Індукція- форма мислення, за допомогою якої думка наводиться на будь-яке загальне правило, загальне становище, властиве всім конкретним об'єктам якогось класу.
Дедукція- така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічним шляхом із попередніх думок. Така послідовність думок називається висновком, а кожен компонент цього висновку або раніше доведеною думкою або аксіомою, або гіпотезою.
Дедуктивний доказ- одна з форм доказів, коли теза, яка є якоюсь одиничною або приватною думкою, підводиться під загальне правило.
Будь-який доказ складається з трьох частин:
теза, аргументів, демонстрацій.
Правила доказу:
1. Теза та аргументи мають бути судженнями ясними та визначеними.
2. Теза має залишатися одним і тим самим на продовженні всього доказу.
3. Теза не повинна містити в собі логічного протиріччя.
4. Теза, яку потрібно довести, не повинна перебувати в логічному протиріччя з висловленими раніше судженнями.
5. Доводи, що наводяться на підтвердження тези, не повинні суперечити один одному.
6. Приведення до абсурду. Істинність тієї чи іншої тези можна обґрунтувати, довівши хибність протилежної тези.
7. Теза та доводи мають бути обґрунтовані фактами.
8. Доказ має бути повним.
9. Доводи, що наводяться у підтвердження істинності тези, повинні бути достатніми для даної тези.
10. Докази, що наводяться в доказі істинності тези, самі повинні бути істинними.
11. Докази мають бути міркуваннями, істинність яких доведена самостійно незалежно від тези.
ПРИМІТКА: Теза - думка чи становище, істинність якого потрібно довести.

Вчимося доводити теорему.

Засвоїти зміст теорем (правил, формул, тотожностей тощо. буд.), які вивчаються у шкільництві, негаразд важко. Для цього необхідно систематично намагатися зрозуміти зміст теореми (правил, формул, тотожностей і т. д., якнайчастіше застосовувати їх при вирішенні завдань, при доказі інших теорем. Така робота, як показує практика, призводить до мимовільного засвоєння їх змісту, запам'ятовування їх формулювань Значно важче навчитися доводити теореми При цьому йдеться не про запам'ятовування доказу тієї чи іншої теореми, яка була розглянута на уроці. міркувань за доказом будь-якого затвердження.

Що означає довести теорему, що таке доказ?

Доказ у широкому значенні- це логічне міркування, у якого істинність будь-якої думки обгрунтовується з допомогою інших положень.

Тому, коли ви переконуєте свого товариша в чомусь або відстоюєте в суперечці з ним свою думку, свою точку зору, то ви по суті робите доказ (вміло чи невміло – це вже інше питання). У житті весь час, щодня у спілкуванні з іншими людьми, доводиться доводити ті чи інші думки, твердження, доводиться переконувати у чомусь, тобто доводити.

Доказ математичних теорем є окремий випадокдокази взагалі. Воно відрізняється від доказу в життєвих умовах або в інших науках тим, що він відбувається по можливості чисто дедуктивним способом(від латинського словадедукція - виведення), тобто виведенням нової думки, що доводиться (ствердження, судження) з раніше доведених або прийнятих без доказу думок (аксіом) за правилами логіки без будь-яких посилань на приклади або досвід. В інших науках, у життєвих обставинах ми для доказу часто вдаються до прикладів, досвіду. Ми говоримо: «Дивися» - і це може бути доказом. У математиці такий спосіб доказу неприпустимо, посилатися, наприклад, на очевидні відносини, що ілюструються кресленням, не дозволяється. Математичний доказмає бути ланцюжок логічних наслідків з вихідних аксіом, визначень, умов теореми і раніше доведених теорем до необхідного висновку.

Таким чином, при доказі теореми ми зводимо її до раніше доведених теорем, а ті в свою чергу ще до інших і т. д. Очевидно, що цей процес відомості повинен бути кінцевим, і тому всякий доказ врешті-решт зводить теорему, що доводиться до вихідних визначень. та прийнятим без доказу аксіомам.

Отже, аксіоми служать не тільки для непрямого визначенняпервинних понять, а й у ролі підстав для підтвердження всіх теорем математики. Ось чому серед аксіом зустрічаються і такі, які вказують особливі властивостіпонять, що мають логічні визначення. Так, наприклад, паралельні прямі в курсі геометрії є не первинним поняттям, а визначальним. Однак одна з властивостей паралельних прямих, а саме що годЧерез точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даної, ми змушені прийняти за аксіому, бо, як було встановлено великим російським геометром М. І. Лобачевським (1792-1856), а також німецьким математиком Гауссом (1777-1855) і угорським математиком Я. Больяй (1802-1860), довести цю властивість паралельних прямих на основі лише інших аксіом геометрії неможливо.

Кожен крок підтвердження складається з трьох частин:

1) пропозиція (аксіома, теорема, визначення), на основі якої провадиться цей крок доказу; ця підстава кроку доказу називається посилкою або аргументом;

2) логічне міркування, у процесі якого посилка застосовується до умов теореми чи раніше отриманим слідствам;

3) логічний наслідок застосування посилки до умов або раніше отриманих слідств.

В останньому етапі доказу теореми як слідство отримуємо твердження, яке необхідно було довести. Покажемо процес докази з прикладу такої теореми: «Діагоналі прямокутника рівні».

У цій теоремі нам дано довільний (будь-який) прямокутник, Для того щоб легше було міркувати в процесі доказу, надходять таким чином. Накреслимо цілком певний прямокутник ABCD, але при доказі не будемо використовувати будь-які приватні особливості цього прямокутника (наприклад, що його сторона АВ приблизно в 2 рази більша за сторону AD і т. д.). Тому наші міркування щодо цього певного прямокутникабудуть вірні і для будь-якого іншого прямокутника, тобто вони матимуть загальний характердля всіх прямокутників.

Проведемо діагоналі АС та BD. Розглянемо отримані трикутники ABCта ABD. У цих трикутників кути ABC і BAD дорівнюють як прямі, катет АВ - загальний, а катети ВС і AD дорівнюють як протилежні сторони прямокутника. Отже ці трикутники рівні. Звідси випливає, що сторони АС і BD також рівні, що потрібно було довести.

Весь доказ цієї теореми можна зобразити у вигляді наступної схеми.

№ кроку	Посилки (аргументи)	Умови	Наслідки
1.	Визначення: прямокутник - це чотирикутник, у якого всі кути прямі	ABCD - прямокутник	A - прямий - Прямий.
2.	Теорема: Прямі кути рівні.	A - прямий B – прямий.	A = B.
3.	Теорема: Протилежні сторони прямокутника рівні.	ABCD - прямокутник	BC=AD
4.	Перша ознака рівності двох трикутників.	НД = AD, AB = AB, B = A	ABC = BAD.
5.	Визначення рівності трикутників.	ABC = BAD, AC та BD відповідні сторони	AC = BD.

Найважче в доказі - це знайти послідовність посилок (аксіом, теорем, визначень), застосовуючи які до умов теореми або проміжним результатам(наслідків) зрештою можна отримати необхідне слідство - доведене становище.

Якими правилами потрібно керуватися під час пошуку цієї послідовності? Очевидно, що ці правила не можуть мати обов'язкового характеру, вони лише вказують можливі шляхипошуку. Тому вони називаються евристичними правилами або просто евристиками (від грецького словаеврика – знаходжу, знайшов). Багато видатні математики, такі, як Папп (давньогрецький математик, який жив у III ст.), Блез Паскаль (1623-1662), Рене Декарт (1596-1650), Жак Адамар (1865-1963), Дьєрдж Пойя (1887) та багато інші, займалися розробкою евристик для пошуку доказу теорем та вирішення завдань. Ось деякі евристичні правила, які корисно пам'ятати:

1.Корисно замінювати назви об'єктів, про які йде мовау теоремі (задачі), їх визначеннями чи ознаками.

Наприклад, у розглянутій вище теоремі йшлося про прямокутник, і ми для доказу використовували визначення прямокутника.

2.Якщо можна, то потрібно доводиться положення роздробити на частини і доводити кожну частину окремо.

Так, наприклад, доказ теореми: «Якщо у чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм» – можна розділити на дві частини: спочатку довести, що одна пара протилежних сторінданого чотирикутника паралельна, а потім довести, що друга пара протилежних сторін також паралельна.

Так слід чинити завжди, коли є можливість твердження, що доводиться, розбити на кілька частин простіших тверджень.

3.В пошуках доказу теореми корисно йти з двох сторін: від умов теореми до укладання та від укладання до умов.

Наприклад, потрібно довести таку теорему: «Якщо деяка послідовність така, що будь-який її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним попереднього та наступного членів, то ця послідовність - арифметична прогресія».

Ходімо від умови теореми. Що нам дано? Дано, що кожен член послідовності, починаючи з другого (позначимо його a n, де n³ 2), є середнє арифметичне попереднього та наступного членів, т.е.

a n- 1 та a n+1. Значить, вірна така рівність:
(1)

Тепер підемо від ув'язнення. А що нам треба довести? Потрібно довести, що ця послідовність – арифметична прогресія. А яка послідовність називається арифметичною прогресією? Згадуємо визначення:

a n = a n-1 + d,де n2, d- постійне число. (2)

Порівнюємо дану нам умову (1) із висновком (2). Щоб умова набула форми укладання, треба перетворити так:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Звідси a n - a n-1= a n+1 - a n . (4)

Ліва та права частини (4) позначають те саме, а саме різницю між двома послідовними членами заданої послідовності. Якщо у рівності (4) пдавати послідовно значення 2, 3 і т. д., то отримаємо: а 2 -a 1 = а 3 - a 2, потім а 3 - a 2 = a 4 - a 3і т. д. Отже, всі ці різниці рівні між собою, а це означає, що різниця а п - а п-1 є постійне число, яке можна позначити буквою, наприклад, буквою d:

а п - а п-1 = d.

Звідси отримуємо: a n = a n-1 + d,а це означає, що згідно з визначенням (2) дана послідовність є арифметичною прогресією, що нам і треба було довести.

Цю евристику можна й так сформулювати: треба намагатися зблизити умову та висновок теореми, перетворюючи їх чи замінюючи їх наслідками.

Відомий і ряд більш приватних евристичних правил, що застосовуються при пошуку лише деяких теорем. Наприклад, така евристика: для того, щоб довести рівність будь-яких відрізків, треба знайти або побудувати фігури, відповідними сторонами яких є ці відрізки; якщо фігури виявляться рівними, то будуть рівними і відповідні відрізки.

Вивчаючи теореми, потрібно не просто запам'ятовувати їхній доказ, а щоразу думати і встановлювати, якими методами вони доводяться, якими евристичними правилами керувалися при знаходженні цих доказів, як здогадалися до цих доказів.

У ряді випадків для доказу теорем використовується особливий прийом, який називається «доказом від противного» або «приведенням до безглуздості».

Сутність цього прийому полягає в тому, що припускають несправедливість (хибність) укладання даної теореми і доводять, що таке припущення призводить до суперечності з умовою або раніше доведеними теоремами або аксіомами. А оскільки будь-яке твердження може бути або вірним, або невірним (нічого іншого бути не може), то отримане протиріччя показує, що припущення про хибність укладання теореми невірно і, отже, висновок вірний, тим самим теорема доведена.

Наведемо приклад.

Теорема. Дві прямі, нарізно паралельні третій, паралельні між собою.

Дано: а||с, b||с.
Довести: а||b.

Доведемо цю теорему шляхом протилежного. Припустимо, що висновок теоми невірно, тобто пряма а непаралельна пряма b. Тоді вони перетинаються в деякій точці М. А так як за умовою кожна з цих прямих паралельна прямій с, то виходить, що через точку М проведено дві прямі а і b, паралельні одній і тій прямій с. А ми знаємо по аксіомі паралельності, що через точку поза прямою можна провести не більше однієї прямої, паралельної даної. Прийшли протиріччя з аксіомою. Це показує, що наше припущення про непаралельність прямих а і b невірно, отже, а||b, що потрібно було довести.

Інший приклад.

Теорема. Середнє арифметичне двох позитивних чиселне менше (означає: більше або одно) середнього геометричного цих чисел.

Цю теорему можна так записати:

Де а>0, b>0, (1)

Її можна довести як прямим способом, так і способом протилежного. Доведемо її способом від неприємного.

Для цього припустимо, що вона неправильна, тобто середнє арифметичне менше середнього геометричного двох позитивних чисел:; (2)

Помножимо обидві частини (2) на 2 і зведемо їх у квадрат, отримаємо: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Через війну отримали явну безглуздість: квадрат деякого числа (а - b) негативний, чого не може. Отже, припущення про невірність теореми призвело до суперечності, що доводить справедливість теореми.

Таким чином, доказ від неприємного деякої теореми полягає в тому, що ми робимо припущення про невірність укладання теореми. Потім робимо ряд логічних висновків на основі цього припущення, в результаті яких приходимо до явно безглуздого положення (до суперечності з умовою або раніше доведеними теоремами, аксіомами). Далі міркуємо так: якби наше припущення було б вірним, то ми могли б прийти лише до вірного висновку, а так як ми дійшли невірного висновку, то це означає, що наше припущення було хибним, отже, тим самим переконалися, що висновок теореми правильно.

Зауважимо, що й у результаті міркувань ми отримали б безглуздя (суперечності), це ще означало б, що припущення правильно. Іншими словами, якщо виходити з вірності (справедливості) укладання теореми і з цього припущення отримати правильне (очевидне) слідство, то це ще не означає, що припущення вірне: може статися, що вихідна теорема якраз неправильна.

На цьому побудовано багато софізмів (навмисно хибно побудовані умовиводи, які здаються лише правильними), цим пояснюються багато помилок, що допускаються, при вирішенні завдань.

Розглянемо, наприклад, таку рівність: а - b = b - a(1), де аі b- Довільні числа. Припустимо, що (1) вірно, тоді піднімемо обидві частини (1) у квадрат, отримаємо:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Перенісши всі члени в один бік і зробивши приведення подібних, дійдемо абсолютно вірної рівності: 0 = 0. Але звідси не можна робити висновок, що і вихідна рівність (1) вірна. Якби ми такий висновок зробили, то дійшли б такого софізму: 2а = 2b або а = b, тобто будь-які довільні числа рівні між собою. Помилка полягає в тому, що з рівності квадратів двох чисел не випливає рівність самих цих чисел. Наприклад, (-2) 2 = 2 2 але -22.

Ось приклад помилкового розв'язання задачі.

Завдання. Розв'язати рівняння 3+ х + 2 = 0(1).

Припустимо, що рівняння (1) має рішення і, отже, рівність (1) вірна. Тоді отримаємо: З = - х - 2. Зведемо обидві частини рівності в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 або х 2 -5x + 4 = 0, звідси х 1 = 4, х 2 = 1. Чи можна знайдені значення х вважати корінням рівняння (1)? Деякі учні відповідають на це питання ствердно, адже всі перетворення рівняння вірні. І все ж жодне зі знайдених значень х не є коренем (1). Це підтверджує перевірку. Підставляючи знайдені значення х (1), отримуємо явно безглузді рівності: 12 = 0 і 6 = 0.

А як все ж таки вирішити це рівняння. Зауважимо, що вираз у лівій частині рівняння має сенс якщо x0. Тоді ліва частина рівняння при будь-яких допустимих значеннях приймає тільки позитивні значення і ні як не може бути рівною 0, отже, дане рівняння коренів не має.

Таким чином ви повинні вчитися доводити теореми (формули, тотожності тощо), опановувати загальні способи пошуку доказу теорем.

Не тільки кожен школяр, а й кожна поважна себе освічена людина повинна знати, що таке теорема та доказ теорем. Може, такі поняття і не зустрінуться в реальному житті, але структурувати багато знань, а також робити висновки вони точно допоможуть. Саме тому ми й розглянемо у цій статті способи доказу теорем, а також ознайомимося з такою знаменитою теоремою Піфагора.

Що ж таке теорема

Якщо розглядати шкільний курс математики, то часто в ньому зустрічаються такі наукові терміни, як теорема, аксіома, визначення та доказ. Щоб орієнтуватися у програмі, потрібно ознайомитися з кожним із цих визначень. Зараз ми розглянемо, що таке теорема та доказ теорем.

Отже, теорема – це якесь твердження, яке потребує доказу. Розглядати це поняття потрібно паралельно з аксіомою, оскільки остання докази не вимагає. Її визначення вже є істинним, тому сприймається як належне.

Сфера застосування теорем

Помилково думати, що теореми застосовуються лише у математиці. Насправді, це далеко не так. Наприклад, існує просто неймовірна кількість теорем у фізиці, що дозволяють докладно та з усіх боків розглянути деякі явища та поняття. Сюди можна віднести теореми Ампера, Штейнера та багато інших. Докази таких теорем дозволяють непогано розібратися в моментах інерції, статики, динаміки та в багатьох інших поняттях фізики.

Використання теорем у математиці

Важко уявити таку науку, як математика, без теорем і доказів. Наприклад, докази теорем трикутника дозволяють детально вивчити всі властивості фігури. Адже дуже важливо розібратися у властивостях рівнобедреного трикутника та у багатьох інших речах.

Доказ теореми площі дозволяє зрозуміти, як найпростіше обчислювати площу фігури, спираючись деякі дані. Адже, як відомо, існує велика кількість формул, що описують, як можна знайти площу трикутника. Але перед тим, як їх використовувати, дуже важливо довести, що це можливо і раціонально у конкретному випадку.

Як доводити теореми

Кожен школяр повинен знати, що таке теорема, та доказ теорем. Насправді довести якесь твердження не так просто. Для цього потрібно оперувати багатьма даними та вміти робити логічні висновки. Звичайно, якщо ви непогано володієте інформацією з певної наукової дисципліни, то довести теорему вам не складе особливих труднощів. Головне – виконувати процедуру доказу у певній логічній послідовності.

Для того, щоб навчитися доводити теореми з таких наукових дисциплін, як геометрія та алгебра, потрібно мати непоганий багаж знань, а також знати сам алгоритм доказу. Якщо ви освоїте таку процедуру, то вирішувати математичні завдання згодом для вас не складе особливих труднощів.

Що потрібно знати про доказ теорем

Що таке теорема та докази теорем? Це питання, яке хвилює багатьох людей у ​​суспільстві. Дуже важливо навчитися доводити математичні теореми, це допоможе вам у майбутньому будувати логічні ланцюжки та дійти певного висновку.

Отже, щоб доводити теорему правильно, дуже важливо зробити правильний малюнок. На ньому відобразіть усі дані, що були вказані в умові. Також дуже важливо записати всю інформацію, яка надавалась у завданні. Це допоможе вам правильно проаналізувати завдання та зрозуміти, які саме величини у ньому дано. І лише після проведення таких процедур можна братися до самого доказу. Для цього вам потрібно логічно вибудувати ланцюжок думок, використовуючи інші теореми, аксіоми чи визначення. Підсумком доказу має бути результат, істинність якого не підлягає сумніву.

Основні способи доказу теорем

У шкільному курсі математики є два способи, як довести теорему. Найчастіше у завданнях використовують прямий метод, і навіть метод докази протилежного. У першому випадку просто аналізують наявні дані та, спираючись на них, роблять відповідні висновки. Також дуже часто використовується і метод протилежного. У цьому випадку ми припускаємо протилежне твердження і доводимо, що воно є неправильним. На основі цього ми отримуємо протилежний результат і говоримо про те, що наше судження було невірним, а отже, вказана в умові інформація є правильною.

Насправді багато математичних завдань може мати кілька способів розв'язання. Наприклад, теорема Ферма доказів має кілька. Звичайно, деякі розглядаються лише одним способом, але, наприклад, у теоремі Піфагора можна розглянути одразу кілька із них.

Що являє собою теорема Піфагора

Звісно, ​​кожен школяр знає у тому, що теорема Піфагора стосується саме прямокутного трикутника. І звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Незважаючи на назву цієї теореми, відкрита вона була не самим Піфагором, а ще задовго до нього. Існує кілька способів доказів цього твердження, і ми розглянемо деякі з них.

Згідно з науковими даними, на початку розглядався рівносторонній прямокутний трикутник. Потім будували квадрати на всіх його сторонах. Квадрат, побудований на гіпотенузі, складатиметься з чотирьох рівних між собою трикутників. У той час як фігури, побудовані на катетах, складаються лише з двох таких трикутників. Такий доказ теореми Піфагора є найпростішим.

Розглянемо ще один доказ цієї теореми. У ньому потрібно використовувати знання не тільки з геометрії, але й з алгебри. Для того щоб довести цю теорему цим способом, нам потрібно побудувати чотири аналогічні прямокутні трикутники, і підписати їх сторони як а, в і с.

Побудувати ці трикутники потрібно таким чином, щоб у результаті вийшло два квадрати. Зовнішній з них матиме сторони (а+в), а ось внутрішній – с. Для того, щоб знайти площу внутрішнього квадрата, нам потрібно знайти твір с*с. А ось для того, щоб знайти площу великого квадрата, потрібно скласти площі маленьких квадратів і додати площі отриманих прямокутних трикутників. Тепер, зробивши деякі операції алгебри, можна отримати таку формулу:

а 2 + 2 = з 2

Насправді існує безліч методів доказу теорем. Перпендикуляр, трикутник, квадрат або будь-які інші фігури та їх властивості можна розглянути за допомогою різних теорем і доказів. Теорема Піфагора є лише тому підтвердженням.

Замість ув'язнення

Дуже важливо вміти формулювати теореми, а також правильно їх доводити. Звичайно, така процедура є досить складною, тому що для її здійснення необхідно не тільки вміти оперувати великою кількістюінформації, а також і вибудовувати логічні ланцюжки. Математика – це дуже цікава наука, яка не має ні кінця, ні краю.

Почніть її вивчати, і ви не тільки підвищите рівень свого інтелекту, а й отримаєте величезну кількість цікавої інформації. Займіться своєю освітою сьогодні. Зрозумівши основні принципи доказів теорем, ви зможете проводити свій час із великою користю.

Знаходження математичного доказу може виявитися непростим завданням, але допоможе знання математики і вміння оформити доказ. На жаль, немає швидких і простих методів навчитися вирішувати математичні завдання. Необхідно як слід вивчити предмет і запам'ятати основні теореми та визначення, які стануть вам у пригоді при доказі того чи іншого математичного постулату. Вивчайте приклади математичних доказів та тренуйтеся самі – це допоможе вам удосконалити свою майстерність.

Кроки

Зрозумійте умову задачі

Визначте, що потрібно знайти.Насамперед необхідно з'ясувати, що саме слід довести. Крім цього, цим визначатиметься останнє твердження у вашому доказі. На даному етапі слід також зробити певні припущення, в рамках яких ви працюватимете. Щоб краще зрозуміти завдання та приступити до його вирішення, з'ясуйте, що потрібно довести, і зробіть необхідні припущення.

Зробіть малюнок.При вирішенні математичних завдань іноді корисно зобразити їх як малюнку чи схеми. Це особливо важливо у разі геометричних завдань – малюнок допомагає наочно уявити умову та значно полегшує пошук рішення.

• При створенні малюнка або схеми використовуйте наведені дані. Позначте на малюнку відомі та невідомі величини.
• Малюнок полегшить пошук доказу.

1. Вивчіть докази подібних теорем.Якщо вам не вдається відразу визначити рішення, знайдіть подібні теореми і подивіться, як вони доводяться.

   Задавайте питання.Нічого страшного, якщо вам не вдасться відразу знайти доказ. Якщо вам щось неясно, запитайте про це вчителя чи однокласників. Можливо, у ваших товаришів виникли самі питання, і ви зможете розібратися з ними разом. Краще поставити кілька питань, ніж знову і знову безуспішно намагатися знайти доказ.

   • Підійдіть до вчителя після уроків та з'ясуйте усі незрозумілі питання.

   Сформулюйте доказ

   1. Сформулюйте математичний доказ.Математичним доказом називають підкріплену теоремами та визначеннями послідовність тверджень, яка доводить якийсь математичний постулат. Докази є єдиним способом визначити, що те чи інше твердження є вірним у математичному сенсі.

      • Вміння записати математичний доказ свідчить про глибоке розуміння завдання та володіння необхідними інструментами (лемами, теоремами та визначеннями).
      • Суворі докази допоможуть вам по-новому поглянути на математику та відчути її привабливу силу. Просто спробуйте довести будь-яке твердження, щоб отримати уявлення про математичні методи.

   2. Врахуйте свою аудиторію.Перш ніж приступити до запису доказу, слід подумати про те, для кого він призначений, і врахувати рівень знань цих людей. Якщо ви записуєте доказ для подальшої публікації в науковому журналі, він відрізнятиметься від того випадку, коли ви виконуєте шкільне завдання.

      • Знання цільової аудиторії дозволить вам записати доказ з урахуванням підготовки читачів, щоб вони зрозуміли його.

   3. Визначте тип підтвердження.Є кілька видів математичних доказів, і вибір конкретної форми залежить від цільової аудиторії та розв'язуваної задачі. Якщо ви не знаєте, який вид вибрати, порадьтеся зі своїм учителем. У старших класах школи потрібно оформляти докази у дві колонки.

      • При записі докази дві колонки в одну заносять вихідні дані і твердження, тоді як у другу - відповідні докази цих тверджень. Таку форму запису часто використовують під час вирішення геометричних завдань.
      • При менш формальному записі доказів використовують граматично правильні конструкції та меншу кількість символів. На вищих рівнях слід застосовувати саме цей запис.

   4. Зробіть малюнок докази як двох колонок.Така форма допомагає впорядкувати думки та послідовно вирішити завдання. Розділіть сторінку навпіл вертикальною лінією і запишіть вихідні дані та твердження, що випливають з них, у лівій частині. Праворуч напроти кожного твердження запишіть відповідні визначення та теореми.

      Запишіть доказ із двох колонок у вигляді неформального доказу.Візьміть за основу запис у вигляді двох колонок і запишіть доказ у більш короткій формі з меншою кількістю символів та скорочень.

      • Наприклад: припустимо, що кути А і є суміжними. Згідно з гіпотезою, ці кути доповнюють один одного. Будучи суміжними, кут A та кут B утворюють пряму лінію. Якщо сторони кута утворюють пряму лінію, такий кут дорівнює 180°. Складемо кути A та B і отримаємо пряму лінію ABC. Таким чином, сума кутів A та B дорівнює 180°, тобто ці кути є додатковими. Що і потрібно було довести.

   Запишіть доказ

   1. Освойте мову доказів.Для запису математичних доказів використовують стандартні твердження та фрази. Необхідно вивчити ці фрази та знати, як ними користуватися.

      Запишіть усі вихідні дані.При складанні доказу насамперед слід визначити та виписати все, що дано в задачі. У цьому випадку ви матимете перед очима всі вихідні дані, на підставі яких необхідно отримати рішення. Уважно прочитайте умову задачі та випишіть усе, що в ній дано.

   2. Визначте усі змінні.Крім запису вихідних даних, корисно також виписати інші змінні. Щоб читачам було зручніше, запишіть змінні на початку доказу. Якщо змінні не визначені, читач може заплутатися і зрозуміти ваш доказ.

      • Не використовуйте під час доказу невизначені раніше змінні.
      • Наприклад: у розглянутому вище завданні змінними є величини кутів A і B.

   3. Спробуйте знайти доказ у зворотному порядку.Багато завдань легше вирішувати у зворотній послідовності. Почніть із того, що потрібно довести, і подумайте, як можна пов'язати висновки з вихідною умовою.

      • Перечитайте початкові та кінцеві кроки та подивіться, чи не схожі вони один на одного. Використовуйте початкові умови, визначення та схожі докази з інших завдань.
      • Ставте собі питання і просуйтеся вперед. Щоб довести окремі твердження, запитуйте себе: "Чому це саме так?" - і: "Чи може це виявитися неправильним?"
      • Не забувайте записувати окремі кроки, поки не отримаєте кінцевий результат.
      • Наприклад: якщо кути A та B є додатковими, їх сума повинна становити 180°. Відповідно до визначення суміжних кутів, кути A і B утворюють пряму лінію ABC. Так як лінія утворює кут 180 °, у сумі кути A і B дають 180 °.

   4. Розташуйте окремі кроки доказу так, щоб він був послідовним та логічним.Почніть з самого початку і просуйтеся до тези, що доводиться. Хоча іноді і корисно почати пошук доказу з кінця, при його запису необхідно дотримуватися правильного порядку. Окремі тези повинні слідувати одна за одною, щоб доказ був логічним і не викликав сумнівів.

      • Спочатку розгляньте висунуті припущення.
      • Підтвердіть зроблені твердження простими та очевидними кроками, щоб у читача не виникало сумнівів щодо їх правильності.
      • Іноді доводиться неодноразово переписувати доказ. Продовжуйте групувати твердження та їх докази доти, доки не досягнете найбільш логічної побудови.
      • Наприклад: почнемо з початку.
        • Кути A та B є суміжними.
        • Сторони кута ABC утворюють пряму лінію.
        • Кут ABC становить 180 °.
        • Кут A + Кут B = Кут ABC.
        • Кут A + Кут B = Кут 180 °.
        • Кут A додатковий до кута B.

   5. Не використовуйте у доказі стрілочки та скорочення.При роботі з чорновим варіантом можна користуватися різними скороченнями та символами, проте не вмикайте їх у остаточний чистовий варіант, оскільки це може заплутати читачів. Використовуйте натомість такі слова, як “отже” і “тоді”.

      Завершуйте докази фразою "що потрібно було довести".Наприкінці доказу має стояти доведена теза. Після нього слід написати "що і потрібно довести" (скорочено "ч. т. д." або символ у вигляді зафарбованого квадрата) - це означає, що доказ завершено.

      • Латиною фразі "що й вимагалося довести" відповідає абревіатура Q.E.D. ( quod erat demonstrandum, Тобто "що й потрібно показати").
      • Якщо ви сумніваєтеся у правильності доказу, просто напишіть кілька фраз про те, якого висновку ви дійшли і чому він важливий.
   • Вся інформація, що наводиться в доказі, повинна служити досягненню поставленої мети. Не включайте на доказ те, без чого можна обійтися.

Тема 13. Теореми та докази

У цій темі Ви ознайомитеся з відмінністю математики в порівнянні з фізикою та іншими науками – визнавати тільки ті істини або закони, які доведені. У зв'язку з цим буде проаналізовано поняття теореми та розглянуто деякі види теорем та методи їх доказу.

09-13-03. Відмінна риса математики

Теорія

1.1. Якщо порівняти математику і фізику, обидві ці науки використовують як спостереження, і докази. Поряд із експериментальною фізикою існує теоретична фізика, в якій деякі твердження, як і теореми в математиці, доводяться на основі фізичних законів шляхом послідовного виведення одних суджень з інших. Проте фізичні закони визнаються істинними лише тому випадку, що вони підтверджуються великою кількістю експериментів. Ці закони згодом можуть уточнюватись.

Математика також використовує спостереження.

Приклад 1. Спостерігаючи, що

можна припустити, що сума перших тисяч непарних натуральних чиселдорівнює 1000000.

Це твердження можна перевірити безпосередніми обчисленнями, витративши величезну кількість часу.

Можна зробити загальне припущення, що з будь-якого натурального числа сума початкових непарних чисел дорівнює . Це твердження безпосередніми обчисленнями перевірити не можна, тому що множина всіх натуральних чисел нескінченна. Проте зроблене припущення є вірним, тому що його можна довести.

Приклад 2. Ми можемо виміряти кути багатьох трикутників. доведеноу 7 класі .

Приклад 3. Підставляючи багаточлен

замість натуральні числа від 1 до 10, ми отримаємо прості числа 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Можна припустити, що за будь-якого натурального значення квадратного тричлена є простим числом. Перевірка показала, що це дійсно так за будь-якого натурального від 1 до 39. Однак, при припущенні неправильно, тому що виходить складове число:

Використання доказів, а чи не спостережень встановлення істинності теорем є характерною рисою математики.

Висновок, зроблений на основі навіть численних спостережень, вважається математичним законом лише тоді, коли він доведено.

1.2. Обмежимося інтуїтивним поняттям доказу як послідовного виведення одних суджень з інших, не проводячи точного аналізу поняття виведення чи висновку. Детальніше проаналізуємо поняття теореми.

Теоремою називається твердження, істинність якого встановлюється шляхом доказу. Поняття теореми розвивалося та уточнювалося разом із поняттям доказу.

У класичному сенсі під теоремою розуміють висловлювання, яке доводиться шляхом виведення одних суджень із інших. При цьому мають бути обрані деякі початкові закониабо аксіоми, які приймаються без підтвердження.

Вперше система аксіом у геометрії була побудована давньогрецьким математиком Евклідом у його знаменитій праці Початку. Слідом за аксіомами в Початках Евкліда викладаються теореми та завдання на побудову під загальною назвою речення. Теореми розташовані у суворій послідовності.

Кожна теорема спочатку формулюється, потім вказується, що дано і потрібно довести. Потім викладається підтвердження з усіма посиланнями раніше доведені пропозиції і аксіоми. Іноді підтвердження закінчується словами як і потрібно довести. Перекладені на всі європейські мови Початки Евкліда, що включають 13 книг, залишалися до 18 століття єдиним навчальним посібником, яким вивчали геометрію в школах та університетах.

1.3. Щоб було легше виділити, що дано і що потрібно довести, теореми формулюються у вигляді якщо ..., то .... Перша частина формулювання теореми між і називається умовоютеореми, а друга частина, яка записується після того, називається висновкомтеореми.

Умова теореми містить опис те, що дано, а висновок – що потрібно довести.

Іноді такий запис теореми називають логічною формоютеореми, а скорочено називають формою якщо - те.

Приклад 4. Розглянемо таку теорему.

Якщо – парне натуральне число, то є непарним числом.

У цій теоремі умова полягає в тому, що береться будь-яке парне число ..gif непарно.

Часто умова та висновок записуються за допомогою інших слів.

Приклад 5. Теорему прикладу 1 можна записати в наступній формі:

Нехай – парне натуральне число. Тоді є непарним числом.

У цьому випадку замість слова якщо слово використовують нехай, а замість слова то пишуть слово тоді.

Приклад 6. Теорему з прикладу 1 можна записати також у такій формі:

З того, що парне натуральне число, випливає, що число .gif width="13" тягне непарність числа .

У цьому випадку слово якщо опускається, а замість слова використовується слово тягне.

Іноді використовують інші види записи теорем.

1.4. У деяких випадках умову теореми у її формулюванні не записують. Це відбувається тоді, коли з тексту ясно, який вигляд може мати ця умова.

Приклад 8. Ви знаєте теорему: медіани трикутника перетинаються лише у точці.

У логічній форміця теорема може бути записана так:

Якщо в будь-якому трикутнику провести всі медіани, то ці медіани перетнуться в одній точці.

Приклад 9. Теорема про нескінченність множини простих чисел може бути записана у вигляді:

Якщо - безліч всіх простих чисел, воно нескінченно.

Для встановлення зв'язків між теоремами у математиці використовують особлива мова, який частково буде розглянуто у наступних параграфах цього розділу.

Контрольні питання

1. Які приклади спостережень математики Вам відомі?

2. Які аксіоми геометрії Ви знаєте?

3. Який запис теореми називають логічною формою теореми?

4. Що називається умовою теореми?

5. Що називається укладанням теореми?

6. Які форми запису теорем Ви знаєте?

Завдання та вправи

1. Які припущення Ви можете зробити, спостерігаючи:

а) добутки двох сусідніх натуральних чисел;

б) суми двох сусідніх натуральних чисел;

в) суми трьох послідовних натуральних чисел;

г) суми трьох непарних чисел;

д) останні цифри в десяткового записучисел .gif" width="13 height=15" height="15">;

е) число частин, на які площина розбивається різними прямими, що проходять через одну точку;

ж) число частин, куди площину розбивається різними прямими, у тому числі прямих попарно паралельні і перетинають .gif" width="13" числа виду , де - натуральне число;

г) суми двох ірраціональних чисел?

3. Яке припущення Ви можете зробити, спостерігаючи центри кіл, описаних біля тупокутних трикутників?

4. Запишіть у логічній формі теорему:

а) сума внутрішніх кутівопуклого width="81 height=24" height="24">;

б) будь-які два прямокутні рівнобедрених трикутникаподібні;

в) рівність виконується для будь-яких цілих чисел та ;

г) висота рівнобедреного трикутника, проведена до його основи, ділить навпіл кут при вершині цього трикутника;

д) для будь-яких невід'ємних чисел і виконується нерівність;

е) сума двох протилежних кутів вписаного в коло чотирикутника дорівнює 180;

ж) число не є раціональним числом;

з) усі прості числа, які більше 10, непарні;

і) у квадрата діагоналі рівні, перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл;

к) із усіх чотирикутників, вписаних у задане колоквадрат має най велику площу;

л) існує парне просте число;

м) жодне просте число не може бути представлене у вигляді суми двох різних непарних натуральних чисел;

н) сума кубів перших натуральних чисел є квадратом певного натурального числа.

5.* Кожну з теорем, наведених у попередній задачі, запишіть у кількох різних видах.

Відповіді та вказівки

Завдання 1. Які припущення ви можете зробити, спостерігаючи:

а) добутки двох сусідніх натуральних чисел;

б) суми двох сусідніх натуральних чисел;

в) суми трьох послідовних натуральних чисел;

г) суми трьох непарних чисел;

д)останні цифри у десятковому записі чиселпри натуральних;

е) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> кількість частин, на які площина розбивається https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> прямих попарно паралельні та перетинають.gif" width="13 height=20" height="20"> кількість частин, на які площина розбивається https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> можуть виходити тільки чотири цифри:

0, 1, 5, 6; е)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" width ="13" height="15"> -кутника дорівнює;

б) будь-які два прямокутні рівнобедрені трикутники подібні;

в) рівністьвиконується для будь-яких цілих чиселі;

Алгебри періодично доводиться доводити теореми. Доведена теорема допоможе вам при вирішенні . Тому дуже важливо не механічно зазубрити доказ, а вникнути в суть теореми, щоб потім керуватися нею на практиці.

Спочатку зобразіть чітке та акуратне креслення до теореми. Позначте на ньому латинськими літерамите, що вам спочатку відомо. Запишіть усі відомі величини у графу «Дано». Далі у графі «Довести» сформулюйте те, що довести. Тепер можна братися до доказу. Воно ланцюжок логічних думок, у результаті показується істинність -або твердження. При доказі теореми можна (а часом навіть потрібно) користуватися різними положеннями, аксіомами, від противного і навіть іншими, раніше доведеними, теоремами.

Таким чином, доказ – це послідовність дій, у результаті якого ви отримаєте незаперечне. Найбільшу складність при доказі теореми становить знаходження саме тієї послідовності логічних міркувань, які призведуть до пошуку те, що потрібно довести.

Розбийте теорему на частини і, доводячи окремо, в результаті ви прийдете до шуканого результату. Корисно опанувати навичкою «докази від протилежного», часом саме таким способом найпростіше довести теорему. Тобто. почніть доказ зі слів «припустимо протилежне», і поступово доведіть цього не може бути. Закінчіть доказ словами «отже, початкове твердження вірне. Теорему доведено».

Франсуа Вієт - відомий французький математик. Теорема Вієта дозволяє вирішувати квадратні рівняння за спрощеною схемою, яка в результаті економить час, витрачений на розрахунок. Але щоб краще розуміти суть теореми, слід поринути у суть формулювання та довести її.

Теорема Вієта

Суть даного прийому у тому, щоб шукати коріння без допомоги дискримінанта. Для рівняння виду x2 + bx + c = 0, де є два дійсних різних кореня, вірно два твердження.

Перше твердження свідчить, що сума коренів даного рівняннядорівнює значенням коефіцієнта при змінній x (в даному випадкуце b), але з протилежним знаком. Наочно це так: x1 + x2 = −b.

Друге твердження вже пов'язане не з сумою, а з добутком цих двох коренів. Прирівнюється цей твір до вільного коефіцієнта, тобто. c. Або, x1 * x2 = c. Обидва ці приклади вирішуються у системі.

Теорема Вієта значно полегшує рішення, але має одне обмеження. Квадратне рівняння, коріння якого можна знайти, використовуючи цей прийом, має бути наведеним. У наведеному рівнянні коефіцієнта a, що стоїть перед x2, дорівнює одиниці. Будь-яке рівняння можна привести до такого виду, розділивши вираз перший коефіцієнт, але не завжди ця операція раціональна.

Доказ теореми

Для початку слід згадати, як за традицією прийнято шукати коріння квадратного рівняння. Перше і друге коріння знаходяться, а саме: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Взагалі ділиться на 2a, але, як говорилося, теорему можна застосовувати тільки коли a=1.

З теореми Вієта відомо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі знаком мінус. Це означає, що x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = -2b/2 = -b.

Те саме справедливо і для твору невідомого коріння: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. У свою чергу D = b2-4c (знову ж таки при a=1). Виходить, що результат такий: x1 * x2 = (b2-b2) / 4 + c = c.

Із наведеного простого доказу можна зробити лише один висновок: теорема Вієта повністю підтверджена.

Друге формулювання та доказ

Теорема Вієта має й інше тлумачення. Якщо говорити точніше, то не тлумачення, а формулювання. Справа в тому, що якщо дотримуються ті ж умови, що і в першому випадку: є два різних дійсних кореня, то теорему можна записати іншою формулою.

Ця рівність виглядає так: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Якщо функція P(x) перетинається у дві точки x1 і x2, її можна записати як P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). У випадку, коли P має другий ступінь, а саме так і виглядає початковий вираз, то R є простим числом, а саме 1. Це твердження вірне з тієї причини, що в іншому випадку рівність не виконуватиме. Коефіцієнт x2 при розкритті дужок не повинен бути більше одиниці, а вираз повинен залишатися квадратним.