Як знайти найменше загальне кратне двох чисел. Номінок двох чисел, алгоритм евкліда

Розглянемо рішення наступного завдання. Крок хлопчика становить 75 см, а крок дівчинки 60 см. Необхідно знайти найменшу відстань, на якій вони обидва зроблять за кількістю кроків.

Рішення.Весь шлях що пройдуть guys, повинен ділитися без залишку на 60 та на 70, тому що вони повинні зробити кожну цілу кількість кроків. Інакше кажучи, у відповіді має бути число, кратне як 75 і 60.

Спочатку виписуватимемо всі кратні числа, для числа 75. Отримуємо:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Тепер випишемо числа, які будуть кратні 60. Отримуємо:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Тепер знаходимо числа, які є в обох рядах.

• Загальними кратними чисел будуть числа, 300, 600 і т.д.

Найменше їх, це число 300. Воно у разі буде називатися найменшим загальним кратним чисел 75 і 60.

Повертаючись до умови завдання, найменша відстань, на якій хлопці зроблять цілу кількість кроків, буде 300 см. Хлопчик пройде цей шлях за 4 кроки, а дівчинці потрібно зробити 5 кроків.

Визначення найменшого загального кратного

• Найменшим загальним кратним двох натуральних чисел a та b називається найменше натуральне число, яке кратне як a, так і b.

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне двох чисел, не обов'язково виписати підряд всі кратні для цих чисел.

Можна скористатися таким методом.

Як знайти найменше загальне кратне

Спочатку необхідно розкласти ці числа на прості множники.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Тепер випишемо всі множники, які є в розкладанні першого числа (2,2,3,5) і додамо до нього всі множники, що відсутні, з розкладання другого числа (5).

Отримаємо у результаті ряд простих чисел: 2,2,3,5,5. Добуток цих чисел і буде найменшим загальним співмножником для цих чисел. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

Загальна схема знаходження найменшого загального кратного

• 1. Розкласти числа на прості множники.
• 2. Виписати прості множники, які входять до складу одного з них.
• 3. Додати до цих множників усі ті, які є в розкладанні решти, але немає у вибраному.
• 4. Знайти добуток усіх виписаних співмножників.

Цей спосіб універсальний. З його допомогою можна знайти найменшу загальну кратність будь-якої кількості натуральних чисел.

Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Найменша загальна кратна (НОК) групи чисел – це найменше число, яке ділиться без залишку на кожне число групи. Щоб знайти найменше загальне кратне, потрібно знайти прості множники цих чисел. Також НОК можна обчислити за допомогою інших методів, які застосовуються до груп з двох і більше чисел.

Кроки

Ряд кратних чисел

Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких менше 10. Якщо дані великі числа, скористайтеся іншим методом.

• Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 5 та 8. Це невеликі числа, тому можна використати даний метод.

1. Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Кратні числа можна подивитися в таблиці множення.

   • Наприклад, числами, які кратні 5 є: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишіть ряд чисел, які кратні першому числу.Зробіть це під кратними числами першого числа, щоби порівняти два ряди чисел.

   • Наприклад, числами, які кратні 8, є: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 та 64.

3. Знайдіть найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел.Можливо вам доведеться написати довгі ряди кратних чисел, щоб знайти загальне число. Найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел, є найменшим загальним кратним.

   • Наприклад, найменшим числом, яке є у рядах кратних чисел 5 і 8, є число 40. Тому 40 – це найменше загальне кратне чисел 5 і 8.

   Розкладання на прості множники

   1. Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких більше 10. Якщо дано менші числа, скористайтеся іншим методом.

      • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 20 та 84. Кожне з чисел більше 10, тому можна використовувати цей метод.

   2. Розкладіть на прості множники перше число.Тобто потрібно знайти такі прості числа, при перемноженні яких вийде це число. Знайшовши прості множники, запишіть у вигляді рівності.

      • Наприклад, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)і 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Таким чином, простими множниками числа 20 є числа 2, 2 та 5. Запишіть їх у вигляді виразу: .

   3. Розкладіть на прості множники друге число.Зробіть це так, як ви розкладали на множники перше число, тобто знайдіть такі прості числа, при перемноженні яких вийде дане число.

      • Наприклад, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)і 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Таким чином, простими множниками числа 84 є числа 2, 7, 3 та 2. Запишіть їх у вигляді виразу: .

   4. Запишіть множники, спільні для обох чисел.Запишіть такі множники як операції множення. У міру запису кожного множника закреслюйте його в обох виразах (вирази, що описують розкладання чисел на прості множники).

      • Наприклад, загальним для обох чисел є множник 2, тому напишіть 2 × (\displaystyle 2\times )і закресліть 2 в обох виразах.
      • Спільним для обох чисел є ще один множник 2, тому напишіть 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)і закресліть другу 2 в обох виразах.

   5. До операції множення додайте множники, що залишилися.Це множники, які не закреслені в обох виразах, тобто множники, які не є спільними для обох чисел.

      • Наприклад, у виразі 20 = 2×2×5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)закреслені обидві двійки (2), тому що вони є загальними множниками. Не закреслено множник 5, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • У виразі 84 = 2×7×3×2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)також закреслено обидві двійки (2). Чи не закреслені множники 7 і 3, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Обчисліть найменшу загальну кратну.Для цього перемножте числа записаної операції множення.

      • Наприклад, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Таким чином, найменше загальне кратне 20 та 84 дорівнює 420.

      Знаходження спільних дільників

      1. Намалюйте сітку як для гри в хрестики-нуліки.Така сітка є дві паралельні прямі, які перетинаються (під прямим кутом) з іншими двома паралельними прямими. Таким чином, вийдуть три рядки та три стовпці (сітка дуже схожа на значок #). Перше число напишіть у першому рядку та другому стовпці. Друге число напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

         • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 18 та 30. Число 18 напишіть у першому рядку та другому стовпці, а число 30 напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

      2. Знайдіть дільник, загальний обох чисел.Запишіть його у першому рядку та першому стовпці. Краще шукати прості дільники, але це не є обов'язковою умовою.

         • Наприклад, 18 та 30 – це парні числа, тому їх спільним дільником буде число 2. Таким чином, напишіть 2 у першому рядку та першому стовпці.

      3. Розділіть кожну кількість на перший дільник.Кожне окреме запишіть під відповідним числом. Частка – це результат розподілу двох чисел.

         • Наприклад, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)тому запишіть 9 під 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)тому запишіть 15 під 30.

      4. Знайдіть дільник, загальний обох приватних.Якщо такого дільника немає, пропустіть наступні два кроки. В іншому випадку дільник запишіть у другому рядку та першому стовпці.

         • Наприклад, 9 і 15 діляться на 3, тому запишіть 3 у другому рядку та першому стовпці.

      5. Розділіть кожну приватну на другий дільник.Кожен результат поділу запишіть під відповідним приватним.

         • Наприклад, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)тому запишіть 3 під 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)тому запишіть 5 під 15.

      6. Якщо потрібно, доповніть сітку додатковими осередками.Повторюйте описані дії, доки приватні не мають спільного дільника.

      7. Обведіть кружками числа в першому стовпці та останньому рядку сітки.Потім виділені числа запишіть як операції множення.

         • Наприклад, числа 2 і 3 перебувають у першому стовпці, а числа 3 і 5 перебувають у останньому рядку, тому операцію множення запишіть так: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

      8. Знайдіть результат множення чисел.Так ви обчислите найменше загальне кратне двох даних чисел.

         • Наприклад, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Таким чином, найменше загальне кратне 18 та 30 дорівнює 90.

      Алгоритм Евкліда

      1. Запам'ятайте термінологію, пов'язану з операцією поділу.Ділене - це число, яке ділять. Дільник – це число, яким ділять. Частка – це результат розподілу двох чисел. Залишок – це число, що залишилося при розподілі двох чисел.

         • Наприклад, у виразі 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)зуп. 3:
           15 – це ділене
           6 – це дільник
           2 – це приватне
           3 – це залишок.

Найбільший спільний дільник

Визначення 2

Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число $b$, $b$ називають дільником числа $a$, а число $a$ називають кратним числа $b$.

Нехай $a$ та $b$-натуральні числа. Число $c$ називають спільним дільником і для $a$ і $b$.

Безліч спільних дільників чисел $a$ і $b$ звичайно, оскільки жоден із цих дільників не може бути більшим, ніж $a$. Отже, серед цих дільників є найбільший, який називають найбільшим спільним дільником чисел $a$ і $b$ і для його позначення використовують записи:

$НОД \ (a; b) \ або \ D \ (a; b) $

Щоб знайти найбільший спільний дільник двох, чисел необхідно:

1. Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.

Приклад 1

Знайти НОД чисел $121$ і $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Вибрати числа, які входять до розкладання цих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.

$НОД=2\cdot 11=22$

Приклад 2

Знайти НОД одночленів $63$ і $81$.

Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього:

Розкладемо числа на прості множники

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Вибираємо числа, що входять до розкладання цих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Знайдемо добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.

$НОД=3\cdot 3=9$

Знайти НОД двох чисел можна і по-іншому, використовуючи безліч дільників чисел.

Приклад 3

Знайти НОД чисел $48$ та $60$.

Рішення:

Знайдемо безліч дільників числа $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Тепер знайдемо безліч дільників числа $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Знайдемо перетин цих множин: $ \ left \ (( \ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - це безліч буде визначати безліч спільних дільників чисел $ 48 $ і $ 60 $. Найбільший елемент у даній множині буде число $12$. Значить, найбільший спільний дільник чисел $48$ і $60$ буде $12$.

Визначення НОК

Визначення 3

Загальним кратним натуральних чисел$a$ і $b$ називається натуральне число, яке кратне $a$ і $b$.

Загальними кратними чисел називаються числа які діляться на вихідні без залишку.

Найменше із загальних кратних буде називатися найменшим загальним кратним і позначається НОК$(a;b)$ або K$(a;b).$

Щоб знайти НОК двох чисел, необхідно:

1. Розкласти числа на прості множники
2. Виписати множники, що входять до складу першого числа та додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого

Приклад 4

Знайти НОК чисел $99$ та $77$.

Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього

Розкласти числа на прості множники

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Виписати множники, що входять до складу першого

додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого

Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2.Отримане число і буде шуканим найменшим загальним кратним

$НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$

Упорядкування списків дільників чисел часто дуже трудомістке заняття. Існує спосіб знаходження НОД, який називається алгоритмом Евкліда.

Твердження, на яких заснований алгоритм Евкліда:

Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, причому $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, такі що $b

Користуючись $D(a;b)= D(a-b;b)$, можна послідовно зменшувати ці цифри до тих пір, поки не дійдемо до такої пари чисел, що одне з них ділиться на інше. Тоді найменше з цих чисел і буде шуканим найбільшим спільним дільником для чисел $a$ і $b$.

Властивості НОД та НОК

1. Будь-яке загальне кратне чисел $a$ і $b$ ділиться на K$(a;b)$
2. Якщо $a\vdots b$ , то $(a;b)=a$

Якщо К$(a;b)=k$ і $m$-натуральне число, то К$(am;bm)=km$

Якщо $d$-загальний дільник для $a$ і $b$, то К($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $

Якщо $a\vdots c$ і $b\vdots c$ , то $\frac(ab)(c)$ - загальне кратне чисел $a$ і $b$

Для будь-яких натуральних чисел $a$ і $b$ виконується рівність

$D(a;b)\cdot До(a;b)=ab$

Будь-який спільний дільник чисел $a$ і $b$ є дільником числа $D(a;b)$

Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК та НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на звичайні множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількості чисел, а також приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто спочатку нам належить знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.

Знайдемо НОД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56, 70 = 56 · 1 +14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14 .

Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК(126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Відповідь:

НОК (126, 70) = 630 .

приклад.

Чому дорівнює НОК(68, 34)?

Рішення.

Так як 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34:34 = 68 .

Відповідь:

НОК(68, 34) = 68 .

Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b, то найменше загальне кратне цих чисел дорівнює a.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .

Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).

Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо добуток із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладі числа 75 і в розкладі числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7. Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050.

приклад.

Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.

Рішення.

Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:

Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладах (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:

НОК(441, 700) = 44100 .

Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b.

Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .

Рішення.

Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2 , 2 , 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо множники 2 , 3 , 3 і 3 з розкладання числа 648 , що відсутні , отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7 , який дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .

Відповідь:

НОК(84, 648) = 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Найменше загальне кратне трьох чи більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне перебування НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Теорема.

Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … , m k =НОК(m k−1 , a k) .

Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.

приклад.

Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .

Рішення.

У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Спочатку знаходимо m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .

Тепер знаходимо m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3 . Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .

Залишилось знайти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250). Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500 . Тобто, m 4 = 94500 .

Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .

Відповідь:

НОК(140, 9, 54, 250) = 94500.

У багатьох випадках найменша загальна кратність трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.

Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного із використанням розкладання чисел на прості множники.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Рішення.

Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 (7 - просте число , воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .

Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 , що відсутні , з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 міститься в ньому. Нарешті, до множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 11 і 13 з розкладання числа 143 . Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .

Приступимо до вивчення найменшого загального кратного двох чи більше чисел. У розділі ми дамо визначення терміна, розглянемо теорему, яка встановлює зв'язок між найменшим загальним кратним та найбільшим спільним дільником, наведемо приклади розв'язання задач.

Загальні кратні – визначення, приклади

У цій темі нас буде цікавити лише загальні кратні цілих чисел, відмінних від нуля.

Визначення 1

Загальне кратне цілих чисел- Це таке ціле число, яке кратне всім даним числам. Фактично це будь-яке ціле число, яке можна розділити на будь-яке з даних чисел.

Визначення загальних кратних чисел відноситься до двох, трьох і більшої кількості цілих чисел.

Приклад 1

Відповідно до цього визначення для числа 12 загальними кратними числами будуть 3 і 2 . Також число 12 буде загальним кратним для чисел 2, 3 та 4. Числа 12 і -12 є загальними кратними числами для чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

У той же час загальним кратним числом для чисел 2 і 3 будуть числа 12, 6, 24, 72, 468, 100 010 004 і цілий ряд будь-яких інших.

Якщо ми візьмемо числа, які поділяються на перше число з пари і не поділяються на друге, такі числа не будуть загальними кратними. Так, для чисел 2 та 3 числа 16 − 27 , 5 009 , 27 001 не будуть загальними кратними.

0 є загальним кратним для будь-якої множини цілих чисел, відмінних від нуля.

Якщо згадати властивість ділимості щодо протилежних чисел, то виходить, що деяке ціле число k буде загальним кратним даних чисел так само, як і число – k . Це означає, що спільні дільники може бути як позитивними, і негативними.

Чи для всіх чисел можна знайти НОК?

Загальне кратне можна знайти будь-яких цілих чисел.

Приклад 2

Припустимо, що нам дані kцілих чисел a 1 , a 2 , … , a k. Число, яке ми отримаємо під час множення чисел a 1 · a 2 · … · a kзгідно з властивістю ділимості буде ділитися на кожен із множників, який входив у початковий твір. Це означає, що добуток чисел a 1 , a 2 , … , a kє найменшим загальним кратним цих чисел.

Скільки всього загальних кратних можуть мати цілі числа?

Група цілих чисел може мати велику кількість загальних кратних. Фактично, їхня кількість нескінченна.

Приклад 3

Припустимо, що ми маємо деяке число k . Тоді добуток чисел k · z , де z - це ціле число, буде загальним кратним чисел k і z . З урахуванням того, що кількість чисел нескінченна, то й кількість загальних кратних нескінченно.

Найменше загальне кратне (НОК) – визначення, позначення та приклади

Згадаймо поняття найменшого числа з цієї множини чисел, яку ми розглядали в розділі «Порівняння цілих чисел». З урахуванням цього поняття сформулюємо визначення найменшого загального кратного, яке має серед усіх загальних кратних найбільше практичного значення.

Визначення 2

Найменше загальне кратне даних цілих чисел– це найменше позитивне загальне кратне цих чисел.

Найменше загальне кратне існує для будь-якої кількості даних чисел. Найбільш уживаною для позначення поняття у довідковій літературі є абревіатура НОК. Короткий запис найменшого загального кратного для чисел a 1 , a 2 , … , a kматиме вигляд НОК (a 1, a 2, …, a k).

Приклад 4

Найменше загальне кратне чисел 6 та 7 – це 42 . Тобто. НОК (6, 7) = 42 . Найменше загальне кратне чотирьох чисел - 2, 12, 15 і 3 дорівнюватиме 60. Короткий запис матиме вигляд НОК (-2, 12, 15, 3) = 60 .

Не всім груп даних чисел найменше загальне кратне очевидно. Часто його доводиться обчислювати.

Зв'язок між НОК та НОД

Найменше загальне кратне та найбільший спільний дільник пов'язані між собою. Взаємозв'язок між поняттями встановлює теорема.

Теорема 1

Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший загальний дільник чисел a і b, тобто НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Доказ 1

Припустимо, що маємо деяке число M , яке кратно числам a і b . Якщо число M ділиться на a, також існує деяке ціле число z , при якому справедлива рівність M = a · k. Відповідно до визначення ділимості, якщо M ділиться і на b, то тоді a · kділиться на b.

Якщо ми введемо нове позначення для НОД (a, b) як d, то зможемо використовувати рівність a = a 1 · dі b = b 1 · d. При цьому обидві рівності будуть взаємно простими числами.

Ми вже встановили вище, що a · kділиться на b. Тепер цю умову можна записати так:
a 1 · d · kділиться на b 1 · dщо еквівалентно умові a 1 · kділиться на b 1згідно з властивостями ділимості.

Відповідно до властивості взаємно простих чисел, якщо a 1і b 1- Взаємно прості числа, a 1не ділиться на b 1при тому що a 1 · kділиться на b 1, то b 1має ділитися k.

У цьому випадку доречно припустити, що існує число t, для котрого k = b 1 · t, а так як b 1 = b: d, то k = b: d · t.

Тепер замість kпідставимо на рівність M = a · kвираз виду b: d · t. Це дозволяє нам прийти до рівності M = a · b: d · t. При t = 1ми можемо отримати найменше позитивне загальне кратне чисел a та b , рівне a · b: d, за умови, що числа a та b позитивні.

Так ми довели, що НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Встановлення зв'язку між НОК та НОД дозволяє знаходити найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник двох чи більше даних чисел.

Визначення 3

Теорема має два важливі наслідки:

• кратні найменшого загального кратного двох чисел збігаються із загальними кратними цих двох чисел;
• найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їхньому твору.

Обґрунтувати ці два факти нескладно. Будь-яке загальне кратне M чисел a та b визначається рівністю M = НОК (a, b) · t при деякому цілому значенні t. Так як a і b взаємно прості, то НОД (a, b) = 1, отже, НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел

Щоб знайти найменше загальне кратне кількох чисел, необхідно послідовно знайти НОК двох чисел.

Теорема 2

Припустимо, що a 1 , a 2 , … , a k- Це деякі цілі позитивні числа. Щоб обчислити НОК m kцих чисел, нам необхідно послідовно обчислити m 2 = НОК(a 1 , a 2) , m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k).

Доказ 2

Довести вірність другої теореми нам допоможе перше наслідок першої теореми, розглянутої у цій темі. Міркування будуються за таким алгоритмом:

• загальні кратні чисел a 1і a 2збігаються з кратними їх НОК, фактично, вони збігаються з кратними числа m 2;
• загальні кратні чисел a 1, a 2і a 3 m 2і a 3 m 3;
• загальні кратні чисел a 1 , a 2 , … , a kзбігаються із загальними кратними чисел m k - 1і a k, отже, збігаються з кратними числами m k;
• у зв'язку з тим, що найменшим позитивним кратним числа m kє саме число m k, то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , … , a kє m k.

Так ми довели теорему.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter