Як знаходити моду ряду. Середнє арифметичне

Розв'язання задач на тему: «Статистичні характеристики. Середнє арифметичне, розмах, мода та медіана

Алгебра-

7 клас

Історичні відомості

Середнє арифметичне, розмах та модазнаходять застосування у статистиці – науці, яка займається отриманням, обробкою та аналізом кількісних даних про різноманітні масові явища, що відбуваються в природі та суспільстві.
Слово «статистика» походить від латинського слова status, яке означає «стан, стан речей». Статистика вивчає чисельність окремих груп населення країни та її регіонів, виробництво та споживання
різноманітних видів продукції, перевезення вантажів та пасажирів різними видами транспорту, природні ресурси тощо.
Результати статистичних досліджень широко використовуються для практичних та наукових висновків.

Середнє арифметичне– приватна від поділу суми всіх чисел на кількість доданків

Розмах- Різниця між найбільшим і найменшим числом цього ряду
Мода– це число, яке зустрічається у наборі чисел найчастіше
Медіана– упорядкованого ряду чисел з непарним числом членів називається число, записане посередині, а медіаною впорядкованого ряду чисел із парним числом членів називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині. Медіаною довільного ряду чисел називається медіана відповідного впорядкованого ряду.

Середнє арифметичне ,

розмах та мода
знаходять застосування у статистиці – науці,
яка займається отриманням,

обробкою та аналізом

кількісних даних про різноманітні

масових явищах, що відбуваються

у природі та

суспільстві.

Завдання №1

Ряд чисел:
18 ; 13; 20; 40; 35.
Знайдіть середньо арифметичне цього ряду:

Рішення:
(18+13+20+40+35):5=25,5
Відповідь: 25,5 –середнє арифметичне

Завдання № 2

Ряд чисел:
35;16;28;5;79;54.

Знайдіть розмах ряду:

Рішення:

Найбільше 79,
Найменше число 5.
Розмах низки: 79 – 5 = 74.
Відповідь: 74

Завдання №3

Ряд чисел:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

Знайдіть розмах ряду:

Рішення:
Найбільша витрата часу – 37 хв,
а найменший – 18 хв.
Знайдемо розмах ряду:
37 - 18 = 19 (хв)

Завдання № 4

Ряд чисел:
65; 12; 48; 36; 7; 12
Знайдіть моду ряду:

Рішення:

Мода цього ряду: 12.
Відповідь: 12

Завдання № 5

Ряд чисел може мати більше однієї моди,
а може не мати.

У ряду: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
дві моди - 47 та 52.

У ряду: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 - моди немає.

Завдання № 5

Ряд чисел:
28; 17; 51; 13; 39
Знайдіть медіану цього ряду:

Рішення:

Спочатку поставити числа у порядку зростання:
13; 17; 28; 39; 51.
Медіана – 28.
Відповідь: 28

Завдання №6

В організації вели щоденний облік листів, що надійшли протягом місяця.

В результаті отримали таку низку даних:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Для отриманого ряду даних знайдіть середнє арифметичне,

Який практичний зміст цих свідчень?

Завдання № 7

Записано вартість (у рублях) пачки вершкового масла «Неженка» у магазинах мікрорайону: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани?

Рішення.

Упорядкуємо цей набір чисел за зростанням:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Оскільки число елементів ряду непарне, то медіана – це

значення, що займає середину числового ряду, тобто, M = 31.

Обчислимо середнє арифметичне цього набору чисел - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

М - m = 31 - 30 = 1

Творчих

Дата проведення __________

Тема урока: Середнє арифметичне, розмах та мода.

Цілі уроку: повторити поняття таких статистичних характеристик, як середнє арифметичне, розмах та мода, формувати вміння знаходити середні статистичні характеристики різних рядів; розвинути логічне мислення, пам'ять та увагу; виховати у дітях старанність, дисциплінованість, посидючість, акуратність; розвинути у дітей інтерес до математики.

Хід уроку

Організація класу

Повторення ( Рівняння та його коріння)

Дайте визначення рівняння з однією змінною.

Що називають коренем рівняння?

Що означає розв'язати рівняння?

Вирішити рівняння:

6х + 5 = 23 -3х 2 (х - 5) + 3х = 11 -2х 3х - (х - 5) = 14 -2х

Актуалізація знань повторити поняття таких статистичних характеристик, як середнє арифметичне, розмах, мода та медіана.

Статистика - це наука, що займається збором, обробкою, аналізом кількісних даних про різноманітні масові явища, що відбуваються в природі та суспільстві.

Середнє арифметичне - це сума всіх чисел розділена з їхньої кількість. (Середнє арифметичне називають середнім значенням числового ряду.)

Розмах ряду чисел – це різниця між найбільшим та найменшим із цих чисел.

Мода ряду чисел - Це число, яке зустрічається в даному ряду частіше за інших.

Медіаною Упорядкований ряд чисел з непарним числом членів називається число, записане посередині, а з парним числом членів називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині.

Слово статистика перекладається з латинської мови status-стан, стан речей.

Статистичні характеристики: середнє арифметичне, розмах, мода, медіана.

Засвоєння нового матеріалу

Завдання №1: 12 семикласників попросили відзначити час (у хвилинах) витрачений на виконання домашнього завдання з алгебри. Отримали такі дані: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Скільки хвилин у середньому учні витратили виконання домашнього завдання?

Рішення: 1) знайдемо середнє арифметичне:

2) знайдемо розмах ряду: 37-18 = 19 (хв)

3) мода 25.

Завдання №2: У місті Щасливому щодня вимірювали о 18-й 00 температуру повітря (у градусах Цельсія протягом 10 днів у результаті було заповнено таблиця:

Т ср = 0 З,

Розмах = 25-13 = 12 0 З,

Завдання №3: Знайти розмах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Рішення: Найбільше тут 33, найменше 2. Отже, розмах становить: 33 – 2 = 31.

Завдання №4: Знайдіть моду ряду розподілу:

а) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (мода 23);

б) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (моди: 22 та 26);

в) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (моди немає).

Завдання №5 : Знайти середнє арифметичне, розмах та моду ряду чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Рішення: 1) Найчастіше у ряді чисел зустрічається число 7 (3 разу). Воно і є модою цього ряду чисел.

Розв'язання вправ

а) Знайдіть середнє арифметичне, медіану, розмах і моду ряду чисел:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

Б) Середнє арифметичне ряду, що з десяти чисел, дорівнює 15. До цього ряду приписали число 37. Чому дорівнює середнє арифметичне нового ряду чисел.

в) У ряді чисел 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 одне число виявилося стертим. Відновіть його, знаючи, що середнє арифметичне цього ряду чисел дорівнює 14.

г) Кожен із 24 учасників змагань зі стрільби зробив по десять пострілів. Відзначаючи щоразу кількість влучень у мету, отримали наступний ряд даних: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Знайдіть для цього ряду розмах і моду. Що характеризує кожен із цих показників.

Підведення підсумків

Що таке середнє арифметичне? Мода? Медіана? Розмах?

Домашнє завдання:

№164(завдання на повторення), стр36-39 читати

№167(а,б), №177, 179

Поряд із середніми величинами як статистичні характеристики варіаційних рядів розподілу розраховуються структурні середні – модаі медіана.
Мода(Mo) є значення досліджуваного ознаки, що повторюється з найбільшою частотою, тобто. мода - значення ознаки, що зустрічається найчастіше.
Медіаною(Me) називається значення ознаки, що припадає на середину ранжированной (упорядкованої) сукупності, тобто. медіана – центральне значення варіаційного ряду.
Головна властивість медіани полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани менша, ніж від будь-якої іншої величини ∑|x i - Me|=min.

Визначення моди та медіани за несгрупованими даними

Розглянемо визначення моди та медіани за несгрупованими даними. Припустимо, робочі бригади, що з 9 людина, мають такі тарифні розряди: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Оскільки у цій бригаді найбільше робочих 3-го розряду, цей тарифний розряд буде модальним. Mo = 3.
Для визначення медіани необхідно провести ранжування: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Центральним у цьому ряду є робітник 4-го розряду, отже, цей розряд і буде медіанним. Якщо ранжований ряд включає парне число одиниць, медіана визначається як середня з двох центральних значень.
Якщо мода відбиває найпоширеніший варіант значення ознаки, то медіана практично виконує функції середньої для неоднорідної, яка підпорядковується нормальному закону розподілу сукупності. Проілюструємо її пізнавальне значення наступним прикладом.
Допустимо, нам необхідно дати характеристику середнього доходу групи людей, що налічує 100 осіб, з яких 99 мають доходи в інтервалі від 100 до 200 доларів на місяць, а місячні доходи останнього становлять 50 000 доларів (табл. 1).
Таблиця 1 – Місячні доходи досліджуваної групи людей. Якщо скористатися середньою арифметичною, то отримаємо середній дохід, що дорівнює приблизно 600 – 700 доларів, який має мало спільного з доходами основної частини групи. Медіана ж, рівна у разі Me = 163 долара, дозволить дати об'єктивну характеристику рівня доходів 99 % цієї групи людей.
Розглянемо визначення моди та медіани за згрупованими даними (рядами розподілу).
Припустимо, розподіл робітників всього підприємства загалом за тарифним розрядом має такий вид (табл. 2).
Таблиця 2 - Розподіл робітників підприємства за тарифним розрядом

Розрахунок моди та медіани для дискретного ряду

Розрахунок моди та медіани для інтервального ряду

Розрахунок моди та медіани для варіаційного ряду

Визначення моди по дискретному варіаційному ряду

Використовується побудований раніше ряд значень ознаки, відсортованих за величиною. Якщо обсяг вибірки непарний, беремо центральне значення; якщо обсяг вибірки парний, беремо середнє арифметичне двох центральних значень.
Визначення моди по дискретному варіаційному ряду: найбільшу частоту (60 осіб) має 5-й тарифний розряд, отже, він і є модальним. Mo = 5.
Для визначення медіанного значення ознаки за такою формулою знаходять номер медіанної одиниці ряду (N Me): де n - обсяг сукупності.
У нашому випадку:

.
Отримане дробове значення, що завжди має місце при парному числі одиниць сукупності, вказує, що точна середина знаходиться між 95 і 96 робітниками. Необхідно визначити, до якої групи належать робітники із цими порядковими номерами. Це можна зробити, розрахувавши накопичені частоти. Робітників із цими номерами немає у першій групі, де лише 12 людина, немає їх у другій групі (12+48=60). 95-й та 96-й робітники перебувають у третій групі (12+48+56=116), отже, медіанним є 4-й тарифний розряд.

Розрахунок моди та медіани в інтервальному ряду

На відміну від дискретних варіаційних рядів визначення моди та медіани за інтервальними рядами вимагає проведення певних розрахунків на основі таких формул:

, (5.6)
де x 0- нижня межа модального інтервалу (модальним називається інтервал, що має найбільшу частоту);
i- Величина модального інтервалу;
f Mo- Частота модального інтервалу;
f Mo -1– частота інтервалу, що передує модальному;
f Mo +1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

(5.7)
де x 0- нижня межа медіанного інтервалу (медіанним називається перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину загальної суми частот);
i- Величина медіанного інтервалу;
S Me -1– накопичена інтервалу, що передує медіанному;
f Me- Частота медіанного інтервалу.
Проілюструємо застосування цих формул, використовуючи дані табл. 3.
Інтервал із межами 60 – 80 у цьому розподілі буде модальним, т.к. він має максимальну частоту. Використовую формулу (5.6), визначимо моду:

Для встановлення медіанного інтервалу необхідно визначати накопичену частоту кожного наступного інтервалу доти, доки вона не перевищить половини суми накопичених частот (у нашому випадку 50%) (табл. 5.11).
Встановили, що медіанним є інтервал із межами 100 – 120 тис. руб. Визначимо тепер медіану:

Таблиця 3 - Розподіл населення РФ за рівнем середньодушових номінальних грошових доходів у березні 1994р.

групи за рівнем середньодушового місячного доходу, тис. руб.	Питома вага населення, %
До 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Понад 300	7,7
Разом	100,0

Таблиця 4 - Визначення медіанного інтервалу
Таким чином, як узагальнену характеристику значень певної ознаки в одиниць ранжованої сукупності можуть бути використані середня арифметична, мода і медіана.
Основною характеристикою центру розподілу є середня арифметична, для якої характерно те, що всі відхилення від неї (позитивні та негативні) у сумі дорівнюють нулю. Для медіани характерно, що сума відхилень від неї за модулем є мінімальною, а мода є значенням ознаки, яке найчастіше зустрічається.
Співвідношення моди, медіани та середньої арифметичної вказує на характер розподілу ознаки в сукупності, що дозволяє оцінити його асиметрію. У симетричних розподілах всі три показники збігаються. Чим більша розбіжність між модою і середньою арифметичною, тим асиметричніший ряд. Для помірно асиметричних рядів різниця між модою та середньою арифметичною приблизно втричі перевищує різницю між медіаною та середньою, тобто:
|Mo –`x| = 3 | Me - x |.

Визначення моди та медіани графічним методом

Моду та медіану в інтервальному ряду можна визначити графічно. Мода визначається за гістограмою розподілу. Для цього вибирається найвищий прямокутник, який є в даному випадку модальним. Потім праву вершину модального прямокутника з'єднуємо з верхнім правим кутом попереднього прямокутника. А ліву вершину модального прямокутника – з верхнім лівим кутом наступного прямокутника. З точки їхнього перетину опускаємо перпендикуляр на вісь абсцис. Абсцис точки перетину цих прямих і буде модою розподілу (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Графічне визначення моди за гістограмою.

Рис. 5.4. Графічне визначення медіани за кумулятом
Для визначення медіани з точки на шкалі накопичених частот (частин), що відповідає 50%, проводиться пряма, паралельна осі абсцис до перетину з кумулятою. Потім із точки перетину опускається перпендикуляр на вісь абсцис. Абсцис точки перетину є медіаною.

Квартили, децилі, перцентілі

Аналогічно з знаходженням медіани в варіаційних рядах розподілу можна знайти значення ознаки у будь-якій порядку одиниці ранжованого ряду. Так, наприклад, можна знайти значення ознаки у одиниць, що ділять ряд на чотири рівні частини, на 10 або на 100 частин. Ці величини називаються "квартілі", "децили", "перцентілі".
Квартілі є значенням ознаки, що ділить ранжовану сукупність на 4 рівновеликі частини.
Розрізняють квартиль нижній (Q 1), що відокремлює ¼ частина сукупності з найменшими значеннями ознаки, і квартиль верхній (Q 3), що осікає ¼ частина з найбільшими значеннями ознаки. Це означає, що 25 % одиниць сукупності будуть меншими за величиною Q 1 ; 25% одиниць будуть укладені між Q1 і Q2; 25% - між Q2 і Q3, а решта 25% перевищують Q3. Середнім квартилем Q2 є медіана.
Для розрахунку квартилів за інтервальним варіаційним рядом використовуються формули:

,
де x Q 1– нижня межа інтервалу, що містить нижній квартиль (інтервал визначається за накопиченою частотою, що перша перевищує 25 %);
x Q 3- нижня межа інтервалу, що містить верхній квартиль (інтервал визначається за накопиченою частотою, першою, що перевищує 75%);
i- Величина інтервалу;
S Q 1-1– накопичена частота інтервалу, що передує інтервалу, що містить нижній квартиль;
S Q 3-1- накопичена частота інтервалу, що передує інтервалу, що містить верхній квартиль;
f Q 1- Частота інтервалу, що містить нижній квартиль;
f Q 3- Частота інтервалу, що містить верхній квартиль.
Розглянемо розрахунок нижнього та верхнього квартилів за даними табл. 5.10. Нижній квартиль знаходиться в інтервалі 60 - 80, накопичена частота якого дорівнює 335%. Верхній квартиль лежить в інтервалі 160 – 180 із накопиченою частотою 75,8 %. З урахуванням цього отримаємо:
,
.
Окрім квартилів у варіаційних радах розподілу можуть визначатися децилі – варіанти, що ділять ранжований варіаційний ряд на десять рівних частин. Перший дециль (d 1) ділить сукупність у співвідношенні 1/10 до 9/10, другий дециль (d 1) - у співвідношенні 2/10 до 8/10 і т.д.
Обчислюються вони за формулами:

.
Значення ознаки, що ділять ряд на 100 частин, називаються перцентилями. Співвідношення медіани, квартилів, децилів та перцентилів представлені на рис. 5.5.

Слєпньов Павло

У курсі алгебри 7 класу у підручнику за редакцією Теляковського пропонується матеріал зі статистики "Середнє арифметичне, розмах та мода". Учень у своїй роботі пропонує приклади до розгляду цієї теми, які запропонували його однокласники.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МУ Відділ освіти МО «Тарбагатайський район»

МБОУ «Заводська ЗОШ»

«Середнє арифметичне, розмах та мода»

Виконав: Слєпнєв Павло, учень 7 класу

Науковий керівник:

Улаханова Марина Родіонівна,

учитель математики

2012 рік

Введення Стор. 3

Основна частина Стр.4-9

Теорія питання Стр.4-6

Міні-проекти Стр.7-9

Висновок Стор.9

Список литературы Стр.10

Вступ

Актуальність

Цього навчального року ми почали вивчати два предмети: алгебру та геометрію. При вивченні алгебри щось мені знайоме з курсу 5,6 класів, щось ми вивчаємо більш ґрунтовно та поглиблено, багато чого дізнаємося про новий. Ось нове для мене щодо алгебри – це знайомство з деякими статистичними характеристиками: розмах і мода. Із середнім арифметичним ми зустрічалися вже раніше. Ще цікавим виявилося, що ці характеристики застосовуються не тільки на уроках математики, а й у житті, на практиці (у виробництві, сільському господарстві, спорті тощо).

Постановка проблеми

Коли ми в класі на уроці вирішували завдання до цього пункту, то виникла ідея скласти самим завдання та підготувати до них презентації, тобто хіба що почати створювати свій задачник. Кожен вигадує завдання, робить до неї презентацію, ніби кожен працює над своїм міні-проектом, а на уроці все разом вирішуємо, обговорюємо. Якщо допущені помилки, їх виправляємо. А насамкінець провести публічний захист цих міні-проектів.

Ціль моєї роботи: вивчення статистики.

Завдання: розпочати розробку задачника зі статистики як комп'ютерних презентацій.

Предмет дослідження: статистика.

Об'єкт дослідження: статистичні характеристики (середнє арифметичне, розмах, мода).

Методи дослідження:

Вивчення літератури на цю тему.
Аналіз даних.
Використання Інтернет-ресурсів.
Використання програми Power Point.
Узагальнення зібраних матеріалів на цю тему.

Основна частина.

Теорія питання

Під час вивчення розділу «Статистичні характеристики» ми познайомилися з такими поняттями: середнє арифметичне, розмах, мода. Ці показники знаходять застосування у статистиці. Ця наука вивчає чисельність окремих груп населення країни та її регіонів, виробництво та споживання різноманітних видів продукції, перевезення вантажів та пасажирів різними видами транспорту, природні ресурси тощо.

"Статистика знає все", - стверджували Ільф і Петров у своєму знаменитому романі "Дванадцять стільців" і продовжували: "Відомо, скільки якої їжі з'їдає в рік середній громадянин республіки ... Відомо, скільки в країні мисливців, балерин, верстатів, велосипедів, пам'ятників, маяків і швейних машинок… Як багато життя, сповненого запалу, пристрастей і думки, дивиться на нас зі статистичних таблиць!..” Цей іронічний опис дає досить точне уявлення про статистику (від лат. status – стан) – науці, що вивчає, обробляє і що аналізує кількісні дані про найрізноманітніші масові явища в житті.

Економічна статистика вивчає зміну цін, попиту та пропозиції на товари, прогнозує зростання та падіння виробництва та споживання.

Медична статистика вивчає ефективність різних ліків та методів лікування, ймовірність виникнення деякого захворювання залежно від віку, статі, спадковості, умов життя, шкідливих звичок, прогнозує поширення епідемій.

Демографічна статистика вивчає народжуваність, чисельність населення, його склад (віковий, національний, професійний).

А ще є фінансова, податкова, біологічна, метеорологічна статистика.

У шкільному курсі алгебри ми розглядаємо поняття та методи описової статистики, яка займається первинною обробкою інформації та обчисленням найбільш показових числових характеристик. За словами англійського статистика Р. Фішера: "Статистика може бути охарактеризована як наука про скорочення та аналіз матеріалу, отриманого в спостереженнях". Усю сукупність числових даних, отриманих у вибірці, можна (умовно) замінити декількома числовими параметрами, деякі з них ми вже розглядали на уроках – це середнє арифметичне, розмах, мода. Результати статистичних досліджень широко використовуються для практичних та наукових висновків, тому важливо вміти визначати ці статистичні характеристики.

Статистичні характеристики нашого часу зустрічаються скрізь. Наприклад, перепис населення. Завдяки цьому перепису держава дізнається скільки потрібно грошей на будівництво житла, шкіл, лікарень, скільки людей потребують житла, скільки дітей у сім'ї, кількість безробітних, рівень зарплати тощо. Результати цього перепису зрівняють з минулим, чи подивляться піднялася країна за цей час чи становище стало гіршим, можна буде порівняти дані з результатами в інших країнах. У промисловості велике значення має мода. Наприклад, товар, який має великий попит - завжди продаватимуть, а фабрики матимуть великі гроші. І таких прикладів безліч.

Результати статистичних досліджень широко використовуються для практичних та наукових висновків.

Визначення 1. Середнім арифметичним ряду чисел називається частка від поділу суми цих чисел на число доданків.

Приклад: Під час вивчення навчального навантаження виділили групу з 12 учнів 7 класу. Просили відзначити у певний день час (у хвилинах), витрачений на виконання домашнього завдання з алгебри. Отримали такі дані:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Маючи цей ряд даних, можна визначити, скільки хвилин у середньому витратили учні на виконання домашнього завдання з алгебри. Для цього треба скласти вказані 12 чисел та отриману суму розділити

на 12: ==27.

Число 27, отримане в результаті, називають середнім арифметичним ряду чисел, що розглядається.

Середнє арифметичне є важливою характеристикою ряду чисел, але іноді корисно розглядати й інші.середні.

Визначення 2. Модою ряду чисел називається число, яке зустрічається в цьому ряду найчастіше.

Приклад: При аналізі відомостей про час, витрачений учнями виконання домашнього завдання з алгебри, нас можуть зацікавити як середнє арифметичне і розмах отриманого низки даних, а й інші показники. Наприклад, цікаво знати, який час є типовим виділеної групи учнів, тобто. яке число зустрічається у ряді даних найчастіше. Неважко помітити, що в нашому прикладі це число 25. кажуть, що число 25 - мода ряду, що розглядається.

Ряд чисел може мати більше однієї моди, а може не мати моди зовсім. Наприклад, у ряді чисел 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 дві моди - це числа 47 і 52, так як кожне з них зустрічається в ряді по три рази, а решта числа – менше трьох разів.

У ряді чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моди немає.

Моду низки даних зазвичай знаходять, коли хочуть виявити певний типовий показник. Мода-показник, який широко використовується у статистиці. Одним із найчастіших використань моди є вивчення попиту. Наприклад, при вирішенні питань, в пачки якої ваги фасувати масло, які відкривати авіарейси і т. п., попередньо вивчається попит і виявляється мода - замовлення, що найчастіше зустрічається.

Проте перебування середнього арифметичного чи моди які завжди дозволяє робити надійні висновки з урахуванням статистичних даних. якщо ми маємо ряд даних, то для обґрунтованих висновків і надійних прогнозів на їх основі, крім середніх значень, треба ще вказати, наскільки дані розрізняються між собою. Одним із статистичних показників відмінності або розкиду даних є розмах.

Визначення 3. Розмахом ряду чисел називається різниця між найбільшим та найменшим із цих чисел.

Приклад: У розглянутому вище прикладі ми виявили, що у середньому учні витратили виконання домашнього завдання з алгебри по 27 хвилин. Проте аналіз проведеного низки даних показує, що час, витрачений деякими учнями, значно відрізняється від 27 хвилин, тобто. від середньої арифметичної. Найбільша витрата дорівнює 37 хвилин, а найменша – 18 хвилин. Різниця між найбільшою та найменшою витратою часу становить 19 хвилин. Ось у цьому випадку розглядається ще одна статистична характеристика – розмах. Розмах ряду знаходять, коли хочуть визначити, наскільки великий розкид даних у ряду.

Міні-проекти

А тепер хочу подати результати нашої роботи: міні-проекти для створення задачника зі статистики.

Я працюю в салоні-магазині Супер-авто головним менеджером відділу продажів. Наш салон надавав автомобілі для участі у грі «повний привід». Минулого року на виставці-продажі наші машини мали успіх! Результати продажів такі:

Продано машин першого дня	Продано машин на другий день	Продано машин на третій день	Продано машин на четвертий день	Продано машин на п'ятий день

Відділу продажів необхідно підбити підсумки виставки:

Скільки в середньому продавалося машин на день?
Яким є розкид кількості машин за період виставки-продажу?
Скільки найчастіше продавалося машин на день?

Відповідь: у середньому було продано по 150 машин на день, розкид кількості проданих машин становив – 150, на день найчастіше продавалося 100 машин.

Я, Анастасія Волочкова, була запрошена до журі на фінал конкурсу «Льод та полум'я». Конкурс проходив у місті Санкт-Петербурзі. У фінал вийшли три пари найсильніших фігуристів: 1 пара. Батуєва Аліна та Хлібодарів Кирило, 2 пари. Селянська Юлія та Кушнарьов Павло, 3пара. Заграєва Анастасія та Афанасьєв Дмитро. Журі: Анастасія Волочкова, Олена Малишева, Олексій Далматов. Журі виставили такі оцінки:

Знайдіть середнє арифметичне, розмах моду в рядах оцінок кожної пари.

Відповідь:

Підсумки	Середнє арифметичне	Розмах	Мода
1 пара	5.43
2 пари	5.27
3 пари	5.23		ні

Цього року я побувала у м. Санкт-Петербург на змаганнях з бальних танців. У конкурсі брали участь три гарні пари: Сушенцова Олена та Хлібодаров Кирило, Батуєва Аліна та Слєпньов Павло, Джаніашвілі Вікторія та Ткачов Валерій.

За виступи пари отримали такі оцінки:

Знайти середню оцінку, розмах та моду.

Відповідь:

Пари	Середнє арифметичне	Розмах	Мода
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Я директор магазину модного одягу та аксесуарів «Fashion». Магазин приносить гарний прибуток. Показники продажів за минулий рік:

915т.р.

1млн 150т.р.

1 млн.

980т.р.

2 млн.

3т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

950т.р.

3 млн.

100т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

750т.р.

2млн.

950т.р.

4 млн.

250т.р.

Перші 2-3 місяці прибуток доходив до 2 мільйонів на місяць. Вже після прибутку зростала до 4 мільйонів. Найвдалішими місяцями були: грудень та травень. У травні переважно купували сукні для випускних балів, а у грудні для новорічної урочистості.

Питання мого головного бухгалтера: які результати нашої роботи за рік?

Відповідь:

Середнє арифметичне	2 745 000 руб
Розмах	4 158 500 руб
Мода	2 950 000 руб

Ми організували тюнінг-майстерню Turbo. За перший тиждень нашої роботи ми заробили: першого дня – 120 000 $, другого дня – 350 000 $, третього дня – 99 000 $, четвертого дня – 120 00 $. Підрахуйте який наш середній дохід у день, який розрив між найбільшим і найменшим заробітком і яка сума частіше повторюється?

Відповідь: середня арифметична - 172 250 $, розмах - 251 000 $, мода - 120 000 $.

Висновок

На закінчення я хочу сказати, що мені подобається ця тема. Статистичні характеристики дуже зручні, їх можна використовувати скрізь. Загалом, вони порівнюють, прагнуть прогресу і допомагають дізнатися думку народу. У ході роботи над цією темою я познайомився з наукою статистикою, дізнався про деякі поняття (середнє арифметичне, розмах і мода), де ця наука може бути застосовна, розширив свої знання і в інформатиці. Я, думаю, що наші завдання як приклади для освоєння цих понять стануть у нагоді й іншим! Продовжуватимемо знайомство в цій наукою і створювати свої завдання!

Ось і закінчилася моя подорож у світ математики, інформатики та статистики. Але я думаю, що не останнє. Я ще багато хочу пізнати! Як сказав Галілео Галілей: "Природа формулює свої закони мовою математики". І я хочу опанувати цю мову!

Список літератури

Бунимович Є.А., Буличов В.А. « Імовірність та статистика в курсі математики загальноосвітньої школи», М.: Педагогічний університет "Перше вересня", 2005
Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. "Алгебра, 7 клас", М: "Освіта", 2009
Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г. « Алгебра. Елементи статистики та теорії ймовірностей», 7 – 9 класи. - М.: Просвітництво, 2005.

Рецензія

Предметом дослідження учня є статистика.

Об'єктом дослідження – статистичні характеристики (середнє арифметичне, розмах, мода).

Учень для ознайомлення із теорією питання вивчив наукові джерела, Інтернет-ресурси.

Вибрана тема актуальна для учня, який виявляє інтерес до математики, інформатики, статистики. Для його віку проаналізовано достатній матеріал, проведено відбір даних, узагальнено. Учень достатньо володіє ІКТ.

Робота оформлена відповідно до вимог.

Наприкінці дослідження зроблено висновок, представлений практичний продукт: презентації завдань зі статистики. Тішить, що людина так захоплена математикою.

Науковий керівник: Улаханова МР,

учитель математики

Основні поняття

Для експериментальних даних, отриманих за вибіркою, можна визначити ряд числових характеристик (заходів).

Мода - числове значення, яке зустрічається у вибірці найчастіше. Мода позначається іноді як Мо.

Наприклад, у ряді значення (2 6 6 8 9 9 9 10) модою є 9, тому що 9 зустрічається чаші будь-якого іншого числа.

Мода є найбільш часто зустрічається значення (у цьому прикладі це 9) а чи не частоту встречаемости цього значення (у цьому прикладі рівну 3).

Моду знаходять згідно з правилами

1. У разі коли всі значення у вибірці зустрічаються однаково часто, прийнято вважати, що цей вибірковий ряд не має моди.

Наприклад, 556677 – у цій вибірці моди немає.

2. Коли два сусідніх (суміжних) значення мають однакову частоту та їх частота більша за частоти будь-яких інших значень, мода обчислюється як середнє арифметичне цих двох значенні.

Наприклад, у вибірці 1 2 2 2 5 5 5 6 частоти поруч розташованих значенні 2 і 5 збігаються і дорівнюють 3. Ця частота більша ніж частота інших значенні 1 і 6 (у яких вона дорівнює 1).

Отже, модою цього ряду буде величина .

3) Якщо два несуміжні (не сусідні) значення у вибірці мають рівні частоти, які більше частот будь-якого іншого значення, то виділяють дві моди. Наприклад, у рядку 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 модами є значення 11 і 14. У такому випадку кажуть, що вибірка є бімодальної.

Можуть існувати і так звані мультимодальні розподіли, що мають понад дві вершини (мод)

4) Якщо мода оцінюється по безлічі згрупованих даних, то знаходження моди необхідно визначити групу з максимальною частотою ознаки. Ця група називається модальною групою.

Медіана - позначається Меі визначається як величина по відношенню до якої принаймні 50% вибіркових значенні менше за неї і принаймні 50% - більше.

Медіана - це значення, яке ділить впорядковане безліч даних навпіл.

Завдання 1. Знайдемо медіану вибірки 9 3 5 8 4 11 13

Рішення Спочатку упорядкуємо вибірку за величинами значенні, що входять до неї. Отримаємо, 3 4 5 8 9 11 13. Оскільки у вибірці сім елементів, четвертий по порядку елемент матиме значення більше ніж перші три і менше ніж останні три. Таким чином, медіаною буде четвертий елемент.

Завдання 2. Знайдемо медіану вибірки 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Упорядкуємо вибірку 1, 4, 9, 11, 13, 20 Оскільки тут є парне число елементів, існує дві «середини» - 9 і 13 У цьому випадку медіана визначається як середнє арифметичне цих значень

Середнє арифметичне

Середнє арифметичне ряду з n числових значень підраховується як

Щоб показати оманливість цього показника, наведемо відомий приклад: в одному купе вагона помістилася бабуся 60 років із чотирма онуками: один – 4 роки, двоє – по 5 років та один – 6 років. Середнє арифметичне віку всіх пасажирів цього купе 80/5 = 16. В іншому купе розташувалася компанія молоді: двоє – 15-річних, один – 16-річний та двоє – 17-річних. Середній вік пасажирів цього купе також дорівнює 80/5 = 16. Таким чином, за середніми арифметичними пасажири цих купе не відрізняються. Але якщо звернутися до показника стандартного відхилення, виявиться, що середній розкид щодо середнього віку в першому випадку виявиться 24,6, а в другому випадку 1.

Крім того, середня виявляється досить чутливою до дуже маленьких або дуже великих величин, що відрізняється від основних значень вимірюваних характеристик. Нехай 9 осіб мають дохід від 4500 до 5200 тисяч доларів на місяць. Величина їхнього середнього доходу дорівнює 4900 доларів Якщо ж до цієї групи додати людину, яка має дохід у 20000 тис доларів на місяць, то середня всієї групи зміститься і виявиться рівною 6410 доларів, хоча ніхто з усієї вибірки (крім однієї людини) реально не отримує такої суми.

Зрозуміло, що аналогічне зміщення, але в протилежний бік можна отримати і в тому випадку, якщо додати до цієї групи людину з дуже маленьким річним доходом.

Розкид вибірки

Розкид ( розмахом) вибірки- Різниця між максимальною і мінімальною величинами даного конкретного варіаційного ряду. Позначається літерою R.

Розмах = максимальне значення – мінімальне значення

Зрозуміло, що сильніше варіює вимірюваний ознака, тим більше величина R, і навпаки.

Однак може статися так, що у двох вибіркових рядів і середні, і розмах збігаються, проте характер варіювання цих рядів буде різним.

Дисперсія

Дисперсія являє собою міру розсіювання випадкової величини (змінної), що найчастіше використовується.

Дисперсія – середнє арифметичне квадратів відхилень значень змінної від її середнього значення