Графік залежності проекції прискорення часу руху. Рівноперемінний прямолінійний рух

Запитання.

1. Запишіть формулу, за якою можна розрахувати проекцію вектора миттєвої швидкості прямолінійного рівноприскореного руху, якщо відомі: а) проекція вектора початкової швидкості та векторна проекція прискорення; б) проекція вектора прискорення у тому, що початкова швидкість дорівнює нулю.

2. Що є графіком проекції вектора швидкості рівноприскореного руху при початковій швидкості: а) рівної нулю; б) не дорівнює нулю?

3. Чим подібні і чим відрізняються один від одного рухи, графіки яких представлені на рисунках 11 та 12?

В обох випадках рух відбувається з прискоренням, однак у першому випадку прискорення позитивне, а по-друге негативне.

Вправи.

1. Хокеїст злегка вдарив ключкою по шайбі, надавши їй швидкість 2 м/с. Чому дорівнюватиме швидкість шайби через 4 с після удару, якщо в результаті тертя об лід вона рухається з прискоренням 0,25 м/с 2 ?

2. Лижник з'їжджає з гори зі стану спокою із прискоренням, що дорівнює 0,2 м/с 2 . Через який проміжок часу швидкість зросте до 2 м/с?

3. У тих самих координатних осях побудуйте графіки проекції вектора швидкості (на вісь Х, сонаправленную з вектором початкової швидкості) при прямолінійному рівноприскореному русі для випадків: а) v ox = 1м/с, a x = 0,5 м/с 2 ; б) v ox = 1м/с, ax = 1 м/с2; в) v ox = 2 м/с, a x = 1 м/с2.
Масштаб у всіх випадках однаковий: 1см-1м/с; 1см – 1с.

4. У тих самих координатних осях побудуйте графіки проекції вектора швидкості (на вісь Х, сонаправленную з вектором початкової швидкості) при прямолінійному рівноприскореному русі для випадків: а) v ox = 4,5 м/с, a x = -1,5 м/с 2; б) v ox = 3 м/с, a x = -1 м/с 2
Масштаб виберіть самі.

5. На малюнку 13 наведено графіки залежності модуля вектора швидкості від часу при прямолінійному русі двох тіл. З яким модулем прискоренням рухається тіло I? тіло ІІ?

Рівномірний прямолінійний рух– це окремий випадок нерівномірного руху.

Нерівномірний рух- Це рух, при якому тіло (матеріальна точка) за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення. Наприклад, міський автобус рухається нерівномірно, оскільки його рух складається переважно з розгонів і гальмування.

Рівноперемінний рух- Це рух, при якому швидкість тіла (матеріальної точки) за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково.

Прискорення тіла при рівнозмінному русізалишається постійним за модулем і за напрямом (a = const).

Рівноперемінний рух може бути рівноприскореним або рівноуповільненим.

Рівноприскорений рух- Це рух тіла (матеріальної точки) з позитивним прискоренням, тобто при такому русі тіло розганяється з постійним прискоренням. У разі рівноприскореного руху модуль швидкості тіла з часом зростає, напрям прискорення збігається з напрямом швидкості руху.

Рівноуповільнений рух– це рух тіла (матеріальної точки) з негативним прискоренням, тобто за такому русі тіло поступово уповільнюється. При рівносповільненому русі вектори швидкості та прискорення протилежні, а модуль швидкості з часом зменшується.

У механіці будь-який прямолінійний рух є прискореним, тому уповільнений рух відрізняється від прискореного лише знаком проекції вектора прискорення обрану вісь системи координат.

Середня швидкість змінного рухувизначається шляхом розподілу переміщення тіла на час, протягом якого це переміщення було здійснено. Одиниця виміру середньої швидкості – м/с.

V cp = s/t

– це швидкість тіла (матеріальної точки) в даний момент часу або в даній точці траєкторії, тобто межа, якої прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Вектор миттєвої швидкостірівнозмінного руху можна знайти як першу похідну від вектора переміщення за часом:

Векторна проекція швидкостіна вісь ОХ:

V x = x'

це похідна від координати часу (аналогічно отримують проекції вектора швидкості інші координатні осі).

– це величина, яка визначає швидкість зміни швидкості тіла, тобто межа, якої прагне зміна швидкості при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Вектор прискорення рівноперемінного рухуможна знайти як першу похідну від вектора швидкості за часом або як другу похідну від вектора переміщення за часом:

Якщо тіло рухається прямолінійно вздовж осі ОХ прямолінійної системи координат, що збігається у напрямку з траєкторією тіла, то проекція вектора швидкості на цю вісь визначається формулою:

V x = v 0x ± a x t

Знак "-" (мінус) перед проекцією вектора прискорення відноситься до рівноповільного руху. Аналогічно записуються рівняння проекцій вектора швидкості інші осі координат.

Так як при рівнозмінному русі прискорення є постійним (a = const), то графік прискорення – це пряма, паралельна до осі 0t (осі часу, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Залежність прискорення тіла іноді.

Залежність швидкості від часу– це лінійна функція, графік якої є пряма лінія (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Залежність швидкості тіла від часу.

Графік залежності швидкості від часу(рис. 1.16) показує, що

У цьому переміщення чисельно дорівнює площі фігури 0abc (рис. 1.16).

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми довжин її підстав на висоту. Підстави трапеції 0abc чисельно рівні:

0a = v 0 bc = v

Висота трапеції дорівнює t. Отже, площа трапеції, отже, і проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

У разі рівносповільненого руху проекція прискорення негативна і у формулі для проекції переміщення перед прискоренням ставиться знак "-" (мінус).

Графік залежності швидкості тіла іноді при різних прискореннях показаний на рис. 1.17. Графік залежності переміщення від часу при v0 = 0 показано на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Залежність швидкості тіла іноді для різних значень прискорення.

Рис. 1.18. Залежність переміщення тіла від часу.

Швидкість тіла в даний момент часу t 1 дорівнює тангенсу кута нахилу між дотичною до графіка та віссю часу v = tg α, а переміщення визначають за формулою:

Якщо час руху тіла невідомий, можна використовувати іншу формулу переміщення, вирішуючи систему двох рівнянь:

Допоможе нам вивести формулу для проекції переміщення:

Так як координата тіла в будь-який момент часу визначається сумою початкової координати і проекції переміщення, виглядатиме таким чином:

Графіком координати x(t) також є парабола (як і графік переміщення), але вершина параболи у випадку не збігається з початком координат. При а x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Побудову графіків використовують, щоби показати залежність однієї величини від іншої. У цьому однієї осі відкладають зміна однієї величини, але в інший осі - зміна інший величини. При прямолінійному рівномірному русі швидкість тіла залишається постійною, змінюються лише час і залежний від нього пройдений шлях. Тому найбільший інтерес для такого руху представляє графік, що відбиває залежність шляху від часу.

При побудові такого графіка однією з осей координатної площині відзначається зміна часу (t). Наприклад, 1 с, 2 с, 3 с і т. д. Нехай це буде вісь x. На іншій осі (в даному випадку y) відзначається зміна пройденого шляху. Наприклад, 10 м, 20 м, 30 м і т.д.

Початок системи координат приймається початок руху. Це точка старту, в якій проміжок часу, витрачений на рух, дорівнює нулю, і пройдений шлях також дорівнює нулю. Це перша точка графіка залежності шляху від часу.

Далі координатної площині знаходять другу точку графіка. Для цього для будь-якого часу шляхи знаходять пройдений за цей час шлях. Якщо швидкість тіла дорівнює 30 м/с, це може бути точка з координатами (1; 30) або (2; 60) і так далі.

Після того, як друга точка відзначена, проводять промінь через дві точки (перша - початок координат). Початок променя – це початок координат. Цей промінь є графіком залежності шляху від часу при прямолінійному рівномірному русі. У променя немає кінця, це говорить про те, що чим більше витрачений на шлях час, тим більше буде пройдений шлях.

Загалом кажуть, що графіком залежності шляху від часу є пряма, яка проходить через початок координат.

Щоб довести, що графіком є ​​пряма, а, скажімо, не ламана лінія, можна побудувати ряд точок на координатній площині. Наприклад, якщо швидкість дорівнює 5 км/год, то на координатній площині можна відзначити точки (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20). Потім з'єднати їх послідовно між собою. Ви побачите, що вийде пряма.

Чим більша швидкість тіла, тим швидше збільшується пройдений шлях. Якщо на одній і тій же координатній площині накреслити залежність шляху від часу для двох тіл, що рухаються з різними швидкостями, то графік тіла, яке рухається швидше, матиме більший кут із позитивним напрямком осі часу.

Наприклад, якщо одне тіло рухається зі швидкістю 10 км/год, а друге - 20 км/год, то на координатній площині можна відзначити точки (1; 10) для одного тіла та (1; 20) для іншого. Зрозуміло, що друга точка знаходиться далі від осі часу і пряма через неї утворює більший кут, ніж пряма через точку, позначену для першого тіла.

Графіки залежності шляху від часу при рівномірному прямолінійному русі можна використовувати для швидкого знаходження витраченого часу за відомим значенням пройденого шляху або шляху за відомим часом. Для цього треба провести перпендикулярну лінію значення координатної осі, яке відомо, до перетину з графіком. Далі з отриманої точки перетину провести перпендикуляр до іншої осі, отримавши цим шукане значення.

Крім графіків залежності шляху від часу, можна побудувати графіки залежності шляху від швидкості та швидкості від часу. Однак, оскільки при прямолінійному рівномірному русі швидкість постійна, ці графіки являють собою прямі, паралельні осях шляху або часу, що проходять на рівні заявленої швидкості.

Рівномірний рух– це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) та прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).

Прямолінійний рух– це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху – це пряма лінія.

Рівномірний прямолінійний рух- Це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.

Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості:

V cp = v

Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:

V x = v, тобто v > 0

Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

S = vt = x - x 0

де x 0 - Початкова координата тіла, х - кінцева координата тіла (або координата тіла в будь-який момент часу)

Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:

Х = х 0 + vt

Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Х = x 0 – vt

Залежність швидкості, координат та шляхи від часу

Залежність проекції швидкості тіла іноді показано на рис. 1.11. Оскільки швидкість стала (v = const), то графіком швидкості є пряма лінія, паралельна осі часу Ot.

Рис. 1.11. Залежність проекції швидкості тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Проекція переміщення на координатну вісь чисельно дорівнює площі прямокутника ОАВС (рис. 1.12), оскільки величина вектора переміщення дорівнює добутку вектора швидкості на час, за який переміщення було здійснено.

Рис. 1.12. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Графік залежності переміщення від часу показано на рис. 1.13. З графіка видно, що проекція швидкості дорівнює

V = s 1 / t 1 = tg α

де α – кут нахилу графіка до осі часу.Чим більший кут α, то швидше рухається тіло, тобто тим більша його швидкість (більший шлях тіло проходить за менший час). Тангенс кута нахилу щодо графіка залежності координати від часу дорівнює швидкості:

Tg α = v

Рис. 1.13. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Залежність координати від часу показано на рис. 1.14. З малюнка видно, що

Tg α 1 > tg α 2

отже, швидкість тіла 1 вища за швидкість тіла 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Якщо тіло спочиває, то графіком координати є пряма, паралельна до осі часу, тобто

Х = х 0

Рис. 1.14. Залежність координати тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.