Графіки тіла кинутого під кутом до горизонту. Рух тіла під кутом до горизонту: формули, розрахунок дальності польоту та максимальної висоти зльоту

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Основні формули криволінійного руху

1 . Швидкість руху матеріальної точки

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

де (vc r) - радіус-вектор точки.

2 . Прискорення матеріальної точки

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\sqrt(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

де $a_(\tau)$ - тангенціальне прискорення, $a_n$ - нормальне прискорення.

3 . Тангенціальне прискорення

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Нормальне прискорення

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

де (R) - радіус кривизни траєкторії.

5 . для рівнозмінного руху

$S=V_0t+\frac(at^2)(2)$

$V=V_0+at$

Виразивши з другої рівності $t$ і підставивши в першу, отримаємо корисну формулу

$2aS=V^2-V_0^2$

Приклади розв'язання задач

У задачах про рух тіла в полі сили тяжкості будемо вважати (a = g = 9.8) м / с 2 .

Завдання 1.

Снаряд вилітає зі зброї з початковою швидкістю 490 м/с під кутом 300 до горизонту. Знайти висоту, дальність та час польоту снаряда, не враховуючи його обертання та опір повітря.

Рішення задачі

Знайти: $h, S, t$

$V_0=490$ м/с

$\alpha=30^0$

Зв'яжемо ІСО зі зброєю.

Складові швидкості осях Ox і Oy в початковий момент часу рівні:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - залишається незмінною під час польоту снаряда,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ - змінюється відповідно до рівняння рівнозмінного руху

\ (V_y = V_0 \ sin \ alpha-gt \) .

У найвищій точці підйому $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$, звідки

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Повний час польоту снаряда

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ c.

Висоту підйому снаряда визначимо з формули шляху і сповільненого руху

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$м.

Дальність польоту визначимо як

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$м.

Завдання 2.

З точки А вільно падає тіло. Одночасно з точки під кутом (alpha) до горизонту кидають інше тіло так, щоб обидва тіла зіткнулися в повітрі. Показати, що кут $\alpha$ не залежить від початкової швидкості $V_0$ тіла, кинутого з точки, і визначити цей кут, якщо $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Опір повітря знехтувати.

Рішення задачі.

Знайти: $\alpha$

Дано: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

Зв'яжемо ІСО з точкою В.

Обидва тіла можуть зустрітися на лінії ОА (див. рис.) у точці С. Розкладемо швидкість $V_0$ тіла, кинутого з точки В, на горизонтальну та вертикальну складові:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$; $V_(0y)=V_0\sin\alpha$ .

Нехай від початку руху до моменту зустрічі мине час

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

За цей час тіло з точки А опуститись на величину

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

а тіло з точки В підніметься на висоту

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Вирішуючи останні два рівняння спільно, знаходимо

\ (H = V_0 \ sin \ alpha (t) \) .

Підставляючи сюди раніше знайдений час, отримаємо

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

тобто. кут кидання залежить від початкової швидкості.

$\alpha=60^0$

Завдання 3.

З вежі кинуто тіло у горизонтальному напрямку зі швидкістю 40 м/с. Яка швидкість тіла через 3 с після початку руху? Який кут утворює з площиною горизонту вектор швидкості тіла у цей момент?

Рішення задачі.

Знайти: $\alpha$

Дано: (V_0 = 40) м / с. \ (t = 3 \) c.

Зв'яжемо ISO з вежею.

Тіло одночасно бере участь у двох рухах: рівномірно в горизонтальному напрямку зі швидкістю (V_0) і у вільному падінні зі швидкістю (V_y = gt). Тоді повна швидкість тіла є

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 м/с.$

Напрямок вектора швидкості визначається кутом (alpha). З малюнка бачимо, що

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0.8$

$\alpha=37^0$

Завдання 4.

Два тіла кинуті вертикально вгору з однієї точки одне за іншим з інтервалом часу, рівним $\Delta(t)$ , з однаковими швидкостями $V_0$ . Через який час після кидання першого тіла вони зустрінуться?

Рішення задачі.

Знайти: $t$

Дано: $V_0$ , $\Delta(t)$

З аналізу умови завдання, ясно, що перше тіло підніметься на максимальну висоту і спуску зустрінеться з другим тілом. Запишемо закони руху тел:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

У момент зустрічі $h_1=h_2$ , звідки одразу отримуємо

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Якщо тіло кинути під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила - сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі ах = 0 ау = - g.

Малюнок 1. Кінематичні характеристики тіла, кинутого під кутом до горизонту

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладення незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:

де $v_0$ - початкова швидкість, $(\mathbf \alpha) $ - Кут кидання.

За нашого вибору початку координат початкові координати (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тоді отримаємо:

(1)

Проаналізуємо формули (1). Визначимо час руху покинутого тіла. І тому покладемо координату y рівної нулю, т.к. у момент приземлення висота тіла дорівнює нулю. Звідси отримуємо для польоту:

Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення також має фізичне значення.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту - це значення координати наприкінці польоту, тобто. у момент часу, що дорівнює $t_0$. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна одержати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо

З рівнянь (1) можна здобути рівняння траєкторії тіла, тобто. рівняння, що зв'язує координати х та у тіла під час руху. Для цього потрібно з першого рівняння (1) виразити час:

і підставити його на друге рівняння. Тоді отримаємо:

Це рівняння є рівнянням траєкторії руху. Видно, що це рівняння параболи, розташованої гілками вниз, про що говорить знак «-» перед квадратичним доданком. Слід пам'ятати, що кут кидання $\alpha$ та її функції -- тут просто константи, тобто. постійні числа.

Тіло кинуте зі швидкістю v0 під кутом $(\mathbf \alpha)$ до горизонту. Час польоту $ t = 2 з $. Яку висоту Hmax підніметься тіло?

$$t_В = 2 з$$ $$H_max - ?$$

Закон руху тіла має вигляд:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Вектор початкової швидкості утворює з віссю ОХ кут $(\mathbf\alpha)$. Отже,

\ \ \

З вершини гори кидають під кутом = 30$()^\circ$ до горизонту камінь із початковою швидкістю $v_0 = 6 м/с$. Кут похилої площини = 30 $ () ^ \ circ $. На якій відстані від точки кидання впаде камінь?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Помістимо початок координат у точку кидання, ОХ - уздовж похилої площини вниз, OY - перпендикулярно похилій площині вгору. Кінематичні характеристики руху:

Закон руху:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Підставивши отримане значення $t_В$, знайдемо $S$:

Нехай тіло кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю (~\vec \upsilon_0\). Як і в попередніх випадках, нехтуватимемо опором повітря. Для опису руху необхідно вибрати дві осі координат - Oxі Ой(Рис. 1). Початок відліку сумісний із початковим положенням тіла. Проекції початкової швидкості на осі Ойі Ox\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Проекції прискорення: g x = 0; g y = - g.

Тоді рух тіла описуватиметься рівняннями:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad(2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt.

З цих формул випливає, що у горизонтальному напрямі тіло рухається рівномірно зі швидкістю $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, а вертикальному - рівноприскорено.

Траєкторією руху тіла буде парабола. Враховуючи, що у верхній точці параболи υ y = 0, можна знайти час t 1 підйому тіла до верхньої точки параболи:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

Підставивши значення t 1 в рівняння (3), знайдемо максимальну висоту підйому тіла:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 $ alpha)(g^2),\) $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ - максимальна висота підйому тіла.

Час польоту тіла знаходимо з умови, що при t = t 2 координати y 2 = 0. Отже, $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Звідси, $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ - час польоту тіла. Порівнюючи цю формулу з формулою (5), бачимо, що t 2 = 2 t 1 . Час руху тіла з максимальною висоти t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Отже, скільки часу тіло піднімається на максимальну висоту, стільки часу воно опускається з цієї висоти. Підставляючи в рівняння координати x(1) значення часу t 2 , знайдемо:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ - дальність польоту тіла.

Миттєва швидкість у будь-якій точці траєкторії спрямована по дотичній до траєкторії (див. рис. 1). модуль швидкості визначається за формулою

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

Таким чином, рух тіла, кинутого під кутом до горизонту або горизонтальному напрямку, можна розглядати як результат двох незалежних рухів - горизонтального рівномірного і вертикального рівноприскореного (вільного падіння без початкової швидкості або руху тіла, кинутого вертикально вгору).

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 16-17.

Розглянемо рух тіла у полі тяжкості Землі, опір повітря враховувати не будемо. Нехай початкова швидкість кинутого тіла спрямована під кутом до горизонту $α $ (рис.1). Тіло кинуто з висоти $(y=h)_0$; $x_0=0$.

Тоді в початковий час тіло має горизонтальну ($v_x$) і вертикальну ($v_y$) складові швидкості. Проекції швидкості на осі координат при $t=0$ дорівнюють:

\[\left\( \begin(array)(c) v_(0x)=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_(0y)=v_0(\sin \alpha .\ ) \end(array) \ right.\left(1\right).\]

Прискорення тіла дорівнює прискоренню вільного куріння і постійно спрямоване вниз:

\[\overline(a)=\overline(g)\left(2\right).\]

Отже, проекція прискорення на вісь X дорівнює нулю, але в вісь Y дорівнює $a_y=g.$

Так як по осі X складова прискорення дорівнює нулю, швидкість руху тіла в цьому напрямку є постійною величиною і дорівнює проекції початкової швидкості на вісь X (див.(1)). Рух тіла по осі X рівномірний.

При ситуації, зображеній на рис.1, тіло по осі Y рухатиметься спочатку вгору, а потім віз. При цьому прискорення руху тіла в обох випадках дорівнює прискоренню $\overline(g).$ На проходження шляху вгору від довільної висоти $(y=h)_0$ до максимальної висоти підйому ($h$) тіло витрачає стільки часу, скільки на падіння вниз від $h$ до $(y=h)_0$. Отже, симетричні точки щодо вершини підйому тіла лежать на однаковій висоті. Виходить, що траєкторія руху тіла симетрична щодо точки-вершини підйому - і парабола.

Швидкість руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна виразити формулою:

\[\overline(v)\left(t\right)=(\overline(v))_0+\overline(g)t\ \left(3\right),\]

де $(\overline(v))_0$ - швидкість тіла в момент кидка. Формулу (3) можна як результат складання швидкостей двох незалежних рухів за прямими лініями, у яких бере участь тіло.

Вирази для проекції швидкості на осі набувають вигляду:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_y=v_0(\sin \alpha -gt\ ) \end(array) \left(4\right ).\right.\]

Рівняння для переміщення тіла під час руху в полі тяжкості:

\[\overline(s)\left(t\right)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(5 \right),\]

де $(\overline(s))_0$ - усунення тіла в початковий момент часу.

Проектуючи рівняння (5) на осі координат X та Y, отримаємо:

\[\left\( \begin(array)(c) x=v_0(\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ ) \\ y=(h_0+v)_0(\sin \left( \alpha \right)\cdot t-\frac(gt^2)(2)\ ) \end(array) \left(6\right).\right.\]

Тіло, рухаючись вгору, має по осі Y спочатку рівноповільне переміщення, після того, як тіло досягає вершини, рух осі Y стає рівноприскореним.

Траєкторія руху матеріальної точки виходить, задана рівнянням:

За формою рівняння (7) видно, що траєкторією руху парабола.

Час підйому та польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту

Час, що витрачається тілом для того, щоб досягти максимальної висоти підйому одержують із системи рівнянь (4). . У вершині траєкторії тіло має лише горизонтальну складову, $v_y=0.$ Час підйому ($t_p$) дорівнює:

Загальний час руху тіла (час польоту ($t_(pol)))$ знаходимо з другого рівняння системи (6), знаючи, що при падінні тіла на Землю $ y = 0 $ маємо:

Дальність польоту та висота підйому тіла, кинутого під кутом до горизонту

Для знаходження горизонтальної дальності польоту тіла ($s$) за заданих нами умов рівняння координати $x$ системи рівнянь (6) слід підставити час польоту ($t_(pol)$) (9). При $h=0,$ дальність польоту дорівнює:

З виразу (9) випливає, що при заданій швидкості кидання дальність польоту максимальна при $ alpha = frac (pi) (4) $.

Максимальну висоту підйому тіла ($h_(max)$) знаходять з другого рівняння системи (6), підставляючи час підйому ($t_p$) (8):

Вираз (11) показує, що максимальна висота підйому тіла прямо пропорційна квадрату швидкості кидання і збільшується при зростанні кута кидання.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.У скільки разів зміниться час польоту тіла, яке кинули з висоти $h$ у горизонтальному напрямку, якщо швидкість кидання тіла збільшили у $n$ разів?

Рішення.Знайдемо формулу для обчислення часу польоту тіла, якщо його залишили горизонтально (рис.2).

Як основу для вирішення задачі використовуємо вираз для рівноприскореного руху тіла в полі тяжкості:

\[\overline(s)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(1.1\right).\]

Використовуючи рис.2, запишемо проекції рівняння (1.1) на осі координат:

\[\left\( \begin(array)(c) X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.\left( 1.2 \ right). \]

Під час падіння тіла на землю $y=0,$ використовуємо цей факт і висловимо час польоту з другого рівняння системи (1.2), маємо:

Як бачимо, час польоту тіла залежить від його початкової швидкості, отже, зі збільшенням початкової швидкості в $n$ раз час польоту тіла зміниться.

Відповідь.Не зміниться.

Приклад 2

Завдання.Як зміниться дальність польоту тіла у попередній задачі, якщо початкову швидкість збільшити в $n$ разів?

Рішення.Дальність польоту – це відстань, яка пройде тіло по горизонтальній осі. Це означає, що нам знадобиться рівняння:

із системи (1.2) першого прикладу. Підставивши замість $t,$ час польоту, знайдений у (1.3), ми отримаємо дальність польоту ($s_(pol)$):

З формули (2.2) ми бачимо, що за заданих умов руху дальність польоту прямо пропорційна швидкості кидання тіла, отже, у скільки разів збільшимо початкову швидкість, у стільки разів збільшиться дальність польоту тіла.

Відповідь.Дальність польоту тіла збільшиться у $n$ разів.

Розглянемо як приклад застосування виведених формул рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без опору повітря. Скажімо, на горі на висоті над рівнем моря стоїть гармата, що охороняє прибережні води. Нехай снаряд випускається під кутом до горизонту з початковою швидкістю точки, положення якої визначається радіус-вектором (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Доповнення.

Виведення рівнянь руху матеріальної точки у полі сили тяжіння

Напишемо рівняння руху (рівняння другого закону Ньютона):

це означає, що тіла - матеріальні точки - будь-яких мас за тих самих початкових умов рухатимуться в однорідному полі тяжкості однаково. Спроектуємо рівняння (2.7.2) на осі декартової системи координат. Горизонтальна вісь ОХпоказано на рис. 13 пунктиром, вісь OYпроведемо через точку Провертикально вгору, а горизонтальну вісь OZ, що також проходить через точку Про, направимо перпендикулярно вектору до нас. Отримуємо:

Вертикальним напрямом, за визначенням, називається напрям вектора, тому його проекції на горизонтальні осі OXі OYрівні нулю. У другому рівнянні враховано, що вектор спрямований вниз, а вісь OY- Вгору.

Рис. 2.17. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Додамо до рівнянь руху початкові умови, які визначають положення та швидкість тіла у початковий момент часу t 0, нехай t 0 = 0. Тоді, згідно з рис. 2.7.4

Якщо похідна деякої функції дорівнює нулю, то функція стала, відповідно з першого і третього рівнянь (2.7.3) отримуємо:

У другому рівнянні (2.7.3) похідна дорівнює константі, звідки випливає, що функція залежить від свого аргументу лінійно, тобто

Об'єднуючи (2.7.7) та (2.7.9), отримуємо остаточні вирази для залежностей проекцій швидкості на осі координат від часу:

Третє рівняння (2.7.11) показує, що траєкторія тіла плоска, повністю лежить у площині XOY, Це вертикальна площина, що визначається векторами і . Очевидно, що останнє твердження загальне: хоч би як були обрані напрямки осей координат, траєкторія тіла кинутого під кутом до горизонту плоска, вона завжди лежить у площині, яка визначається вектором початкової швидкості та вектором прискорення вільного падіння.

Якщо три рівняння (2.7.10) помножити на орти осей , , та й скласти, а потім те саме зробити з трьома рівняннями (2.7.11), то отримаємо залежність від часу вектора швидкості частинки та її радіус вектора. З урахуванням початкових умов маємо:

Формули (2.7.12) і (2.7.13) можна було отримати одразу, безпосередньо з (2.7.2), якщо врахувати, що прискорення вільного падіння є постійний вектор. Якщо прискорення - похідна від вектора швидкості - постійно, то вектор швидкості залежить від часу лінійно, а радіус-вектор, похідна за часом від якого є лінійно залежить від часу вектор швидкості, залежить від часу квадратично. Це і записано у співвідношеннях (2.7.12) та (2.7.13) з константами - постійними векторами - підібраними відповідно до початкових умов у формі (2.7.4).

З (2.7.13) зокрема видно, що радіус-вектор є сумою трьох векторів, що складаються за звичайними правилами, що показано на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Подання радіус-вектора r(t) у довільний момент часу t у вигляді суми трьох векторів

Ці вектори є:

Тут виразно проявляється принцип незалежності рухів, відомий в інших галузях фізики як принцип суперпозиції(Накладення). Взагалі кажучи, згідно з принципом суперпозиції результуючий ефект кількох впливів є сумою ефектів від кожного впливу окремо. Він є наслідком лінійності рівнянь руху.

Відео 2.3. Незалежність горизонтального та вертикального переміщень під час руху у полі тяжкості.

Помістимо початок відліку до точки кидання. Тепер =0 , осі, як і раніше, розгорнемо так, щоб вісь 0xбула горизонтальною, вісь 0у- вертикальною, а початкова швидкість лежала у площині х0у(Рис. 2.19).

Рис. 2.19. Проекції початкової швидкості на координатні осі

Спроектуємо на осі координат (див.(2.7.11)):

Траєкторія польоту. Якщо із системи отриманих рівнянь виключити час t, то отримаємо рівняння траєкторії:

Це рівняння параболи, гілки якої спрямовані вниз.

Дальність польоту при стрільбі з висоти h . У момент падіння тіла (снаряд попадає в ціль, що знаходиться на поверхні моря). Відстань по горизонталі від гармати до мети дорівнює при цьому. Підставляючи; в рівняння траєкторії, отримуємо квадратне рівняння для дальності польоту:

У квадратного рівняння є два рішення (у разі - позитивне і негативне). Нам потрібне позитивне рішення. Стандартний вираз для кореня квадратного рівняння нашого завдання може бути приведений до вигляду:

досягається при , якщо h = 0.

Максимальна дальність польоту. Під час пострілу з гори висотою це вже не так. Знайдемо кут , у якому досягається максимальна дальність польоту. Залежність дальності польоту від кута досить складна, і замість диференціювання для знаходження максимуму ми зробимо так. Уявімо, що ми збільшуємо початковий кут. Спочатку дальність польоту зростає (див. формулу (2.7.15)), досягає максимального значення і знову починає падати (до нуля при пострілі вертикально вгору). Отже, кожної дальності польоту, крім максимальної, відповідає два напрями початкової швидкості.

Звернемося знову до квадратного рівняння відносності дальності польоту та розглянемо його як рівняння для кута. Враховуючи що

перепишемо його у вигляді:

Ми знову отримали квадратне рівняння, цього разу – для невідомої величини. Рівняння має два корені, що відповідає двом кутам, при яких дальність польоту дорівнює . Але коли обидва корені повинні збігтися. Це означає, що дорівнює нулю дискримінант квадратного рівняння:

звідки слідує результат

При цьому результат відтворює формулу (2.7.16)

Зазвичай висота значно менша від дальності польоту на рівнині. При квадратний корінь може бути апроксимований першими членами розкладання в ряд Тейлора і ми отримуємо наближений вираз

тобто дальність пострілу збільшується приблизно на висоту підйому гармати.

Коли l = l maxі a = a max ,як зазначалося, дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, відповідно, його рішення має вигляд:

Оскільки тангенс менше одиниці, кут, у якому досягається максимальна дальність польоту, менше .

Максимальна висота підйому над початковою точкою.Ця величина може бути визначена з рівності нулю вертикальної складової швидкості у верхній точці траєкторії

При цьому горизонтальна складова швидкості не дорівнює нулю, тому