Як замінити вираз тотожно рівним. Тотожності, визначення, позначення, приклади

Тема «Докази тотожностей» 7 клас (КРО)

Підручник Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г.

Цілі уроку

Освітні:

ознайомити та первинно закріпити поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення»;

розглянути способи доказу тотожностей, сприяти виробленню навичок доказу тотожностей;

перевірити засвоєння учнями пройденого матеріалу, формувати вміння застосування вивченого сприйняття нового.

Розвиваюча:

Розвивати грамотну математичну мову учнів (збагачувати та ускладнювати словниковий запас при використанні спеціальних математичних термінів),

розвивати мислення,

Виховна: виховувати працьовитість, акуратність, правильність запису вирішення вправ.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Хід уроку

1 . Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання.

Питання щодо домашнього завдання.

Розбирання рішення біля дошки.

Математика потрібна
Без неї ніяк не можна
Вчимо, вчимо ми, друзі,
Що ж ми пам'ятаємо з ранку?

2 . Зробимо розминку.

Результат додавання. (Сума)

Скільки цифр ви знаєте? (Десять)

Сота частина числа. (Відсоток)

Результат розподілу? (Приватне)

Найменше натуральне число? (1)

Чи можна при розподілі натуральних чисел отримати нуль? (ні)

Назвіть найбільше від'ємне число. (-1)

На яку кількість не можна ділити? (0)

Результат множення? (Твір)

Результат віднімання. (Різниця)

Переміщувальна властивість додавання. (Від перестановки місць доданків сума не змінюється)

Переміщувальна властивість множення. (Від перестановки місць множників твір не змінюється)

Вивчення нової теми (визначення із записом у зошит)

Знайдемо значення виразів при х=5 та у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Ми отримали той самий результат. З розподільчого властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні.

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. При х=1 і у=2 вони набирають рівні значення:

Однак можна вказати такі значення х і у, за яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо х = 3, у = 4, то

Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними.

Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями.

Визначення:Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися. Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Наведіть інші приклади тотожності

Визначення: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вам доводилося виконувати, наприклад приведення подібних доданків, розкриття дужок.

5 . № 691, № 692 (з промовлянням правил розкриття дужок, множення негативних та позитивних чисел)

Тотожності для вибору раціонального рішення:(фронтальна робота)

6 . Підбиття підсумків уроку.

Вчитель ставить запитання, а учні відповідають ними за бажанням.

Які два вирази називаються тотожно рівними? Наведіть приклади.

Яка рівність називається тотожністю? Навести приклад.

Які тотожні перетворення вам відомі?

7. Домашнє завдання. Вивчити визначення, наведіть приклади тотожних виразів (не менше 5) , запишіть їх у зошит

Отримавши уявлення про тотожність, логічно перейти до знайомства з. У статті ми відповімо питанням, що таке тотожно рівні висловлювання, і навіть на прикладах розберемося, які висловлювання є тотожно рівними, а які – ні.

Навігація на сторінці.

Що таке тотожно рівні вирази?

Визначення тотожно рівних виразів дається паралельно з визначенням тотожності. Це відбувається на уроках алгебри у 7 класі. У підручнику з алгебри для 7 класів автора Ю. Н. Макарічев наведено таке формулювання:

Визначення.

- Це вирази, значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, що входять до них. Числові вирази, яким відповідають однакові значення, також називають тотожно рівними.

Це визначення використовується аж до 8 класу, воно справедливе для цілих виразів, тому що вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. А у 8 класі визначення тотожно рівних виразів уточнюється. Пояснимо, із чим це пов'язано.

У 8 класі починається вивчення інших видів виразів, які, на відміну цілих виразів, при деяких значеннях змінних можуть мати сенсу. Це змушує запровадити визначення допустимих і неприпустимих значень змінних, і навіть області допустимих значень ОДЗ змінної, як наслідок - внести уточнення визначення тотожно рівних выражений.

Визначення.

Два вирази, значення яких рівні при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них, називаються тотожно рівними виразами. Два числові вирази, що мають однакові значення, також називаються тотожно рівними.

У цьому визначенні тотожно рівних виразів варто уточнити зміст фрази «при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них». Вона має на увазі всі такі значення змінних, при яких одночасно мають сенс обидва тотожно рівні вирази. Цю думку роз'яснимо в наступному пункті, розглянувши приклади.

Визначення тотожно рівних виразів у підручнику Мордковича А. Г. дається трохи інакше:

Визначення.

Тотожно рівні вирази- Це вирази, що стоять у лівій та правій частинах тотожності.

За змістом, це і попереднє визначення збігаються.

Приклади тотожно рівних виразів

Введені в попередньому пункті визначення дозволяють навести приклади тотожно рівних виразів.

Почнемо з тотожно рівних числових виразів. Числові вирази 1+2 та 2+1 є тотожно рівними, тому що їм відповідають рівні значення 3 та 3 . Також тотожно рівні вирази 5 і 30:6, як і вирази (2 2) 3 і 2 6 (значення останніх виразів рівні чинності). А ось числові вирази 3+2 та 3−2 не є тотожно рівними, тому що їм відповідають значення 5 та 1 відповідно, а вони не рівні.

Тепер наведемо приклади тотожно рівних виразів із змінними. Такими є вирази a+b та b+a . Справді, за будь-яких значеннях змінних a і b записані вирази приймають однакові значення (що випливає з чисел). Наприклад, при a=1 і b=2 маємо a+b=1+2=3 та b+a=2+1=3 . При будь-яких інших змінних значення a і b ми також отримаємо рівні значення цих виразів. Вирази 0 x y y z і 0 теж тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних x , y і z . А ось вирази 2 x і 3 x не є тотожно рівними, так як, наприклад, при x = 1 їх значення не рівні. Дійсно, при x=1 вираз 2·x дорівнює 2·1=2 , а вираз 3·x дорівнює 3·1=3 .

Коли області допустимих значень змінних у виразах збігаються, як, наприклад, у виразах a+1 і 1+a , або a·b·0 і 0 , або і значення цих виразів рівні при всіх значеннях змінних з цих областей, то тут все зрозуміло – ці висловлювання тотожно рівні за всіх допустимих значеннях які в них змінних. Так a+1≡1+a за будь-яких a , вирази a·b·0 і 0 тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних a і b , а вирази і тотожно рівні при всіх x з ; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.

Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного виразу призводить до тотожно рівного йому виразу.

Наприклад, у виразі 3+x число 3 можна замінити сумою 1+2 , при цьому вийде вираз (1+2)+x , який тотожно дорівнює вихідному виразу. Інший приклад: у виразі 1+a 5 ступінь a 5 можна замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a 4 . Це дасть нам вираз 1+a·a 4 .

Дане перетворення, безперечно, штучно, і зазвичай є підготовкою до будь-яких подальших перетворень. Наприклад, у сумі 4×3 +2×2, враховуючи властивості ступеня, доданок 4×3 можна подати у вигляді твору 2×2×2×2. Після такого перетворення вихідний вираз набуде вигляду 2 x 2 x 2 x 2 x 2 . Очевидно, складові в отриманій сумі мають загальний множник 2 x 2 таким чином, ми можемо виконати наступне перетворення - винесення за дужки. Після нього ми прийдемо до виразу: 2 · x 2 · (2 ​​· x + 1).

Додаток та віднімання одного і того ж числа

Іншим штучним перетворенням висловлювання є додаток і одночасне віднімання однієї й тієї числа чи висловлювання. Таке перетворення є тотожним, оскільки воно, по суті, еквівалентне додавання нуля, а додавання нуля не змінює значення.

Розглянемо приклад. Візьмемо вираз x 2 +2 · x. Якщо до нього додати одиницю і відібрати одиницю, це дозволить надалі виконати ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.

§ 2. Тотожні вирази, тотожність. Тотожне перетворення висловлювання. Докази тотожностей

Знайдемо значення виразів 2(х – 1) 2х – 2 для даних значень змінної х. Результати запишемо до таблиці:

Можна зробити висновок, що значення виразів 2(х - 1) 2х - 2 для кожного даного значення змінної х рівні між собою. За розподільчою властивістю множення щодо віднімання 2(х - 1) = 2х - 2. Тому і для будь-якого іншого значення змінної х значення виразу 2(х - 1) 2х - 2 теж будуть рівними між собою. Такі вирази називають тотожно рівними.

Наприклад, синонімами є вирази 2х + 3х і 5х, тому що при кожному значенні змінної х ці вирази набувають однакових значень (це випливає з розподільчої властивості множення щодо додавання, оскільки 2х + 3х = 5х).

Розглянемо тепер вирази 3х + 2у та 5ху. Якщо х = 1 і = 1, то відповідні значення цих виразів рівні між собою:

3х + 2у = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Однак можна вказати такі значення х і у, для яких значення цих виразів не будуть рівними між собою. Наприклад, якщо х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Отже, існують такі значення змінних, при яких відповідні значення виразів 3х + 2у та 5ху не рівні один одному. Тому вирази 3х + 2у і 5ху є тотожно рівними.

З вищевикладеного, тотожностями, зокрема, є рівності: 2(х - 1) = 2х - 2 і 2х + 3х = 5х.

Тотожністю є кожна рівність, якою записано відомі властивості дій над числами. Наприклад,

а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

ab = b; (аb)с = a(bc); a(b – с) = ab – ас.

Тотожностями є й такі рівності:

а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Якщо у виразі-5х + 2х - 9 звести подібні доданки, отримаємо, що 5х + 2х - 9 = 7х - 9. У такому разі кажуть, що вираз 5х + 2х - 9 замінили тотожним виразом 7х - 9.

Тотожні перетворення виразів із змінними виконують, застосовуючи властивості дій над числами. Зокрема, тотожними перетвореннями з розкриття дужок, зведення подібних доданків тощо.

Тотожні перетворення доводиться виконувати при спрощенні виразу, тобто заміни деякого виразу на тотожно рівний йому вираз, який має коротший запис.

Приклад 1. Спростити вираз:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а= 3а + 5b + 2.

Щоб довести, що рівність є тотожністю (інакше кажучи, щоб довести тотожність, використовують тотожні перетворення виразів).

Довести тотожність можна одним із наступних способів:

• виконати тотожні перетворення її лівої частини, тим самим звівши до вигляду правої частини;
• виконати тотожні перетворення її правої частини, тим самим звівши до вигляду лівої частини;
• виконати тотожні перетворення обох її частин, тим самим звівши обидві частини до однакових виразів.

Приклад 2. Довести тотожність:

1) 2х – (х + 5) – 11 = х – 16;

2) 206 – 4а = 5(2а – 3b) – 7(2а – 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Розв'я з а н н я.

1) Перетворимо ліву частину даної рівності:

2х - (х + 5) - 11 = 2х - х– 5 – 11 = х – 16.

Тотожними перетвореннями вираз у лівій частині рівності звели до вигляду правої частини і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.

2) Перетворимо праву частину цієї рівності:

5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b= 20b – 4а.

Тотожними перетвореннями праву частину рівності звели до вигляду лівої частини і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.

3) У цьому випадку зручно спростити як ліву, так і праву частини рівності та порівняти результати:

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х- 28 = 26х - 44;

13 (2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Тотожними перетвореннями ліву і праву частини рівності звели до того самого виду: 26х - 44. Тому ця рівність є тотожністю.

Які вирази називають тотожними? Наведіть приклад тотожних виразів. Яку рівність називають тотожністю? Наведіть приклад тотожності. Що називають тотожним перетворенням виразу? Як довести тотожність?

1. (Усно) Або є вирази тотожно рівними:

1) 2а + а та 3а;

2) 7х + 6 та 6 + 7х;

3) x + x + x і x3;

4) 2(х - 2) та 2х - 4;

5) m - n та n - m;

6) 2а ∙ р та 2р ∙ а?

1. Чи є тотожно рівними вирази:

1) 7х - 2х та 5х;

2) 5а - 4 та 4 - 5а;

3) 4m + n та n + 4m;

4) а + а і а 2;

5) 3(а - 4) та 3а - 12;

6) 5m ∙ n та 5m + n?

1. (Усно) є тотожністю рівність:

1) 2а + 106 = 12аb;

2) 7р – 1 = -1 + 7р;

3) 3(х - у) = 3х - 5у?

1. Розкрийте дужки:

1. Розкрийте дужки:

1. Зведіть такі складові:

1. Назвіть кілька виразів, тотожні виразу 2а + 3а.
2. Спростіть вираз, використовуючи переставляється і сполучну властивості множення:

1) -2,5 х ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 х ∙ (0,3 г);

4) - х ∙<-7у).

1. Спростіть вираз:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7а ∙ (-1,2);

3) 0,2 х ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Усно) Спростіть вираз:

1) 2х – 9 + 5х;

2) 7а – 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

1. Зведіть такі складові:

1) 56 – 8а + 4b – а;

2) 17 – 2р + 3р + 19;

3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а – 2,9 b;

4) 5 – 7с + 1,9 г + 6,9 с – 1,7 г.

1) 4 (5х - 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Розкрийте дужки і зведіть такі складові:

1) 3(8а – 4) + 6а;

2) 7р – 2(3р – 1);

3) 2(3x – 8) – 5(2x + 7);

4) 3(5m – 7) – (15m – 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), якщо x = 2,4;

2) 1,3 (2а - 1) - 16,4, якщо а = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), якщо m = -3,7;

4) 2x – 3(x + у) + 4у, якщо x = -1, у = 1.

1. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), якщо x = -0,7;

2) 1,7(у - 11) - 16,3, якщо в = 20;

3) 0,6 (2а - 14) - 0,4 (5а - 1), якщо а = -1;

4) 5(m – n) – 4m + 7n, якщо m = 1,8; n = -0,9.

1. Доведіть тотожність:

1) -(2х - у) = у - 2х;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) с - 2 = 5 (с + 2) - 4 (с + 3).

1. Доведіть тотожність:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 – р) + 7р = 14;

3) 5а = 3(а – 4) + 2(а + 6);

4) 4(m – 3) + 3(m + 3) = 7m – 3.

1. Довжина однієї зі сторін трикутника а см, а довжина кожної із двох інших сторін на 2 см більша за неї. Запишіть у вигляді виразу периметр трикутника та спростіть вираз.
2. Ширина прямокутника дорівнює х см, а довжина на 3 см більша за ширину. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника та спростіть вираз.

1) х - (х - (2х - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));

4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Розкрийте дужки та спростіть вираз:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((а - m) + 12а);

3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

1. Доведіть тотожність:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);

3) 3(а – b – с) + 5(а – b) + 3с = 8(а – b).

1. Доведіть тотожність:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);

2) 4(х + у -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Доведіть, що значення виразу

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) залежить від значення змінної.

1. Доведіть, що за будь-якого значення змінної значення виразу

а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)

є одним і тим самим числом.

1. Доведіть, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.
2. Доведіть, якщо n - натуральне число, то значення виразу -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) є парним числом.

Вправи для повторення

1. Сплав масою 1,6 кг містить 15% міді. Скільки кг міді міститься у цьому сплаві?
2. Скільки відсотків становить число 20 від свого:

1) квадрат;

1. Турист 2 год йшов пішки і 3 год їхав велосипедом. Усього турист подолав 56 км. Знайдіть, з якою швидкістю турист їхав велосипедом, якщо вона на 12 км/год більше за швидкість, з якою він йшов пішки.

Цікаві завдання для учнів лінивих

1. У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що будь-якої миті змагань знайдеться команда, яка проведе до цього моменту парну кількість матчів або не провела ще жодного.

Тотожні перетворення являють собою роботу, яку ми проводимо з числовими та літерними виразами, а також із виразами, які містять змінні. Всі ці перетворення ми проводимо для того, щоб привести вихідний вираз до такого виду, який буде зручним для вирішення завдання. Основні види тотожних перетворень ми розглянемо у цій темі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тотожне перетворення висловлювання. Що це таке?

Вперше зустрічаємося з поняттям тотожних ми на уроках алгебри в 7 класі. Тоді ми вперше знайомимося з поняттям тотожно рівних виразів. Давайте розберемося з поняттями та визначеннями, щоб полегшити засвоєння теми.

Визначення 1

Тотожне перетворення виразу- це дії, що виконуються з метою заміни вихідного виразу на вираз, який буде тотожно рівним вихідному.

Часто це визначення використовується у скороченому вигляді, в якому опускається слово «тотожне». Передбачається, що ми в будь-якому випадку проводимо перетворення виразу таким чином, щоб отримати вираз, тотожний вихідному, і це не потрібно окремо підкреслювати.

Проілюструємо це визначення прикладами.

Приклад 1

Якщо ми замінимо вираз x + 3 − 2на тотожно рівний йому вираз x + 1, то ми проведемо при цьому тотожне перетворення виразу x + 3 − 2.

Приклад 2

Заміна виразу 2 · a 6 на вираз a 3– це тотожне перетворення, тоді як заміна виразу xна вираз x 2не є тотожним перетворенням, оскільки вирази xі x 2є тотожно рівними.

Звертаємо вашу увагу на форму запису виразів під час проведення тотожних перетворень. Зазвичай записуємо вихідне і отримане під час перетворення висловлювання як рівності. Так, запис x + 1 + 2 = x + 3 означає, що вираз x + 1 + 2 було наведено до вигляду x + 3 .

Послідовне виконання дій призводить нас до ланцюжка рівностей, який є кілька розташованих поспіль тотожних перетворень. Так, запис x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x ми розуміємо як послідовне проведення двох перетворень: спочатку вираз x + 1 + 2 привели до вигляду x + 3, а його - до вигляду 3 + x.

Тотожні перетворення та ОДЗ

Ряд виразів, які ми починаємо вивчати у 8 класі, мають сенс не за будь-яких значень змінних. Проведення тотожних перетворень у випадках вимагає від нас уваги до області допустимих значень змінних (ОДЗ). Виконання тотожних перетворень може залишати ОДЗ незмінною або звужувати її.

Приклад 3

При виконанні переходу від виразу a + (− b)до виразу a − bобласть допустимих значень змінних aі bзалишається незмінною.

Приклад 4

Перехід від виразу x до виразу x 2 xпризводить до звуження області допустимих значень змінної x від множини всіх дійсних чисел до множини всіх дійсних чисел, з якого було виключено нуль.

Приклад 5

Тотожне перетворення виразу x 2 xвиразом х призводить до розширення області допустимих значень змінної x від множини всіх дійсних чисел за винятком нуля до множини всіх дійсних чисел.

Звуження або розширення області допустимих значень змінних під час проведення тотожних перетворень має значення під час вирішення завдань, оскільки може спричинити точність проведення обчислень і призвести до появи помилок.

Основні тотожні перетворення

Давайте подивимося, якими бувають тотожні перетворення і як вони виконуються. Виділимо ті види тотожних перетворень, з якими нам доводиться мати справу найчастіше, до групи основних.

Крім основних тотожних перетворень існує низка перетворень, які стосуються виразів конкретного виду. Для дробів це прийоми скорочення та приведення до нового знаменника. Для виразів з корінням та ступенями всі дії, які виконуються на базі властивостей коренів та ступенів. Для логарифмічних виразів дії, що проводяться на основі властивостей логарифмів. Для тригонометричних виразів усі дії з використанням тригонометричних формул. Всі ці приватні перетворення докладно розуміються на окремих темах, які можна знайти на нашому ресурсі. У зв'язку з цим у цій стості ми на них зупинятись не будемо.

Перейдемо до розгляду основних тотожних перетворень.

Перестановка місцями доданків, множників

Почнемо з перестановки доданків місцями. З цим тотожним перетворенням ми маємо справу найчастіше. І основним правилом тут можна вважати таке твердження: у будь-якій сумі перестановка доданків місцями не відбивається на результаті.

Засноване це правило на переміщувальному та сполучному властивостях додавання. Ці властивості дозволяють нам переставляти доданки місцями і отримувати при цьому вирази, які тотожно рівні вихідним. Саме тому перестановка доданків місцями у сумі є тотожним перетворенням.

Приклад 6

У нас є сума трьох доданків 3 + 5 + 7 . Якщо ми поміняємо місцями доданки 3 і 5 , то вираз набуде вигляду 5 + 3 + 7 . Варіантів перестановки місцями доданків у разі кілька. Усі вони призводять до отримання виразів, тотожно рівних вихідному.

Як доданків у сумі можуть виступати як числа, а й висловлювання. Їх точно так, як і числа, можна переставляти місцями, не впливаючи на кінцевий результат обчислень.

Приклад 7

У сумі трьох доданків 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 і - 12 · a виду 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + ( - 12) · a доданки можна переставити, наприклад, так (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . У свою чергу можна переставити місцями доданки в знаменнику дробу 1 a + b, при цьому дріб набуде вигляду 1 b + a. А вираз під знаком кореня a 2 + 2 · a + 5теж є сумою, де можна поміняти місцями доданки.

Так само, як і доданки, у вихідних виразах можна змінювати місцями множники і отримувати тотожно вірні рівняння. Проведення цієї дії регулюється наступним правилом:

Визначення 2

У творі перестановка множників місцями впливає результат обчислень.

Засноване це правило на переміщувальному та сполучному властивостях множення, які підтверджують вірність тотожного перетворення.

Приклад 8

твір 3 · 5 · 7перестановкою множників можна представити в одному з наступних видів: 5 · 3 · 7, 5 · 7 · 3, 7 · 3 · 5, 7 · 5 · 3 або 3 · 7 · 5.

Приклад 9

Перестановка множників у творі x + 1 · x 2 - x + 1 x дасть x 2 - x + 1 x · x + 1

Розкриття дужок

Дужки можуть містити записи числових виразів та виразів зі змінними. Ці вирази можуть бути перетворені на тотожно рівні вирази, в яких дужок не буде взагалі або їх буде менше, ніж у вихідних виразах. Цей спосіб перетворення виразів називають розкриттям дужок.

Приклад 10

Проведемо дії з дужками у виразі виду 3 + x − 1 xдля того, щоб отримати тотожно вірний вираз 3 + x − 1 x.

Вираз 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x можна перетворити на тотожно рівний вираз без дужок 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Правила перетворення виразів із дужками ми детально розібрали у темі «Розкриття дужок», яка розміщена на нашому ресурсі.

Угруповання доданків, множників

У випадках, коли ми маємо справу з трьома та великою кількістю доданків, ми можемо вдатися до такого виду тотожних перетворень як угруповання доданків. Під цим способом перетворень мають на увазі об'єднання кількох доданків у групу шляхом їх перестановки та укладання в дужки.

При проведенні угруповання доданки змінюються місцями таким чином, щоб доданки, що групуються, опинилися в записі виразу поруч. Після цього їх можна укласти у дужки.

Приклад 11

Візьмемо вираз 5 + 7 + 1 . Якщо ми згрупуємо перший доданок з третім, то отримаємо (5 + 1) + 7 .

Угруповання множників проводиться аналогічно до угруповання доданків.

Приклад 12

У творі 2 · 3 · 4 · 5можна згрупувати перший множник з третім, а другий - з четвертим, при цьому прийдемо до виразу (2 · 4) · (3 · 5). А якби ми згрупували перший, другий та четвертий множники, то отримали б вираз (2 · 3 · 5) · 4.

Доданки та множники, що групуються, можуть бути представлені як простими числами, так і виразами. Правила угруповання були детально розібрані в темі «Угруповання доданків та множників».

Заміна різниць сумами, приватними творами та назад

Заміна різниць сумами стала можливою завдяки нашому знайомству з протилежними числами. Тепер віднімання з числа aчисла bможна розглядати як додаток до aчисла − b. Рівність a − b = a + (− b)можна вважати справедливим і на його основі проводити заміну різниці сумами.

Приклад 13

Візьмемо вираз 4 + 3 − 2 , в якому різниця чисел 3 − 2 ми можемо записати як суму 3 + (− 2) . Отримаємо 4 + 3 + (− 2) .

Приклад 14

Всі різниці у виразі 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2можна замінити сумами як 5 + 2 · x + (− x 2) + (− 3 · x 3) + (− 0 , 2).

Ми можемо переходити до сум від будь-яких різниць. Аналогічно ми можемо зробити зворотну заміну.

Заміна поділу на множення на число, зворотне дільнику, стає можливим завдяки поняття взаємно зворотних чисел. Це перетворення можна записати рівністю a: b = a · (b − 1).

Це було покладено основою правила поділу звичайних дробів.

Приклад 15

Приватне 1 2: 3 5 можна замінити твором виду 1 2 · 5 3.

Так само за аналогією поділ може бути замінено множенням.

Приклад 16

У випадку з виразом 1 + 5: x: (x + 3)замінити поділ на xможна на множення на 1 x. Поділ на x + 3ми можемо замінити множенням на 1 x + 3. Перетворення дозволяє отримати вираз, тотожне вихідному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .

Заміна множення поділом поводиться за схемою a · b = a: (b − 1).

Приклад 17

У виразі 5 x 2 + 1 - 3 множення можна замінити розподілом як 5: x 2 + 1 x - 3 .

Виконання дій з числами

Виконання дій з числами підпорядковується правил порядку виконання дій. Спочатку проводяться дії зі ступенями чисел та корінням з чисел. Після цього ми замінюємо логарифми, тригонометричні та інші функції на їх значення. Потім виконуються дії у дужках. І потім вже можна проводити решту дій зліва направо. Важливо пам'ятати, що множення та розподіл проводять до складання та віднімання.

Дії з числами дозволяють перетворити вихідне вираження на тотожне рівне йому.

Приклад 18

Перетворимо вираз 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, виконавши всі можливі дії з числами.

Рішення

Насамперед звернемо увагу на ступінь 2 3 і корінь 4 і обчислимо їх значення: 2 3 = 8 та 4 = 2 2 = 2 .

Підставимо отримані значення у вихідний вираз і отримаємо: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Тепер проведемо дії у дужках: 8 − 1 = 7 . І перейдемо до виразу 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Нам залишилося виконати множення чисел 3 і 7 . Отримуємо: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Відповідь: 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x)

Дії з числами можуть передувати інші види тотожних перетворень, таких, наприклад, як угруповання чисел або розкриття дужок.

Приклад 19

Візьмемо вираз 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11.

Рішення

Насамперед проведемо заміну приватного у дужках 6: 3 на його значення 2 . Отримаємо: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) - 2 + 11 .

Розкриємо дужки: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11.

Згрупуємо числові множники у творі, а також доданки, що є числами: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3.

Виконаємо дії у дужках: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3

Відповідь:3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3

Якщо ми працюємо з числовими виразами, то метою нашої роботи буде знаходження значення виразу. Якщо ж ми перетворимо вирази зі змінними, то метою наших дій буде спрощення виразу.

Винесення за дужки загального множника

У тих випадках, коли доданки у виразі мають однаковий множник, ми можемо винести цей загальний множник за дужки. Для цього нам спочатку необхідно уявити вихідний вираз як добуток загального множника та виразу в дужках, що складається з вихідних доданків без загального множника.

Приклад 20

У числовому вираженні 2 · 7 + 2 · 3ми можемо винести спільний множник 2 за дужки та отримати тотожно вірний вираз виду 2 · (7 + 3).

Освіжити в пам'яті правил винесення загального множника за дужки ви можете у розділі нашого ресурсу. У матеріалі докладно розглянуто правила винесення загального множника за дужки та наведено численні приклади.

Приведення подібних доданків

Тепер перейдемо до сум, які містять такі складові. Тут можливо два варіанти: суми, що містять однакові доданки, і суми, доданки яких відрізняються числовим коефіцієнтом. Дії із сумами, що містять подібні доданки, зветься приведення подібних доданків. Проводиться воно так: ми виносимо загальну літерну частину за дужки і проводимо обчислення суми числових коефіцієнтів у дужках.

Приклад 21

Розглянемо вираз 1 + 4 · x − 2 · x. Ми можемо винести літерну частину x за дужки та отримати вираз 1 + x · (4 − 2). Проведемо обчислення значення виразу у дужках та отримаємо суму виду 1 + x · 2 .

Заміна чисел та виразів тотожно рівними їм виразами

Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного виразу призводить до тотожно рівного йому виразу.

Приклад 22 Приклад 23

Розглянемо вираз 1 + a 5, в якому ступінь a 5 ми можемо замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a · a 4. Це нам дасть вираз 1 + a · a 4.

Виконане штучне перетворення. Воно має сенс лише під час підготовки до проведення інших перетворень.

Приклад 24

Розглянемо перетворення суми 4 · x 3 + 2 · x 2. Тут доданок 4 · x 3ми можемо уявити як твір 2 · x 2 · 2 · x. В результаті вихідний вираз набуває вигляду 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Тепер ми можемо виділити спільний множник 2 · x 2і винести його за дужки: 2 · x 2 · (2 ​​· x + 1).

Додаток та віднімання одного і того ж числа

Додаток і одночасне віднімання одного й того ж числа або виразу є штучним прийомом перетворення виразів.

Приклад 25

Розглянемо вираз x 2 + 2 · x. Ми можемо додати або відібрати від нього одиницю, що дозволить нам у подальшому провести ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter