а ≠ -2, маємо рішення х = (а + 2) / (а + 2), тобто. х = 1.

Якщо а + 2 дорівнює нулю, тобто. а = -2, маємо правильну рівність 0 · x = 0, тому х – будь-яке дійсне число.

Відповідь: х = 1 при а ≠ -2 та х € R при а = -2.

приклад 3.

Розв'язати рівняння x/a + 1 = а + х щодо змінної х.

Рішення.

Якщо а = 0, то перетворимо рівняння до виду а + х = а 2 + ах або (а - 1) х = -а (а - 1). Останнє рівняння при а = 1 має вигляд 0 x = 0, отже, х - будь-яке число.

Якщо а ≠ 1, то останнє рівняння набуде вигляду х = -а.

Дане рішення можна проілюструвати на координатній прямій (Рис. 1)

Відповідь: немає рішень при а = 0; х – будь-яке число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 та а ≠ 1.

Графічний метод

Розглянемо ще один спосіб розв'язання рівнянь із параметром – графічний. Цей метод застосовується досить часто.

приклад 4.

Скільки коренів залежно від параметра має рівняння ||x| - 2 | = a?

Рішення.

Для вирішення графічним методом будуємо графіки функцій y = | | x | - 2 | та y = a (Рис. 2).

На кресленні наочно видно можливі випадки розташування прямої y = a кількість коренів у кожному їх.

Відповідь: коріння у рівняння не буде, якщо а< 0; два корня будет в случае, если a >2 та а = 0; три корені рівняння матиме у разі а = 2; чотири корені – при 0< a < 2.

Приклад 5.

При якому рівняння 2|x| + | x - 1 | = a має єдиний корінь?

Рішення.

Зобразимо графіки функцій y = 2|x| + | x - 1 | та y = a. Для y = 2 | x | + |x – 1|, розкривши модулі шляхом проміжків, отримаємо:

(-3x + 1, при x< 0,

y = (x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, за x > 1.

на малюнку 3добре видно, що єдиний корінь рівняння матиме лише за а = 1.

Відповідь: а = 1.

Приклад 6.

Визначити число розв'язків рівняння | x + 1 | + | x + 2 | = a залежно від параметра?

Рішення.

Графік функції y = | x + 1 | + | x + 2 | буде ламаною. Її вершини будуть розташовуватися в точках (-2; 1) та (-1; 1) (Малюнок 4).

Відповідь: якщо параметр a буде менше одиниці, то коріння у рівняння не буде; якщо а = 1, то рішення рівняння є нескінченна множина чисел з відрізка [-2; -1]; якщо значення параметра а будуть більше одного, то рівняння матиме два корені.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння з параметром?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Отделкіна Ольга учениця 9 класу

Ця тема є невід'ємною частиною вивчення шкільного курсу алгебри. Мета даної роботи глибшого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко призводить до відповіді. Цей реферат допоможе зрозуміти іншим учням застосування графічного методу розв'язання рівнянь з параметрами, дізнатися про походження, розвиток цього методу.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Введення2

Розділ 1. Рівняння з параметром

Історія виникнення рівнянь із параметром3

Теорема Вієта4

Основні поняття5

Глава 2. Види рівнянь із параметрами.

Лінійні рівняння6

Квадратні рівняння…………………………………………....................7

Глава 3. Методи розв'язання рівнянь із параметром

Аналітичний метод….……………………………………………….......8

графічний метод. Історія виникнення….…………………………9

Алгоритм рішення графічним методом..…………….....…………….10

Рішення рівняння з модулем……………...…………………………….11

Практична частина……………………...………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………….19

Список литературы………………………………………………………………20

Вступ.

Я вибрала цю тему, оскільки вона є невід'ємною частиною вивчення шкільного курсу алгебри. Готуючи цю роботу, я ставила за мету більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко приводить до відповіді. Мій реферат допоможе зрозуміти іншим учням застосування графічного методу вирішення рівнянь з параметрами, дізнатися про походження, розвиток цього методу.

У сучасному житті вивчення багатьох фізичних процесів та геометричних закономірностей часто призводить до вирішення задач з параметрами.

Для вирішення таких рівнянь графічний метод є дуже ефективним, коли потрібно встановити скільки коренів має рівняння в залежності від параметра α.

Завдання з параметрами представляють суто математичний інтерес, сприяють інтелектуальному розвитку учнів, є хорошим матеріалом для відпрацювання навичок. Вони мають діагностичну цінність, оскільки за допомогою них можна перевірити знання основних розділів математики, рівень математичного та логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльності та перспективні можливості успішного оволодіння курсом математики у вищих навчальних закладах.

У моєму рефераті розглянуті типи рівнянь, що часто зустрічаються, і, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів, аджерівняння з параметрамипо праву вважаються одними із найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання потрапляють до списку завдань на єдиному державному іспиті ЄДІ.

Історія виникнення рівнянь із параметром

Завдання рівняння з параметром зустрічалися вже у астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський вчений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

αх 2 + bx = c, α>0

У рівнянні коефіцієнти, крім параметраможуть бути і негативними.

Квадратні рівняння у ал-Хорезмі.

В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь із параметром а. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати дорівнюють корінням», тобто αx 2 = bx.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто αx 2 = c.

3) «Коріння дорівнює числу», тобто αx = c.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто αx 2 + c = bx.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто αx 2 + bx = c.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bx + c = αx 2 .

Формули розв'язання квадратних рівнянь з ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння з параметром у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієта визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у ХІІ ст. враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Теорема Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між параметрами, коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 р. Таким чином: «Якщо b + d, помножене на мінус α 2 , дорівнює bc, то α дорівнює b і d».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що α, як і будь-яка голосна літера, означала у нього невідоме (наше х), голосні ж b, d - коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає:

Якщо має місце

(α + b)x - x 2 = αb,

Т. е. x 2 - (α -b)x + αb =0,

то x 1 = α, x 2 = b.

Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Вієта встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Проте символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.

Основні поняття

Параметр - незалежна змінна, значення якої вважається фіксованим чи довільним числом, чи числом, що належить заданому умовою завдання проміжку.

Рівняння з параметром- математичнерівняння, Зовнішній вигляд і рішення якого залежить від значень одного або декількох параметрів.

Вирішити рівняння з параметром означає для кожного значеннязнайти значення х, що задовольняють цього рівняння, а також:

1. Дослідити, за яких значеннях параметрів рівняння має коріння і скільки їх за різних значень параметрів.
2. Знайти всі вирази для коренів і вказати кожному з них ті значення параметрів, у яких цей вислів дійсно визначає корінь рівняння.

Розглянемо рівняння α(х+k)= α+c, де α, c, k, x змінні величини.

Системою допустимих значень змінних α, c, k, xназивається будь-яка система значень змінних, за якої і ліва і права частини цього рівняння набувають дійсних значень.

Нехай А - множина всіх допустимих значень α, K - множина всіх допустимих значень k, Х - множина всіх допустимих значень х, C - множина всіх допустимих значень c. Якщо в кожного з множин A, K, C, X вибрати і зафіксувати відповідно за одним значенням α, k, c, і підставити їх до рівняння, то отримаємо рівняння щодо x, тобто. рівняння з одним невідомим.

Змінні α, k, c, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.

Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: α, b, c, d, …, k, l, m, n, а невідомі – літерами x, y, z.

Два рівняння, що містять одні й самі параметри, називаютьсярівносильними, якщо:

а) вони мають сенс при тих самих значеннях параметрів;

б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого та навпаки.

Види рівнянь із параметрами

Рівняння з параметрами бувають: лінійніта квадратні.

1) Лінійне рівняння. Загальний вигляд:

α х = b, де х – невідоме;α, b - параметри.

Для цього рівняння особливим або контрольним значенням параметра є те, при якому перетворюється на нуль коефіцієнт при невідомому.

При розв'язанні лінійного рівняння з параметром розглядаються випадки, коли параметр дорівнює своєму особливому значенню і відрізняється від нього.

Особливим значенням параметра є значенняα = 0.

1.Якщо, а ≠0 , то за будь-якої пари параметрівα і b воно має єдине рішеннях = .

2.Якщо, а =0, то рівняння набуває вигляду:0х = b . У цьому випадку значення b = 0 є особливим значенням параметра b.

2.1. При b ≠ 0 рівняння рішень не має.

2.2. При b =0 рівняння набуде вигляду:0х = 0.

Рішенням цього рівняння є будь-яке дійсне число.

Квадратне рівняння із параметром.

Загальний вигляд:

α x 2 + bx + c = 0

де параметр α ≠0, b та с - довільні числа

Якщо α =1, то рівняння називається наведеним квадратним рівнянням.

Коріння квадратного рівняння знаходиться за формулами

Вираз D = b 2 - 4 α c називають дискримінантом.

1. Якщо D> 0 — рівняння має два різні корені.

2. Якщо D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Якщо D = 0 — рівняння має два рівні корені.

Методи вирішення рівнянь із параметром:

Аналітичний - спосіб прямого рішення, що повторює стандартні процедури знаходження відповіді рівняння без параметрів.
Графічний – залежно від умови завдання розглядається положення графіка відповідної квадратичної функції у системі координат.

Аналітичний метод

Алгоритм рішення:

Перш, ніж розпочати вирішення завдання з параметрами аналітичним методом, потрібно розібратися у ситуації конкретного числового значення параметра. Наприклад, візьміть значення параметра α =1 і дайте відповідь на запитання: чи є значення параметра α =1 шуканим для даної задачі.

Приклад 1. Вирішити щодоХ лінійне рівняння з параметром m:

За змістом задачі (m-1)(x+3) = 0, тобто m= 1, х = -3.

Помноживши обидві частини рівняння на (m-1)(x+3), отримаємо рівняння

Отримуємо

Звідси при m = 2,25.

Тепер необхідно перевірити, чи немає таких значень m, за яких

знайдене значення x дорівнює -3.

Вирішуючи це рівняння, отримуємо, що х дорівнює -3 при m = -0,4.

Відповідь: при m = 1, m = 2,25.

графічний метод. Історія виникнення

Дослідження загальних залежностей розпочалося у 14 столітті. Середньовічна наука була схоластичною. При такому характері не залишалося місця вивченню кількісних залежностей, йшлося лише про якості предметів та їх зв'язки один з одним. Але серед схоластів виникла школа, яка стверджувала, що якості можуть бути більш менш інтенсивними (сукня людини, що звалилася в річку, мокріше, ніж у того, хто лише потрапив під дощ)

Французький вчений Микола Орес став зображати інтенсивність довжинами відрізків. Коли він мав ці відрізки перпендикулярно деякої прямої, їх кінці утворювали лінію, названу ним "лінією інтенсивностей" або "лінією верхнього краю» (графік відповідної функціональної залежності). Оресм вивчав навіть "площинні" і "тілесні" якості, тобто функції , що залежать від двох або трьох змінних.

Важливим досягненням Оресма була спроба класифікувати графіки. Він виділив три типи якостей: Рівномірні (з постійною інтенсивністю), рівномірно-нерівномірні (з постійною швидкістю зміни інтенсивності) та нерівномірно-нерівномірні (всі інші), а також характерні властивості графіків таких якостей.

Щоб створити математичний апарат вивчення графіків функцій, знадобилося поняття змінної величини. Це поняття було введено в науку французьким філософом та математиком Рене Декартом (1596–1650). Саме Декарт дійшов ідей про єдність алгебри і геометрії і ролі змінних величин, Декарт запровадив фіксований одиничний відрізок і став розглядати відносини інших відрізків щодо нього.

Таким чином, графіки функцій за весь час свого існування пройшли через низку фундаментальних перетворень, які призвели їх до того виду, до якого ми звикли. Кожен етап чи ступінь розвитку графіків функцій – невід'ємна частина історії сучасної алгебри та геометрії.

Графічний спосіб визначення числа коренів рівняння залежно від параметра, що входить до нього, є більш зручним, ніж аналітичний.

Алгоритм рішення графічним методом

Графік функції - безліч точок, у якихабсцисиє допустимими значеннями аргументу, а ординати- Відповідними значеннямифункції.

Алгоритм графічного розв'язання рівнянь із параметром:

Знаходимо область визначення рівняння.
Виражаємо α як функцію від x.
У системі координат будуємо графік функціїα (х) для тих значень х, які входять до області визначення даного рівняння.
Знаходимо точки перетину прямоїα =с, з графіком функції

α (х). Якщо пряма α =з перетинає графікα (х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо вирішити рівняння c = α (х) щодо х.

Записуємо відповідь

Розв'язання рівнянь із модулем

При розв'язанні рівнянь із модулем, що містять параметр, графічним способом, необхідно побудувати графіки функцій та за різних значень параметра розглянути всі можливі випадки.

Наприклад, │х│= а,

Відповідь: якщо а < 0, то нет корней, а > 0, то х = а, х = - а, якщо а = 0, то х = 0.

Розв'язання задач.

Завдання 1. Скільки коренів має рівняння| | x | - 2 | = a залежно від параметра a?

Рішення. У системі координат (x; y) побудуємо графіки функцій y = | | x | - 2 | та y = a . Графік функції y = | | x | - 2 | зображено малюнку.

Графіком функції y =α a = 0).

З графіка видно, що:

Якщо a = 0, то пряма y = a збігається з віссю Ox і з графіком функції y = | | x | - 2 | дві загальні точки; отже, вихідне рівняння має два корені (в даному випадкукоріння можна знайти: x 1,2 = + 2).
Якщо 0< a < 2, то прямая y = α має із графіком функції y = | | x | - 2 | чотири загальні точки і, отже, вихідне рівняння має чотири корені.
Якщо a = 2, то пряма y = 2 має із графіком функції три загальні точки. Тоді вихідне рівняння має три корені.
Якщо a > 2, то пряма y = a матиме з графіком вихідної функції дві точки, тобто дане рівняння матиме два корені.

Відповідь: якщо a < 0, то корней нет;
якщо a = 0, a > 2, то два корені;
якщо a = 2, то три корені;
якщо 0< a < 2, то четыре корня.

Завдання 2. Скільки коренів має рівняння| x 2 - 2 | x | - 3 | = a залежно від параметра a?

Рішення. У системі координат (x; y) побудуємо графіки функцій y = | x 2 - 2 | x | - 3 | та y = a .

Графік функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 | зображено малюнку. Графіком функції y =α є пряма, паралельна Ox або з нею збігається (коли a = 0).

З графіка видно:

Якщо a = 0, то пряма y = a збігається з віссю Ox і з графіком функції y = | x2 - 2 | x | - 3 | дві загальні точки, і навіть пряма y = a матиме з графіком функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 | дві загальні точки при a > 4. Отже, при a = 0 і a > 4 вихідне рівняння має два корені.
Якщо 0< a< 3, то прямая y = a має із графіком функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 | чотири загальні точки, а також пряма y= a матиме з графіком побудованої функції чотири загальні точки при a = 4. Отже, при 0< a < 3, a = 4 вихідне рівняння має чотири корені.
Якщо a = 3, то пряма y = a перетинає графік функції у п'яти точках; отже, рівняння має п'ять коренів.
Якщо 3< a< 4, прямая y = α перетинає графік побудованої функції у шести точках; отже, за цих значеннях параметра вихідне рівняння має шість коренів.
Якщо a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α не перетинає графік функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 |

Відповідь: якщо a < 0, то корней нет;
якщо a = 0, a > 4, то два корені;
якщо 0< a < 3, a = 4, то чотири корені;

якщо a = 3, то п'ять коренів;
якщо 3< a < 4, то шесть корней.

Завдання 3. Скільки коренів має рівняння

залежно від параметра a?

Рішення. Побудуємо в системі координат (x; y) графік функції

але спочатку представимо її у вигляді:

Прямі x = 1, y = 1 є асимптотами графіка функції. Графік функції y = | x | + a виходить із графіка функції y = | x | зміщенням на одиниць по осі Oy.

Графіки функцій перетинаються в одній точці при a > - 1; отже, рівняння (1) за цих значеннях параметра має одне рішення.

При a = - 1, a = - 2 графіки перетинаються у двох точках; отже, при цих значеннях параметра рівняння (1) має два корені.
При - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Відповідь: якщо a > - 1 то одне рішення;
якщо a = - 1, a = - 2, то два рішення;
якщо - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Зауваження. При вирішенні рівняння завдання особливо слід звернути увагу на випадок, коли a = - 2, оскільки точка (- 1; - 1) не належить графіку функціїПроте належить графіку функції y = | x | + a.

Завдання 4. Скільки коренів має рівняння

x + 2 = a | x – 1 |

залежно від параметра a?

Рішення. Зауважимо, що x = 1 перестав бути коренем даного рівняння, оскільки рівність 3 = a 0 не може бути вірним ні за якого значення параметра a . Розділимо обидві частини рівняння на | x - 1 | (| x - 1 | |0), тоді рівняння набуде виглядуУ системі координат xOy побудуємо графік функції

Графік цієї функції зображено малюнку. Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі Ox або з нею збігається (при a = 0).

Рівняння з параметрами по праву вважаються одним із найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B та C на єдиному державному іспиті ЄДІ. Однак серед великої кількості рівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.

Знайти суму цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 2x – 3| = a має чотири корені.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, збудуємо на одній координатній площині графіки функцій

y = | x 2 - 2x - 3 | та y = a.

Графік першої функції y = | x 2 - 2x - 3 | буде отримано з графіка параболи y = x 2 – 2x – 3 шляхом симетричного відображення щодо осі абсцис тієї частини графіка, яка знаходиться нижче за осю Ox. Частина графіка, що знаходиться вище за осі абсцис, залишиться без змін.

Зробимо це поетапно. Графіком функції y = x 2 – 2x – 3 є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Щоб збудувати її графік, знайдемо координати вершини. Це можна зробити за формулою x0 = -b/2a. Таким чином, x 0 = 2/2 = 1. Щоб знайти координату вершини параболи по осі ординат, підставимо отримане значення для x 0 до рівняння функції, що розглядається. Отримаємо, що y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Отже, вершина параболи має координати (1; -4).

Далі потрібно знайти точки перетину гілок параболи з осями координат. У точках перетину гілок параболи з віссю абсцис значення функції дорівнює нулю. Тому розв'яжемо квадратне рівняння x 2 - 2x - 3 = 0. Його коріння і будуть шуканими точками. За теоремою Вієта маємо x 1 = -1, x 2 = 3.

У точках перетину гілок параболи з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Таким чином, точка y = -3 є точка перетину гілок параболи з віссю y. Отриманий графік зображено малюнку 1.

Щоб отримати графік функції y = | x 2 – 2x – 3 |, відобразимо симетрично щодо осі x частина графіка, що знаходиться нижче за осі абсцис. Отриманий графік зображено малюнку 2.

Графік функції y = a – це пряма, паралельна осі абсцис. Він зображений на малюнку 3. За допомогою малюнка і знаходимо, що графіки мають чотири загальні точки (а рівняння – чотири корені), якщо a належить інтервалу (0; 4).

Цілі значення числа a отриманого інтервалу: 1; 2; 3. Щоб відповісти на запитання задачі, знайдемо суму цих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Знайти середнє арифметичне цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 4|x| - 1 | = a має шість коренів.

Почнемо з побудови графіка функції y = | x 2 - 4 | x | - 1 |. І тому скористаємося рівністю a 2 = |a| 2 і виділимо повний квадрат у підмодульному виразі, написаному у правій частині функції:

x 2 – 4|x| - 1 = | x | 2 - 4 | x | - 1 = ( | x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = ( | x | - 2) 2 - 5.

Тоді вихідна функція матиме вигляд y = | ( | x | - 2) 2 - 5 |.

Для побудови графіка цієї функції будуємо послідовно графіки функцій:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - парабола з вершиною в точці з координатами (2; -5); (Мал. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – частина побудованої в пункті 1 параболи, яка знаходиться праворуч від осі ординат, симетрично відображається зліва від осі Oy; (Мал. 2).

3) y = | ( | x | - 2) 2 - 5 | – частина збудованого в пункті 2 графіка, яка знаходиться нижче осі x, відображається симетрично щодо осі абсцис нагору. (Мал. 3).

Розглянемо малюнки, що вийшли:

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі абсцис.

За допомогою малюнка робимо висновок, що графіки функцій мають шість загальних точок (рівняння має шість коренів), якщо належить інтервалу (1; 5).

Це можна побачити на наступному малюнку:

Знайдемо середнє арифметичне цілих значень параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Відповідь: 3.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Рівняння з параметрами: графічний метод розв'язання

8-9 класи

У статті розглядається графічний метод розв'язання деяких рівнянь з параметрами, який є дуже ефективним, коли потрібно встановити, скільки коренів має рівняння залежно від параметра a.

Завдання 1. Скільки коренів має рівняння | | x | - 2 | = a залежно від параметра a?

Рішення. У системі координат (x; y) побудуємо графіки функцій y = | | x | - 2 | та y = a. Графік функції y = | | x | - 2 | зображено малюнку.

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі Ox або з нею збігається (при a = 0).

З креслення видно, що:

Якщо a= 0, то пряма y = aзбігається з віссю Ox і з графіком функції y = | | x | - 2 | дві загальні точки; отже, вихідне рівняння має два корені (у разі коріння можна визначити: x 1,2 = д 2).
Якщо 0< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Якщо a= 2, то пряма y = 2 має із графіком функції три загальні точки. Тоді вихідне рівняння має три корені.
Якщо a> 2, то пряма y = aматиме з графіком вихідної функції дві точки, тобто дане рівняння матиме два корені.

якщо a < 0, то корней нет;
якщо a = 0, a> 2, то два корені;
якщо a= 2, то три корені;
якщо 0< a < 2, то четыре корня.

Завдання 2. Скільки коренів має рівняння | x 2 – 2 | x | - 3 | = a залежно від параметра a?

Рішення. У системі координат (x; y) побудуємо графіки функцій y = | x 2 – 2 | x | - 3 | та y = a.

Графік функції y = | x 2 – 2 | x | - 3 | зображено малюнку. Графіком функції y = a є пряма, паралельна або з нею збігається (коли a = 0).

З креслення видно:

Якщо a= 0, то пряма y = aзбігається з віссю Ox і з графіком функції y = | x2 - 2 | x | - 3 | дві загальні точки, і навіть пряма y = aматиме з графіком функції y = | x 2 – 2 | x | - 3 | дві загальні точки при a> 4. Отже, при a= 0 і a> 4 вихідне рівняння має два корені.
Якщо 0< a < 3, то прямая y = aмає із графіком функції y = | x 2 – 2 | x | - 3 | чотири загальні точки, а також пряма y= aматиме з графіком побудованої функції чотири загальні точки при a= 4. Отже, при 0< a < 3, a= 4 вихідне рівняння має чотири корені.
Якщо a= 3, то пряма y = aперетинає графік функції у п'яти точках; отже, рівняння має п'ять коренів.
Якщо 3< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Якщо a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

якщо a < 0, то корней нет;
якщо a = 0, a> 4, то два корені;
якщо 0< a < 3, a= 4, то чотири корені;
якщо a= 3, то п'ять коренів;
якщо 3< a < 4, то шесть корней.

Завдання 3. Скільки коренів має рівняння

залежно від параметра a?

Рішення. Побудуємо в системі координат (x; y) графік функції але спочатку представимо її у вигляді:

Прямі x = 1, y = 1 є асимптотами графіка функції. Графік функції y = | x | + aвиходить із графіка функції y = | x | зміщенням на одиниць по осі Oy.

Графіки функцій перетинаються в одній точці при a> - 1; отже, рівняння (1) за цих значеннях параметра має одне рішення.

При a = – 1, a= – 2 графіки перетинаються у двох точках; отже, при цих значеннях параметра рівняння (1) має два корені.
При – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

якщо a> - 1, то одне рішення;
якщо a = – 1, a= - 2, то два рішення;
якщо – 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Зауваження. При вирішенні рівняння (1) задачі 3 особливо слід звернути увагу на випадок, коли a= – 2, оскільки точка (– 1; – 1) не належить графіку функції Проте належить графіку функції y = | x | + a.

Перейдемо до вирішення іншого завдання.

Завдання 4. Скільки коренів має рівняння

x + 2 = a| x - 1 | (2)

залежно від параметра a?

Рішення. Зауважимо, що x = 1 перестав бути коренем даного рівняння, оскільки рівність 3 = a· 0 не може бути вірним ні за якого значення параметра a. Розділимо обидві частини рівняння на | x – 1 |(| x – 1 | № 0), тоді рівняння (2) набуде вигляду У системі координат xOy побудуємо графік функції

Графік цієї функції зображено малюнку. Графіком функції y = aє пряма, паралельна осі Ox або з нею збігається (при a = 0).

якщо aЈ – 1, то коріння немає;
якщо – 1< a? 1, то один корінь;
якщо a> 1, то два корені.

Розглянемо найскладніше рівняння.

Завдання 5. При яких значеннях параметра aрівняння

a x 2+ | x - 1 | = 0 (3)

має три рішення?

Рішення. 1. Контрольним значенням параметра для рівняння буде число a= 0, при якому рівняння (3) набуде вигляду 0 + | x - 1 | = 0, звідки x = 1. Отже, при a= 0 рівняння (3) має один корінь, що не задовольняє умову задачі.

2. Розглянемо випадок, коли a № 0.

Перепишемо рівняння (3) у такому вигляді: a x 2 = - | x - 1 |. Зауважимо, що рівняння матиме рішення лише за a < 0.

У системі координат xOy побудуємо графіки функцій y = | x - 1 | та y = aх 2 . Графік функції y = | x - 1 | зображено малюнку. Графіком функції y = a x 2 є парабола, гілки якої спрямовані вниз, оскільки a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Рівняння (3) матиме три рішення лише тоді, коли пряма y = – x + 1 буде дотичною до графіка функції y = aх 2 .

Нехай x 0 - абсцис точки дотику прямої y = - x + 1 з параболою y = aх 2 . Рівняння дотичної має вигляд

y = y(x0) + y”(x0)(x – x0).

Запишемо умови торкання:

Це рівняння можна вирішити без використання поняття похідної.

Розглянемо інший метод. Скористаємося тим, що якщо пряма y = kx + b має єдину загальну точку з параболою y = a x 2 + px + q, то рівняння a x 2 + px + q = kx + b повинно мати єдине рішення, тобто його дискримінант дорівнює нулю. У нашому випадку маємо рівняння a x 2 = - x + 1 ( a№0). Дискримінант рівняння

Завдання для самостійного вирішення

6. Скільки коренів має рівняння в залежності від параметра a?

1)| | x | - 3 | = a;
2)| x+1 | + | x+2 | = a;
3)| x 2 – 4 | x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6 | x | + 5 | = a.

1) якщо a<0, то корней нет; если a=0, a>3, то два корені; якщо a=3, то три корені; якщо 0<a<3, то четыре корня;
2) якщо a<1, то корней нет; если a=1, то безліч рішень з відрізка [– 2; - 1]; якщо a> 1, два рішення;
3) якщо a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, то шість коренів; якщо a=3, то три рішення; якщо a>3, два рішення;
4) якщо a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, то шість коренів; якщо a=5, то три корені; якщо a>5, то два корені.

7. Скільки коренів має рівняння | x+1 | = a(x – 1) залежно від параметра a?

Вказівка. Так як x = 1 не є коренем рівняння, то дане рівняння можна привести до вигляду .

Відповідь: якщо aЈ –1, a > 1, a=0 то один корінь; якщо – 1<a<0, то два корня; если 0<a? 1, то коріння немає.

8. Скільки коренів має рівняння x + 1 = a| x – 1 |залежно від параметра a?

Побудувати графік (див. рисунок).

Відповідь: якщо aЈ -1, то коріння немає; якщо – 1<a? 1, то один корінь; якщо a>1, то два корені.

9. Скільки коренів має рівняння

2| x | - 1 = a (x - 1)

залежно від параметра a?

Вказівка. Привести рівняння до вигляду

Відповідь: якщо aЈ –2, a>2, a=1, то один корінь; якщо -2<a<1, то два корня; если 1<a? 2, то коріння немає.

10. Скільки коренів має рівняння

залежно від параметра a?

Відповідь: якщо aЈ 0, aі 2, то один корінь; якщо 0<a<2, то два корня.

11. При яких значеннях параметра aрівняння

x 2 + a| x - 2 | = 0

має три рішення?

Вказівка. Привести рівняння до виду x 2 = – a| x - 2 |.

Відповідь: при aЈ -8.

12. При яких значеннях параметра aрівняння

a x 2+ | x+1 | = 0

має три рішення?

Вказівка. Скористатися завданням 5. Це рівняння має три рішення тільки в тому випадку, коли рівняння a x 2 + x + 1 = 0 має одне рішення, причому випадок a= 0 не задовольняє умову завдання, тобто залишається випадок, коли