Графік функції розподілу fx. Функція розподілу та щільність ймовірності у MS EXCEL

Щоб визначити функції розподілу випадкових величин та його змінних, необхідно вивчити всі особливості даної галузі знань. Існує кілька різних методів для знаходження розглянутих значень, включаючи зміну змінної та генерування моменту. Розподіл - таке поняття, основою якого лягли такі елементи, як дисперсія, варіації. Однак вони характеризують лише ступінь розмаху розсіювання.

Більш важливими функціями випадкових величин є ті, які пов'язані та незалежні, і однаково розподілені. Наприклад, якщо X1 - вага випадково обраного індивідуума з популяції самців, X2 - вага іншого, ..., а Xn - вага ще однієї людини з чоловічого населення, тоді необхідно дізнатися, як випадкова функція X розподіляється. І тут застосовна класична теорема, звана центральної граничної. Вона дозволяє показати, що при великих n функція слідує стандартним розподілам.

Функції однієї випадкової змінної

Центральна гранична теорема призначена для апроксимації дискретних значень, що розглядаються, таких як біномне і Пуассона. Функції розподілу випадкових величин розглядаються насамперед на простих значеннях однієї змінної. Наприклад, якщо X є безперервною випадковою величиною, що має власний розподіл ймовірності. В даному випадку досліджується, як знайти функцію щільності Y, використовуючи два різні підходи, а саме метод функції розподілу та зміни змінної. Спочатку розглядаються лише взаємно однозначні значення. Потім необхідно модифікувати техніку зміни змінної, щоб знайти її можливість. Нарешті, потрібно дізнатися, як кумулятивного розподілу може допомогти моделювати випадкові числа, які йдуть за певними послідовними схемами.

Методика розподілу значень, що розглядаються

Метод функції розподілу ймовірностей випадкової величини застосовується для того, щоб знайти її щільність. З використанням цього способу обчислюється кумулятивне значення. Потім, диференціюючи його, можна отримати густину ймовірності. Тепер за наявності методу функції розподілу можна розглянути ще кілька прикладів. Нехай X - безперервна випадкова величина з певною густиною ймовірності.

Якою є функція щільності ймовірності від x2? Якщо подивитися або побудувати графік функції (згори та праворуч) у = х2, можна відзначити, що вона є зростаючою X та 0

В останньому прикладі велику обережність використовували для індексування кумулятивних функцій і щільності ймовірності або за допомогою X або Y, щоб вказати, до якої випадкової змінної вони належали. Наприклад, при знаходженні кумулятивної функції розподілу Y отримали X. Якщо необхідно знайти випадкову величину X та її щільність, її просто потрібно диференціювати.

Техніка зміни змінних

Нехай X - безперервна випадкова величина, задана функцією розподілу із загальним знаменником f(x). У цьому випадку, якщо помістити значення y до X = v (Y), то вийде значення x, наприклад v (y). Тепер потрібно отримати функцію розподілу безперервної випадкової величини Y. Де перша і друга рівність має місце з визначення кумулятивної Y. Третя рівність виконується тому, що частини функції, для якої u (X) ≤ y, також вірно, що X ≤ v (Y ). І останнє виконується визначення ймовірності в безперервної випадкової величині X. Тепер потрібно взяти похідну від FY (y), кумулятивної функції розподілу Y, щоб отримати щільність ймовірності Y.

Узагальнення функції зменшення

Нехай X - безперервна випадкова величина із загальним f(x), визначена над c1

Для вирішення цього питання можна збирати кількісні дані та використовувати емпіричну кумулятивну функцію розподілу. Маючи цю інформацію та апелюючи нею, потрібно комбінувати зразки коштів, стандартні відхилення, медіадані тощо.

Аналогічно навіть досить проста імовірнісна модель може мати величезну кількість результатів. Наприклад, якщо перевернути монету 332 рази. Тоді число одержуваних результатів від переворотів більше, ніж у google (10100) - число, але не менше 100 квінтильйонів разів вище за елементарні частинки у відомому всесвіті. Не цікавим є аналіз, який дає відповідь на кожен можливий результат. Потрібна простіша концепція, така як кількість головок або найдовший хід хвостів. Щоб зосередити увагу на питаннях, що становлять інтерес, приймається певний результат. Визначення у разі наступне: випадкова величина є речової функцією з імовірнісним простором.

Діапазон S випадкової величини іноді називають простором станів. Таким чином, якщо X - значення, що розглядається, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc і так далі. Остання їх, округляючи X до найближчого цілого числа, називають функцією статі.

Функції розподілу

Як тільки визначена функція розподілу випадкової величини х, що цікавить, питання зазвичай стає наступним: «Які шанси, що X потрапляє в якесь підмножина значень B?». Наприклад, B = (непарні числа), B = (більше 1) або B = (між 2 і 7), щоб вказати ці результати, які мають X, значення випадкової величини, у підмножині А. Таким чином, у наведеному вище прикладі можна описати події в такий спосіб.

(X - непарне число), (X більше 1) = (X> 1), (X знаходиться між 2 і 7) = (2

Випадкові змінні та функції розподілу

Таким чином, можна обчислити ймовірність того, що функція розподілу випадкової величини x набуде значення в інтервалі шляхом віднімання. Необхідно подумати про включення чи виключення кінцевих точок.

Будемо називати випадкову змінну дискретною, якщо вона має кінцевий чи лічильний нескінченний простір станів. Таким чином, X - число голівок на трьох незалежних фліпсах зміщеної монети, яка піднімається з ймовірністю p. Потрібно знайти кумулятивну функцію розподілу дискретної випадкової величини FX для X. Нехай X - кількість піків у колекції трьох карт. То Y = X3 через FX. FX починається з 0, закінчується на 1 і не зменшується зі збільшенням значень x. Кумулятивна FX функція розподілу дискретної випадкової величини X є постійною, крім стрибків. При стрибку FX є безперервною. Довести твердження про правильну безперервність функції розподілу з якості ймовірності можна за допомогою визначення. Звучить воно так: стала випадкова величина має кумулятивну FX, яка диференційована.

Щоб показати, як це може статися, можна навести приклад: мета з поодиноким радіусом. Імовірно. дротик рівномірно розподіляється на вказану область. Для деякого > 0. Таким чином, функції розподілу безперервних випадкових величин плавно збільшуються. FX має властивості функції розподілу.

Людина чекає на автобус на зупинці, поки той не прибуде. Вирішивши собі, що відмовиться, коли очікування досягне 20 хвилин. Тут необхідно знайти кумулятивну функцію розподілу для T. Час, коли людина ще перебуватиме на автовокзалі або не піде. Попри те що, що кумулятивна функція розподілу визначено кожної випадкової величини. Все одно досить часто будуть використовуватися інші характеристики: маса дискретної змінної і функція щільності розподілу випадкової величини. Зазвичай виводиться значення через одне із цих двох значень.

Масові функції

Ці значення розглядаються такими властивостями, які мають загальний (масовий характер). Перше полягає в тому, що ймовірності не негативні. Друге випливає зі спостереження, що набір всім x=2S, простір станів для X, утворює розбиття ймовірнісної свободи X. Приклад: кидки необ'єктивної монети, результати якої незалежні. Можна продовжувати виконувати певні дії, доки не вийде кидок голів. Нехай X означає випадкову величину, яка дає кількість хвостів перед першою головою. А p означає ймовірність у будь-якій заданій дії.

Отже, масова функція ймовірності має такі характерні ознаки. Оскільки члени утворюють чисельну послідовність, X називається геометричною випадковою величиною. Геометрична схема c, cr, cr2,. crn має суму. І, отже, sn має межу за n 1. У цьому випадку нескінченна сума є межею.

Функція маси вище утворює геометричну послідовність із ставленням. Отже, натуральних чисел a та b. Різниця значень функції розподілу дорівнює значенню масової функції.

Розглянуті значення густини мають визначення: X - випадкова величина, розподіл FX якої має похідну. FX, що задовольняє Z xFX(x) = fX(t) dt-1, називається функцією щільності ймовірності. А X називається безперервною випадковою величиною. В основній теоремі обчислення функція густини є похідною розподілу. Можна обчислити ймовірність шляхом обчислення певних інтегралів.

Оскільки збираються дані щодо кількох спостережень, то слід розглядати більше однієї випадкової величини за раз, щоб моделювати експериментальні процедури. Отже, безліч цих значень та їх спільний розподіл для двох змінних X1 та X2 означає перегляд подій. Для дискретних випадкових величин визначаються спільні ймовірні масові функції. Для безперервних розглядаються fX1, X2 де спільна щільність ймовірності задовольняється.

Незалежні випадкові змінні

Дві випадкові величини X1 і X2 незалежні, якщо будь-які дві пов'язані з ними події такі самі. У словах ймовірність того, що дві події (X1 2 B1) і (X2 2 B2) відбуваються одночасно, y дорівнює добутку змінних зазначених вище, кожна з них відбувається індивідуально. Для незалежних дискретних випадкових величин є спільна ймовірна масова функція, яка є добутком граничного обсягу іонів. Для безперервних випадкових величин, що є незалежними, спільна функція щільності ймовірності - добуток значень граничної щільності. На закінчення розглядаються n незалежні спостереження x1, x2,. , xn, що виникають з невідомої густини або масової функції f. Наприклад, невідомий параметр у функціях експоненційної випадкової величини, що описує час очікування автобуса.

Імітація випадкових змінних

Основна мета цієї теоретичної галузі – надати інструменти, необхідні для розробки аналітичних процедур, заснованих на обґрунтованих засадах статистичної науки. Таким чином, одним із дуже важливих варіантів застосування програмного забезпечення є здатність генерувати псевдодані для імітації фактичної інформації. Це дає можливість тестувати та вдосконалювати методи аналізу перед необхідністю використання їх у реальних базах. Це потрібно для того, щоб досліджувати властивості даних за допомогою моделювання. Для багатьох сімейств, що часто використовуються, випадкових величин R надає команди для їх створення. Для інших обставин знадобляться методи моделювання послідовності випадкових незалежних величин, які мають загальний розподіл.

Дискретні випадкові змінні та зразок Command. Команда sample використовується для створення простих та стратифікованих випадкових вибірок. В результаті, якщо вводиться послідовність x, sample (x, 40) вибирає 40 записів x таким чином, що всі варіанти розміру 40 мають однакову ймовірність. Це використовує команду R за промовчанням для вибірки без заміни. Можна також використовувати для моделювання дискретних випадкових величин. Для цього потрібно надати простір станів у векторі x та масової функції f. Виклик для replace = TRUE вказує, що семплювання відбувається із заміною. Потім, щоб дати зразок з n незалежних випадкових величин, що мають загальну масову функцію f, використовується зразок (x, n, replace = TRUE, prob = f).

Визначено, що є найменшим представленим значенням, а 4 є найбільшим з усіх. Якщо команда prob = f опущена, зразок вибиратиме рівномірно зі значень у векторі x. Перевірити симуляцію проти масової функції, що генерувала дані, можна звернути увагу на знак подвійної рівності ==. І перерахувавши спостереження, які приймають кожне можливе значення x. Можна зробити таблицю. Повторити це для 1000 та порівняти моделювання з відповідною функцією маси.

Ілюстрування трансформації ймовірності

Спочатку змоделювати однорідні функції розподілу випадкових величин u1, u2,. , un на інтервалі. Близько 10% чисел має бути в межах. Це відповідає 10% симуляцій на інтервалі для випадкової величини з наведеною функцією розподілу FX. Так само близько 10% випадкових чисел має перебувати в інтервалі. Це відповідає 10% симуляції на інтервалі випадкової величини з функцією розподілу FX. Ці значення на вісь x може бути отримана з взяття зворотної від FX. Якщо X - безперервна випадкова величина із щільністю fX, позитивною усюди у своїй області, то функція розподілу строго зростає. У цьому випадку FX має зворотну функцію FX-1, відому як функція квантилю. FX(x) u тільки тоді, коли x FX-1(u). Перетворення ймовірності випливає з аналізу випадкової змінної U = FX(X).

FX має діапазон від 0 до 1. Він не може набувати значення нижче 0 або вище 1. Для значень u між 0 і 1. Якщо можна моделювати U, то необхідно імітувати випадкову величину з розподілом FX через функцію квантилю. Взяти похідну, щоб побачити, що густина u варіюється в межах 1. Оскільки випадкова величина U має постійну густину за інтервалом своїх можливих значень, вона називається рівномірною на відрізку . Він моделюється в R за допомогою команди runif. Ідентичність називається імовірнісним перетворенням. Видно, як воно працює у прикладі з дротильною дошкою. X між 0 та 1, функція розподілу u = FX (x) = x2, і, отже, функція квантилю x = FX-1 (u). Можна моделювати незалежні спостереження відстані від центру панелі дротика, і створюючи у своїй рівномірні випадкові величини U1, U2,. , Un. Функція розподілу та емпірична базуються на 100 симуляціях розподілу дартс-дошки. Для експоненційної випадкової величини, ймовірно, u = FX (x) = 1 - exp (- x), і, отже, x = - 1 ln (1 - u). Іноді логіка складається з еквівалентних тверджень. І тут потрібно об'єднати дві частини аргументу. Тотожність з перетином аналогічна всім 2 (S i i) S, замість деякого значення. Об'єднання Ci дорівнює простору станів S і кожна пара взаємно виключена. Оскільки Bi - розбита на три аксіоми. Кожна перевірка ґрунтується на відповідній ймовірності P. Для будь-якого підмножини. Використовуючи тотожність, переконайтеся, що відповідь не залежить від того, чи включені кінцеві точки інтервалу.

Експоненційна функція та її змінні

Для кожного результату у всіх подіях зрештою використовується друга властивість безперервності ймовірностей, яка вважається аксіоматичною. Закон розподілу функції випадкової величини тут показує, що кожен має своє рішення і відповідь.

Визначення функції випадкових величин. Функція дискретного випадкового аргументу та її числові характеристики. Функція безперервного випадкового аргументу та її числові характеристики. Функції двох довільних аргументів. Визначення функції розподілу ймовірностей та густини для функції двох випадкових аргументів.

Закон розподілу ймовірностей функції однієї випадкової величини

При вирішенні завдань, пов'язаних з оцінкою точності роботи різних автоматичних систем, точності виробництва окремих елементів систем та ін, часто доводиться розглядати функції однієї або кількох випадкових величин. Такі функції є випадковими величинами. Тому при вирішенні завдань необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують у задачі. При цьому зазвичай відомі закон розподілу системи випадкових аргументів та функціональна залежність.

Таким чином, виникає завдання, яке можна сформулювати так.

Дано систему випадкових величин (X_1,X_2,\ldots,X_n), Закон розподілу якої відомий. Розглядається деяка випадкова величина Y як функція даних випадкових величин:

Y = varphi (X_1, X_2, ldots, X_n).

Потрібно визначити закон розподілу випадкової величини Y, знаючи вид функцій (6.1) та закон спільного розподілу її аргументів.

Розглянемо завдання про закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Y = Varphi (X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&cdots&x_n\hline(P)&p_1&p_2&cdots&p_n\hline\end(array)

Тоді Y=\varphi(X) також дискретна випадкова величина з можливими значеннями. Якщо всі значення y_1,y_2,\ldots,y_nрізні, то кожного k=1,2,\ldots,n події \(X=x_k\) і \(Y=y_k=\varphi(x_k)\)тотожні. Отже,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

та шуканий ряд розподілу має вигляд

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\hline (P)&p_1&p_2&cdots&p_n\hline\end(array)

Якщо ж серед чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n)є однакові, то кожній групі однакових значень y_k=\varphi(x_k) потрібно відвести в таблиці один стовпець і відповідні можливості скласти.

Для безперервних випадкових величин завдання ставиться так: знаючи щільність розподілу f(x) випадкової величини X знайти щільність розподілу g(y) випадкової величини Y=\varphi(X) . При вирішенні поставленого завдання розглянемо два випадки.

Припустимо спочатку, що функція y = Varphi (x) є монотонно зростаючою, безперервною і диференційованою на інтервалі (a; b) , на якому лежать всі можливі значення величини X . Тоді зворотна функція x=\psi(y) існує, при цьому будучи монотонно зростаючою, безперервною і диференційованою. У цьому випадку отримуємо

G(y)=fbigl(psi(y)bigr)cdot |psi"(y)|.

Приклад 1. Випадкова величина X розподілена щільністю

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Знайти закон розподілу випадкової величини Y пов'язаної з величиною X залежністю Y = X ^ 3 .

Рішення.Оскільки функція y=x^3 монотонна на проміжку (-\infty;+\infty) , можна застосувати формулу (6.2). Зворотна функція по відношенню до функції \varphi(x)=x^3 є \psi(y)=\sqrt(y) , її похідна \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Отже,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Розглянемо випадок немонотонної функції. Нехай функція y=\varphi(x) така, що зворотна функція x=\psi(y) неоднозначна, тобто одному значенню величини відповідає кілька значень аргументу x , які позначимо x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), де n - число ділянок, у яких функція y=\varphi(x) змінюється монотонно. Тоді

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Приклад 2. У разі прикладу 1 знайти розподіл випадкової величини Y=X^2 .

Рішення.Зворотна функція x=psi(y) неоднозначна. Одному значенню аргументу y відповідають два значення функції x

Застосовуючи формулу (6.3), отримуємо:

\begin(gathered)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) . \ end (gathered)

Закон розподілу функції двох випадкових величин

Нехай випадкова величина Y є функцією двох випадкових величин, що утворюють систему (X_1; X_2), тобто. Y=\varphi(X_1;X_2). Завдання полягає в тому, щоб за відомим розподілом системи (X_1; X_2) знайти розподіл випадкової величини Y .

Нехай f(x_1; x_2) - щільність розподілу системи випадкових величин (X_1; X_2). Введемо на розгляд нову величину Y_1 , рівну X_1 , і розглянемо систему рівнянь

Вважатимемо, що ця система однозначно можна розв'язати щодо x_1,x_2

та задовольняє умовам диференційності.

Щільність розподілу випадкової величини Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Зауважимо, що міркування не змінюються, якщо введену нову величину Y_1 покласти рівною X_2.

Математичне очікування функції випадкових величин

Насправді нерідко трапляються випадки, коли немає особливої ​​потреби повністю визначати закон розподілу функції випадкових величин, а лише вказати його числові показники. Таким чином, виникає завдання визначення числових характеристик функцій випадкових величин, крім законів розподілу цих функцій.

Нехай випадкова величина Y є функцією випадкового аргументу X із заданим законом розподілу

Y = Varphi (X).

Потрібно, не знаходячи закону розподілу величини Y, визначити її математичне очікування

M(Y)=M[varphi(X)].

Нехай X - дискретна випадкова величина, що має низку розподілу

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\hline(p_i)&p_1&p_2&cdots&p_n\\hline\end(array)

Складемо таблицю значень величини Y та ймовірностей цих значень:

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\hline(p_i)&p_1&p_2&cdots&p_n\hline\end(array)

Ця таблиця перестав бути поруч розподілу випадкової величини Y , оскільки у випадку деякі з значень можуть збігатися між собою і значення у верхній рядку необов'язково йдуть у порядку. Однак математичне очікування випадкової величини Y можна визначити за формулою

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

оскільки величина, що визначається формулою (6.4), неспроможна змінитися від цього, що під знаком суми деякі члени будуть заздалегідь об'єднані, а порядок членів змінено.

Формула (6.4) містить у явному вигляді закон розподілу самої функції \varphi(X) , а містить лише закон розподілу аргументу X . Таким чином, для визначення математичного очікування функції Y = Varphi (X) зовсім не потрібно знати закон розподілу функції Varphi (X), а достатньо знати закон розподілу аргументу X.

Для безперервної випадкової величини математичне очікування обчислюється за формулою

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

де f(x) - густина розподілу ймовірностей випадкової величини X .

Розглянемо випадки, коли знаходження математичного очікування функції випадкових аргументів не потрібно знання навіть законів розподілу аргументів, а досить знати лише деякі з числові характеристики. Сформулюємо ці випадки як теорем.

Теорема 6.1. Математичне очікування суми як залежних, і незалежних двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань цих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математичне очікування твору двох випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань плюс кореляційний момент:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Наслідок 6.1. Математичне очікування твору двох некорельованих випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Наслідок 6.2. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їхніх математичних очікувань.

Дисперсія функції випадкових величин

За визначенням дисперсії маємо D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Отже,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2]де .

Наведемо розрахункові формули лише випадку безперервних випадкових аргументів. Для функції одного випадкового аргументу Y=varphi(X) дисперсія виражається формулою

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

де M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- Математичне очікування функції \ varphi (X); f(x) - густина розподілу величини X .

Формулу (6.5) можна замінити на таку:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Розглянемо теореми про дисперсії, які відіграють важливу роль у теорії ймовірностей та її додатках.

Теорема 6.3. Дисперсія суми випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин плюс подвоєна сума кореляційних моментів кожної з доданків з усіма наступними:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i

Наслідок 6.3. Дисперсія суми некорельованих випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2) = M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

т. е. кореляційний момент двох функцій випадкових величин дорівнює математичному очікуванню добутку цих функцій мінус твір з математичних очікувань.

Розглянемо основні властивості кореляційного моменту та коефіцієнта кореляції.

Властивість 1. Від додавання до випадкових величин постійних величин кореляційний момент та коефіцієнт кореляції не змінюються.

Властивість 2. Для будь-яких випадкових величин X та Y абсолютна величина кореляційного моменту не перевищує середнього геометричного дисперсій даних величин:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

приклад 2.1.Випадкова величина Xзадана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xприйме значення, укладені у проміжку (2,5; 3,6).

Рішення: Ху проміжок (2,5; 3,6) можна визначити двома способами:

приклад 2.2.При яких значеннях параметрів Аі Уфункція F(x) = A + Be - xможе бути функцією розподілу для невід'ємних значень випадкової величини Х.

Рішення:Оскільки всі можливі значення випадкової величини Хналежать інтервалу , то для того, щоб функція була функцією розподілу для Х, має виконуватися властивість:

.

Відповідь: .

приклад 2.3.Випадкова величина X задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що внаслідок чотирьох незалежних випробувань величина Xрівно 3 рази набуде значення, що належить інтервалу (0,25; 0,75).

Рішення:Імовірність влучення величини Ху проміжок (0,25; 0,75) знайдемо за формулою:

Приклад 2.4.Імовірність влучення м'ячем у кошик при одному кидку дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа влучень за трьох кидків.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість попадань у кошик при трьох кидках – може набувати значень: 0, 1, 2, 3. Імовірність того, що Х

Х:

приклад 2.5.Два стрільці роблять по одному пострілу в ціль. Імовірність потрапляння до неї першим стрільцем дорівнює 0,5, другим – 0,4. Скласти закон розподілу числа влучень у мета.

Рішення:Знайдемо закон розподілу дискретної випадкової величини Х- Числа попадань у мету. Нехай подія - попадання в ціль першим стрільцем, а - попадання другим стрільцем, і - відповідно їх промахи.

Складемо закон розподілу ймовірностей СВ Х:

приклад 2.6.Випробовуються 3 елементи, що працюють незалежно один від одного. Тривалість часу (у годинах) безвідмовної роботи елементів мають функції щільності розподілу: для першого: F 1 (t) =1-e - 0,1 t, для другого: F 2 (t) = 1-e - 0,2 tдля третього: F 3 (t) =1-e - 0,3 t. Знайти ймовірність того, що в інтервалі від 0 до 5 годин: відмовить тільки один елемент; відмовить лише два елементи; відмовить усі три елементи.

Рішення:Скористаємося визначенням функції ймовірностей :

Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, у першому з яких ймовірність появи події Адорівнює , у другому і т. д., подія Аз'явиться рівно раз, дорівнює коефіцієнту при розкладанні виконує функції за ступенями . Знайдемо ймовірність відмови та невідмови відповідно першого, другого та третього елемента в інтервалі часу від 0 до 5 годин:

Складемо функцію, що виробляє:

Коефіцієнт дорівнює ймовірності того, що подія Аз'явиться рівно тричі, тобто ймовірність відмови всіх трьох елементів; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовлять рівно два елементи; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовить лише один елемент.

приклад 2.7.Дана щільність імовірності f(x)випадкової величини X:

Знайти функцію розподілу F(x).

Рішення:Використовуємо формулу:

.

Таким чином, функція розподілу має вигляд:

приклад 2.8.Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили, в одному досвіді.

Рішення:Випадкова величина Х- Число елементів, які відмовили в одному досвіді - може приймати значення: 0, 1, 2, 3. Імовірності того, що Хприйме ці значення, знайдемо за формулою Бернуллі:

Таким чином, отримуємо наступний закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х:

Приклад 2.9.У партії з 6 деталей є 4 стандартні. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних.

Рішення:Випадкова величина Х- Число стандартних деталей серед відібраних - може приймати значення: 1, 2, 3 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Х

де -- число деталей у партії;

-- число стандартних деталей у партії;

– кількість відібраних деталей;

-- кількість стандартних деталей серед відібраних.

.

.

.

Приклад 2.10.Випадкова величина має щільність розподілу

причому і не відомі, але , а і . Знайдіть і .

Рішення:У разі випадкова величина Xмає трикутний розподіл (розподіл Сімпсона) на відрізку [ a, b]. Числові характеристики X:

Отже, . Вирішуючи цю систему, отримаємо дві пари значень: . Оскільки за умовою завдання , то маємо: .

Відповідь: .

Приклад 2.11.У середньому по 10% договорів страхова компанія сплачує страхові суми у зв'язку з настанням страхового випадку. Обчислити математичне очікування та дисперсію числа таких договорів серед навмання обраних чотирьох.

Рішення:Математичне очікування та дисперсію можна знайти за формулами:

.

Можливі значення СВ (кількість договорів (з чотирьох) із настанням страхового випадку): 0, 1, 2, 3, 4.

Використовуємо формулу Бернуллі, щоб обчислити ймовірності різного числа договорів (з чотирьох), за якими було виплачено страхові суми:

.

Ряд розподілу СВ (кількість договорів із настанням страхового випадку) має вигляд:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Відповідь: , .

Приклад 2.12.З п'яти троянд дві білі. Скласти закон розподілу випадкової величини, що виражає число білих троянд серед двох одночасно взятих.

Рішення:У вибірці з двох троянд може або не виявитись білої троянди, або може бути одна або дві білі троянди. Отже, випадкова величина Хможе приймати значення: 0, 1, 2. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- число троянд;

-- кількість білих троянд;

– число одночасно взятих троянд;

-- кількість білих троянд серед взятих.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.13.Серед 15 зібраних агрегатів 6 потребують додаткового мастила. Скласти закон розподілу числа агрегатів, які потребують додаткового мастила, серед п'яти навмання обраних із загального числа.

Рішення:Випадкова величина Х- Число агрегатів, що потребують додаткової мастилі серед п'яти обраних - може приймати значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- кількість зібраних агрегатів;

-- кількість агрегатів, що потребують додаткового мастила;

– кількість обраних агрегатів;

-- число агрегатів, що потребують додаткового мастила серед обраних.

.

.

.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.14.З надійшли в ремонт 10 годин 7 потребують загального чищення механізму. Годинник не розсортований за видом ремонту. Майстер, бажаючи знайти годинник, що потребує чищення, розглядає його по черзі і, знайшовши такий годинник, припиняє подальший перегляд. Знайти математичне очікування та дисперсію числа переглянутих годин.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість агрегатів, які потребують додаткового мастила серед п'яти обраних – може набувати значень: 1, 2, 3, 4. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Тепер обчислимо числові характеристики величини:

Відповідь: , .

приклад 2.15.Абонент забув останню цифру потрібного номера телефону, проте пам'ятає, що вона непарна. Знайти математичне очікування та дисперсію числа зроблених ним наборів номера телефону до попадання на потрібний номер, якщо останню цифру він набирає навмання, а набрану цифру надалі не набирає.

Рішення:Випадкова величина може набувати значення: . Так як набрану цифру абонент надалі не набирає, то ймовірність цих значень дорівнює .

Складемо ряд розподілу випадкової величини:

	0,2

Обчислимо математичне очікування та дисперсію числа спроб набору номера:

Відповідь: , .

Приклад 2.16.Імовірність відмови за час випробувань на надійність для кожного приладу серії дорівнює p. Визначити математичне очікування кількості приладів, які дали відмову, якщо випробування зазнали Nприладів.

Рішення:Дискретна випадкова величина X - кількість приладів, що відмовили в Nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи відмови дорівнює p,розподілено за біноміальним законом. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

Приклад 2.17.Дискретна випадкова величина Xприймає 3 можливі значення: з ймовірністю; з ймовірністю та з ймовірністю . Знайти і знаючи, що M( X) = 8.

Рішення:Використовуємо визначення математичного очікування та закону розподілу дискретної випадкової величини:

Знаходимо: .

приклад 2.18.Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Кожна партія містить 5 виробів. Знайти математичне очікування випадкової величини X– числа партій, у кожній з яких міститься рівно 4 стандартні вироби, якщо перевірці підлягають 50 партій.

Рішення:В даному випадку всі досліди, що проводяться, незалежні, а ймовірності того, що в кожній партії міститься рівно 4 стандартні вироби, однакові, отже, математичне очікування можна визначити за формулою:

,

де – число партій;

Імовірність того, що в партії міститься рівно 4 стандартні вироби.

Імовірність знайдемо за формулою Бернуллі:

Відповідь: .

Приклад 2.19.Знайти дисперсію випадкової величини X– числа події Aу двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи події у цих випробуваннях однакові та відомо, що M(X) = 0,9.

Рішення:Завдання можна вирішити двома способами.

1) Можливі значення СВ X: 0, 1, 2. За формулою Бернуллі визначимо ймовірність цих подій:

, , .

Тоді закон розподілу Xмає вигляд:

З визначення математичного очікування визначимо ймовірність:

Знайдемо дисперсію СВ X:

.

2) Можна використовувати формулу:

.

Відповідь: .

Приклад 2.20.Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xнабуде значення, укладене в інтервалі (15; 25).

Рішення:Імовірність влучення нормальної випадкової величини Хна ділянку від до виражається через функцію Лапласа:

Приклад 2.21.Дана функція:

При якому значенні параметра Cця функція є щільністю розподілу деякої безперервної випадкової величини X? Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини X.

Рішення:Для того, щоб функція була щільністю розподілу деякої випадкової величини, вона повинна бути невід'ємною, і вона повинна задовольняти властивості:

.

Отже:

Обчислимо математичне очікування за такою формулою:

.

Обчислимо дисперсію за такою формулою:

T дорівнює p. Необхідно знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

Рішення:Закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа події у незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , називають біномним. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події А одному випробуванні:

.

Приклад 2.25.Здійснюється три незалежні постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0.25. Визначити середнє квадратичне відхилення числа влучень за трьох пострілів.

Рішення:Оскільки виробляється три незалежних випробування, і можливість появи події А (попадання) у кожному випробуванні однакова, вважатимемо, що дискретна випадкова величина X - число влучень у мета – розподілена по биномиальному закону.

Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні:

Приклад 2.26.Середня кількість клієнтів, які відвідують страхову компанію за 10 хв., дорівнює трьох. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 5 хвилин прийде хоча б один клієнт.

Середня кількість клієнтів, що прийшли за 5 хвилин: . .

Приклад 2.29.Час очікування заявки у черзі на процесор підпорядковується показовому закону розподілу із середнім значенням 20 секунд. Знайти ймовірність того, що чергова (довільна) заявка чекатиме на процесор більше 35 секунд.

Рішення:У цьому прикладі математичне очікування , а інтенсивність відмов дорівнює.

Тоді ймовірність:

Приклад 2.30.Група студентів у кількості 15 осіб проводить збори у залі, у яких 20 рядів по 10 місць у кожному. Кожен студент займає місце у залі випадковим чином. Якою є ймовірність того, що не більше трьох осіб будуть на сьомому місці ряду?

Рішення:

Приклад 2.31.

Тоді згідно з класичним визначенням ймовірності:

де -- число деталей у партії;

-- число нестандартних деталей у партії;

– кількість відібраних деталей;

-- кількість нестандартних деталей серед відібраних.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким.

Тема №11

Насправді завдання випадкових величин загального виду зазвичай використовується функція розподілу.

Імовірність того, що випадкова величина хприйме певне значення х 0 , що виражається через функцію розподілу за формулою

р (х = x 0) = F(x 0 +0) – F(x 0).(3)

Зокрема, якщо у точці х = х 0 функція F(x) безперервна, то

р (х = х 0) = 0.

Випадкова величина хз розподілом р(А)називається дискретною, якщо на числовій прямій існує кінцева або лічильна множина W, така, що р(W,) = 1.

Нехай W = ( x 1 , x 2 ,...)і p i= p({x i}) = p(x = x i), i= 1,2,….Тоді для будь-якої борелівської множини Аймовірність р(А)визначається однозначно формулою

Поклавши у цій формулі А = (x i / x i< x}, x Î R отримаємо формулу для функції розподілу F(x)дискретної випадкової величини х:

F(x) = p(x < x) =. (5)

Графік функції F(x)є ступінчастою лінією. Стрибки функції F(x)у точках х = х 1, х 2 … (x 1 рівні відповідним ймовірностям р 1, p 2, ….

Приклад 1. Знайдіть функцію розподілу

дискретної випадкової величини з прикладу 1§ 13.

Використовуючи функцію розподілу, обчисліть

ймовірності подій: х< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F(x)

0 х 1 х 2 х 3 х 4 х

Рішення. Використовуючи дані з таблиці,

отриманої в § 13, та формулу (5), отримаємо

функцію розподілу:

За формулою (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

р(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Приклад 2. Дана функція

Чи функція F(x) є функцією розподілу деякої випадкової величини? У разі позитивної відповіді знайдіть . Побудувати графік функції F(x).

Рішення. Для того щоб заздалегідь задана функція F(x) була функцією розподілу деякої випадкової величини х, необхідно і достатньо виконання наступних умов (характеристичних властивостей функції розподілу):

1. F(x) – незменшувальна функція.

3. За будь-якого х Î R F( x- 0) = F ( x).

Для заданої функції F(x) виконання

цих умов очевидно. Значить,

F(x) – функція розподілу.

Ймовірність обчислюємо по

формулою (2):

Графік функції F( x) представлений малюнку 13.

Приклад 3. Нехай F 1 ( x) та F 2 ( x) – функції розподілу випадкових величин х 1 і х 2 відповідно, а 1 і а 2 – невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Довести, що F( x) = a 1 F 1 ( x) + a 2 F 2 ( x) є функцією розподілу деякої випадкової величини х.

Рішення. 1) Оскільки F 1 ( x) та F 2 ( x) – незменшувальні функції та а 1 ³ 0, а 2 ³ 0, то a 1 F 1 ( x) та a 2 F 2 ( x) - незнижені, отже, їх сума F( x) теж незабутня.

3) За будь-якого х Î R F( x - 0) = a 1 F 1 ( x - 0) + a 2 F 2 ( x - 0)= a 1 F 1 ( x) + a 2 F 2 ( x) = F( x).

Приклад 4. Дана функція

Чи є F(x) функцією розподілу випадкової величини?

Рішення. Легко помітити, що F(1) = 0,2> 0,11 = F(1,1). Отже, F( x) не є незнищувальною, а значить, не є функцією розподілу випадкової величини. Зауважимо, що дві властивості для цієї функції справедливі.

Контрольне завдання №11

1. Дискретна випадкова величина х

x) і, використовуючи її, знайдіть ймовірність подій: а) –2 £ х < 1; б) ½х½£ 2. Побудуйте графік функції розподілу.

3. Дискретна випадкова величина хзадана таблицею розподілу:

x i
p i	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Знайдіть функцію розподілу F( x) і знайдіть ймовірність наступних подій: а) x < 2; б) 1 £ х < 4; в) 1 £ х£ 4; г) 1< x£ 4; д) х = 2,5.

4. Знайдіть функцію розподілу дискретної випадкової величини х, що дорівнює числу очок, що випали при одному киданні гральної кістки. Використовуючи функцію розподілу, знайдіть ймовірність того, що випаде щонайменше 5 очок.

5. Виробляються послідовні випробування 5 приладів на надійність. Кожен наступний прилад випробовується лише у тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Складіть таблицю розподілу та знайдіть функцію розподілу випадкової кількості випробувань приладів, якщо ймовірність витримати випробування для кожного приладу 0,9.

6. Задано функцію розподілу дискретної випадкової величини х:

а) Знайдіть ймовірність події 1 £ х£3.

б) Знайдіть таблицю розподілу випадкової величини х.

7. Задано функцію розподілу дискретної випадкової величини х:

Складіть таблицю розподілу цієї випадкової величини.

8. Монету кидають nразів. Складіть таблицю розподілу та знайдіть функцію розподілу числа появи герба. Побудуйте графік функції розподілу при n = 5.

9. Монету кидають, доки не випаде герб. Складіть таблицю розподілу та знайдіть функцію розподілу числа появи цифри.

10. Снайпер стріляє по меті до першого влучення. Імовірність промаху при окремому пострілі дорівнює р. Знайдіть функцію розподілу числа промахів.