Яка лінія називається еквіпотенційною. Еквіпотенційні поверхні

Зв'язок між напруженістю та потенціалом.

Для потенційного поля, між потенційною (консервативною) силою та потенційною енергією існує зв'язок

де ("набла") - оператор Гамільтона.

Оскільки то

Знак мінус показує, що вектор Е спрямований у бік зменшення потенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу використовуються еквіпотенційні поверхні - поверхні у всіх точках яких потенціал має те саме значення.

Еквіпотенційні поверхні зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша. На малюнку пунктиром зображені силові лінії, суцільними лініями - перерізу еквіпотенційних поверхонь для: позитивного заряду точкового (а), диполя (б), двох однойменних зарядів (в), зарядженого металевого провідника складної конфігурації (г).

Для точкового заряду потенціал тому еквіпотенційні поверхні – концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь.

Можна показати, що у всіх випадках вектор Е перпендикулярний еквіпотенційним поверхням і завжди спрямований у бік зменшення потенціалу.

Приклади розрахунку найважливіших симетричних електростатичних полів у вакуумі.

1. Електростатичне поле електричного диполя у вакуумі.

Електричним диполем (або подвійним електричним полюсом) називається система двох рівних по модулю різноіменних точкових зарядів (+q,-q), відстань l між якими значно менше відстані до точок поля (l)<< r).

Плечо диполя l - вектор, спрямований по осі диполя від негативного заряду до позитивного і дорівнює відстані між ними.

Електричний момент диполя ре - вектор, що збігається у напрямку з плечем диполя і дорівнює добутку модуля заряду | q | на плече I:

Нехай r – відстань до точки А від середини осі диполя. Тоді, враховуючи що

2)Напруженість поля в точці на перпендикулярі, відновленому до осі диполя з його середини при

Точка рівновіддалена від зарядів +q і -q диполя, тому потенціал поля в точці В дорівнює нулю. Вектор Єв направлений протилежно вектору l.

3) У зовнішньому електричному полі на кінці диполя діє пара сил, яка прагне повернути диполь таким чином, щоб електричний момент ре диполя розгорнувся вздовж напрямку поля Ё (рис.(а)).

У зовнішньому однорідному полі момент пари сил дорівнює M = qElsin а або У зовнішньому неоднорідному полі (рис.(в)) сили, що діють на кінці диполя, неоднакові та їх результуюча прагне пересунути диполь в область поля з більшою напруженістю - диполь втягується в область сильнішого поля.

2. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини.

Нескінченна площина заряджена із постійною поверхневою щільністю Лінії напруженості перпендикулярні площині, що розглядається, і спрямовані від неї в обидві сторони.

Як Гаусова поверхня приймемо поверхню циліндра, що утворюють якого перпендикулярні зарядженій площині, а основи паралельні зарядженій площині і лежать по різні боки від неї на однакових відстанях.

Так як утворюють циліндри паралельні лініям напруженості, то потік вектора напруженості через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його підстави 2ES. Заряд, укладений усередині циліндра, дорівнює . За теоремою Гауса звідки:

Е залежить від довжини циліндра, тобто. напруженість поля на будь-яких відстанях однакова за модулем. Таке поле називається однорідним.

Різниця потенціалів між точками, що лежать на відстанях х1 та х2 від площини, дорівнює

3.Поле двох нескінченних паралельних різноіменно заряджених площин з рівними за абсолютним значенням поверхневими щільностями зарядів σ>0 і - σ.

З попереднього прикладу випливає, що вектори напруженості Е 1 і E 2 першої та другої площин рівні по модулю і всюди спрямовані перпендикулярно до площин. Тому у просторі поза площинами вони компенсують один одного, а у просторі між площинами сумарна напруженість . Тому між площинами

(У діелектриці.).

Поле між площинами однорідне. Різниця потенціалів між площинами.
(у діелектриці ).

4.Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

Сферична поверхня радіуса R із загальним зарядом q заряджена рівномірно з поверхневою щільністю

Оскільки система зарядів і, отже, саме поле центрально-симетрично щодо центру сфери, лінії напруженості спрямовані радіально.

Як Гаусова поверхня виберемо сферу радіуса r, що має загальний центр із зарядженою сферою. Якщо r>R, то всередину поверхні потрапляє заряд q. За теоремою Гауса, звідки

При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r 1 і r 2 від центру сфери

(r1>R,r2>R), дорівнює

Поза зарядженою сферою поле таке саме, як поле точкового заряду q, що у центрі сфери. Усередині зарядженої сфери поля немає, тому потенціал усюди однаковий і такий самий, як на поверхні

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ РОБОТИ.

Між напруженістю електричного частка та електричним потенціалом існує інтегральний та диференційний зв'язок:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Електричне поле може бути представлено графічно двома способами, що доповнюють один одного: за допомогою еквіпотенційних поверхонь та ліній напруженості (силових ліній).

Поверхня, усі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційною поверхнею. Лінія перетину її з площиною креслення називається еквіпотенціаллю. Силові лінії - лінії, що стосуються яких у кожній точці збігаються з напрямком вектора Е . На малюнку 1 пунктирними лініями показані еквіпотенціалі, суцільними – силові лінії електричного поля.

Рис.1

Різниця потенціалів між точками 1 і 2 дорівнює 0, оскільки вони знаходяться на одній еквіпотенціалі. В цьому випадку з (1):

∫Е dl = 0 або ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Оскільки Е і dl у виразі (3) не дорівнюють 0, то cos ( Edl ) = 0 . Отже, кут між еквіпотенціаллю та силовою лінією становить p/2.

З диференціального зв'язку (2) випливає, що силові лінії завжди спрямовані у бік зменшення потенціалу.

Розмір напруженості електричного поля визначається «густотою» силових ліній. Чим густіше силові лінії, тим менша відстань між еквіпотенціалями, так що силові лінії та еквіпотенціалі утворюють "криволінійні квадрати". Виходячи з цих принципів, можна побудувати картину силових ліній, маючи картину еквіпотенціалів, і навпаки.

Достатньо повна картина еквіпотенціалів поля дозволяє розрахувати в різних точках значення проекції вектора напруженості. Е на обраний напрямок х , усереднене за деяким інтервалом координати ∆х :

Е порівн. ∆х = - ∆ j /∆х,

де ∆х - збільшення координати при переході з однієї еквіпотенціалі на іншу,

∆ j - відповідне йому збільшення потенціалу,

Е порівн. ∆х - середнє значення Ех між двома потенціалами

ОПИС УСТАНОВКИ І МЕТОДИКА ВИМІРЮВАНЬ.

Для моделювання електричного поля зручно використовувати аналогію, існуючу між електричним полем, створеним зарядженими тілами та електричним полем постійного струму, що тече по провідній плівці з однорідною провідністю. При цьому розташування силових ліній електричного поля виявляється аналогічним розташування ліній електричних струмів.

Те саме твердження справедливе для потенціалів. Розподіл потенціалів поля у провідній плівці такий самий, як у електричному полі у вакуумі.

Як провідна плівка в роботі використовується електропровідний папір з однаковим у всіх напрямках провідністю.

На папері встановлюються електроди так, щоб забезпечувався хороший контакт між кожним електродом і папером, що проводить.

Робоча схема установки наведена малюнку 2. Установка складається з модуля II, виносного елемента I, індикатора III, джерела живлення IV. Модуль служить для підключення всіх приладів, що використовуються. Виносний елемент являє собою діелектричну панель 1, яку поміщають лист білого паперу 2, поверх неї - лист копіювального паперу 3, потім - лист електропровідної паперу 4, на якому кріпляться електроди 5. Напруга на електроди подається від модуля II за допомогою з'єднувальних проводів. Індикатор III та зонд 6 використовуються для визначення потенціалів точок на поверхні електропровідного паперу.

Як зонд застосовується провід зі штекером на кінці. Потенціал j зонда дорівнює потенціалу тієї точки поверхні електропровідного паперу, якої він стосується. Сукупність точок поля з однаковим потенціалом і є зображенням еквіпотенціалі поля. Як джерело живлення IV використовується блок живлення ТЕС - 42, який підключається до модуля за допомогою штепсельного роз'єму на задній стінці модуля. Як індикатор Ш використовується вольтметр В7 - 38.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

1. Встановити на панелі 1 аркуш білого паперу 2. На нього покласти копіювальний папір 3 та аркуш електропровідного паперу 4 (рис.2).

2. Встановити на електропровідному папері електроди 5 та закріпити гайками.

3. Підключити до модуля блок живлення IV (ТЕС – 42) за допомогою штепсельного гнізда на задній стінці модуля.

4. За допомогою двох провідників підключити індикатор III (вольтметр В7 – 38) до гнізд "PV" на лицьовій панелі модуля. Натиснути відповідну кнопку на вольтметрі для вимірювання постійної напруги (рис.2).

5. За допомогою двох провідників підключити електроди 5 до П. модуля.

6. Підключити зонд (провід із двома штекерами) до гнізда на лицьовій панелі модуля.

7. Підключити стенд до мережі 220 В. Увімкнути загальне живлення стенду.

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою,та потенціалом - енергетичною характеристикою поляРобота з переміщення одиничноготочкового позитивного заряду з однієї точки поля в іншу вздовж осі хза умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного та x 1 – x 2 = dx , дорівнює E x dx . Та ж робота дорівнює j 1 -j 2 = dj . Прирівнявши обидва вирази, можемо записати

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється тільки по х.Повторивши аналогічні міркування для осей y та z , можемо знайти вектор Е:

де i, j, k – поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта (12.4) та (12.6). випливає, що

т. е. напруженість Е поля дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Е поля спрямований бік спаданняпотенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у випадку поля тяжіння (див. § 25), користуються еквіпотенційними поверхнями - поверхнями, у всіх точках яких потенціал має одне й те саме значення.

Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал, відповідно (84.5),

Отже, еквіпотенційні поверхні у разі - концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярніеквіпотенційним поверхням.

Лінії напруженості завжди нормальнідо еквіпотенційних поверхонь. Дійсно, всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота по переміщенню заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто електростатичні сили, що діють на заряд, завждиспрямовані за нормалями до еквіпотенційних поверхонь. Отже, вектор Е завжди нормальний до еквіпотенційних поверхонь,тому лінії вектора Е ортогональні цим поверхням.

Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду та кожної системи зарядів можна провести безліч. Однак їх зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша.

Отже, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна побудувати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна визначити в кожній точці поля модуль і напрямок напруженості поля. На рис. 133 для прикладу показаний вид ліній напруженості (штрихові лінії) та еквіпотенційних поверхонь (суцільні лінії) полів позитивного точкового заряду (а) та зарядженого металевого циліндра, що має на одному кінці виступ, а на іншому - западину (б).

Для подання векторних полів використовують картину силових ліній. Силова лінія є уявна математична крива у просторі, напрям дотичної до якої у кожній точці, через яку вона проходить, збігається з напрямком вектора поля в тій же точці(Рис. 1.17).
Рис. 1.17:
Умову паралельності вектора E → та дотичної можна записати у вигляді рівності нулю векторного твору E → та елемента дуги d r → силової лінії:

Еквіпотенціаллю називають поверхню, на якою стала величина електричного потенціалуϕ. У полі точкового заряду, як показано на рис. еквіпотенційними є сферичні поверхні з центрів у місці розташування заряду; це видно з рівняння ϕ = q r = const.

Аналізуючи геометрію електричних силових ліній та еквіпотенційних поверхонь, можна вказати низку загальних властивостей геометрії електростатичного поля.

По-перше, силові лінії починаються на зарядах. Вони або йдуть на нескінченність, або закінчуються інших зарядах, як у рис. .

Рис. 1.19:

По-друге, у потенційному полі силові лінії неможливо замкнути. В іншому випадку можна було б вказати такий замкнутий контур, що робота електричного поля при переміщенні заряду по цьому контуру не дорівнює нулю.

По-третє, силові лінії перетинають будь-яку еквіпотенціаль нормалі до неї. Справді, електричне поле скрізь спрямоване у бік якнайшвидшого зменшення потенціалу, але в еквіпотенційної поверхні потенціал постійний за визначенням (рис. ).
Рис. 1.20:
І, нарешті, силові лінії ніде не перетинаються крім точок, де E → = 0 . Перетин силових ліній означає, що поле в точці перетину є неоднозначною функцією координат, а вектор E → не має певного напрямку. Єдиним вектором, який має таку властивість, є нульовий вектор. Структура електричного поля поблизу точки нуля буде проаналізована у завданнях до ?? .

Метод силових ліній, звичайно, застосовується для графічного представлення будь-яких векторних полів. Так, на чолі ?? ми зустрінемо поняття магнітних силових ліній. Однак геометрія магнітного поля зовсім відмінна від геометрії електричного поля.

Рис. 1.21:
Уявлення про силові лінії тісно пов'язані з поняттям силової трубки. Візьмемо якийсь довільний замкнутий контур L і через кожну точку його проведемо електричну силову лінію (рис. ). Ці лінії утворюють силову трубку. Розглянемо довільний переріз трубки поверхнею S. Позитивну нормаль проведемо у той самий бік, куди спрямовані силові лінії. Нехай N - Потік вектора E → через переріз S . Неважко бачити, що якщо всередині трубки немає електричних зарядів, то потік N залишається тим самим по всій довжині трубки. Для доказу потрібно взяти інший поперечний переріз S′. По теоремі Гаусса, потік електричного поля через замкнуту поверхню, обмежену бічної поверхнею трубки і перерізами S , S ' дорівнює нулю, так як всередині силової трубки немає електричних зарядів. Потік через бічну поверхню дорівнює нулю, оскільки вектор → стосується цієї поверхні. Отже, потік через переріз S′ чисельно дорівнює N, але протилежний за знаком. Зовнішня нормаль до замкнутої поверхні цьому перерізі спрямована протилежно n → . Якщо ж спрямувати нормаль у той самий бік, то потоки через перерізи S і S′ збігатимуться і по величині, і по знаку. Зокрема, якщо трубка нескінченно тонка, а перерізи S і S′ нормальні до неї, то

E S = E 'S'.

Виходить повна аналогія з течією стисливої ​​рідини. У тих місцях, де трубка тонша, поле E → сильніше. У тих місцях, де вона ширша, поле E → сильніше. Отже, за густотою силових ліній можна будувати висновки про напруженості електричного поля.

До винаходу комп'ютерів для експериментального відтворення силових ліній брали скляну посудину з плоским дном і наливали в нього рідина, що не проводить електричний струм, наприклад, рицинова олія або гліцерин. У рідині рівномірно розмішували зіпсовані в порошок кристали гіпсу, азбесту або будь-які інші довгасті частинки. У рідину занурювали металеві електроди. При з'єднанні з джерелами електрики електроди збуджували електричне поле. У цьому полі частинки електризуються і, притягуючись один до одного різноеменно наелектризованими кінцями, розташовуються у вигляді ланцюжків вздовж силових ліній. Картина силових ліній спотворюється течіями рідини, що викликаються силами, що діють її у неоднорідному електричному полі.

To Be Done Yet
Рис. 1.22:
Найкращі результати виходять за методом, який застосовував Роберт В. Поль (1884-1976). На скляну пластинку наклеюються електроди зі станіоля, між якими створюється електрична напруга. Потім на пластинку насипають, злегка постукуючи по ній, довгасті частинки, наприклад, кристали гіпсу. Вони розташовуються вздовж силових ліній. На рис. ?? зображено отримана таким чином картина силових ліній між двома різноіменно зарядженими кружками зі станіоля.

▸ Завдання 9.1

Записати рівняння силових ліній у довільних ортогональнихкоординати.

▸ Завдання 9.2

Записати рівняння силових ліній у сферичних координатах.

Графічне зображення полів можна скласти не тільки з лініями напруженості, але і за допомогою різниці потенціалів. Якщо об'єднати в електричному полі точки з рівними потенціалами, ми отримаємо поверхні рівного потенціалу чи ще їх називають еквіпотенційні поверхні. У перетині з площиною креслення еквіпотенційні поверхні дають еквіпотенційні лінії. Зображуючи еквіпотенційні лінії, які відповідають різним значенням потенціалу, ми одержуємо наочну картину, яка відображає, як змінюється потенціал конкретного поля. Переміщення вздовж еквіпотенційної поверхні заряду роботи не вимагає, тому що всі точки поля по такій поверхні мають рівний потенціал і сила, що діє на заряд, завжди перпендикулярна до переміщення.

Отже, лінії напруженості завжди перпендикулярні до поверхонь з рівними потенціалами.

Найбільш наочна картина поля буде представлена, якщо зображати еквіпотенційні лінії з рівними змінами потенціалу, наприклад, 10, 20, 30 і т.д. У такому разі швидкість зміни потенціалу буде обернено пропорційна відстані між сусідніми еквіпотенційними лініями. Тобто густота еквіпотенційних ліній пропорційна напруженості поля (що вище напруженість поля, то вже зображуються лінії). Знаючи еквіпотенційні лінії, можна побудувати лінії напруженості поля і навпаки.

Отже, зображення полів за допомогою еквіпотенційних ліній та ліній напруженості рівнозначні.

Нумерація еквіпотенційних ліній на кресленні

Досить часто еквіпотенційні лінії на кресленні нумерують. Щоб вказати різницю потенціалів на кресленні, довільну лінію позначають цифрою 0, біля решти ліній розставляють цифри 1,2,3 тощо. Ці цифри вказують різницю потенціалів у вольтах обраної еквіпотенційної лінії та лінії, яку обрали нульовою. При цьому відзначаємо, що вибір нульової лінії не є важливим, оскільки фізичний сенс має лише різницю потенціалів для двох поверхонь, і вона не залежить від вибору нуля.

Поле точкового заряду з позитивним зарядом

Розглянемо як приклад поле точкового заряду, що має позитивний заряд. Лініями поля точкового заряду є прямі радіальні, отже, еквіпотенційні поверхні - це система концентричних сфер. Лінії поля перпендикуляри поверхонь сфер у кожній точці поля. Еквіпотенційними лініями служать концентричні кола. Для позитивного заряду рисунок 1 представляє еквіпотенційні лінії. Для негативного заряду рисунок 2 представляє еквіпотенційні лінії.

Що очевидно з формули, яка визначає потенціал поля точкового заряду при нормуванні потенціалу на нескінченність ($varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]

Система паралельних площин, що знаходяться на рівних відстанях одна від одної, є еквіпотенційними поверхнями електричного однорідного поля.

Приклад 1

Завдання: Потенціал поля, що створюється системою зарядів, має вигляд:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

де $a,b$ - постійні більше за нуль. Яка форма мають еквіпотенційні поверхні?

Еквіпотенційні поверхні, як знаємо, - це поверхні, у яких будь-яких точках потенціали рівні. Знаючи вищесказане, вивчимо рівняння, запропоноване за умов завдання. Розділимо праву та ліву частини рівняння $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ на $\varphi $, отримаємо:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\right).\]

Запишемо рівняння (1.1) у канонічному вигляді:

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right))^2) = 1 \ (1.2) \]

З рівняння $(1.2)\$ видно, що заданою фігурою є еліпсоїд обертання. Його півосі

\[\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).

Відповідь: Еквіпотенційна поверхня заданого поля - еліпсоїд обертання з півосями ($\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac( \varphi) (b)) $).

Приклад 2

Завдання: Потенціал поля, має вигляд:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

де $a,b$ - $const$ більше нуля. Що є еквіпотенційними поверхнями?

Розглянемо випадок при $varphi >0$. Наведемо рівняння, задане в умовах задачі до канонічного вигляду, для цього розділимо обидві частини рівняння на $varphi $ отримаємо:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\) right).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi) (b)) = 1 \ \ left (2.2 \ right).

У (2.2) ми отримали канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїду. Його півосі рівні ($\sqrt(\frac(\varphi)(a))\left(дійсна\на піввісь\right),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a))\left(дійсна\ на піввісь\right) ), \ \ sqrt ( \ frac ( \ varphi ) (b)) (уявна \ піввісь) $).

Розглянемо випадок, коли $varphi

Представимо $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Наведемо рівняння, задане в умовах завдання до канонічного вигляду, для цього розділимо обидві частини рівняння на мінус модуль $\varphi ,$ отримаємо:

\[-\frac(a)(\left|\varphi \right|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \right|)y)^2+\frac(b)(\ left|\varphi \right|)z^2=1\ \left(2.3\right).\]

Перепишемо рівняння (1.1) у вигляді:

\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(b))=1\ \left(2.4\right).

Ми отримали канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїду, його півосі:

($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(уявний\ піввісь\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a) )\left(уявна\ піввісь\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\ дійсна\ піввісь)$).

Розглянемо випадок, коли $\varphi =0.$ Тоді рівняння поля має вигляд:

Перепишемо рівняння (2.5) у вигляді:

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1) )(\sqrt(a))\right))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ left(2.6\right).\]

Ми отримали канонічне рівняння прямого круглого конуса, який спирається на еліпс з півосями $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b))(\sqrt(a) )) $).

Відповідь: В якості еквіпотенційних поверхонь для заданого рівняння потенціалу ми отримали: при $varphi >0$ -- однопорожнинний гіперболоїд, при $varphi