Як знайти середнє значення обсягу Середні у порядковій шкалі

У математиці середнє арифметичне значення чисел (чи навіть середнє) — це сума всіх чисел у цьому наборі, поділена їх кількість. Це найбільш узагальнене та поширене поняття середньої величини. Як ви вже зрозуміли, щоб знайти потрібно підсумовувати всі дані вам числа, а отриманий результат поділити на кількість доданків.

Що таке середнє арифметичне?

Давайте розглянемо приклад.

Приклад 1. Дано числа: 6, 7, 11. Потрібно знайти їхнє середнє значення.

Рішення.

Спочатку знайдемо суму всіх цих чисел.

Тепер розділимо суму, що вийшла, на кількість доданків. Так як у нас складові три, відповідно, ми ділитимемо на три.

Отже, середнє значення чисел 6, 7 та 11 — це 8. Чому саме 8? Та тому, що сума 6, 7 та 11 буде такою самою, як трьох вісімок. Це добре видно на ілюстрації.

Середнє значення чимось нагадує вирівнювання ряду чисел. Як бачите, купки олівців стали одного рівня.

Розглянемо ще один приклад, щоб закріпити отримані знання.

приклад 2.Дано числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Потрібно знайти їхнє середнє арифметичне значення.

Рішення.

Знаходимо суму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ділимо на кількість доданків (у цьому випадку - 15).

Отже, середнє значення даного ряду чисел дорівнює 22.

Тепер розглянемо негативні числа. Згадаймо, як їх підсумовувати. Наприклад, у вас є два числа 1 та -4. Знайдемо їхню суму.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Знаючи це, розглянемо ще один приклад.

приклад 3.Знайти середнє значення низки чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Рішення.

Знаходимо суму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так як доданків 5, розділимо суму, що вийшла на 5.

Отже, середнє арифметичне значення чисел 3, -7, 5, 13, -2 дорівнює 2,4.

У наш час технологічного прогресу набагато зручніше використовуватиме знаходження середнього значення комп'ютерні програми. Microsoft Office Excel – одна з них. Шукати середнє значення в Excel швидко та просто. Тим більше, що ця програма входить до пакета програм від Microsoft Office. Розглянемо коротку інструкцію, значення за допомогою програми.

Щоб порахувати середнє значення ряду чисел, необхідно використовувати функцію AVERAGE. Синтаксис для цієї функції:
= Average (argument1, argument2, ... argument255)
де argument1, argument2, ... argument255 - це або числа, або посилання на комірки (під комірками маються на увазі діапазони та масиви).

Щоб було зрозуміліше, опробуємо отримані знання.

Введіть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 у комірки С1 - С6.
Виділіть комірку С7, натиснувши на неї. У цьому осередку у нас буде відображатися середнє значення.
Клацніть на вкладці Формули.
Виберіть More Functions > Statistical, щоб відкрити
Виберіть AVERAGE. Після цього має відкритися діалогове вікно.
Виділіть та перетягніть туди осередки С1-С6, щоб задати діапазон у діалоговому вікні.
Підтвердіть свої дії за допомогою клавіші «ОК».
Якщо ви все зробили правильно, у комірці С7 у вас має з'явитися відповідь – 13,7. При натисканні на комірку C7 функція (= Average (C1: C6)) відображатиметься у рядку формул.

Дуже зручно використовувати цю функцію для ведення обліку, накладних або, коли вам просто потрібно знайти середнє значення з дуже довгого ряду чисел. Тому її часто використовують в офісах та великих компаніях. Це дозволяє зберігати порядок у записах і дозволяє швидко порахувати що-небудь (наприклад, середній дохід за місяць). Також за допомогою Excel можна знайти середнє значення функції.

Ознаки одиниць статистичних сукупностей різні за своїм значенням, наприклад, заробітна плата робітників однієї професії якого-небудь підприємства не однакова за той самий період часу, різні ціни на ринку на однакову продукцію, врожайність сільськогосподарських культур у господарствах району і т.д. Тому, щоб визначити значення ознаки, характерне для всієї сукупності одиниць, що вивчається, розраховують середні величини.
Середня величина – це узагальнююча характеристика множини індивідуальних значень деякої кількісної ознаки.

Сукупність, що вивчається за кількісною ознакою, складається з індивідуальних значень; на них впливають як загальні причини, так і індивідуальні умови. У середньому відхилення, характерні для індивідуальних значень, погашаються. Середня, будучи функцією безлічі індивідуальних значень, представляє одним значенням всю сукупність і відбиває те загальне, що притаманне її одиницям.

Середня, яка розраховується для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць, називається типової середньої. Наприклад, можна розрахувати середньомісячну заробітну плату працівника тієї чи іншої професійної групи (шахтаря, лікаря бібліотекаря). Зрозуміло, рівні місячної заробітної плати шахтарів через різницю їх кваліфікації, стажу роботи, відпрацьованого за місяць часу та багатьох інших факторів відрізняються один від одного, так і від рівня середньої заробітної плати. Однак у середньому рівні відображено основні чинники, які впливають рівень заробітної плати, і взаємно погашаються відмінності, що виникають внаслідок індивідуальних особливостей працівника. Середня вести відбиває типовий рівень оплати праці даного виду працівників. Одержання типової середньої має передувати аналіз того, наскільки дана сукупність якісно однорідна. Якщо сукупність складається з окремих частин, слід розбити її на типові групи (середня температура по лікарні).

Середні величини, що використовуються як характеристики для неоднорідних сукупностей, називаються системними середніми. Наприклад, середня величина валового внутрішнього продукту (ВВП) на душу населення, середня величина споживання різних груп товарів на людину та інші подібні величини, що становлять узагальнюючі характеристики держави як єдиної економічної системи.

Середня має обчислюватися для сукупностей, які з досить великої кількості одиниць. Дотримання цієї умови необхідно для того, щоб набув чинності закон великих чисел, внаслідок дії якого випадкові відхилення індивідуальних величин від загальної тенденції взаємно погашаються.

Види середніх та способи їх обчислення

Вибір виду середньої визначається економічним змістом певного показника та вихідних даних. Однак будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожної варіанти ознаки, що осредняется, не змінився підсумковий, узагальнюючий, або, як його прийнято називати, визначальний показник, який пов'язаний з показником, що середнюється. Наприклад, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їх середньою швидкістю не повинна змінитися загальна відстань, пройдена транспортним засобом за один і той же час; при заміні фактичних заробітних плат окремих працівників підприємства середньою заробітною платою не має змінитись фонд заробітної плати. Отже, у кожному даному випадку залежно від характеру наявних даних, існує лише одне справжнє середнє значення показника, адекватне властивостям і сутності соціально-економічного явища, що вивчається.
Найчастіше застосовуються середня арифметична, середня гармонійна, середня геометрична, середня квадратична та середня кубічна.
Перераховані середні відносяться до класу статечнихсередніх та об'єднуються загальною формулою:
,
де - Середнє значення досліджуваного ознаки;
m – показник ступеня середнього;
– поточне значення (варіанту) ознаки;
n - Число ознак.
Залежно від значення показника ступеня m розрізняють такі види статечних середніх:
при m = -1 - середня гармонійна;
при m = 0 - середня геометрична;
при m = 1 - середня арифметична;
при m = 2 - середня квадратична;
при m = 3 - середня кубічна.
При використанні одних і тих же вихідних даних, чим більший показник ступеня m у наведеній вище формулі, тим більше значення середньої величини:
.
Ця властивість статечних середніх зростати з підвищенням показника ступеня визначальної функції називається правилом мажорантності середніх.
Кожна із зазначених середніх може набувати двох форм: простуі зважену.
Проста форма середньоїзастосовується, коли середня обчислюється за первинними (несгрупованими) даними. Зважена форма- При розрахунку середньої за вторинними (згрупованими) даними.

Середня арифметична

Середня арифметична застосовується, коли обсяг сукупності є сумою всіх індивідуальних значень варіює ознаки. Слід зазначити, що й вид середньої величини не вказується, мається на увазі середня арифметична. Її логічна формула має вигляд:

Середня арифметична простарозраховується за несгрупованими даними за формулою:
або ,
де – окремі значення ознаки;
j – порядковий номер одиниці спостереження, що характеризується значенням;
N - Число одиниць спостереження (обсяг сукупності).
приклад.У лекції «Зведення та угруповання статистичних даних» розглядалися результати спостереження стажу роботи бригади із 10 осіб. Розрахуємо середній стаж роботи робітників бригади. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

За формулою середньої арифметичної простий обчислюються також середні у хронологічному ряду, якщо інтервали часу, протягом якого представлені значення ознаки, рівні.
приклад.Обсяг реалізованої продукції за перший квартал становив 47 ден. од., за другий 54, за третій 65 та за четвертий 58 ден. од. Середньоквартальний оборот становить (47+54+65+58)/4 = 56 грош. од.
Якщо в хронологічному ряду наведено моментні показники, то при обчисленні середньої вони замінюються на півсуми значень на початок і кінець періоду.
Якщо моментів більше двох та інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної

,
де n-число моментів часу
У разі коли дані згруповані за значеннями ознаки (т. е. побудовано дискретний варіаційний ряд розподілу) з середня арифметична зваженарозраховується з використанням або частот, або частостей спостереження конкретних значень ознаки, число яких (k) значно менше числа спостережень (N).
,
,
де k – кількість груп варіаційного ряду,
i – номер групи варіаційного ряду.
Оскільки , а , отримуємо формули, які використовуються для практичних розрахунків:
і
приклад.Розрахуємо середній стаж робочих бригад по згрупованому ряду.
а) з використанням частот:

б) з використанням частостей:

У разі коли дані згруповані за інтервалами , тобто. представлені у вигляді інтервальних рядів розподілу, при розрахунку середньої арифметичної як значення ознаки приймають середину інтервалу, виходячи з припущення про рівномірний розподіл одиниць сукупності на даному інтервалі. Розрахунок ведеться за формулами:
і
де - середина інтервалу: ,
де і – нижня та верхня межі інтервалів (за умови, що верхня межа цього інтервалу збігається з нижньою межею наступного інтервалу).

приклад.Розрахуємо середню арифметичну інтервального варіаційного ряду, побудованого за результатами дослідження річної заробітної плати 30 робітників (див. лекцію «Зведення та угруповання статистичних даних»).
Таблиця 1 - Інтервальний варіаційний ряд розподілу.

Інтервали, грн.	Частота, чол.	Частина,	Середина інтервалу,
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

грн. або грн.
Середні арифметичні, обчислені на основі вихідних даних та інтервальних варіаційних рядів, можуть не збігатися через нерівномірність розподілу значень ознаки всередині інтервалів. У цьому випадку для більш точного обчислення середньої арифметичної виваженої слід використовувати не середини інтервалів, а середні арифметичні прості, розраховані для кожної групи ( групові середні). Середня, обчислена за груповим середнім з використанням виваженої формули розрахунку, називається загальної середньої.
Середня арифметична має низку властивостей.
1. Сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю:
.
2. Якщо всі значення варіант збільшуються або зменшуються на величину А, то середня величина збільшується або зменшується на ту ж величину А:

3. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити в раз, то середня величина також збільшиться або зменшаться в ту ж кількість разів:
або
4. Сума творів варіант на частоти дорівнює добутку середньої величини на суму частот:

5. Якщо всі частоти розділити чи помножити на якесь число, то середня арифметична не зміниться:

6) якщо у всіх інтервалах частоти рівні один одному, то середня арифметична зважена дорівнює простій середній арифметичній:
,
де k – кількість груп варіаційного ряду.

Використання властивостей середньої дозволяє спростити її обчислення.
Припустимо, що всі варіанти (х) спочатку зменшені на те саме число А, а потім зменшені в раз. Найбільше спрощення досягається, коли як А вибирається значення середини інтервалу, що володіє найбільшою частотою, а як В – величина інтервалу (для рядів з однаковими інтервалами). Величина А називається початком відліку, тому цей метод обчислення середньої називається способ ом відліку від умовного нуляабо способом моментів.
Після цього перетворення отримаємо новий варіаційний ряд розподілу, варіанти якого рівні . Їхня середня арифметична, звана моментом першого порядку,виражається формулою і відповідно до другого і третього властивостей середньої арифметичної дорівнює середній з первісних варіант, зменшеної спочатку на А, а потім у раз, тобто .
Для отримання дійсної середньої(Середньої початкового ряду) потрібно момент першого порядку помножити на В і додати А:

Розрахунок середньої арифметичної за способом моментів ілюструється даними табл. 2.
Таблиця 2 - Розподіл працівників цеху підприємства за стажем роботи

Стаж працівників, років	Кількість працівників	Середина інтервалу
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Знаходимо момент першого порядку . Потім, знаючи, що А=17,5, а=5, обчислюємо середній стаж роботи працівників цеху:
років

Середня гармонійна
Як було показано вище, середня арифметична застосовується для розрахунку середнього значення ознаки у тих випадках, коли відомі його варіанти x та їх частоти f.
Якщо статистична інформація не містить частот f за окремими варіантами x сукупності, а представлена як їх добуток, застосовується формула середньої гармонійної зваженої. Щоб обчислити середню, позначимо, звідки . Підставивши ці вирази у формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:
,
де - обсяг (вага) значень ознаки показника в інтервалі з номером i (i = 1,2, ..., k).

Таким чином, середня гармонічна застосовується в тих випадках, коли підсумовування підлягають не самі варіанти, а обернені їм величини: .
Тоді, коли вага кожної варіанти дорівнює одиниці, тобто. індивідуальні значення зворотної ознаки зустрічаються по одному разу, застосовується середня гармонійна проста:
,
де - окремі варіанти зворотної ознаки, що зустрічаються по одному разу;
N - Число варіант.
Якщо по двох частинах сукупності чисельністю і є середні гармонійні, то загальна середня по всій сукупності розраховується за такою формулою:

і називається зваженої гармонійної середньої з групових середніх.

приклад.У ході торгів на валютній біржі за першу годину роботи укладено три правочини. Дані про суму продажу гривні та курс гривні по відношенню до долара США наведено у табл. 3 (графи 2 та 3). Визначити середній курс гривні по відношенню до долара США за першу годину торгів.
Таблиця 3 - Дані про хід торгів на валютній біржі

Середній курс долара визначається ставленням суми проданих у ході всіх операцій гривень до суми придбаних у результаті цих угод доларів. Підсумкова сума продажу гривні відома з графи 2 таблиці, а кількість куплених у кожній угоді доларів визначається розподілом суми продажу гривні до її курсу (графа 4). Загалом у ході трьох угод куплено 22 млн. дол. Отже, середній курс гривні за долар склав
.
Отримане значення є дійсним, т.к. заміна ним фактичних курсів гривні в угодах не змінить підсумкової суми продажів гривні, яка виступає як визначального показника: млн. грн.
Якби розрахунку було використано середня арифметична, тобто. гривні, то за обмінним курсом на купівлю 22 млн. дол. треба було б витратити 110,66 млн. грн., що не відповідає дійсності.

Середня геометрична
Середня геометрична використовується для аналізу динаміки явищ та дозволяє визначити середній коефіцієнт зростання. При розрахунку середньої геометричної індивідуальні значення ознаки є відносними показниками динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення кожного рівня до попереднього.
Середня геометрична проста розраховується за формулою:
,
де – знак твору,
N - Число середніх величин.
приклад.Кількість зареєстрованих злочинів за 4 роки зросла в 1,57 раза, у т. ч. за 1-й – у 1,08 раза, за 2-й – у 1,1 раза, за 3-й – у 1,18 та за 4-й – у 1,12 рази. Тоді середньорічний темпи зростання кількості злочинів становить: , тобто. кількість зареєстрованих злочинів щорічно зростала у середньому на 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Для розрахунку середньої зваженої квадратичної визначаємо і заносимо в таблицю і . Тоді середня величина відхилень довжини виробів від заданої норми дорівнює:

Середня арифметична у разі була б непридатна, т.к. в результаті ми отримали б нульове відхилення.
Застосування середньої квадратичної буде розглянуто далі у показниках варіації.

У процесі різних розрахунків та роботи з даними досить часто потрібно підрахувати їхнє середнє значення. Воно розраховується шляхом складання чисел та розподілу загальної суми на їх кількість. Давайте з'ясуємо, як обчислити середнє значення набору чисел за допомогою програми Microsoft Excel у різний спосіб.

Найпростіший і найвідоміший спосіб знайти середнє арифметичне набору чисел – це скористатися спеціальною кнопкою на стрічці Microsoft Excel. Виділяємо діапазон чисел, розташованих у стовпці чи рядку документа. Перебуваючи у вкладці «Головна», тиснемо на кнопку «Автосума», розташовану на стрічці в блоці інструментів «Редагування». З списку вибираємо пункт «Середнє».

Після цього за допомогою функції «СРЗНАЧ» проводиться розрахунок. У комірку під виділеним стовпцем, або праворуч від виділеного рядка, виводиться середня арифметична даного набору чисел.

Цей спосіб гарний простотою та зручністю. Проте, він має й істотні недоліки. За допомогою цього способу можна зробити підрахунок середнього значення тільки тих чисел, які розташовуються в ряд в одному стовпці, або в одному рядку. А ось, із масивом осередків, або з розрізненими осередками на аркуші, за допомогою цього способу працювати не можна.

Наприклад, якщо виділити два стовпці, і вищеописаним способом обчислити середнє арифметичне, то відповідь буде дана для кожного стовпця окремо, а не для всього масиву осередків.

Обчислення за допомогою Майстра функцій

Для випадків, коли потрібно підрахувати середню арифметичну масиву осередків або розрізнених осередків, можна використовувати Майстер функцій. Він застосовує ту саму функцію «СРЗНАЧ», відому нам за першим методом обчислення, але робить це дещо іншим способом.

Клікаємо по осередку, де хочемо, щоб виводився результат підрахунку середнього значення. Тиснемо на кнопку «Вставити функцію», яка розміщена ліворуч від рядка формул. Або ж, набираємо на клавіатурі комбінацію Shift+F3.

Запускається Майстер функцій. У списку представлених функцій шукаємо «СРЗНАЧ». Виділяємо його і тиснемо на кнопку «OK».

Відкривається вікно аргументів цієї функції. У поля "Число" вводяться аргументи функції. Це може бути як звичайні числа, і адреси осередків, де ці числа розташовані. Якщо вам незручно вводити адреси комірок вручну, слід натиснути на кнопку розташовану праворуч від поля введення даних.

Після цього вікно аргументів функції згорнеться, а ви зможете виділити ту групу осередків на аркуші, яку берете для розрахунку. Потім, знову натискаєте кнопку зліва від поля введення даних, щоб повернутися у вікно аргументів функції.

Якщо ви хочете підрахувати середнє арифметичне між числами, що знаходяться в розрізнених групах осередків, то ті самі дії, про які йшлося вище, робіть у полі «Число 2». І так доти, доки всі потрібні групи осередків не будуть виділені.

Після цього натисніть кнопку «OK».

Результат розрахунку середнього арифметичного буде виділено в той осередок, який ви виділили перед запуском Майстра функцій.

Панель формул

Існує ще третій спосіб запустити функцію «СРЗНАЧ». Для цього переходимо у вкладку «Формули». Виділяємо комірку, в якій буде виводитися результат. Після цього у групі інструментів «Бібліотека функцій» на стрічці тиснемо на кнопку «Інші функції». З'являється список, у якому потрібно послідовно перейти за пунктами «Статистичні» та «СРЗНАЧ».

Потім, запускається таке саме вікно аргументів функції, як і при використанні Майстра функцій, роботу в якому ми докладно описали вище.

Подальші дії такі самі.

Ручне введення функції

Але, не забувайте, що завжди за бажання можна ввести функцію «СРЗНАЧ» вручну. Вона матиме наступний шаблон: «=СРЗНАЧ(адреса_діапазона_осередків(число); адреса_діапазона_осередків(число)).

Звичайно, цей спосіб не такий зручний, як попередні, і вимагає пам'ятати користувача певних формул, але він більш гнучкий.

Розрахунок середнього значення за умовою

Крім звичайного розрахунку середнього значення є можливість підрахунку середнього значення за умовою. У цьому випадку, до уваги будуть братися тільки ті числа з обраного діапазону, які відповідають певній умові. Наприклад, якщо ці числа більші або менші від конкретно встановленого значення.

Для цих цілей використовується функція «ДІЙСНО». Як і функцію СРЗНАЧ, запустити її можна через Майстер функцій, з панелі формул, або за допомогою ручного введення в комірку. Після того, як відкрилося вікно аргументів функції, необхідно ввести її параметри. У полі «Діапазон» вводимо діапазон осередків, значення яких братимуть участь у визначенні середнього арифметичного числа. Робимо це тим самим способом, як і з функцією «СРЗНАЧ».

А ось, у полі «Умова» ми повинні вказати конкретне значення, числа більші або менші за який братимуть участь у розрахунку. Це можна зробити за допомогою символів порівняння. Наприклад, ми висловили «>=15000». Тобто, для розрахунку будуть братися лише осередки діапазону, в яких знаходяться числа більші або рівні 15000. При необхідності замість конкретного числа тут можна вказати адресу осередку, в якій розташоване відповідне число.

Поле «Діапазон усереднення» не є обов'язковим для заповнення. Введення в нього даних є обов'язковим лише при використанні осередків із текстовим вмістом.

Коли всі дані введені, натискаємо кнопку «OK».

Після цього, попередньо вибрану комірку виводиться результат розрахунку середнього арифметичного числа для обраного діапазону, за винятком осередків, дані яких не відповідають умовам.

Як бачимо, у Microsoft Excel існує цілий ряд інструментів, за допомогою яких можна розрахувати середнє значення вибраного ряду чисел. Більш того, існує функція, яка автоматично відбирає числа з діапазону, що не відповідають заздалегідь встановленому користувачем критерію. Це робить обчислення в Microsoft Excel ще більш зручними для користувачів.

ЄДІ з математики – одне з найскладніших тестувань для випускників. Багаторічна практика показала, що часто учні допускають неточності при обчисленні останньої цифри натурального числа. Ця тематика сама по собі досить складна, оскільки потребує особливої точності, уважності та розвиненого логічного мислення. Щоб без проблем впоратися з подібними завданнями, рекомендуємо скористатися зручним онлайн-сервісом «Школкове». На нашому сайті ви знайдете все необхідне для вирішення рівнянь на знаходження останньої ненульової цифри числа та підтягніть знання у суміжних тематиках.

Сдавайте Єдиний державний іспит на «відмінно» разом зі «Школковим»!

Наш освітній портал збудовано таким чином, щоб випускнику було максимально зручно готуватися до підсумкової атестації. Спочатку учень звертається до розділу «Теоретична довідка»: згадує правила розв'язування рівнянь, освіжає у пам'яті важливі формули, які допомагають знайти останню цифру числа. Після цього переходить до «Каталогів», де знаходить безліч завдань різних рівнів складності. Якщо з будь-якою вправою виникають труднощі, її можна перенести до «Вибраного», щоб повернутися до нього пізніше і вирішити самостійно або за допомогою викладача.

Фахівці «Школково» зібрали, систематизували та виклали матеріали по темі у максимально простій та зрозумілій формі. Таким чином, велика кількість інформації засвоюється в короткі терміни. Школярі зможуть виконувати навіть ті завдання, які нещодавно викликали в них великі труднощі, у тому числі й ті, де необхідно вказати кілька рішень.

Щоб заняття проходили максимально ефективно, рекомендуємо почати з найлегших прикладів. Якщо вони не викликали складнощів, не втрачайте час - переходьте до завдань середнього рівня, так ви визначите свої слабкі сторони, наголосите на найбільш складних для вас завдань і досягнете великих результатів. Після щоденних занять протягом 1-2 тижнів, ви зможете за пару хвилин вивести навіть останню цифру числа Пі. Дане завдання досить часто зустрічається в ЄДІ з математики.

База вправ на нашому порталі постійно оновлюється та доповнюється викладачами з великим стажем. У школярів є чудова можливість щодня отримувати абсолютно нові завдання, а не зациклюватися на одних і тих самих прикладах, як часто доводиться робити при повторенні за шкільним підручником.

Почніть заняття на сайті «Школкове» вже сьогодні, і результат не забариться!

Навчання на нашому порталі доступне всім охочим. Щоб ви відслідковували свій прогрес та отримували нові завдання, створені персонально для вас, зареєструйтесь у системі. Бажаємо вам успішної підготовки!

У математиці середнє арифметичне значення чисел (чи навіть середнє) - це сума всіх чисел у цьому наборі, розділена з їхньої кількість. Це найбільш узагальнене та поширене поняття середньої величини. Як ви вже зрозуміли, щоб знайти середнє значення, потрібно підсумовувати всі дані вам числа, а отриманий результат поділити на кількість доданків.

Що таке середнє арифметичне?

Давайте розглянемо приклад.

Приклад 1. Дано числа: 6, 7, 11. Потрібно знайти їхнє середнє значення.

Рішення.

Спочатку знайдемо суму всіх цих чисел.

Отже, середнє значення чисел 6, 7 та 11 – це 8. Чому саме 8? Та тому, що сума 6, 7 та 11 буде такою самою, як трьох вісімок. Це добре видно на ілюстрації.

Середнє значення чимось нагадує вирівнювання ряду чисел. Як бачите, купки олівців стали одного рівня.

Розглянемо ще один приклад, щоб закріпити отримані знання.

приклад 2.Дано числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Потрібно знайти їхнє середнє арифметичне значення.

Рішення.

Знаходимо суму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ділимо на кількість доданків (у цьому випадку - 15).

Отже, середнє значення даного ряду чисел дорівнює 22.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Знаючи це, розглянемо ще один приклад.

приклад 3.Знайти середнє значення низки чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Рішення.

Знаходимо суму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так як доданків 5, розділимо суму, що вийшла на 5.

Отже, середнє арифметичне значення чисел 3, -7, 5, 13, -2 дорівнює 2,4.

У наш час технологічного прогресу набагато зручніше використовуватиме знаходження середнього значення комп'ютерні програми. Microsoft Office Excel – одна з них. Шукати середнє значення в Excel швидко та просто. Тим більше, що ця програма входить до пакета програм від Microsoft Office. Розглянемо коротку інструкцію, як знайти середнє арифметичне значення за допомогою програми.

Щоб було зрозуміліше, опробуємо отримані знання.

Введіть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 у комірки С1 – С6.
Виділіть комірку С7, натиснувши на неї. У цьому осередку у нас буде відображатися середнє значення.
Клацніть на вкладці Формули.
Виберіть More Functions > Statistical, щоб відкрити список, що випадає.
Виберіть AVERAGE. Після цього має відкритися діалогове вікно.
Виділіть та перетягніть туди осередки С1–С6, щоб задати діапазон у діалоговому вікні.
Підтвердіть свої дії за допомогою клавіші «ОК».
Якщо ви все зробили правильно, у комірці С7 у вас має з'явитися відповідь – 13,7. При натисканні на комірку C7 функція (= Average (C1: C6)) відображатиметься у рядку формул.

Середнє арифметичне

Цей термін має й інші значення, див. середнє значення.

Середнє арифметичне(В математиці та статистиці) безлічі чисел - сума всіх чисел, поділена на їх кількість. Є одним із найпоширеніших заходів центральної тенденції.

Запропонована (поряд із середнім геометричним та середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Приватними випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) та вибіркове середнє (вибірки).

Вступ

Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ), вимовляється « xз межею»).

Для позначення середнього арифметичного усієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, на яку визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєчи математичне очікування випадкової величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.

На практиці різниця між μ і x ¯ (\displaystyle (\bar(x))) у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити можна швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x (\displaystyle (bar (x))) (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

X = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

Якщо X- Випадкова змінна, тоді математичне очікування Xможна розглядати як середнє арифметичне значень у вимірах величини, що повторюються X. Це є виявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується з метою оцінки невідомого математичного очікування.

В елементарній алгебрі доведено, що середня n+ 1 чисел більше середнього nчисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і лише тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, тим менше різницю між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що є кілька інших «середніх» значень, у тому числі середнє статечне, середнє Колмогорова, гармонійне середнє, арифметико-геометричне середнє та різні середньо-зважені величини (наприклад, середнє арифметичне зважене, середнє геометричне зважене, середнє гармонійне зважене).

Приклади

Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

Безперервна випадкова величина

Для безперервно розподіленої величини f(x) (displaystyle f(x)) середнє арифметичне на відрізку [ a ; b] (\displaystyle) визначається через певний інтеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність боязкості

Основна стаття: Робастність у статистиці

Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне піддається сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медіні, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, на подив велике число через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.

Складний відсоток

Основна стаття: Окупність інвестицій

Якщо числа перемножувати, а не складатипотрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:

[$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (displaystyle (sqrt (117%)) approx 108.2%) тобто середньорічний приріст 8,2 %.

Напрями

Основна стаття: Статистика напрямків

При розрахунку середнього арифметичного значень певної змінної, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1° і 359° дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Це число неправильне з двох причин.

По-перше, кутові заходи визначені лише для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2π при вимірі радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 і -1) або як (1 і 719). Середні значення кожної з пар відрізнятимуться: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
По-друге, в даному випадку, значення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, оскільки числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
- число 1° відхиляється від 0° лише на 1°;
- число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).

Середньозважене значення - що це і як його обчислити?

У процесі вивчення математики школярі знайомляться із поняттям середнього арифметичного. Надалі у статистиці та деяких інших науках студенти стикаються і з обчисленням інших середніх значень. Якими вони можуть бути і чим відрізняються один від одного?

Середні величини: зміст та відмінності

Не завжди точні показники дають розуміння ситуації. Щоб оцінити ту чи іншу обстановку, потрібно часом аналізувати безліч цифр. І тоді на допомогу приходять середні значення. Саме вони дозволяють оцінити ситуацію загалом та загалом.

Зі шкільних часів багато дорослих пам'ятають про існування середнього арифметичного. Його дуже просто обчислити – сума послідовності з n членів ділиться на n. Тобто якщо потрібно обчислити середнє арифметичне в послідовності значень 27, 22, 34 і 37, необхідно вирішити вираз (27+22+34+37)/4, оскільки в розрахунках використовується 4 значення. В даному випадку шукана величина дорівнюватиме 30.

Часто у межах шкільного курсу вивчають і середнє геометричне. Розрахунок даного значення виходить з добуванні кореня n-ной ступеня з добутку n-членів. Якщо брати ті ж числа: 27, 22, 34 і 37, то результат обчислень дорівнюватиме 29,4.

Середнє гармонійне у загальноосвітній школі зазвичай перестав бути предметом вивчення. Проте воно використовується досить часто. Ця величина обернена до середнього арифметичного і розраховується як приватна від n - кількості значень і суми 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Якщо знову брати той самий ряд чисел для розрахунку, то гармонійне становитиме 29,6.

Середньозважене значення: особливості

Проте всі перераховані вище величини можуть бути використані не скрізь. Наприклад, у статистиці при розрахунку деяких середніх значень важливу роль має "вага" кожного числа, що використовується у обчисленнях. Результати є більш показовими та коректними, оскільки враховують більше інформації. Ця група величин носить загальну назву "середньозважене значення". Їх у школі не проходять, тож на них варто зупинитися докладніше.

Насамперед, варто розповісти, що мається на увазі під "вагою" того чи іншого значення. Найпростіше пояснити це на конкретному прикладі. Двічі на день у лікарні відбувається замір температури тіла у кожного пацієнта. Зі 100 хворих у різних відділеннях госпіталю у 44 буде нормальна температура – 36,6 градусів. У ще 30 буде підвищене значення – 37,2, у 14 – 38, у 7 – 38,5, у 3 – 39, і у двох решти – 40. І якщо брати середнє арифметичне, то ця величина загалом по лікарні становитиме більше ніж 38 градусів! Адже майже у половини пацієнтів цілком нормальна температура. І тут коректніше використовуватиме середньозважене значення, а "вагою" кожної величини буде кількість людей. У цьому випадку результатом розрахунку буде 37,25 градусів. Різниця очевидна.

У разі середньозважених розрахунків за "вагу" може бути прийнята кількість відвантажень, кількість людей, які працюють у той чи інший день, загалом усе що завгодно, що може бути виміряне і вплинути на кінцевий результат.

Різновиди

Середньозважене значення співвідноситься із середнім арифметичним, розглянутим на початку статті. Проте перша величина, як було зазначено, враховує також вага кожного числа, використаного у розрахунках. Крім цього існують також середньозважене геометричне та гармонійне значення.

Є ще один цікавий різновид, що використовується в рядах чисел. Йдеться про зважене ковзне середнє значення. Саме на його основі розраховуються тренди. Крім самих значень та їх ваги, там також використовується періодичність. І при обчисленні середнього значення в якийсь час також враховуються величини за попередні тимчасові відрізки.

Розрахунок всіх цих значень не такий вже й складний, проте на практиці зазвичай використовується лише звичайне середньозважене значення.

Способи розрахунку

У століття повальної комп'ютеризації немає необхідності обчислювати середньозважене значення вручну. Однак не зайвим буде знати формулу розрахунку, щоб можна було перевірити та за необхідності відкоригувати отримані результати.

Найпростіше розглянути обчислення на конкретному прикладі.

Необхідно дізнатися, яка ж середня оплата праці цьому підприємстві з урахуванням кількості робочих, отримують той чи інший заробіток.

Отже, розрахунок середньозваженого значення здійснюється за допомогою такої формули:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Для прикладу обчислення буде таким:

x = (32 * 20 +33 * 35 +34 * 14 +40 * 6) / (20 +35 +14 +6) = (640 +1155 +476 +240) / 75 = 33,48

Очевидно, що немає особливих складнощів для того, щоб вручну розрахувати середньозважене значення. Формула для обчислення цієї величини в одному з найпопулярніших додатків з формулами - Excel - виглядає як функція СУММПРОИЗВ (ряд чисел; ряд ваг)/СУМ (ряд ваг).

Як знайти середнє значення в Excel?

як знайти середнє арифметичне в excel?

Володимир09854

Простіше простого. Для того, щоб знайти середнє значення в excel, знадобиться лише 3 осередки. У першу ми запишемо одне число, друге - інше. А в третьому осередку ми заб'ємо формулу, яка нам видасть середнє значення між цими двома числами з першого та другого осередку. Якщо осередок №1 називається А1, осередок №2 називається B1, то в осередку з формулою потрібно записати так:

Такою формулою обчислюється середнє арифметичне двох чисел.

Для краси наших обрахунків можна виділити осередки лініями, як таблички.

Є ще в самому екселі функція визначення середнього значення, але я користуюся дідівським методом і вводжу потрібну формулу. Таким чином я впевнений, що ексель вважатиме саме так, як мені треба, а не придумає якесь там своє округлення.

M3sergey

Це дуже просто, якщо дані вже внесені до осередків. Якщо вас цікавить просто число, достатньо виділити потрібний діапазон /діапазони, і внизу праворуч у рядку стану з'явиться значення суми цих чисел, їхня середня арифметична та їх кількість.

Можна виділити порожню комірку, натиснути на трикутничок (список, що розкривається) "Автосума" і вибрати там "Середнє", після чого погодиться із запропонованим діапазоном для розрахунку, або вибрати свій.

Нарешті, можна скористатися формулами безпосередньо - натиснути "Вставити функцію" поруч із рядком формул та адресою комірки. Функція СРЗНАЧ знаходиться в категорії "Статистичні", і приймає як аргументи як числа, так і посилання на комірки та ін. Там же можна вибрати складніші варіанти, наприклад, СРЗНАЧЛИ - розрахунок середнього за умовою.

Знайти середнє значення в excelє досить простим завданням. Тут потрібно розуміти - чи ви хочете використовувати це середнє значення в якихось формулах чи ні.

Якщо вам потрібно отримати тільки значення, то достатньо виділити необхідний діапазон чисел, після чого excel автоматично порахує середнє значення - воно буде виводитись у рядку стану, заголовок "Середнє".

У тому випадку, коли ви хочете використати отриманий результат у формулах, можна зробити так:

1) Підсумовувати осередки з допомогою функції СУММ і розділити це кількість чисел.

2) Більш правильний варіант - скористатися спеціальною функцією, яка називається СРЗНАЧ. Аргументами цієї функції може бути числа, задані послідовно, чи діапазон чисел.

Володимир тихонов

обводьте значення, які братимуть участь у розрахунку, натискаєте вкладку " Формули " , там побачите зліва є " Автосума " і поруч із нею трикутник, спрямований вниз. клацаєте на цей трикутник і вибираєте "Середнє". Вуаля, готово) унизу стовпчика побачите середнє значення:)

Катерина муталапова

Почнемо спочатку і по порядку. Що означає середнє?

Середнє значення - це, яке є середнім арифметичним значенням, тобто. обчислюється додаванням набору чисел з наступним розподілом усієї суми чисел з їхньої кількість. Наприклад, для чисел 2, 3, 6, 7, 2 буде 4 (суму чисел 20 ділимо на їхню кількість 5)

У таблиці Excel особисто мені, найпростіше було скористатися формулою =СРЗНАЧ. Щоб розрахувати середнє значення, необхідно ввести дані в таблицю, під стовпцем даних написати функцію =СРЗНАЧ(), а в дужках вказуємо діапазон чисел у комірках, виділивши стовпець з даними. Після цього натискаємо ВВЕДЕННЯ, або просто клацаємо лівою кнопкою мишки на будь-якому осередку. Результат з'явиться в осередку під стовпцем. На вигляд описано незрозуміло, але за фактом - хвилинна справа.

Шукач пригод 2000

Програма Ecxel є різноманітною, тому є кілька варіантів, які дозволять вам знайти середні значення:

Перший варіант. Ви просто підсумовуєте всі осередки і ділите їх кількість;

Другий варіант. Скористайтеся спеціальною командою, напишете в потрібну комірку формулу "=СРЗНАЧ(а тут вкажіть діапазон осередків)";

Третій варіант. Якщо ви виділите необхідний діапазон, то зверніть увагу, що на сторінці внизу також виводиться середнє значення в цих осередках.

Таким чином, способів знайти середнє значення дуже багато, вам просто потрібно вибрати оптимальний для вас і користуватися ним постійно.

В Excel за допомогою функції РЗЗНАЧ можна розрахувати середнє арифметичне просте. Для цього потрібно вбити низку значень. Натиснути і вибрати в Категорії Статистичні, серед яких вибрати функцію СРЗНАЧ

Також за допомогою статистичних формул можна розрахувати середнє арифметичне зважене, яке вважається точнішим. Для його розрахунку нам знадобляться значення показника та частота.

Як знайти середнє значення в Excel?

Ситуація така. Є така таблиця:

У стовпчиках, зафарбованих червоним кольором, містяться чисельні значення оцінок з предметів. У стовпці "Середній бал" потрібно підрахувати їхнє середнє значення.
Проблема ось у чому: всього предметів 60-70 та частина з них на іншому аркуші.
Я дивилася в іншому документі вже підраховано середнє, а в осередку стоїть формула типу
= "ім'я листа"! | Е12
але це робив якийсь програміст, якого звільнили.
Підкажіть, будь ласка, хто розуміється на цьому.

Гектор

У рядку функцій вставляєш із запропонованих функцій "СРЗНАЧ" і вибираєш звідки ті треба вирахувати (B6: N6) для Іванова, наприклад. Про сусідні аркуші точно не знаю, але напевно це міститься у стандартній віндовській довідці

Підкажіть як обчислити середнє значення у ворді

Підкажіть, будь ласка, як обчислити середнє значення у ворді. А саме середнє значення оцінок, а не кількості людей, які отримали оцінки.

Юля Павлова

Word може багато з допомогою макросів. Натисніть ALT+F11 і пиши програму-макро..
Крім того, Вставка-Объект... дозволить використовувати інші програми, хоч Excel, для створення аркуша з таблицею всередині Word-документа.
Але в даному випадку тобі треба в колонці таблиці записати твої числа, а в нижній осередок тієї ж колонки занести середнє, правильно?
Для цього в нижній осередок вставляєш поле.
Вставка-Поле... -Формула
Вміст поля
[=AVERAGE(ABOVE)]
видає середнє від суми вище лежачих осередків.
Якщо поле виділити та натиснути праву кнопку миші, то його можна оновлювати, якщо числа змінилися,
переглядати код або значення поля, змінювати код у полі.
Якщо щось зіпсується, видали все поле в осередку і створи заново.
AVERAGE означає середнє, ABOVE - близько, тобто ряд вище осередків, що лежать.
Все це я не знала сама, але легко виявила в HELP, зрозуміло, трохи розуміючи.