Як визначити центр ваги фігури неправильної форми. Знаходження центру тяжкості свого тіла

Автор: Візьмемо тіло довільної форми Чи можна підвісити його на нитки так, щоб воно після підвішування зберегло своє положення (тобто не стало повертатися) при будь-якийпочаткової орієнтації (рис. 27.1)?

Іншими словами, чи існує така точка, щодо якої сума моментів сил тяжіння, що діють на різні частини тіла, дорівнювала б нулю при будь-якийорієнтації тіла у просторі?

Читач: На мою думку так. Така точка називається центром важкості тіла.

Доведення.Для простоти розглянемо тіло як плоскої пластини довільної форми довільним чином орієнтоване у просторі (рис. 27.2). Візьмемо систему координат х 0уз початком у центрі мас – точці Зтоді х З = 0, у С = 0.

Представимо це тіло у вигляді сукупності великої кількості точкових мас m i, положення кожної з яких задається радіусом-вектором.

За визначенням центру мас , а координата х З = .

Так як у прийнятій нами системі координат х З= 0, то. Помножимо цю рівність на gі отримаємо

Як видно із рис. 27.2, | x i| - Це плече сили. Причому якщо х i> 0, то момент сили M i> 0, а якщо х j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iмомент сили дорівнюватиме M i = m i gx i.Тоді рівність (1) еквівалентна рівності , де M i- Момент сили тяжіння. А це означає, що при довільній орієнтації тіла сума моментів сил тяжіння, що діють на тіло, дорівнюватиме нулю щодо його центру мас.

Щоб тіло, яке ми розглядаємо, знаходилося в рівновазі, до нього необхідно прикласти в точці Зсилу Т = mg, спрямовану вертикально догори. Момент цієї сили щодо точки Здорівнює нулю.

Оскільки наші міркування аж ніяк не залежали від того, як саме орієнтоване тіло в просторі, ми довели, що центр тяжкості збігається з центром мас, що потрібно було довести.

Завдання 27.1.Знайти центр ваги невагомого стрижня довжини l, на кінцях якого укріплено дві точкові маси т 1 та т 2 .

т 1 т 2 l	Рішення. Будемо шукати не центр тяжкості, а центр мас (оскільки це одне й те саме). Введемо вісь х(Рис. 27.3). Рис. 27.3
х З =?

Відповідь: на відстані від маси т 1 .

СТОП! Вирішіть самостійно: В1–В3.

Твердження 1 . Якщо однорідне плоске тіло має вісь симетрії, центр ваги знаходиться на цій осі.

Дійсно, для будь-якої точкової маси m i, розташованої праворуч від осі симетрії, знайдеться така сама точкова маса , розташована симетрично щодо першої (рис. 27.4). При цьому сума моментів сил.

Оскільки все тіло можна уявити розбитим на подібні пари точок, то сумарний момент сил тяжіння щодо будь-якої точки, що лежить на осі симетрії дорівнює нулю, а отже, на цій осі знаходиться центр тяжіння тіла. Звідси випливає важливий висновок: якщо тіло має кілька осей симетрії, то центр тяжіння лежить на перетині цих осей(Рис. 27.5).

Рис. 27.5

Твердження 2. Якщо два тіла масами т 1 та т 2 з'єднані в одне, то центр тяжіння такого тіла лежатиме на відрізку прямої, що з'єднує центри тяжіння першого і другого тіла (рис. 27.6).

Рис. 27.6 Рис. 27.7

Доведення.Розташуємо складове тіло так, щоб відрізок, що з'єднує центри ваги тіл, був вертикальним. Тоді сума моментів сил тяжіння першого тіла щодо точки З 1 дорівнює нулю, і сума моментів сил тяжіння другого тіла щодо точки З 2 дорівнює нулю (рис. 27.7).

Зауважимо, що плечесили тяжіння будь-якої точкової маси т iодне й те саме щодо будь-якої точки, що лежить на відрізку З 1 З 2 , а значить, і момент сили тяжіння щодо будь-якої точки, що лежить на відрізку З 1 З 2 , той самий. Отже, сил тяжіння всього тіла дорівнює нулю щодо будь-якої точки відрізка З 1 З 2 . Таким чином, центр ваги складеного тіла лежить на відрізку З 1 З 2 .

Зі твердження 2 випливає важливий практичний висновок, який чітко сформульований у вигляді інструкції.

Інструкція,

як шукати центр тяжкості твердого тіла, якщо його можна розбити

на частини, положення центрів тяжкості кожної з яких відомо

1. Слід замінити кожну частину масою, розташованою у центрі тяжкості цієї частини.

2. Знайти центр мас(а це те саме, що і центр тяжіння) отриманої системи точкових мас, вибравши зручну систему координат х 0у, За формулами:

Справді, розташуємо складове тіло так, щоб відрізок З 1 З 2 був горизонтальним, і підвісимо його на нитках у точках З 1 та З 2 (рис. 27.8, а). Зрозуміло, що тіло перебуватиме у рівновазі. І ця рівновага не порушиться, якщо ми замінимо кожне тіло точковими масами т 1 та т 2 (рис. 27.8, б).

Рис. 27.8

СТОП! Вирішіть самостійно: С3.

Завдання 27.2.У двох вершинах рівностороннього трикутника вміщено кульки маси ткожен. У третій вершині поміщена кулька маси 2 т(Рис. 27.9, а). Сторона трикутника а. Визначити центр важкості цієї системи.

т 2т а	Рис. 27.9
х З = ? у С = ?

Рішення. Введемо систему координат х 0у(Рис. 27.9, б). Тоді

,

.

Відповідь: х З = а/2; ; центр ваги лежить на половині висоти АD.

Тема відносно проста для засвоєння, проте вкрай важлива щодо курсу опору матеріалів. Головну увагу тут необхідно звернути на вирішення завдань як із плоскими та геометричними фігурами, так і зі стандартними прокатними профілями.

Запитання для самоконтролю

1. Що таке центр паралельних сил?

Центр паралельних сил є точка, через яку проходить лінія рівнодіючої системи паралельних сил, прикладених у заданих точках, за будь-якої зміни напряму цих сил у просторі.

2. Як знайти координати центру паралельних сил?

Для визначення координат центру паралельних сил скористаємося теоремою Варіньйона.

Щодо осі x

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk і y C = Σy kFk /Σ Fk .

Щодо осі y

M y (R) = ΣM y (F k), - x C R = ∑x kFk і x C = Σx kFk /Σ Fk .

Щоб визначити координату z C , повернемо всі сили на 90° так, щоб вони стали паралельними до осі y (Малюнок 1.5, б). Тоді

Mz(R) = ΣMz(Fk), - z C R = Σz kFk і z C = Σz kFk /Σ Fk .

Отже, формула для визначення радіус-вектора центру паралельних сил набуває вигляду

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Що таке центр тяжкості тіла?

Центр ваги - незмінно пов'язана з твердим тілом точка, через яку проходить рівнодіюча сил тяжіння, що діють на частинки цього тіла за будь-якого положення тіла в просторі. У однорідного тіла, що має центр симетрії (коло, куля, куб тощо), центр тяжіння знаходиться в центрі симетрії тіла. Положення центру тяжкості твердого тіла збігається зі становищем його центру мас.

4. Як знайти центр ваги прямокутника, трикутника, кола?

Для знаходження центру тяжкості трикутника необхідно намалювати трикутник - фігуру, що складається з трьох відрізків, з'єднаних між собою в трьох точках. Перед тим, як знайти центр ваги фігури, необхідно, використовуючи лінійку, виміряти довжину однієї сторони трикутника. Всередині сторони поставте позначку, після чого протилежну вершину і середину відрізка з'єднайте лінією, яка називається медіаною. Той самий алгоритм повторіть з другою стороною трикутника, а потім і з третьою. Результатом вашої роботи стануть три медіани, які перетинаються в одній точці, яка буде центром тяжкості трикутника. Якщо необхідно визначити центр ваги круглого диска однорідної структури, то спочатку знайдіть точку перетину діаметрів кола. Вона буде центром тяжкості даного тіла. Розглядаючи такі фігури, як куля, обруч і однорідний прямокутний паралелепіпед, можна з упевненістю сказати, що центр тяжіння обруча буде знаходитися в центрі фігури, але поза її точками, центр тяжіння кулі - геометричний центр сфери, і в останньому випадку центром вагою вважається перетин діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

5. Як знайти координати центру тяжіння плоского складного перерізу?

Метод розбиття:якщо плоску фігуру можна розбити на кінцеве число таких частин, кожної з яких становище центру тяжкості відомо, то координати центру тяжкості всієї фігури визначаються за формулами:

Х C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S,

де x k , y k - Координати центрів тяжіння частин фігури;

s k – їх площі;

S = s k – площа всієї фігури.

6. Центр тяжкості

1. У якому разі для визначення центру тяжкості достатньо визначити одну координату розрахунковим шляхом?

У першому випадку для визначення центру тяжіння достатньо визначити одну координату Тіло розбивається на кінцеве число частин, для кожної з яких положення центру тяжіння C та площа S відомі. Наприклад, проекцію тіла на площину xOy (Рисунок 1.) можна подати у вигляді двох плоских фігур з площами S 1 і S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центри тяжкості цих фігур перебувають у точках C 1 (x 1 , y 1) і C 2 (x 2 , y 2) . Тоді координати центру ваги тіла дорівнюють

Так як центри фігур лежать на осі ординат (х = 0), то знаходимо лише координату Вус.

2 Як враховується площа отвору у фігурі 4 у формулі для визначення центру ваги фігури?

Метод негативних мас

Цей метод у тому, що тіло, має вільні порожнини, вважають суцільним, а масу вільних порожнин – негативною. Вигляд формул визначення координат центру тяжкості тіла у своїй не змінюється.

Отже, щодо центру тяжкості тіла, має вільні порожнини, слід застосовувати метод розбиття, але вважати масу порожнин негативною.

мати уявленняпро центр паралельних сил та його властивості;

знатиформули визначення координат центру тяжкості плоских фігур;

вмітивизначати координати центру ваги плоских фігур простих геометричних фігур та стандартних прокатних профілів.

ЕЛЕМЕНТИ КИНЕМАТИКИ ТА ДИНАМІКИ
Вивчивши кінематику точки, зверніть увагу на те, що прямолінійний рух точки як нерівномірний, так і рівномірний завжди характеризується наявністю нормального прискорення. При поступальному русі тіла (що характеризується рухом будь-якої його точки) застосовні всі формули кінематики точки. Формули для визначення кутових величин тіла, що обертається навколо нерухомої осі, мають повну смислову аналогію з формулами для визначення відповідних лінійних величин тіла, що поступально рухається.

Тема 1.7. Кінематика точки
Під час вивчення теми зверніть увагу до основні поняття кінематики: прискорення, швидкість, шлях, відстань.

Запитання для самоконтролю

1. У чому полягає відносність понять спокою та руху?

Механічне рух - це зміна руху тіла, або (його частин) у просторі щодо ін. тіл з часом. Політ кинутого каменю, обертання колеса - приклади механічного руху.

2. Дайте визначення основних понять кінематики: траєкторії, відстані, шляху, швидкості, прискорення, часу.

Швидкість – це кінематична міра руху точки, що характеризує швидкість зміни її становища у просторі. Швидкість є векторною величиною, т. е. вона характеризується як модулем (скалярної складової), а й напрямом у просторі.

Як відомо з фізики, за рівномірного руху швидкість може бути визначена довжиною шляху, пройденого за одиницю часу: v = s/t = const (передбачається, що початок відліку шляху і часу збігаються). При прямолінійному русі швидкість постійна і з модулю, і за напрямом, та її вектор збігається з траєкторією.

Одиниця швидкості у системі СІвизначається співвідношенням довжина/час, т. е. м/с.

Прискорення є кінематична міра зміни швидкості точки часу. Іншими словами – прискорення – це швидкість зміни швидкості.
Як і швидкість, прискорення є векторною величиною, тобто характеризується не тільки модулем, а й напрямком у просторі.

При прямолінійному русі вектор швидкості завжди збігається з траєкторією і тому вектор зміни швидкості теж збігається з траєкторією.

З курсу фізики відомо, що прискорення є зміною швидкості в одиницю часу. Якщо за невеликий проміжок часу Δt швидкість точки змінилася на Δv, то середнє прискорення за цей проміжок часу становило: а ср = Δv/Δt.

Середнє прискорення не дає уявлення про справжню величину зміни швидкості в кожний момент часу. При цьому очевидно, що чим менший проміжок часу, під час якого відбулася зміна швидкості, тим ближче значення прискорення буде до істинного (миттєвого).
Звідси визначення: істинне (миттєве) прискорення є межа, якої прагне середнє прискорення при Δt, що прагне нуля:

а = lim а ср при t→0 або lim Δv/Δt = dv/dt.

З огляду на, що v = ds/dt, отримаємо: а = dv/dt = d 2 s/dt 2 .

Справжнє прискорення прямолінійному русі дорівнює першої похідної швидкості чи другий похідної координати (відстань від початку відліку переміщення) за часом. Одиниця прискорення – метр, поділений на секунду у квадраті (м/с 2).

Траєкторія- лінія у просторі, вздовж якої рухається матеріальна точка.
Шлях- Це довжина траєкторії. Пройдений шлях дорівнює довжині дуги траєкторії, пройденої тілом за деякий час t. Шлях – скалярна величина.

Відстаньвизначає положення точки на її траєкторії та відраховується від деякого початку відліку. Відстань є величиною алгебри, так як в залежності від положення точки щодо початку відліку і від прийнятого напрямку осі відстаней воно може бути і позитивним, і негативним. На відміну від відстані шлях, пройдений точкою, завжди визначається позитивним числом. Шлях збігається з абсолютним значенням відстані тільки в тому випадку, коли рух точки починається від початку відліку і відбувається траєкторією в одному напрямку.

У загальному випадку руху точки шлях дорівнює сумі абсолютних значень пройдених точкою відстаней за цей проміжок часу:

3. Якими засобами може бути заданий закон руху точки?

1.Природний спосіб завдання руху точки.

При природному способі завдання руху передбачається визначення параметрів руху точки в рухомий системі відліку, початок якої збігається з точкою, що рухається, а осями служать дотична, нормаль і бінормаль до траєкторії руху точки в кожному її положенні. Щоб задати закон руху точки природним способом необхідно:

1) знати траєкторію руху;

2) встановити початок відліку на цій кривій;

3) встановити позитивний напрямок руху;

4) дати закон руху точки з цієї кривою, тобто. висловити відстань від початку відліку до положення точки на кривій на даний момент часу ∪OM=S(t) .

2.Векторний спосіб завдання руху точки

У цьому випадку положення точки на площині або просторі визначається вектором-функцією. Цей вектор відкладається від нерухомої точки, обраної за початок відліку, його кінець визначає положення точки, що рухається.

3.Координатний спосіб завдання руху точки

У вибраній системі координат задаються координати точки, що рухається, як функції від часу. У прямокутній декартовій системі координат це будуть рівняння:

4. Як спрямований вектор істинної швидкості точки при криволінійному русі?

При нерівномірному русі точки модуль її швидкості з часом змінюється.
Уявімо точку, рух якої задано природним способом рівнянням s = f(t).

Якщо за невеликий проміжок часу Δt точка пройшла шлях Δs, то її середня швидкість дорівнює:

vср = Δs/Δt.

Середня швидкість не дає уявлення про справжню швидкість у кожний момент часу (справжню швидкість інакше називають миттєвою). Очевидно, що менше проміжок часу, протягом якого визначається середня швидкість, то ближче її значення буде миттєвої швидкості.

Справжня (миттєва) швидкість є межа, до якої прагне середня швидкість при Δt, що прагне нуля:

v = lim v ср при t→0 або v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким чином, числове значення істинної швидкості дорівнює v = ds/dt.
Справжня (миттєва) швидкість за будь-якого руху точки дорівнює першої похідної координати (тобто відстані від початку відліку переміщення) за часом.

При Δt, що прагне до нуля, Δs теж прагне до нуля, і, як ми вже з'ясували, вектор швидкості буде направлений по дотичній (тобто збігається з вектором істинної швидкості v). З цього випливає, що межа вектора умовної швидкості v п, що дорівнює межі відношення вектора переміщення точки до нескінченно малого проміжку часу, дорівнює вектору істинної швидкості точки.

5. Як спрямовані дотичне та нормальне прискорення точки?

Напрямок вектора прискорення збігається із напрямом зміни швидкості Δ = - 0

Дотичне прискорення в даній точці спрямоване щодо до траєкторії руху точки; якщо прискорене рух, то напрям вектора дотичного прискорення збігається з напрямом вектора швидкості; якщо рух уповільнений – то напрям вектора дотичного прискорення протилежний напрямку вектора швидкості.

6. Який рух робить точка, якщо дотичне прискорення дорівнює нулю, а нормальне не змінюється з часом?

Рівномірний криволінійний руххарактеризується тим, що чисельне значення швидкості постійно ( v= const), швидкість змінюється лише у напрямку. І тут дотичне прискорення дорівнює нулю, оскільки v= const(рис.б),

а нормальне прискорення не дорівнює нулю, тому що r - Кінцева величина.

7. Як виглядають кінематичні графіки при рівномірному та рівнозмінному русі?

За рівномірного руху тіло за будь-які рівні проміжки часу проходить рівні шляхи. Для кінематичного опису рівномірного прямолінійного руху координатну вісь OXзручно розташувати по лінії руху. Положення тіла при рівномірному русі визначається завданням однієї координати x. Вектор переміщення та вектор швидкості завжди спрямовані паралельно координатній осі OX. Тому переміщення та швидкість при прямолінійному русі можна спроектувати на вісь OXі розглядати їх проекції як величини алгебри.

При рівномірному русі шлях змінюється відповідно до лінійної залежності . У координатах. Графіком є ​​похила лінія.

В результаті вивчення теми студент має:

мати уявленняпро простір, час, траєкторію; середньої та істиною швидкості;

знатиспособи завдання руху точки; параметри руху точки заданої траєкторії.

Визначення центру тяжкості довільного тіла шляхом послідовного складання сил, що діють на окремі його частини - важке завдання; вона полегшується лише тіл порівняно простої форми.

Нехай тіло складається тільки з двох вантажів маси і , з'єднаних стрижнем (рис. 125). Якщо маса стрижня мала в порівнянні з масами і , то нею можна знехтувати. На кожну з мас діють сили тяжіння, рівні відповідно і; обидві вони спрямовані вертикально донизу, тобто паралельно один одному. Як ми знаємо, рівнодіюча двох паралельних сил прикладена в точці , яка визначається за умови

Рис. 125. Визначення центру ваги тіла, що складається із двох вантажів

Отже, центр тяжкості ділить відстань між двома вантажами щодо зворотному відношенню їх мас. Якщо це тіло підвісити у точці, воно залишиться у рівновазі.

Так як дві рівні маси мають загальний центр тяжкості в точці, що поділяє відстань між цими масами навпіл, то відразу ясно, що, наприклад, центр тяжкості однорідного стрижня лежить в середині стрижня (рис. 126).

Оскільки будь-який діаметр однорідного круглого диска поділяє його на дві абсолютно однакові симетричні частини (рис. 127), то центр тяжіння повинен лежати на кожному діаметрі диска, тобто в точці перетину діаметрів – у геометричному центрі диска. Розмірковуючи подібним чином, можна виявити, що центр тяжкості однорідної кулі лежить у його геометричному центрі, центр тяжкості однорідного прямокутного паралелепіпеда лежить на перетині його діагоналей і т. д. Центр тяжкості обруча або кільця лежить у його центрі. Останній приклад показує, що центр тяжкості тіла може лежати поза тілом.

Рис. 126. Центр тяжкості однорідного стрижня лежить у його середині

Рис. 127. Центр однорідного диска лежить у його геометричному центрі

Якщо тіло має неправильну форму або якщо воно неоднорідне (наприклад, в ньому є порожнечі), то розрахунок положення центру тяжіння часто скрутний і це зручніше знайти за допомогою досвіду. Нехай, наприклад, потрібно знайти центр ваги шматка фанери. Підвісимо його на нитки (рис. 128). Очевидно, в положенні рівноваги центр тяжіння тіла повинен лежати на продовженні нитки, інакше сила тяжіння матиме момент щодо точки підвісу, який би почав обертати тіло. Тому, провівши на нашому шматку фанери пряму, що становить продовження нитки, можемо стверджувати, що центр тяжіння лежить на цій прямій.

Справді, підвішуючи тіло у різних точках і проводячи вертикальні прямі, переконаємося, що вони перетнуться у одній точці. Ця точка і є центром тяжіння тіла (оскільки він повинен лежати одночасно на всіх таких прямих). Подібним чином можна визначити положення центру ваги не тільки плоскої фігури, а й складнішого тіла. Положення центру тяжкості літака визначають, вкочуючи його колесами на вагові платформи. Рівнодійна сила ваги, що припадає на кожне колесо, буде спрямована по вертикалі, і знайти лінію, по якій вона діє, можна за законом складання паралельних сил.

Рис. 128. Точка перетину вертикальних ліній, проведених через точки підвісу і є центром ваги тіла

При зміні мас окремих частин тіла або зміні форми тіла положення центру тяжкості змінюється. Так, центр тяжкості літака переміщається при витрачанні пального з баків, при завантаженні багажу і т. п. Для наочного досвіду, що ілюструє переміщення центру тяжіння при зміні форми тіла, зручно взяти два однакових бруска, з'єднаних шарніром (мал. 129). У тому випадку, коли бруски утворюють продовження один одного, центр ваги лежить на осі брусків. Якщо бруски зігнути в шарнірі, то центр тяжіння виявляється поза брусками, на бісектрисі кута, який вони утворюють. Якщо на один із брусків надіти додатковий вантаж, то центр ваги переміститься у бік цього вантажу.

Рис. 129. а) Центр тяжкості з'єднаних шарніром брусків, розташованих на одній прямій, лежить на осі брусків, б) Центр тяжкості зігнутої системи брусків лежить поза брусками

81.1. Де знаходиться центр ваги двох однакових тонких стрижнів, що мають довжину 12 см і скріплені у вигляді літери Т?

81.2. Доведіть, що центр ваги трикутної однорідної пластини лежить на перетині медіан.

Рис. 130. До вправи 81.3

81.3. Однорідна дошка маси 60 кг лежить на двох опорах, як показано на рис. 130. Визначте сили, що діють на опори.

Примітка.Центр тяжкості симетричної фігури знаходиться на осі симетрії.

Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти. При вирішенні завдань використовуються такі методи:

1. Спосіб симетрії: центр тяжкості симетричних фігур знаходиться на осі симетрії;

2. метод поділу: складні перерізи поділяємо на кілька простих частин, становище центрів тяжкості яких легко визначити;

3. Метод негативних площ: порожнини (отвори) розглядаються як частина перерізу з негативною площею.

Приклади розв'язання задач

Приклад1.Визначити становище центру тяжкості фігури, поданої на рис. 8.4.

Рішення

Розбиваємо фігуру на три частини:

Аналогічно визначається уЗ = 4,5 див.

приклад 2.Знайти положення центру ваги симетричної стрижневої ферми ADBE(Рис. 116), розміри якої такі: АВ = 6м, DE = 3 м та EF = 1м.

Рішення

Оскільки ферма симетрична, її центр ваги лежить на осі симетрії DF.При обраній (рис. 116) системі координатних осей абсцис центру тяжіння ферми

Невідомою, отже, є лише ордината у Сцентр тяжкості ферми. Для її визначення розбиваємо ферму окремі частини (стрижні). Довжини визначаються з відповідних трикутників.

З ΔAEFмаємо

З ΔADFмаємо

Центр тяжкості кожного стрижня лежить у його середині, координати цих центрів легко визначаються із креслення (рис. 116).

Знайдені довжини та ординати центрів тяжкості окремих частин ферми заносимо до таблиці та за формулою

визначаємо ординату у зцентру важкості даної плоскої ферми.

Отже, центр тяжкості Звсієї ферми лежить на осі DFсиметрії ферми на відстані 1,59 м від точки F.

приклад 3.Визначити координати центру важкості складеного перерізу. Перетин складається з листа та прокатних профілів (рис. 8.5).

Примітка.Часто рами зварюють із різних профілів, створюючи необхідну конструкцію. Таким чином, зменшується витрата металу та утворюється конструкція високої міцності.

Для стандартних прокатних профілів відомі власні геометричні характеристики. Вони наводяться у відповідних стандартах.

Рішення

1. Позначимо фігури номерами та випишемо з таблиць необхідні дані:

1 – швелер № 10 (ГОСТ 8240-89); висота h = 100 мм; ширина полиці b= 46 мм; площа перерізу А 1= 10,9 см 2;

2 – двотавр № 16 (ГОСТ 8239-89); висота 160 мм; ширина полиці 81 мм; площа перерізу А 2 - 20,2 см 2;

3 – лист 5x100; товщина 5мм; ширина 100мм; площа перерізу A 3 = 0,5 10 = 5 см2.

2. Координати центрів ваги кожної фігури можна визначити за кресленням.

Складовий переріз симетричний, тому центр ваги знаходиться на осі симетрії та координата хЗ = 0.

3. Визначення центру важкості складеного перерізу:

приклад 4.Визначити координати центру тяжкості перерізу, показаного на рис. 8, а.Перетин складається з двох куточків 56x4 та швелера № 18. Виконати перевірку правильності визначення положення центру тяжіння. Вказати його положення на перетині.

Рішення

1. : два куточки 56 х 4 і швелер № 18. Позначимо їх 1, 2, 3 (див. рис. 8, а).

2. Вкажемо центри важкостікожного профілю, використовуючи табл. 1 та 4 дод. I, і позначимо їх З 1, З 2, 3 .

3. Виберемо систему координатних осей.Ось усумісний із віссю симетрії, а вісь хпроведемо через центри ваги куточків.

4. Визначимо координати центру тяжкості перерізу.Тому що вісь узбігається з віссю симетрії, вона проходить через центр тяжкості перерізу, тому х з= 0. Координату у звизначимо за формулою

Користуючись таблицями програми, визначимо площі кожного профілю та координати центрів тяжіння:

Координати у 1і у 2рівні нулю, тому що вісь хпроходить через центри ваги куточків. Підставимо отримані значення формулу для визначення у з:

5. Вкажемо центр тяжкості перерізу на рис. 8, а й позначимо його літерою С.Покажемо відстань у С = 2,43 см від осі хдо точки З.

Оскільки куточки симетрично розташовані, мають однакову площу та координати, то А 1 = А 2, у 1 = у 2.Тому формула для визначення у Сможе бути спрощена:

6. Виконаємо перевірку.Для цього вісь хпроведемо по нижньому краю полиці куточка (рис. 8, б). Ось узалишимо, як у першому рішенні. Формули для визначення х Зі у Сне змінюються:

Площі профілів залишаться такими ж, а координати центрів ваг куточків та швелера зміняться. Випишемо їх:

Знаходимо координату центру важкості:

За знайденими координатами х зі у знаносимо на малюнок точку С. Знайдене двома способами положення центру тяжіння знаходиться в одній точці. Перевіримо це. Різниця між координатами у с,знайденими при першому та другому рішенні, становить: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.

Це дорівнює відстані між осями х при першому та другому рішенні: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.

Відповідь: у с= 2,43 см, якщо вісь х проходить через центри ваги куточків, або у с = 6,51 см, якщо вісь х проходить по нижньому краю полиці куточка.

Приклад 5.Визначити координати центру тяжкості перерізу, зображеного на рис. 9, а.Перетин складається з двотавра № 24 та швелера №.24а. Показати положення центру тяжіння на перерізі.

Рішення

1.Розіб'ємо перетин на профілі прокату: двотавр та швелер. Позначимо їх цифрами 1 та 2.

3. Вкажемо центри ваги кожного профілюЗ 1 і 2 , використовуючи таблиці додатків.

4. Виберемо систему осей координат. Ось х сумісний з віссю симетрії, а ось у проведемо через центр тяжкості двотавра.

5. Визначимо координати центру тяжкості перерізу. Координата у с = 0, тому що вісь хзбігається з віссю симетрії. Координату х з визначимо за формулою

За табл. 3 та 4 дод. I і схемою перерізу визначимо

Підставимо числові значення у формулу та отримаємо

5. Нанесемо точку С (центр тяжкості перерізу) за знайденими значеннями х с і у с (див. рис. 9, а).

Перевірку рішення необхідно виконати самостійно при положенні осей, як показано на рис. 9, б. В результаті рішення отримаємо х с = 11,86 см. Різниця між значеннями х с при першому та другому рішенні дорівнює 11,86 - 6,11 = 5,75 см, що дорівнює відстані між осями у при тих же рішеннях b дв /2 = 5,75 див.

Відповідь: х с = 6,11 см, якщо вісь у проходить через центр тяжкості двотавра; х с = 11,86 см, якщо вісь у проходить через ліві крайні точки двотавра.

Приклад 6.Залізничний кран спирається на рейки, відстань між якими АВ = 1,5 м (рис. 1.102). Сила ваги візка крана G r = 30 кН, центр ваги візка знаходиться в точці С, що лежить на лінії KL перетину площини симетрії візка з площиною малюнка. Сила тяжкості лебідки крана Q л = 10 кН прикладена у точці D.Сила тяжкості противаги G„=20 кН прикладена в точці Е. Сила тяжіння стріли G c = 5 кН прикладена в точці Н. Виліт крана щодо лінії KL дорівнює 2 м. Визначити коефіцієнт стійкості крана в ненавантаженому стані та який вантаж Fможна підняти цим краном за умови, що коефіцієнт стійкості має бути не менше двох.

Рішення

1. У ненавантаженому стані у крана виникає небезпека перекидання при повороті навколо рейки. А.Отже, щодо точки Амомент стійкості

2. Перекидальний момент щодо точки Астворюється силою тяжкості противаги, тобто.

3. Звідси коефіцієнт стійкості крана у ненавантаженому стані

4. При навантаженні стріли крана вантажем Fвиникає небезпека перекидання крана з поворотом біля рейки В. Отже, щодо точки Умомент стійкості

5. Перекидальний момент щодо рейки У

6. За умовою завдання експлуатація крана дозволяється за коефіцієнта стійкості k B ≥ 2 , тобто.

Контрольні питання та завдання

1. Чому сили тяжіння до Землі, що діють на точки тіла, можна прийняти за систему паралельних сил?

2. Запишіть формули визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формули визначення положення центру тяжкості плоских перерізів.

3. Повторіть формули для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола.

4.
Що називають статичним моментом майдану?

5. Обчисліть статичний момент цієї фігури щодо осі Ox. h= 30 див; b= 120 см; з= 10 див (рис. 8.6).

6. Визначте координати центру ваги заштрихованої фігури (рис. 8.7). Розміри наведені в мм.

7. Визначте координату уфігури 1 складеного перерізу (рис. 8.8).

При вирішенні скористатися довідковими даними таблиць ГОСТ «Сталь гарячекатана» (див. Додаток 1).

6.1. Загальні відомості

Центр паралельних сил
Розглянемо дві паралельні, спрямовані в один бік сили , і прикладені до тіла в точках А 1 та А 2 (рис.6.1). Ця система сил має рівнодіючу , лінія дії якої проходить через деяку точку З. Положення точки Зможна знайти за допомогою теореми Варіньйона:

Якщо повернути сили та біля точок А 1 та А 2 в один бік і на той самий кут, то отримаємо нову систему паралельних сал, що мають ті ж модулі. При цьому їх рівнодіюча також проходитиме через точку З. Така точка називається центром паралельних сил.
Розглянемо систему паралельних і однаково спрямованих сил, прикладених до твердого тіла у точках. Ця система має рівнодіючу.
Якщо кожну силу системи повернути близько точок їх застосування в одну й ту саму сторону і на той самий кут, то вийдуть нові системи однаково спрямованих паралельних сил з тими ж модулями і точками програми. Рівнодійна таких систем матиме той самий модуль Rале кожного разу інший напрямок. Склавши сили F 1 та F 2 знайдемо що їх рівнодіюча R 1 , яка завжди проходитиме через точку З 1, положення якої визначається рівністю. Склавши далі R 1 та F 3 , знайдемо їх рівнодіючу, яка завжди проходитиме через точку З 2 , що лежить на прямій А 3 З 2 . Довівши процес складання сил до кінця прийдемо до висновку, що рівнодіюча всіх сил дійсно завжди проходитиме через ту саму точку. З, становище якої стосовно точок буде незмінним.
Крапка З, через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил біля точок їх застосування в один і той же бік на той самий кут називається центром паралельних сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Визначимо координати центру паралельних сил. Оскільки положення точки Зпо відношенню до тіла є незмінним, її координати від вибору системи координат не залежать. Повернемо всі сили біля їх застосування так, щоб вони стали паралельні осі Оуі застосуємо до повернутих сил теорему Варіньйона. Так як R"є рівнодіючою цих сил, то, згідно з теоремою Варіньйона, маємо , т.к. , , отримаємо

Звідси знаходимо координату центру паралельних сил zc:

Для визначення координати xcскладемо вираз моменту сил щодо осі Oz.

Для визначення координати ycповернемо всі сили, щоб вони стали паралельні осі Oz.

Положення центру паралельних сил щодо початку координат (рис. 6.2) можна визначити його радіусом-вектором:

6.2. Центр тяжкості твердого тіла

Центром тяжкостітвердого тіла називається незмінно пов'язана з цим тілом точка З, якою проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжкості даного тіла, за будь-якому положенні тіла у просторі.
Центр тяжкості застосовується при дослідженні стійкості положень рівноваги тіл і суцільних середовищ, що знаходяться під дією сил тяжіння та в деяких інших випадках, а саме: у опорі матеріалів та в будівельній механіці – при використанні правила Верещагіна.
Існують два способи визначення центру тяжкості тіла: аналітичний та експериментальний. Аналітичний метод визначення центру тяжкості безпосередньо випливає з поняття центру паралельних сил.
Координати центру тяжкості як центру паралельних сил визначаються формулами:

де Р- вага всього тіла; pk- вага частинок тіла; xk, yk, zk- Координати частинок тіла.
Для однорідного тіла вага всього тіла та будь-якої її частини пропорційна обсягу P=Vγ, pk = vk γ, де γ - вага одиниці об'єму, V- Об'єм тіла. Підставляючи вирази P, pkформули визначення координат центру тяжіння і скорочуючи на загальний множник γ , Отримаємо:

Крапка Зкоординати якої визначаються отриманими формулами, називається центром тяжкості обсягу.
Якщо тіло є тонкою однорідною пластиною, то центр ваги визначається формулами:

де S- площа всієї пластини; sk- Площа її частини; xk, yk- Координати центру ваги частин пластини.
Крапка Зу разі носить назву центру ваги площі.
Чисельники виразів, що визначають координати центру тяжіння плоских фігур, називаються з татичними моментами площіщодо осей уі х:

Тоді центр ваги площі можна визначити за формулами:

Для тіл, довжина яких багато разів перевищує розміри поперечного перерізу, визначають центр тяжкості лінії. Координати центру ваги лінії визначають формулами:

де L- Довжина лінії; lk- Довжина її частин; xk, yk, zk- Координата центру ваги частин лінії.

6.3. Способи визначення координат центрів тяжіння тіл

Ґрунтуючись на отриманих формулах, можна запропонувати практичні способи визначення центрів тяжкості тіл.
1. Симетрія. Якщо тіло має центр симетрії, то центр ваги перебуває у центрі симетрії.
Якщо тіло має площину симетрії. Наприклад, площина ХОУ, то центр ваги лежить у цій площині.
2. Розбиття. Для тіл, що складаються з простих формою тіл, використовується спосіб розбиття. Тіло розбивається на частини, центр тяжкості яких перебуває методом симетрії. Центр тяжкості всього тіла визначається за формулами центру тяжкості об'єму (площі).

приклад. Визначити центр ваги пластини, зображеної на малюнку (рис. 6.3). Пластину можна розбити на прямокутники у різний спосіб і визначити координати центру ваги кожного прямокутника та їх площі.

Рис.6.3

Відповідь: xc= 17.0см; yc= 18.0див.

3. Доповнення. Цей спосіб є окремим випадком способу розбиття. Він використовується, коли тіло має вирізи, зрізи та ін, якщо координати центру ваги тіла без вирізу відомі.

приклад. Визначити центр ваги круглої пластини, що має виріз радіусом. r = 0,6 R(Рис. 6.4).

Рис.6.4

Кругла пластина має центр симетрії. Помістимо початок координат у центрі пластини. Площа пластини без вирізу, площа вирізу. Площа пластини з вирізом; .
Пластина з вирізом має вісь симетрії О1 x, отже, yc=0.

4. Інтегрування. Якщо тіло не можна розбити на кінцеве число частин, положення центрів тяжкості яких відомі, тіло розбивають на довільні малі обсяги, для яких формула з використанням методу розбиття набуває вигляду: .
Далі переходять межі, спрямовуючи елементарні обсяги нанівець, тобто. стягуючи обсяги у крапки. Суми замінюють інтегралами, поширеними на весь об'єм тіла, тоді формули визначення координат центру тяжкості об'єму набувають вигляду:

Формули для визначення координат центру ваги площі:

Координати центру ваги площі необхідно визначати щодо рівноваги платівок, при обчисленні інтеграла Мора у будівельній механіці.

приклад. Визначити центр тяжкості дуги кола радіусу Rз центральним кутом АОВ= 2? (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Дуга кола симетрична осі Ох, отже, центр тяжіння дуги лежить на осі Ох, yс = 0.
Згідно з формулою для центру тяжкості лінії:

6.Експериментальний спосіб. Центри тяжкості неоднорідних тіл складної конфігурації можна визначати експериментально: шляхом підвішування і зважування. Перший спосіб у тому, що тіло підвішується на тросі різні точки. Напрямок троса на якому підвішено тіло, даватиме напрям сили тяжіння. Точка перетину цих напрямів визначає центр ваги тіла.
Метод зважування полягає в тому, що спочатку визначається вага тіла, наприклад автомобіля. Потім на терезах визначається тиск заднього моста автомобіля на опору. Склавши рівняння рівноваги щодо будь-якої точки, наприклад осі передніх коліс, можна обчислити відстань від цієї осі до центру ваги автомобіля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Іноді під час вирішення завдань слід застосовувати одночасно різні методи визначення координат центру тяжкості.

6.4. Центри тяжкості деяких найпростіших геометричних фігур

Для визначення центрів тяжіння тіл форми, що часто зустрічається (трикутника, дуги кола, сектора, сегмента) зручно використовувати довідкові дані (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Координати центру тяжкості деяких однорідних тіл

№	Найменування фігури	Малюнок
	Дуга кола: центр ваги дуги однорідного кола знаходиться на осі симетрії (координата уc=0). R- Радіус кола.
	Однорідний круговий сектор уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Сегмент: центр ваги розташований на осі симетрії (координата уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Півколо:
	Трикутник: центр ваги однорідного трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. де x1, y1, x2, y2, x3, y3- координати вершин трикутника
	Конус: центр ваги однорідного кругового конуса лежить на його висоті і відстає на відстань 1/4 висоти від основи конуса.