Як намалювати фігуру у ізометрії. Виконання прямокутної ізометрії, прямокутної диметрії за заданими видами

Для виконання ізометричної проекції будь-якої деталі необхідно знати правила побудови ізометричних проекцій плоских та об'ємних геометричних фігур.

Правила побудови ізометричних проекцій геометричних фігур. Побудову будь-якої плоскої фігури слід починати з осей ізометричних проекцій.

При побудові ізометричної проекції квадрата (рис. 109) з точки Про аксонометрическим осям відкладають в обидві сторони половину довжини сторони квадрата. Через отримані засічки проводять прямі, паралельні до осей.

При побудові ізометричної проекції трикутника (рис. 110) по осі X від точки 0 обидві сторони відкладають відрізки, рівні половині сторони трикутника. По осі від точки О відкладають висоту трикутника. З'єднують отримані засічки відрізками прямих.

Рис. 109. Прямокутна та ізометричні проекції квадрата

Рис. 110. Прямокутна та ізометричні проекції трикутника

При побудові ізометричної проекції шестикутника (рис. 111) з точки О по одній осі відкладають (в обидві сторони) радіус описаного кола, а по інший - H/2. Через отримані засічки проводять прямі, паралельні до однієї з осей, і на них відкладають довжину сторони шестикутника. З'єднують отримані засічки відрізками прямих.

Рис. 111. Прямокутна та ізометричні проекції шестикутника

Рис. 112. Прямокутна та ізометричні проекції кола

При побудові ізометричної проекції кола (рис. 112) з точки по осях координат відкладають відрізки, рівні його радіусу. Через отримані засічки проводять прямі, паралельні до осей, отримуючи аксонометричну проекцію квадрата. З вершин 1, 3 проводять дуги CD та KL радіусом 3С. З'єднують точки 2 з 4, 3 з і 3 з D. У перетинах прямих виходять центри а і б малих дуг, провівши які отримують овал, що замінює аксонометрическую проекцію кола.

Використовуючи описані побудови можна виконати аксонометричні проекції простих геометричних тіл (табл. 10).

10. Ізометричні проекції простих геометричних тіл

Способи побудови ізометричної проекції деталі:

1. Спосіб побудови ізометричної проекції деталі від формоутворюючої грані використовується для деталей, форма яких має плоску грань, яка називається формоутворюючою; ширина (товщина) деталі протягом усього однакова, на бічних поверхнях відсутні пази, отвори та інші елементи. Послідовність побудови ізометричної проекції полягає в наступному:

1) побудова осей ізометричної проекції;

2) побудова ізометричної проекції формоутворюючої грані;

3) побудова проекцій інших граней у вигляді зображення ребер моделі;

Рис. 113. Побудова ізометричної проекції деталі, починаючи від формоутворюючої грані

4) обведення ізометричної проекції (рис. 113).

1. Спосіб побудови ізометричної проекції на основі послідовного видалення обсягів використовується в тих випадках, коли форма, що відображається, отримана в результаті видалення з вихідної форми будь-яких обсягів (рис. 114).
2. Спосіб побудови ізометричної проекції на основі послідовного збільшення (додавання) обсягів застосовується для виконання ізометричного зображення деталі, форма якої отримана з декількох обсягів, з'єднаних певним чином один з одним (рис. 115).
3. Комбінований спосіб побудови ізометричної проекції. Ізометричну проекцію деталі, форму якої отримано в результаті поєднання різних способів формоутворення, виконують, використовуючи комбінований спосіб побудови (рис. 116).

Аксонометричну проекцію деталі можна виконувати із зображенням (рис. 117, а) і без зображення (рис. 117, б) невидимих ​​частин форми.

Рис. 114. Побудова ізометричної проекції деталі на основі послідовного видалення об'ємів

Рис. 115 Побудова ізометричної проекції деталі на основі послідовного збільшення обсягів

Рис. 116. Використання комбінованого способу побудови ізометричної проекції деталі

Рис. 117. Варіанти зображення ізометричних проекцій деталі: а - із зображенням невидимих ​​частин;
б - без зображення невидимих ​​частин

Прямокутною ізометрієюназивається аксонометрическая проекція, яка має коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях рівні, а кути між аксонометрическими осями 120. На рис. 1 представлено положення аксонометричних осей прямокутної ізометрії та способи їх побудови.

Рис. 1. Побудова аксонометричних осей прямокутної ізометрії за допомогою: а) відрізків; б) циркуля; в) косинців чи транспортира.

При практичних побудовах коефіцієнт спотворення (К) по аксонометричних осях згідно з ГОСТ 2.317-2011 рекомендують рівний одиниці. При цьому зображення отримують більшим порівняно з теоретичним або точним зображенням коефіцієнтів спотворення 0,82. Збільшення дорівнює 1,22. На рис. 2 наведено приклад зображення деталі у прямокутній ізометричній проекції.

Рис. 2. Ізометричні деталі.

Побудова в ізометрії плоских фігур

Заданий правильний шестикутник АВСDEF, розташований паралельно горизонтальній площині проекцій Н (П 1).

а) Будуємо ізометричні осі (рис.3).

б) Коефіцієнт спотворення по осях в ізометрії дорівнює 1, тому від точки 0 по осях відкладаємо натуральні величини відрізків: А 0 О 0 = АО; О 0 D 0 = ОD; До 0 Про 0 = КО; О 0 Р 0 = ОР.

в) Лінії, паралельні координатним осям, проводяться в ізометрії також паралельно відповідним ізометричним осям у натуральну величину.

У нашому прикладі сторони ВС та FЕ паралельні осі Х.

В ізометрії вони креслюються також паралельно осі Х в натуральну величину 0 З 0 = ВС; F 0 Е 0 = FЕ.

г) З'єднуючи отримані точки, отримаємо ізометричне зображення шестикутника у площині Н (П 1).

Рис. 3. Ізометрична проекція шестикутника на кресленні

та в горизонтальній площині проекції

На рис. 4 представлені проекції найпоширеніших плоских фігур у різних площинах проекцій.

Найбільш поширеною фігурою є коло. Ізометрична проекція кола в загальному випадку є еліпс. Еліпс будують по точках і обводять по лекалу, що у практиці креслення дуже незручно. Тому еліпси замінюють овалами.

На рис. 5 побудований в ізометрії куб із колами, вписаними в кожну грань куба. При ізометричних побудовах важливо правильно розмістити осі овалів в залежності від площини, в якій передбачається зобразити коло. Як бачимо на рис. 5 великі осі овалів розташовуються по більшій діагоналі ромбів, які спроектувалися грані куба.

Рис. 4 Ізометричне зображення плоских фігур

а) на кресленні; б) на площині Н; в) на площині V; г) на площині W.

Для прямокутної аксонометрії будь-якого виду правило визначення головних осей еліпса овалу, в який проектується коло, що лежить в будь-якій площині проекції, може бути сформульовано наступним чином: велика вісь овалу розташовується перпендикулярно до тієї аксонометричної осі, яка відсутня в даній площині, а малая із напрямом цієї осі. Форма та розміри овалів у кожній площині ізометричних проекцій однакові.

Для того, щоб отримати аксонометричну проекцію предмета (рис. 106), необхідно подумки: помістити предмет у систему координат; вибрати аксонометричну площину проекцій та розташувати предмет перед нею; вибрати напрямок паралельних проектуючих променів, який не повинен збігатися з жодною з аксонометричних осей; направити проецірующие промені через усі точки предмета і координатні осі до перетину з аксонометрической площиною проекцій, отримавши цим зображення проектованого предмета і координатних осей.

На аксонометричній площині проекцій одержують зображення - аксонометричну проекцію предмета, а також проекції осей систем координат, які називають аксонометричними осями.

Аксонометричною проекцією називається зображення, отримане на аксонометричній площині в результаті паралельного проектування предмета разом із системою координат, яке наочно відображає його форму.

Система координат складається з трьох площин, що взаємно перетинаються, які мають фіксовану точку - початок координат (точку О) і три осі (X, У, Z), що виходять з неї і розташовані під прямим кутом один до одного. Система координат дозволяє проводити вимірювання по осях, визначаючи положення предметів у просторі.

Рис. 106. Отримання аксонометричної (прямокутної ізометричної) проекції

Можна отримати безліч аксонометричних проекцій, по-різному розташовуючи предмет перед площиною і вибираючи при цьому різний напрямок променів, що проектують (рис. 107).

Найбільш вживаною є так звана прямокутна ізометрична проекція (надалі використовуватимемо її скорочену назву - ізометрична проекція). Ізометричною проекцією (див. рис. 107 а) називається така проекція, у якої коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях рівні, а кути між аксонометричними осями становлять 120°. Ізометрична проекція виходить за допомогою паралельного проектування.

Рис. 107. Аксонометричні проекції, встановлені ГОСТ 2.317-69:
а – прямокутна ізометрична проекція; б – прямокутна диметрична проекція;
в – косокутна фронтальна ізометрична проекція;
г - косокутна фронтальна диметрична проекція

Рис. 107. Продовження: д - косокутна горизонтальна ізометрична проекція

При цьому проецірующие промені перпендикулярні аксонометричній площині проекцій, а координатні осі однаково нахилені до аксонометричної площини проекцій (див. рис. 106). Якщо порівняти лінійні розміри предмета та відповідні їм розміри аксонометричного зображення, можна побачити, що у зображенні ці розміри менше, ніж дійсні. Величини, що показують відношення розмірів проекцій відрізків прямих до дійсних розмірів, називають коефіцієнтами спотворення. Коефіцієнти спотворення (К) по осях ізометричної проекції однакові і дорівнюють 0,82, проте для зручності побудови використовують так звані практичні коефіцієнти спотворення, які дорівнюють одиниці (рис. 108).

Рис. 108. Положення осей та коефіцієнти спотворення ізометричної проекції

Існують ізометричні, диметричні та триметричні проекції. До ізометричних проекцій відносяться такі проекції, які мають однакові коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях. Диметричними проекціями називають такі проекції, у яких два коефіцієнти спотворення по осях однакові, а величина третього відрізняється від них. До триметричних проекцій належать проекції, які мають всі коефіцієнти спотворення різні.

Що таке диметрія

Диметрія є одним із видів аксонометричної проекції. Завдяки аксонометрії при одному об'ємному зображенні можна розглядати об'єкт одразу у трьох вимірах. Оскільки коефіцієнти спотворень всіх розмірів по 2 осях однакові, дана проекція і отримала назву диметрія.

Прямокутна диметрія

При розташуванні осі Z" вертикально, при цьому осі Х" і Y" утворюють з горизонтального відрізка кути 7 градуси 10 хвилин і 41 градус 25 хвилин. удвічі більше, тобто 0,94.

Щоб здійснити побудову приблизно аксонометричні осі звичайної диметрії, необхідно прийняти, що tg 7 градусів 10 хвилин дорівнює 1/8, а tg 41 градуса 25 хвилин дорівнює 7/8.

Як побудувати диметрію

Для початку необхідно накреслити осі, щоб зобразити предмет у диметрії. У будь-якій прямокутній диметрії кути, що знаходяться між осями Х та Z, дорівнюють 97 градусів 10 хвилин, а між осями Y та Z – 131 градусів 25 хвилин та між Y та Х – 127 градусів 50 хвилин.

Тепер потрібно нанести осі на ортогональні проекції предмета, що зображується, враховуючи обране положення предмета для креслення в диметричній проекції. Після того, як завершите перенесення на об'ємне їх зображення габаритних розмірів предмета, можете приступати до креслення незначних елементів на поверхні предмета.

Варто запам'ятати, що кола у кожній площині диметрії зображуються відповідними еліпсами. У диметричній проекції без спотворення по осях Х і Z велика вісь нашого еліпса у всіх трьох площинах проекції становитиме 1,06 діаметра намальованого кола. А мала вісь еліпса у площині ХОZ становить 0,95 діаметра, а площині ZОY і ХОY – 0,35 діаметра. У диметричній проекції зі спотворенням по осях Х та Z велика вісь еліпса дорівнює діаметру кола у всіх площинах. У площині ХОZ мала вісь еліпса становить 0,9 діаметра, а площинах ZОY та ХОY дорівнюють 0,33 діаметра.

Щоб отримати детальніше зображення, необхідно вирізати через деталі на диметрії. Заштрихування при викреслюванні вирізу слід наносити паралельно проведеній діагоналі проекції вибраного квадрата на необхідну площину.

Що таке ізометрія

Ізометрія є одним із видів аксонометричної проекції, де відстані одиничних відрізків на всіх 3-х осях однакові. Ізометрична проекція активно використовується в машинобудівних кресленнях, щоб відобразити зовнішній вигляд предметів, а також різноманітні комп'ютерні ігри.

У математиці ізометрія відома як перетворення метричного простору, що зберігає відстань.

Прямокутна ізометрія

У прямокутній (ортогональній) ізометрії аксонометричні осі створюють між собою кути, які дорівнюють 120 градусам. Вісь Z знаходиться у вертикальному положенні.

Як накреслити ізометрію

Побудова ізометрії предмета дає можливість отримати найбільш виразне уявлення про просторові властивості об'єкта, що зображається.

Перед тим, як почати побудову креслення в ізометричній проекції, необхідно вибрати таке розташування предмета, що зображається, щоб були максимально видно його просторові властивості.

Тепер вам потрібно визначитися з видом ізометрії, яку креслитимете. Існує два її види: прямокутна та горизонтальна косокутна.

Намалюйте осі тонкими легкими лініями, щоб зображення вийшло по центру листа. Як раніше говорилося, кути у прямокутному вигляді ізометричної проекції повинні становити 120 градусів.

Починайте малювати ізометрію з верхньої поверхні зображення предмета. Від кутів горизонтальної поверхні, що вийшла, потрібно провести дві вертикальні прямі і відкласти на них відповідні лінійні розміри предмета. В ізометричній проекції всі лінійні розміри по всіх трьох осях залишатимуться кратними одиниці. Потім послідовно потрібно з'єднати створені точки вертикальних прямих. В результаті вийде зовнішній контур предмета.

Варто враховувати, що при зображенні будь-якого предмета в ізометричній проекції видимість криволінійних деталей обов'язково буде спотворюватися. Окружність повинна зображуватися еліпсом. Відрізок між точками кола (еліпса) по осях ізометричної проекції повинен дорівнювати діаметру кола, а осі еліпса не збігатимуться з осями ізометричної проекції.

Якщо об'єкт, що зображується, має приховані порожнини чи складні елементи, спробуйте виконати заштрихування. Вона може бути простою або ступінчастою, все залежить від складності елементів.

Запам'ятайте, що вся будова повинна виконувати строго із застосуванням креслярських інструментів. Застосовуйте кілька олівців із різними видами твердості.

Аксонометрія

Аксонометрія (від грец. axcon- вісь і metroo- Вимірюю) дає наочне зображення предмета на одній площині.

Зображення предмета в аксонометрії виходить шляхом паралельного проектування на одну площину проекцій разом з осями прямокутних координат, до яких цей предмет віднесений.

Коефіцієнти спотворенняпо осях в аксонометрії визначають ставленням аксонометричних координатних відрізків до їхньої натуральної величини при однакових одиницях виміру.

Натуральні коефіцієнти спотворення позначають:

• по осі x – u ;
• по осі y – v ;
• по осі z – w .

Залежно від порівняльної величини коефіцієнтів спотворення по осях розрізняють три види аксонометрії:

Ізометрія- Усі три коефіцієнти спотворення рівні між собою: u=v=w .

Диметрія– два коефіцієнти спотворення рівні між собою та відрізняються від третього u=v≠w ; v=w≠u ; u=w≠v .

Триметрія- Всі три коефіцієнти спотворення не рівні між собою: u≠v≠w .

Залежно від напрямку проектування аксонометричні проекції поділяють на прямокутні(Напрямок проектування перпендикулярно площині аксонометричних проекцій) і косокутні(Напрямок проектування не перпендикулярно площині аксонометричних проекцій).

Прямокутні проекції

Ізометрія

Положення аксонометричних осей наведено на рис.1.

Рис.1.

Коефіцієнт спотворення по осях x, y, zдорівнює 0,82.

Ізометрію для спрощення, як правило, виконують без спотворення по осях x, y, z, Т. е. Прийнявши коефіцієнт спотворення рівним 1.

Побудоване в такий спосіб зображення буде більше предмета в 1,22 разу, тобто. масштаб зображення буде М 1,22:1.

Кола, що лежать у площинах, паралельних площин проекцій проектуються на аксонометрічну площину проекцій в еліпси (рис.2). Якщо ізометричну проекцію виконують без спотворення по осях x, y, z, то велика вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює 1,22, а мала вісь - 0,71 діаметра кола. Якщо ізометричну проекцію виконують зі спотворенням по осях x, y, z, то велика вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює діаметру кола, а мала вісь – 0,58 діаметра кола.

Приклад ізометричної проекції деталі наведено на рис.3.

Диметрія

Положення аксонометричних осей наведено на рис.4.

Рис.4.

Коефіцієнт спотворення по осі yдорівнює 0,47, а по осях xі z – 0,94.

Диметричну проекцію, як правило, виконують без спотворення по осях xі zта з коефіцієнтом спотворення 0,5 по осі y.

Аксонометричний масштаб буде М 1,06:1.

Кола, що у площинах, паралельних площинам проекцій, проектуються на аксонометрическую площину проекцій в еліпси (рис.5). Якщо диметричну проекцію виконують без спотворення по осях xі z, то велика вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює 1,06 діаметра кола, а мала вісь еліпса 1 – 0,95, еліпсів 2 та 3 – 0,35 діаметра кола. Якщо диметричну проекцію виконують зі спотворенням по осях xі z, то велика вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює діаметру кола, а мала вісь еліпса 1 - 0,9, еліпсів 2 і 3 - 0,33 діаметра кола.

Приклад диметричної проекції деталі наведено на рис.6.

Косокутні проекції

Ізометрія фронтальна

Становище аксонометричних осей наведено на рис.7.

Допускається застосовувати фронтальні ізометричні проекції з кутом нахилу осі 30 і 60°.

Фронтальну ізометричну проекцію виконують без спотворення по осях. x, y, z.

Кола, що лежать у площинах, паралельних фронтальній площині проекцій, проектуються на аксонометричну площину в колі, а кола, що лежать у площинах, паралельних горизонтальній та профільній площинам проекцій, – в еліпси (рис.8). Велика вісь еліпсів 2 і 3 дорівнює 1,3, а мала вісь - 0,54 діаметра кола.

Приклад фронтальної ізометричної проекції деталі наведено на рис.9.

Ізометрія горизонтальна

Положення аксонометричних осей наведено на рис.10.

Дозволяється застосовувати горизонтальні ізометричні проекції з кутом нахилу осі. y 45 і 60°, зберігаючи кут між осями xі y 90 °.

Горизонтальну ізометричну проекцію виконують без спотворення по осях. x, yі z.

Кола, що лежать у площинах, паралельних горизонтальній площині проекцій, проектуються на аксонометрічну площину проекцій в колі, а кола, що лежать у площинах, паралельних фронтальній та профільній площинам проекцій – в еліпси (рис.11). Велика вісь еліпса 1 дорівнює 1,37, а мала вісь – 0,37 діаметра кола. Велика вісь еліпса 3 дорівнює 1,22, а мала вісь – 0,71 діаметра кола. Осі фронтальної диметрії

Допускається застосовувати фронтальні диметричні проекції з кутом нахилу осі 30 і 60°.

Коефіцієнт спотворення по осі yдорівнює 0,5, а по осях xі z – 1.

Кола, що лежать у площинах, паралельних фронтальній площині проекцій, проектуються на аксонометричну площину проекцій в колі, а кола, що лежать у площинах, паралельних горизонтальній та профільній площинам проекцій, – в еліпси (рис.14). Велика вісь еліпсів 2 і 3 дорівнює 1,07, а мала вісь - 0,33 діаметра кола.

Приклад фронтальної диметричної проекції деталі наведено на рис.15.