Які коливання називаються загасаючими. Затухаючі коливання

1.21. 3АТУХАЮЧІ, ЗМІШЕНІ КОЛИВАННЯ

Диференціальне рівняння загасаючих коливань та його розв'язання. Коефіцієнт згасання. Логарифмічний груденьРемент згасання.Добротність коливанняної системи.Аперіодичний процес. Диференціальне рівняння вимушених коливань та його вирішення.Амплітуда та фаза вимушених коливань. Процес встановлення коливань. Випадок резонансу.Автоколивання.

Згасанням коливань називається поступове зменшення амплітуди коливань з часом, обумовлене втратою енергії коливальною системою.

Власні коливання без загасання – це ідеалізація. Причини згасання можуть бути різні. У механічній системі до загасання коливань наводить наявність тертя. Коли витрачається вся енергія, запасена в коливальній системі, коливання припиняться. Тому амплітуда загасаючих коливань зменшується, доки стане рівної нулю.

Загасні коливання, як і власні, в системах, різних за своєю природою, можна розглядати з єдиної точки зору - загальних ознак. Однак такі характеристики, як амплітуда і період, вимагають перевизначення, а інші – доповнення та уточнення порівняно з такими самими ознаками для власних коливань. Загальні ознаки та поняття загасаючих коливань такі:

Диференціальне рівняння має бути отримане з урахуванням зменшення в процесі коливань коливальної енергії.

Рівняння коливань – розв'язання диференціального рівняння.

Амплітуда загасаючих коливань залежить від часу.

Частота та період залежать від ступеня згасання коливань.

Фаза і початкова фаза мають той самий сенс, що й для невгамовних коливань.

Механічні загасаючі коливання.

Механічна система : пружинний маятник з урахуванням сил тертя.

Сили, що діють на маятник :

Пружна сила., де k - Коефіцієнт жорсткості пружини, х - зсув маятника від положення рівноваги.

Сила опору. Розглянемо силу опору, пропорційну швидкості v руху (така залежність й у великого класу сил опору): . Знак "мінус" показує, що напрямок сили опору протилежний напрямку швидкості руху тіла. Коефіцієнт опору r чисельно дорівнює силі опору, що виникає при одиничній швидкості руху тіла:

Закон руху пружинного маятника - це другий закон Ньютона:

m a = Fупр. + Fсопр.

Враховуючи, що і , Запишемо другий закон Ньютона у вигляді:

. (21.1)

Розділивши всі члени рівняння на m, перенісши їх у праву частину, отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань:

Позначимо, де β – коефіцієнт згасання , , де ω 0 - Частота незатухаючих вільних коливань без втрат енергії в коливальній системі.

У нових позначеннях диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

. (21.2)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку.

Це лінійне диференціальне рівняння вирішується заміною змінних. Представимо функцію х, яка залежить від часу t, у вигляді:

.

Знайдемо першу та другу похідну цієї функції від часу, враховуючи, що функція z також є функцією часу:

, .

Підставимо вирази у диференціальне рівняння:

Наведемо такі члени в рівнянні і скоротимо кожен член на , отримаємо рівняння:

.

Позначимо величину .

Рішенням рівняння є функції , .

Повертаючись до змінної х, отримаємо формули рівнянь загасаючих коливань:

Таким чином рівняння загасаючих коливаньє рішення диференціального рівняння (21.2):

Частота загасаючих коливань :

(Фізичний сенс має тільки речовий корінь, тому).

Період загасаючих коливань :

(21.5)

Сенс, який вкладався в поняття періоду для коливань, що не згасають, не підходить для загасаючих коливань, оскільки коливальна система ніколи не повертається у вихідний стан через втрат коливальної енергії. За наявності тертя коливання йдуть повільніше: .

Періодом загасаючих коливань називається мінімальний проміжок часу, протягом якого система проходить двічі положення рівноваги щодо одного напрямі.

Для механічної системи пружинного маятника маємо:

, .

Амплітуда загасаючих коливань :

Для пружинного маятника.

Амплітуда загасаючих коливань – величина не постійна, а змінюється згодом тим швидше, що більше коефіцієнт β. Тому визначення для амплітуди, дане раніше для вільних коливань, що загасають, для загасаючих коливань треба змінити.

При невеликих згасаннях амплітудою загасаючих коливань називається найбільше відхилення від положення рівноваги у період.

Графіки залежності усунення від часу та амплітуди від часу представлені на Рисунках 21.1 та 21.2.

Рисунок 21.1 – Залежність усунення від часу для загасаючих коливань.

Рисунок 21.2 – Залежності амплітуди від часу для загасаючих коливань

Характеристики загасаючих коливань.

1. Коефіцієнт згасання β .

Зміна амплітуди загасаючих коливань відбувається за експоненційним законом:

Нехай за час амплітуда коливань зменшиться в “e” раз (“е” – основа натурального логарифму, е ≈ 2,718). Тоді, з одного боку, , а з іншого боку, розписавши амплітуди А зат. (t) та А закл. (t+τ), маємо . З цих співвідношень випливає βτ = 1, звідси.

Проміжок часу τ , За який амплітуда зменшується в “е” разів, називається часом релаксації.

Коефіцієнт згасання β – величина, обернено пропорційна часу релаксації.

2. Логарифмічний декремент згасання δ - фізична величина, чисельно рівна натуральному логарифму відношення двох послідовних амплітуд, що віддаляться за часом на період.

Якщо згасання невелике, тобто. величина β мала, то амплітуда трохи змінюється за період, і логарифмічний декремент можна визначити так:

,

де А зат. (t) та А закл. (t + NT) - амплітуди коливань в момент часу е і через N періодів, тобто в момент часу (t + NT).

3. Добротність Q коливальної системи – безрозмірна фізична величина, що дорівнює добутку величини (2π) νа відношення енергії W(t) системи в довільний момент часу до втрат енергії за один період загасаючих коливань:

.

Оскільки енергія пропорційна квадрату амплітуди, то

При малих значеннях логарифмічного декременту δ добротність коливальної системи дорівнює

,

де N e - Число коливань, за яке амплітуда зменшується в "е" раз.

Так, добротність пружинного маятника -. Чим більша добротність коливальної системи, тим менше загасання, тим довше триватиме періодичний процес у такій системі. Добротність коливальної системи -безрозмірна величина, що характеризує дисипацію енергії у часі.

4. При збільшенні коефіцієнта β частота загасаючих коливань зменшується, а період збільшується. При ω 0 = β частота загасаючих коливань стає рівною нулю запот. = 0, а Т закл. = ∞. При цьому коливання втрачають періодичний характер і називаються аперіодичними.

При ω 0 = β параметри системи, відповідальні за зменшення коливальної енергії, приймають значення, звані критичними . Для пружинного маятника умова ω 0 = β запишеться так: звідки знайдемо величину критичного коефіцієнта опору:

.

Рис. 21.3. Залежність амплітуди аперіодичних коливань від часу

Вимушені коливання.

Усі реальні коливання є загасаючими. Щоб реальні коливання відбувалися досить довго, потрібно періодично поповнювати енергію коливальної системи, діючи на неї зовнішньою силою, що періодично змінюється.

Розглянемо явище коливань, якщо зовнішня (Вимушуюча) сила змінюється залежно від часу за гармонійним законом. При цьому в системах виникнуть коливання, характер яких тією чи іншою мірою повторить характер сили, що змушує. Такі коливання називаються вимушеними .

Загальні ознаки вимушених механічних вагань.

1. Розглянемо вимушені механічні коливання пружинного маятника, на який діє зовнішня (змушує ) періодична сила . Сили, що діють на маятник, одного разу виведений зі становища рівноваги, розвиваються в самій коливальній системі. Це сила пружності та сила опору.

Закон руху (другий закон Ньютона) запишеться так:

(21.6)

Розділимо обидві частини рівняння на m, врахуємо, що , і отримаємо диференціальне рівняння вимушених коливань:

Позначимо ( β – коефіцієнт згасання ), (ω 0 - Частота незатухають вільних коливань), сила, що діє на одиницю маси. У цих позначеннях диференціальне рівняння вимушених коливань набуде вигляду:

(21.7)

Це диференціальне рівняння другого порядку з правою частиною, відмінною від нуля. Рішення такого рівняння є сумою двох рішень

.

–загальне рішення однорідного диференціального рівняння, тобто. диференціального рівняння без правої частини, коли вона дорівнює нулю. Таке рішення нам відомо – це рівняння загасаючих коливань, записане з точністю до постійної, значення якої визначається початковими умовами коливальної системи:

Де .

Ми раніше обговорювали, що рішення може бути записано через функції синуса.

Якщо розглядати процес коливань маятника через досить великий проміжок часу Δt після включення сили, що змушує (Малюнок 21.2), то загасаючі коливання в системі практично припиняться. І тоді рішенням диференціального рівняння із правою частиною буде рішення.

Рішення - це окреме рішення неоднорідного диференціального рівняння, тобто. рівняння із правою частиною. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що при правій частині, що змінюється за гармонічним законом, рішення буде гармонічною функцією (sin або cos) із частотою зміни, що відповідає частоті Ω зміни правої частини:

де А ампл. – амплітуда вимушених коливань, φ 0 – зрушення фаз , тобто. різницю фаз між фазою змушує сили і фазою вимушених коливань. І амплітуда А ампл. , Зсув фаз φ 0 залежать від параметрів системи (β, ω 0) і від частоти змушує сили Ω.

Період вимушених коливань дорівнює (21.9)

Графік вимушених коливань на малюнку 4.1.

Рис.21.3. Графік вимушених коливань

Вимушені коливання, що встановилися, є так само гармонічними.

Залежність амплітуди вимушених коливань і зсуву фаз від частоти зовнішнього впливу. Резонанс.

1. Повернемося до механічної системи пружинного маятника, на який діє зовнішня сила, що змінюється за гармонійним законом. Для такої системи диференціальне рівняння та його рішення відповідно мають вигляд:

, .

Проаналізуємо залежність амплітуди коливань і зсуву фаз від частоти зовнішньої сили, що примушує, для цього знайдемо першу і другу похідну від х і підставимо в диференціальне рівняння.

Скористаємося методом векторної діаграми. З рівняння видно, що сума трьох коливань у лівій частині рівняння (Малюнок 4.1) повинна дорівнювати коливанню в правій частині. Векторна діаграма виконана довільного моменту часу t. З неї можна визначити.

Малюнок 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Враховуючи значення , ,, отримаємо формули для 0 і А ампл. механічної системи:

,

.

2. Досліджуємо залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушальної сили і величини сили опору в механічній системі, що коливається, за цими даними побудуємо графік . Результати дослідження відображені в Рисунку 21.5, за ними видно, що при певній частоті сили, що змушує. амплітуда коливань різко зростає. І це зростання тим більше, що менше коефіцієнт загасання β. При амплітуда коливань стає нескінченно великою.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при частоті сили, що змушує, що дорівнює називається резонансом.

(21.12)

Криві на Малюнку 21.5 відображають залежність і називаються амплітудними резонансними кривими .

Рисунок 21.5 – Графіки залежності амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує.

Амплітуда резогансних коливань набуде вигляду:

Вимушені коливання – це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес негайних коливань у таких системах – автоколиваннями.

В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи – коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 21.6 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 21.7.). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер (якорек) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник – балансиром – маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною.

Малюнок 21.7. Часовий механізм із маятником.

Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир. Джерелом енергії – піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод.

Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

Усі реальні коливальні системи є дисипативними. Енергія механічних коливань системи з часом витрачається працювати проти сил тертя, тому власні коливання завжди згасають – їх амплітуда поступово зменшується. Втрата енергії відбувається і при деформаціях тіл, оскільки цілком пружних тіл немає, а деформації недостатньо пружних тіл супроводжуються частковим переходом механічної енергії в енергію хаотичного теплового руху частинок цих тіл.

У багатьох випадках у першому наближенні вважатимуться, що з невеликих швидкостях руху сили, викликають згасання механічних коливань, пропорційні величині швидкості. Будемо називати ці сили, незалежно від їхнього походження, силами тертя чи опору та обчислювати їх за такою формулою: . Тут r – коефіцієнт опору середовища – швидкість руху тіла. Знак мінус вказує на те, що сили тертя завжди спрямовані у бік, протилежний до напрямку руху тіла.

Запишемо рівняння другого закону Ньютона для прямолінійних коливань пружинного маятника, що загасають.

Тут: m – маса вантажу, k – жорсткість пружини, – проекція швидкості на вісь ОХ, – проекція прискорення на вісь ОХ. Поділимо обидві частини рівняння (13) на масу m і перепишемо його у вигляді:

. (14)

Введемо позначення:

, (15)

. (16)

Назвемо коефіцієнтом згасання, а ми раніше назвали власною циклічною частотою. З урахуванням введених позначень (15 та 16) рівняння (14) запишеться

. (17)

Це диференціальне рівняння загасаючих коливань будь-якої природи. Вигляд розв'язання цього лінійного диференціального рівняння другого порядку залежить від співвідношення між величиною – власною частотою коливань, що незатухають, і коефіцієнтом загасання.

Якщо тертя дуже велике (у разі ), то система, виведена зі становища рівноваги, повертається до нього, не роблячи коливань («повзе»). Такий рух (крива 2 на рис.3) називають аперіодичним.

Якщо ж у початковий момент система з великим тертям перебуває у положенні рівноваги і повідомляється деяка початкова швидкість , то система досягає найбільшого відхилення від положення рівноваги , зупиняється і після цього зсув асимптотично прагне нулю (рис.4).

Рис.3 Рис.4

Якщо система виведена з положення рівноваги за умови і відпущена без початкової швидкості, система також не переходить положення рівноваги. Але в цьому випадку час практичного наближення до нього виявляється меншим, ніж у разі великого тертя (крива 1 на рис 3). Такий режим називається критичним і до нього прагнуть використовувати різні вимірювальні прилади (для якнайшвидшого відліку показань).

при малому терті (в цьому випадку) рух носить коливальний характер (рис.5) і рішення рівняння (17) має вигляд:

(19)

описує зміну амплітуди загасаючих коливаньз часом. Амплітуда загасаючих коливань зменшується з часом (рис.5) і тим швидше, чим більший коефіцієнт опору і чим менша маса тіла, що коливається, тобто чим менша інертність системи.

Рис.5

Величину

називають циклічною частотою загасаючих коливань. Затухаючі коливання є неперіодичні коливання, тому що в них ніколи не повторюються, наприклад, максимальні значення зсуву, швидкості та прискорення. Тому назвати частотою можна лише умовно в тому сенсі, що вона показує, скільки разів за секунд система, що коливається, проходить через положення рівноваги. З цієї причини величину

(21)

можна назвати умовним періодом загасаючих коливань.

Для характеристики згасання введемо такі величини:

Логарифмічний декремент згасання;

Час релаксації;

Добротність.

Відношення двох будь-яких послідовних зсувів, розділених у часі одним періодом називають декрементом згасання.

Логарифмічним декрементом згасанняназивається натуральний логарифм відношення значень амплітуди загасаючих коливань у моменти часу t і t+T (натуральний логарифм відношення двох будь-яких послідовних зсувів, розділених у часі одним періодом)

Оскільки і , то .

Скористаємося формулою залежності амплітуди від часу (19) та отримаємо

З'ясуємо фізичний зміст величин і . Позначимо через проміжок часу, за який амплітуда загасаючих коливань зменшується і назвемо його часом релаксації. Тоді . звідси слідує що

Затухаючі коливання

Затухаючі коливання пружинного маятника

Затухаючі коливання- коливання, енергія яких зменшується з часом. Нескінченний процес виду в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно згасають і припиняються. Тому на практиці зазвичай мають справу із загасаючими коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань Aє спадною функцією. Зазвичай згасання відбувається під впливом сил опору середовища, найчастіше виражених лінійної залежністю від швидкості коливань чи його квадрата.

В акустиці: згасання – зменшення рівня сигналу до повної нечутності.

Затухаючі коливання пружинного маятника

Нехай є система, що складається з пружини (підкоряється закону Гука), один кінець якої жорстко закріплений, а на іншому знаходиться тіло масою m. Коливання відбуваються серед, де сила опору пропорційна швидкості з коефіцієнтом c(Див. в'язке тертя).

Коріння якого обчислюється за такою формулою

Рішення

Залежно від величини коефіцієнта згасання рішення поділяється на три можливі варіанти.

• Аперіодичність

Якщо , то є два дійсних кореня, і рішення диференціального рівняння набуває вигляду:

В цьому випадку коливання від початку експоненційно згасають.

• Кордон аперіодичності

Якщо два дійсних кореня збігаються , і рішенням рівняння є:

В даному випадку може мати місце тимчасове зростання, але потім експоненційне згасання.

• Слабке згасання

Якщо , то рішенням характеристичного рівняння є два комплексно пов'язані корені

Тоді рішенням вихідного диференціального рівняння є

Де – власна частота загасаючих коливань.

Константи й у кожному випадку визначаються з початкових умов:

Див. також

• Декремент згасання

Література

Літ.: Савельєв І. Ст, Курс загальної фізики: Механіка, 2001.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Коливання, що загасають" в інших словниках:

Затухаючі коливання- Затухаючі коливання. ЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ, коливання, амплітуда яких A зменшується з часом унаслідок втрат енергії: перетворення енергії коливань на тепло в результаті тертя в механічних системах (наприклад, у точці підвісу… …) Ілюстрований енциклопедичний словник

Власні коливання, амплітуда А яких зменшується з часом t за законом експоненти А(t) = Аоexp (?t) (? показник загасання через дисипацію енергії завдяки силам в'язкого тертя для механічних загасаючих коливань і омічного… … Великий Енциклопедичний словник

Коливання, амплітуда яких поступово зменшується, напр. коливання маятника, що відчуває опір повітря та тертя у підвісі. Всі вільні коливання, що відбуваються в природі, є більшою чи меншою мірою З. К. Електричні З. К.… …

загасаючі коливання- Механічні коливання зі зменшуючимися у часі значеннями розмаху узагальненої координати або її похідною за часом. [Збірник термінів, що рекомендуються. Випуск 106. Механічні вагання. Академія наук СРСР. Комітет науково-технічної… … Довідник технічного перекладача

Затухаючі коливання- (ВІБРАЦІЯ) коливання (вібрація) із зменшенням значення розмаху … Російська енциклопедія з охорони праці

Власні коливання системи, амплітуда А яких зменшується з часом t за законом експоненти А(t) = А0ехр(?α t) (α показник згасання) через дисипацію енергії завдяки силам в'язкого тертя для механічних загасаючих коливань та омічного… Енциклопедичний словник

Затухаючі коливання- 31. Затухаючі коливання Коливання зі зменшенням значення розмаху Джерело … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Власні коливання системи, амплітуда А яких убує з часом t за законом експоненти A(t) = = Аоехр(at) (a показник згасання) через диссипацію енергії завдяки силам в'язкого тертя для механіч. 3. к. та омічного опору для ел … Природознавство. Енциклопедичний словник

загасаючі коливання- silpstantieji virpesiai statusas T sritis автоматика atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. загасаючі коливання, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

загасаючі коливання- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; dying oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. загасаючі коливання, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas