Таблиця похідних елементарних функцій

Визначення 1

Обчислення похідної називають диференціюванням.

Позначають похідну $y"$ або $\frac(dy)(dx)$.

Зауваження 1

Для знаходження похідної функції згідно з основними правилами диференціювання перетворюють на іншу функцію.

Розглянемо таблицю похідних. Звернімо увагу на те, що функції після знаходження їх похідних перетворюються на інші функції.

Виняток становить лише $y=e^x$, що перетворюється сама на себе.

Правила диференціювання похідної

Найчастіше при знаходженні похідної потрібно не просто подивитися в таблицю похідних, а спочатку застосувати правила диференціювання та доказ похідної твору, а потім використовувати таблицю похідних елементарних функцій.

1. Постійна виноситься за знак похідної

$C$ - постійна (константа).

Приклад 1

Продиференціювати функцію $y=7x^4$.

Рішення.

Знаходимо $y"=(7x^4)"$. Виносимо число $7$ за знак похідної, отримуємо:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

використовуючи таблицю, необхідно знаходити значення похідної статечної функції:

$=7 \cdot 4x^3=$

Перетворимо результат до прийнятого в математиці виду:

Відповідь:$28x^3$.

2. Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Приклад 2

Продиференціювати функцію $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Рішення.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

застосуємо правило диференціювання похідної суми та різниці:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

відзначимо, що з диференціювання все ступеня і коріння необхідно перетворити на вигляд $x^(\frac(a)(b))$;

винесемо всі постійні за знак похідної:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

розібравшись з правилами диференціювання, деякі з них (наприклад, як останні два) застосовуються одночасно, щоб уникнути переписування довгого виразу;

ми отримали вираз із елементарних функцій, що стоять під знаком похідної; скористаємося таблицею похідних:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

перетворимо до виду, прийнятого в математиці:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$

Звернемо увагу, що при знаходженні результату прийнято доданки з дробовими ступенями перетворити на коріння, а з негативними – на дроби.

Відповідь: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x ) $.

3. Формула похідної праці функцій:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Приклад 3

Продиференціювати функцію $y=x^(11) \ln x$.

Рішення.

Спочатку застосуємо правило обчислення похідної добутку функцій, а потім використовуємо таблицю похідних:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

Відповідь: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Формула похідної приватної функції:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Приклад 4

Продиференціювати функцію $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Рішення.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

за правилами пріоритету математичних операцій спочатку виконаємо поділ, а потім додавання та віднімання, тому застосуємо спочатку правило обчислення похідної частки:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

застосуємо правила похідних суми та різниці, розкриємо дужки та спростимо вираз:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Відповідь:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Приклад 5

Продиференціюємо функцію $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Рішення.

Функція y є окремим двох функцій, тому можна застосувати правило обчислення похідної частки, але в такому випадку отримаємо громіздку функцію. Для спрощення цієї функції можна почленно розділити чисельник на знаменник:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Застосуємо до спрощеної функції правило диференціювання суми та різниці функцій:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Відповідь: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

1. (f(h(x))) " = f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (sin x) "= cos x

3. (cos x) "= - sin x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5. (ctg x) " = 1/sin 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (е x) " = е x

8. (ln x) " = 1/x

9. (log a x) " = 1/ x ∙ ln a а

10. (arcsin x) "= 1/

11. (arccos x) "= -1/

12. (arctg x) " = 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

приклад. Обчисліть похідну

y = sin 3 (1-x 2)

y"= (sin 3 (1-x 2))"* (sin (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2) ) * (-2x) =

6x * sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Визначення. Нехай функція y = f(x), x Є(a; b) диференційована у певній точці x o Є (a; b), тобто. у точці x o існує межа lim Δf(x o) / Δx = f"' (x o)

Звідси маємо Δ f(x o) / Δx = f'(x o) + α де α - величина нескінченно мала при Δ x → 0, тобто. lim α = 0

Значить Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Друге доданок нескінченно мале при Δx→0, тому d f(x o)= f " (x o)∙ Δx або

приклад. Обчисліть диференціал функції y = x 2 + cos 3x – 5

Dy = (x 2 + cos 3x - 5) "dx = (2x - 3 sin 3x) dx.

Визначення. Диференціальна функція f(x) , визначена на деякому проміжку x, називається першоподібною для функції f(x), визначеної на тому ж проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку F"(x) = f(x) або f(x ) = f(x) * dx

Визначення. Сукупність всіх первісних для функції f(x), визначених на певному проміжку x, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку та позначається символом

∫ f(x) dx = f(x) + C, де F(x) - первісна

C – похідна стала.

Для обчислення невизначеного інтеграла існує таблиця основних інтегралів (див. підручник Математика для технікумів І. І. Валуце), стор.251).

приклад. Знайти

1. ∫(4x 3 – 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 – 6 x 3 /3 + 2 x 2 /2 +

2. ∫(5x 4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 /5 - 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫2 3x * 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Визначення. Збільшення F(b) – F(a) будь-якої з першорядних функцій f(x) + C при зміні аргументу від х = а до х = b називається певним інтегралом від а до функції b(f), і позначається f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a), і називається формулою Ньютона-Лейбніца.

приклад. Обчислити

1. ∫ (x 2 - 3x + 7) dx = (x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 - 3/2 * 2 2 + 7 * 2) - (1/3 * (-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Визначення. Фігура обмежена графіком функції y = f(x), відрізком та прямими х = а та х = b називається криволінійною трапецією.

S = ∫ f (x) dx = F (b) - F (a)

приклад. Обчислити площу фігури обмеженої y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3

S = ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6

Тема 1.2. Звичайні диференціальні рівняння

Рішення різних завдань шляхом математичного моделювання зводиться до пошуку невідомої функції з рівняння, що містить незалежну змінну, потрібну функцію і похідні цієї функції. Таке рівняння називається диференціальним.

Визначення. Рішенням диференціального рівняння називається будь-яка функція, яка перетворює дане рівняння на тотожність.

Символічно диференціальне рівняння записується так:

F(x, y, y", y"", .....y(h)) = 0

2x + y - 3y "= 0 y" 2 - 4 = 0, sin y "= cos xy, y"" = 2x є диференціальними рівняннями.

Визначення 2. Порядком диференціального рівняння називаються найбільший порядок похідних, що входять до рівняння.

xy" + y - 2 = 0 - рівняння першого порядку

y"" + 7y"- 3y = 0 – рівняння третього порядку

Визначення 3. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) – рівняння першого порядку, дозволене щодо похідної.

Визначення 4. Будь-яке окреме рішення диференціального рівняння називається його приватним рішенням.

Визначення 5. Функція, задана формулою y = (e (x, C) або y = y (x, C) – представляє загальне рішення диференціального рішення F (x, y, y") = 0 або

Завдання Коші. При вирішенні конкретних завдань часто необхідно виділити з усієї сукупності рішень диференціального рівняння приватне рішення, яке є відповіддю на поставлене питання. Щоб із усієї сукупності рішень виділити окрему інтегральну криву, задають звані початкові умови.

У разі диференціальних рівнянь першого порядку y" = f(x, y) під початковою умовою для його вирішення y = y(x) розуміють умови, що полягають у тому, що y = y o при х = х про тобто y (х о) = y o , де x o і y o - задані числа (початкові дані), такі, що при х = х о та y = y o функція f(x, y) має сенс, тобто існує f(x о, y о).

Визначення 6. Завдання знаходження приватного розв'язання диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, називається завданням Коші.

У разі диференціального рівняння першого порядку завдання Коші формулюється наступним чином: знайти рішення y = y(x) рівняння y" = f(x, y), що задовольняє за заданих початкових даних (x о, y о) початковій умові

y (х о) = y o , або, в іншому записі, y х = х0 = y o де x о, y о - задані числа.

Визначення 7. Диференціальне рівняння називається рівнянням з змінними, що розділяються, якщо має наступний вигляд: y"= f 1 (x) f 2 (y) або

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Теорема: Якщо існують інтеграли ∫dy/f 2 (y) та ∫ f 1 (x) dx, то загальний інтеграл рівняння з розділеними змінними задається рівнянням

F 2 (y) = F 1 (x) + C, де F 2 (y) і F 1 (x) – деякі первісні відповідно до функцій 1/f 2 (y) і f 1 (x).

При вирішенні диференціальних рівняння з роздільними змінними можна керуватися наступним алгоритмом:

1) розділити змінні (з урахуванням умов, коли це можна робити);

2) інтегруючи почленно отримані рівняння з розділеними змінними, знайти його загальний інтеграл;

3) з'ясувати, чи має рівняння рішення, які не виходять із загального інтегралу;

4) знайти приватний інтеграл (або рішення), що задовольняє початкові умови (якщо це потрібно).

приклад. Знайти часткове рішення рівняння 2yy" = 1-3x 2 якщо y o = 3 при x o =1

Це рівняння з розділеними змінними. Представимо його у диференціалах:

Звідси 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Інтегруємо обидві частини останньої рівності, знайдемо ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx одержуємо у 2 = x – x 3 + C. Підставивши початкові значення y o = 3 x o =1 знайдемо

З: 9 = 1-1+З тобто. З = 9.

Отже, шуканий приватний інтеграл буде у y 2 = x – x 3 + 9 або

x 3 + y 2 - x - 9 = 0

Тема 1.4. Ряди.

Визначення 1. Числовим рядом називається вираз виду

а 1 + а 2 + …а n + ………., де а 1 , а 2 , ……а n – числа, що належать певної певної числової системи.

Для скороченого позначення рядів використовується знак підсумовування ?

саме а 1 + а 2 + …а n + ……….= Σ a n

Визначення 2. Числа а 1, а 2, … а n, ….. називаються членами ряду; а n – називається загальним членом низки.

Визначення 3. Ряд називається схожим, якщо послідовність його приватних сум S 1 , S 2 , S 3 .........S n , ...... сходиться, тобто. якщо існує кінцева межа

Число S називається сумою ряду. Якщо Lim S n немає або Lim S n = ∞, то ряд

h →∞ h →∞

називається розбіжним і не приписується ніяке числове значення.

Теорема 1. Якщо ряд сходиться, його спільний член а n прагне нулю.

Якщо Lim а n ≠ 0 або ця межа не існує, ряд розходиться.

Теорема 2. Нехай подано ряд а 1 + а 2 + …а n + ………., з позитивними членами.

а n + 1 а n + 1

Допустимо, що Lim існує і Lim = Р

h →∞ а n h →∞ а n

1) якщо Р<1, то ряд сходится

2) якщо Р>1, то ряд розходиться.

Визначення 3. Ряди, які містять як позитивні, і негативні члени, називаються закономірними.

Визначення 4. Закономірний ряд називається абсолютно схожим, якщо сходиться ряд

|а 1 | + |а 2 | + …+ | а n | + ………., складений із модулів його членів.

Визначення 5. Ряд а 1 + а 2 + …а n + ………., називається умовно сходящимся, якщо він сходиться, а ряд | а 1 | + |а 2 | + …+ | а n | + ………., складений із модулів його членів, розходиться.

Визначення 6. Ряд називається знакочередним, якщо позитивні та негативні члени слідують один за одним по черзі (а 1 + а 2 + а 3 – а 4 +…..+(-1) n +1 *

Теорема 3. Знак черговий ряд сходиться, якщо:

1) його члени спадають за модулем,

а 1 ≥ а 2 ≥ … ≥а n ≥ ……..

2) його загальний член прагне нуля,

У цьому сума S ряду задовольняє нерівністю 0≤ S ≤a 1

Визначення 7. Нехай u 1 (x), u 2 (x), .... u n (x) ... - деяка послідовність функцій.

Вираз виду Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x), .... u n (x) + називається функціональним рядом.

Визначення 8. Функціональний ряд називається схожим у точці x o якщо

числовий ряд Σ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.

отриманий з функціонального ряду підстановкою x = x o є схожим рядом. У цьому називається точкою збіжності низки.

Визначення 9. Ступіньним рядом називається функціональний ряд виду

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2 ,.....a n (x-x o) n + ......

де х - незалежна змінна, х o - фіксоване число, а o, а 1, а 2, … а n ….. – постійні коефіцієнти.

Розділ 2.1. Основи дискретної математики.

Тема 2.1. Множини та стосунки. Властивості відносин. Операції над безліччю.

Безліч – основне поняття теорії множин, яке вводиться без визначення. Про безліч відомо як мінімум те, що воно складається з елементів.

Безліч А називається

є елементом (рис.1)

малюнок 1

Способи завдання множин:

1. Перерахуванням, тобто. список своїх елементів.

2. Що породжує процедурою, яка визначає спосіб отримання елементів множини з вже отриманих елементів або інших об'єктів. У такому разі елементами множини є всі об'єкти, які можуть бути побудовані за допомогою такої процедури.

3. Описом характеристичних властивостей, якими повинні мати його елементи.

Задати у різний спосіб безліч N всіх натуральних чисел 1, 2, 3…..

а) списком безліч N задати не можна через його нескінченність.

б) процедура, що породжує, містить два правила:

1) 1 Î N ; 2) якщо n N N, то n + 1 N

в) опис характеристичної властивості елементів множини N:

N = (х; х - ціле позитивне число)

Операції над безліччю.

1. Об'єднанням множин А і В називається

безліч, що складається з усіх тих елементів,

які належать хоча б одній із множин

А, Ст (рисунок 2)

Малюнок 2

2. Перетином множин А і В називається

безліч, що складається з усіх тих і лише тих елементів,

які належать і А і Ст (рисунок 3)

Малюнок 3

3. Різницею множин А і В називається безліч

всіх тих і лише тих елементів А, які

Малюнок 4

4. Доповненням (до) множини А називається В

А

множина всіх елементів, що не належать А (рис.5)

Малюнок 5

Здійснити операції над множинами А = (a, b, c, d) і B = (c, d, f. g, h)

A U B = (a, b, c, d, e, f.g, h)

A ∩ B = (c, d)

Операції доповнення над множинами А і не можуть бути виконані тобто. універсальна множина не визначена.

Відносини – один із способів завдання взаємозв'язків між елементами множини. Найбільш вивченими та найчастіше використовуваними є так звані упарні та біпарні відносини.

Відносини можна задати:

Списком;

Матрицею.

Властивості відносин.

Нехай R - відношення на множині М, R ≤ М х М, тоді:

1. R – рефлексивно, якщо має місце а R а для будь-якого а М.

2. R – антирефлексивно, якщо для кожного а Î М не виконується а R а.

3. R ​​– симетрично, якщо R b тягне bRа.

4. R – антисеметрично, якщо aRb і bRa спричиняють a=b, тобто. ні для яких елементів a і b (a≠b) не виконується одночасно aRb і bRa .

5. R - транзитивно, якщо aRb і bRa тягнуть aRc.

Тема 2.2 Основні поняття теорії графів

Графічні уявлення у сенсі – будь-які наочні відображення досліджуваної системи, процесу, явища на площині. До них можуть бути віднесені малюнки, креслення, графіки залежностей показників, план-карти місцевостей, блок-схеми процесів, діаграми тощо.

Графічні уявлення – зручний спосіб ілюстрації змісту різних понять, які стосуються інших способів формалізованих уявлень.

Потужним та найбільш дослідженим класом об'єктів, що належать до графічних уявлень, є так звані графи.

Теорія графів має величезні застосування, оскільки її мову, з одного боку, наочний і зрозумілий, з другого – зручний у формальному дослідженні.

Графічні уявлення у вузькому значенні - це опис досліджуваної системи, процесу, явища засобами теорії графів у вигляді сукупності двох класів об'єктів: вершин і ліній, що їх з'єднують - ребер або дуг.

Визначення: графом Д називається сукупність двох множин: вершин V і ребер E, між елементами яких визначено відношення інцидентності – кожне ребро е Е інцидентно дорівнює двом вершинам v, v, які воно з'єднує.

Так само про теорію графів, про елементи графів, ознайомиться з видами графів та розглянути операції над ними, ви можете вивчаючи розділ 3 «Теорія графів», стор.195-214 у підручнику для ХХ1 століття за редакцією Г.І.Москінова «Дискретна математика ».

Для самостійного вивчення теми 3.1. Основи теорії ймовірностей та математичної статистики. Імовірність. Теореми складання та множення ймовірностей. Теми 3.2. Випадкова величина, її функція розподілу. Теми 3.3. Математичне очікування та дисперсія випадкової величини. Можна використовувати таку літературу: В.С.Щипачова «Основи вищої математики», а також І.П.Натансон. Короткий курс вищої математики або Н.В.Богомолов Практичне заняття з математики.

Нехай функцію y = f(x) визначено в проміжку X. Похіднийфункції y = f(x) у точці х o називається межа

= .

Якщо ця межа кінцевий,то функція f(x) називається диференційованоїу точці x o; при цьому вона виявляється обов'язковою і безперервною в цій точці.

Якщо ж межа дорівнює  (або - ), то за умови, що функція в точці х oбезперервна, говоритимемо, що функція f(x) має у точці х o нескінченну похідну.

Похідна позначається символами

y , f (x o), , .

Знаходження похідної називається диференціюваннямфункції. Геометричний зміст похідноїполягає в тому, що похідна є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y=f(x) у даній точці х o ; фізичний зміст -в тому, що похідна від шляху за часом є миттєва швидкість точки, що рухається при прямолінійному русі s = s (t) в момент t o .

Якщо з- постійне число, і u = u(x), v = v(x) - деякі функції, що диференціюються, то справедливі такі правила диференціювання:

1) (с) "= 0, (cu) "= cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) якщо y = f(u), u = (x), тобто. y = f((x)) - складна функція,або суперпозиція, Складена з диференційованих функцій  і f, то , або

6) якщо для функції y = f(x) існує зворотна функція, що диференціюється x = g(y), причому  0, то .

На основі визначення похідної та правил диференціювання можна скласти список табличних похідних основних елементарних функцій.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u) "= e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u"/.

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Обчислимо похідну статечно-показового виразу y=u v , (u>0), де uі vсуть функції від х, що мають у цій точці похідні u",v".

Прологарифмувавши рівність y=u v , отримаємо ln y = v ln u.

Прирівнюючи похідні по хвід обох частин отриманої рівності за допомогою правил 3, 5 та формули для похідної логарифмічної функції, матимемо:

y"/y = vu"/u +v" ln u, звідки y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Наприклад, якщо y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Якщо функція y = f(x) диференційована у точці x, тобто. має в цій точці кінцеву похідну y", то = y"+, де 0 при х 0; звідси  y = y" х +  x.

Головна частина збільшення функції, лінійна щодо х, називається диференціалом функціїі позначається dy: dy = y" х. Якщо покласти в цій формулі y=x, то отримаємо dx = x"х = 1х =х, тому dy=y"dx, тобто символ для позначення похідної можна як дроб.

Збільшення функції  yє збільшення ординати кривої, а диференціал d yє збільшення ординати дотичної.

Нехай ми знайшли для функції y=f(x) її похідну y = f (x). Похідна від цієї похідної називається похідної другого порядкуфункції f(x), або другий похідний,і позначається .

Аналогічно визначаються та позначаються:

похідна третього порядку - ,

похідна четвертого порядку -

і взагалі похідна n-го порядку - .

Приклад 3.15. Обчислити похідну функції y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Рішення.За правилом 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.

приклад 3.16 . Знайти y", y = tg x +.

Рішення.Використовуючи правила диференціювання суми та частки, отримаємо: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Приклад 3.17. Знайти похідну складної функції y = u = x 4 +1.

Рішення.За правилом диференціювання складної функції, отримаємо: y" x = y " u u" x = ()" u (x 4 +1)" x = (2u + . Так як u = x 4 +1, то (2 x 4 + 2+ .

Похідна, правила та формули диференціювання

Нехай функцію y = f(x) визначено в проміжку X. Похіднийфункції y = f(x) у точці х o називається межа

= .

Якщо ця межа кінцевий,то функція f(x) називається диференційованоїу точці x o; при цьому вона виявляється обов'язковою і безперервною в цій точці.

Якщо ж розглянута межа дорівнює ¥ (або - ¥), то за умови, що функція в точці х oбезперервна, говоритимемо, що функція f(x) має у точці х o нескінченну похідну.

Похідна позначається символами

y ¢, f ¢(x o), , .

Знаходження похідної називається диференціюваннямфункції. Геометричний зміст похідноїполягає в тому, що похідна є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y=f(x) у даній точці х o; фізичний зміст -в тому, що похідна від шляху за часом є миттєва швидкість точки, що рухається при прямолінійному русі s = s (t) в момент t o .

Якщо з- постійне число, і u = u(x), v = v(x) - деякі функції, що диференціюються, то справедливі такі правила диференціювання:

1) (с) "= 0, (cu) "= cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) якщо y = f(u), u = j(x), тобто. y = f(j(x)) - складна функція,або суперпозиція, Складена з диференційованих функцій j і f, то , або

6) якщо функції y = f(x) існує зворотна диференційована функція x = g(y), причому ¹ 0, то .

На основі визначення похідної та правил диференціювання можна скласти список табличних похідних основних елементарних функцій.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m Î R).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u) "= e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u x u".

8. (tg u)" = 1/cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u"/.

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Обчислимо похідну статечно-показового виразу y=u v , (u>0), де uі vсуть функції від х, що мають у цій точці похідні u",v".

Прологарифмувавши рівність y=u v , отримаємо ln y = v ln u.

Прирівнюючи похідні по хвід обох частин отриманої рівності за допомогою правил 3, 5 та формули для похідної логарифмічної функції, матимемо:

y"/y = vu"/u +v" ln u, звідки y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Наприклад, якщо y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x x ln x).

Якщо функція y = f(x) диференційована у точці x, тобто. має в цій точці кінцеву похідну y", то = y"+a, де a 0 при Dх 0; звідси D y = y" Dх + a x.

Головна частина збільшення функції, лінійна щодо Dх, називається диференціалом функціїі позначається dy: dy = y" Dх. Якщо покласти в цій формулі y = x, то отримаємо dx = x" Dх = 1×Dх = Dх, тому dy = y "dx, тобто символ для позначення похідної можна розглядати як дріб.

Збільшення функції D yє збільшення ординати кривої, а диференціал d yє збільшення ординати дотичної.

Нехай ми знайшли функції y=f(x) її похідну y ¢= f ¢(x). Похідна від цієї похідної називається похідної другого порядкуфункції f(x), або другий похідний,і позначається .

Аналогічно визначаються та позначаються:

похідна третього порядку - ,

похідна четвертого порядку -

і взагалі похідна n-го порядку - .

Приклад 3.15. Обчислити похідну функції y=(3x3 -2x+1)×sin x.

Рішення.За правилом 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Приклад 3.16. Знайти y", y = tg x +.

Рішення.Використовуючи правила диференціювання суми та частки, отримаємо: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Приклад 3.17. Знайти похідну складної функції y = ,
u = x 4+1.

Рішення.За правилом диференціювання складної функції, отримаємо: y" x = y " u u" x = ()" u (x 4 +1)" x = (2u + . Так як u = x 4 +1, то
(2 x 4+2+) .

Приклад 3.18.

Рішення.Представимо функцію y= як суперпозиції двох функцій: y = e u і u = x 2 . Маємо: y" x = y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u × 2x. x 2замість u, Отримаємо y = 2x.

Приклад 3.19. Знайти похідну функції y=ln sin x.

Рішення.Позначимо u=sin x, тоді похідна складної функції y=ln u обчислюється за формулою y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Приклад 3.20.Знайти похідну функції y = .

Рішення.Випадок складної функції, отриманої внаслідок кількох суперпозицій, вичерпується послідовним застосуванням правила 5:

.

Приклад 3.21. Обчислити похідну y=ln .

Рішення.Логарифмуючи та використовуючи властивості логарифмів, отримаємо:

y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.

Диференціюючи обидві частини останньої рівності, отримаємо:

Екстремум функції

Функція y=f(x) називається зростаючою (спадаючою) у деякому інтервалі, якщо при x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Крапка x проназивається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки x продля всіх точок якої правильна нерівність f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Необхідні умови екстремуму. Якщо точка x проє точкою екстремуму функції f(x), або f ¢(x о) = 0, або f ¢(x о) не існує. Такі точки називають критичними,причому сама функція у критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова.Нехай x про- Критична точка. Якщо f ¢ (x) під час переходу через точку x прозмінює знак плюс на мінус, то в точці x профункція має максимум, інакше - мінімум. Якщо під час переходу через критичну точку похідна не змінює знак, то точці x проекстремуму немає.

Друга достатня умова.Нехай функція f(x) має похідну
f ¢ (x) в околиці точки x проі другу похідну у самій точці x про. Якщо f ¢(x о) = 0, >0 (<0), то точка x проє точкою локального мінімуму (максимуму) функції f(x). Якщо ж =0, потрібно або користуватися першою достатньою умовою, або залучати вищі похідні.

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення у критичних точках, або на кінцях відрізка .

Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 14.

Рішення.Оскільки f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути лише у цих точках. Оскільки при переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс мінус, то цій точці функція має максимум. При переході через точку x 2 = 3 похідна змінює знак мінус плюс, тому в точці x 2 = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції у точках x 1 = 2 та x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.

Приклад 3.23.Потрібно побудувати прямокутний майданчик біля кам'яної стіни так, щоб з трьох боків вона була відгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною примикала до стіни. Для цього є aсітки погонних метрів. При якому співвідношенні сторін майданчик матиме найбільшу площу?

Рішення.Позначимо сторони майданчика через xі y. Площа майданчика дорівнює S = xy. Нехай y- Це довжина сторони, що примикає до стіни. Тоді за умовою має виконуватись рівність 2x + y = a. Тому y = a - 2x і S = x(a - 2x), де 0 £ x £ a/2 (довжина та ширина майданчика не можуть бути негативними). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, звідки
y = a – 2×a/4 =a/2. Оскільки x = a/4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної під час переходу цю точку. При x< a/4 S ¢ >0, а за x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Оскільки S безперервна і її значення на кінцях S(0) і S(a/2) дорівнюють нулю, то знайдене значення буде найбільшим значенням функції. Таким чином, найбільш вигідним співвідношенням сторін майданчика за даних умов завдання є y = 2x.

Приклад 3.24.Потрібно виготовити закритий циліндричний бак місткістю V=16p»50 м 3 . Які мають бути розміри бака (радіус R і висота Н), щоб його виготовлення пішло найменшу кількість матеріалу?

Рішення.Площа повної поверхні циліндра дорівнює S = 2pR(R+Н). Ми знаємо об'єм циліндра V = pR 2 Н = Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Отже, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Знаходимо похідну цієї функції:
S ¢(R) = 2p(2R-16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 при R 3 = 8, отже,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

У всіх наведених нижче формулах літерами uі vпозначені функції, що диференціюються незалежною змінною x: , , а літерами a, c, n- Постійні:

1.

3.

4.

5.

6.

Інші формули записані як для функцій незалежної змінної, так і для складних функцій:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7а.

8а.

9а.

11а.

12а.

13а.

16а.

17а.

При вирішенні наведених нижче прикладів зроблено докладні записи. Проте слід навчитися диференціювати без проміжних записів.

приклад 1.Знайти похідну функції .

Рішення. Ця функція є алгебраїчна сума функцій. Диференціюємо її, використовуючи формули 3, 5, 7 та 8:

приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Застосовуючи формули 6, 3, 7 та 1, отримаємо

приклад 3.Знайти похідну функції і обчислити її значення при

Рішення. Це складна функція з проміжним аргументом. Використовуючи формули 7а та 10, маємо

.

приклад 4.Знайти похідну функції .

Рішення. Це складна функція з проміжним аргументом. Застосовуючи формули 3, 5, 7а, 11, 16а, отримаємо

Приклад 5.Знайти похідну функції .

Рішення. Диференціюємо цю функцію за формулами 6, 12, 3 та 1:

Приклад 6.Знайти похідну функції та обчислити її значення при .

Рішення. Спочатку перетворимо функцію, використовуючи властивості логарифмів:

Тепер диференціюємо за формулами 3, 16а, 7 та 1:

.

Обчислимо значення похідної при .

Приклад 7.Знайти похідну функції та обчислити її значення при .

Рішення. Використовуємо формули 6, 3, 14а, 9а, 5 та 1:

.

Обчислимо значення похідної при:

.

Геометричний зміст похідної.

Похідна функції має просту та важливу геометричну інтерпретацію.

Якщо функція диференційована в точці х, то графік цієї функції має у відповідній дотичній точці, причому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної в розглянутій точці.

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у точці ( х 0 , у 0), дорівнює значенню похідної функції при х = х 0, тобто. .

Рівняння цієї дотичної має вигляд

Приклад 8. Скласти рівняння щодо графіку функції у точці А (3,6).

Рішення. Для знаходження кутового коефіцієнта дотичної знайдемо похідну даної функції:

х= 3:

Рівняння дотичної має вигляд

, або , тобто.

Приклад 9.Скласти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х = 2.

Рішення. Спочатку знайдемо ординату точки дотику. Оскільки точка А лежить кривою, її координати задовольняють рівнянню кривої, тобто.

; .

Рівняння дотичної, проведеної до кривої в точці має вигляд . Для знаходження кутового коефіцієнта дотичної знайдемо похідну:

.

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної функції при х= 2:

Рівняння щодо таке таке:

, , тобто.

Фізичний зміст похідної.Якщо тіло рухається за прямою за законом s = s (t), то за проміжок часу (від моменту tдо моменту ) воно пройде певний шлях. Тоді є середня швидкість руху за проміжок часу.

Швидкістюруху тіла в даний момент часу tназивається межа відношення шляху до прирощення часу, коли приріст часу прагнути до нуля:

.

Отже, похідна шляхи s за часом tдорівнює швидкості прямолінійного руху тіла в даний момент часу:

.

Швидкість перебігу фізичних, хімічних та інших процесів також виражається за допомогою похідної.

Похідна функції дорівнює швидкості зміни цієї функції за даного значення аргументу х:

приклад 10.Закон руху точки за прямою заданою формулою (s – у метрах, t – у секундах). Знайти швидкість руху точки наприкінці першої секунди.

Рішення. Швидкість руху точки в даний момент часу дорівнює похідній колії sпо часу t:

,

Отже, швидкість руху точки наприкінці першої секунди дорівнює 9 м/с.

Приклад 11.Тіло, кинуте вертикально вгору, рухається згідно із законом, де v 0 - початкова швидкість, g- Прискорення вільного падіння тіла. Знайти швидкість цього руху для будь-якого моменту часу t. Скільки часу буде підніматися тіло і яку висоту воно підніметься, якщо v 0= 40 м/с?

Рішення. Швидкість руху точки в даний момент часу tдорівнює похідній колії sпо часу t:

.

У вищій точці підйому швидкість тіла дорівнює нулю:

, , , , с.

За 40/ gсекунд тіло піднімається на висоту

, м.

Друга похідна.

Похідна функції у загальному випадку є функцією від х. Якщо від цієї функції обчислити похідну, то отримаємо похідну другого порядку чи другу похідну функції .

Другий похіднийфункції називається похідна від її першої похідної .

Друга похідна функції позначається одним із символів - , , . Таким чином, .

Аналогічно визначаються та позначаються похідні будь-якого порядку. Наприклад, похідна третього порядку:

або ,

приклад 12. .

Рішення. Спочатку знайдемо першу похідну

приклад 13.Знайти другу похідну функції і обчислити її значення при х = 2.

Рішення. Спочатку знайдемо першу похідну:

Диференціюючи ще раз, знайдемо другу похідну:

Обчислимо значення другої похідної при х = 2; маємо

Фізичний зміст другий похідний.

Якщо тіло рухається прямолінійно згідно із законом s = s(t), то друга похідна колії sпо часу tдорівнює прискоренню руху тіла на даний момент часу t:

Отже, перша похідна характеризує швидкість деякого процесу, а друга похідна - прискорення цього процесу.

приклад 14.Крапка рухається за прямою за законом . Знайти швидкість та прискорення руху .

Рішення. Швидкість руху тіла в даний момент часу дорівнює похідній колії sпо часу t,а прискорення - другий похідний шлях sпо часу t. Знаходимо:

; тоді;

; тоді

приклад 15.Швидкість прямолінійного руху пропорційна квадратного кореня з пройденого шляху (як, наприклад, при вільному падінні). Довести, що цей рух відбувається під впливом постійної сили.

Рішення. За законом Ньютона , сила F, що викликає рух, пропорційна прискоренню, тобто.

або

Згідно з умовою, . Диференціюючи цю рівність, знайдемо

Отже, чинна сила .

Програми похідної до дослідження функції.

1) Умова зростання функції: Диференційована функція y = f(x) монотонно зростає на проміжку Х тоді і тільки тоді, коли її похідна більша за нуль, тобто. y = f(x) f'(x) > 0. Ця умова геометрично означає, що до графіка даної функції утворює гострий кут з позитивним напрямом до осі оХ.

2) Умова зменшення функції: Диференційована функція y = f(x) монотонно зменшується на проміжку Х тоді і лише тоді, коли її похідна менша за нуль, тобто.

y = f(x)↓ f'(x)Це умова геометрично означає, що до графіка даної функції утворює тупий кут з позитивним напрямом осі оХ)

3) Умова сталості функції:Диференційована функція y = f(x) постійна на проміжку Х і тоді, коли її похідна дорівнює нулю, тобто. y = f(x) - постійна f'(x) = 0 .Ця умова геометрично означає, що до графіка даної функції паралельна осі оХ, тобто α = 0)

Екстремуми функції.

Визначення 1: Точку х = х 0 називають точкою мінімумуфункції y = f(x), якщо у цієї точки існує околиця, для всіх точок якої (крім самої точки) виконується нерівність f(x) > f(x 0)

Визначення 2:Точку х = х 0 називають точкою максимумуфункції y = f(x), якщо у цієї точки існує околиця, для всіх точок якої (крім самої точки) виконується нерівність f(x)< f(x 0).

Визначення 3: Точку мінімуму або максимуму функції називають точкою екстремуму. Значення функції у цій точці називають екстремальним.

Зауваження: 1. Максимум (мінімум) не обов'язково є найбільшим (найменшим) значенням функції;

2. Функція може мати кілька максимумів або мінімум;

3. Функція, визначена на відрізку, може досягати екстремуму лише у внутрішніх точках цього відрізка.

5) Необхідна умова екстремуму:Якщо функція y = f(x) має екстремум у точці х = х 0 то в цій точці похідна дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними точками 1 роду.

6) Достатні умови існування екстремуму функції:Нехай функція y = f(x) безперервна на проміжку Х і має всередині цього проміжку ритичну точку 1 роду х = х 0 , то:

а) якщо у цієї точки існує така околиця, в якій при х< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f'(x) > 0, то х = х 0 є точкою мінімумуфункції y = f(x);

б) якщо у цієї точки існує така околиця, в якій при х< х 0 f’(x) >0, а за x> x 0

f’(x)< 0, то х = х 0 является точкой максимумуфункції y = f(x);

в) якщо в цій точці існує така околиця, що в ній і праворуч і ліворуч від точки х 0 знаки похідної однакові, то в точці х 0 екстремуму немає.

Проміжки зменшення або зростання функції називаються проміжками монотонності.

Визначення1:Крива у = f(x) називається опуклою внизна проміжку а< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется опуклою вгоруна проміжку а< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Визначення 2:Проміжки, в яких графік функції звернений опуклістю вгору або вниз, називаються проміжками опуклостіграфік функції.

Достатня умова опуклості кривої.Графік функції, що диференціюється Y = f(x) є опуклим вгоруна проміжку а< х <в, если f”(x) < 0 и опуклим внизякщо f”(x) > 0.

Визначення 1:Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками II роду.

Визначення 2:Точка графіка функції Y = f(x), що розділяє проміжки опуклості протилежних напрямів цього графіка, називається точкою перегин.

точка перегину

приклад: Дана функція у = х 3 - 2х 2 + 6х - 4. Дослідити функцію на проміжки монотонності та точки екстремуму. Визначити напрямок опуклості та точки перегину.

Рішення: 1. Знайдемо область визначення функції: D(y) = ;

2. Знайдемо першу похідну: y' = 3x2 - 4x+6;

3. Розв'яжемо рівняння: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, то дане рівняння не має рішення, отже точок екстремуму немає. y' , то функція зростає по всій області визначення.

4. Знайдемо другу похідну: y” = 6x - 4;

5. Розв'яжемо рівняння: y” = 0, 6x - 4 = 0, х =

Відповідь: ( ; - ) - точка перегину, функція опукла вгору при х і опукла вгору при х

Асимптоти.

1. Визначення: Асимптотою кривої називається пряма, до якої необмежено наближається графік цієї функції.

2. Види асимптот:

1) Вертикальні асимптоти. Графік функції y = f(x) має вертикальну асимптоту, якщо . Рівняння вертикальної асимптоти має вигляд х = а

2) Горизонтальні асимптоти. Графік функції y = f(x) має горизонтальну асимптоту, якщо . Рівняння горизонтальної асимптоти має вигляд у = b.

Приклад 1 : Для функції y = знайдіть асимптоти.

3) Похилі асимптоти.Пряма y = kx + b називається похилою асимптотою графіка функції y = f(x), якщо . Значення k та b обчислюються за формулами: k = ; b =.

Рішення: , Y = 0 - горизонтальна асимптота;

(Т. К. Х - 3 ≠ 0, х ≠ 3), то х = 3 - вертикальна асимптота. ,Т. е. k = 0, то крива похилої асимптоти не має.

Приклад 2: Для функції y = знайдіть асимптоти.

Рішення: x 2 - 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 і х = - 5 є горизонтальними асимптотами;

y = , то крива немає вертикальної асимптоти;

k =; b = , тобто y = 5x - похила асимптота.

Приклади побудови графіків функцій.

приклад 1 .

Дослідити функцію та побудувати графік функції у = х 3 - 6х 2 + 9х - 3

1. Знайдемо область визначення функції: D(y) = R

у(-х) = (-х) 3 - 6 · (-х) 2 + 9 · (-х) - 3 = - х 3 - 6х 2 - 9х - 3 = - (х 3 + 6х 2 + 9х + 3), тобто.

(у = х 5 - х 3 - непарна, у = х 4 + х 2 - парна)

3. Не є періодичною.

4. Знайдемо точки перетину з осями координат: якщо х = 0, то у = – 3 (0; – 3)

якщо У = 0, х знайти важко.

5. Знайдемо асимптоти графіка функції: Вертикальних асимптот немає, т.к. немає значень х, у яких функція невизначена; у = , Т. е. горизонтальних асимптот немає;

k = , Т. е. похилих асимптот немає.

6. Досліджуємо функцію на проміжки монотонності та її екстремуми: y' = 3x 2 - 12x + 9,

y'= 0, 3x2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 – критичні точки 1 роду.

Визначимо похідні знаки: y'(0) = 9 > 0; y’(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1; 1) - точка максимуму; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - точка мінімуму, функція у при х і у .

7. Досліджуємо функцію на проміжки опуклості та точки перегину:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - критична точка 1 роду.

Визначимо знаки другої похідної: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - точка перегину, функція випукла вгору при х і опукла вниз при х.

8. Додаткові точки:

х	- 1
у	- 19

9. Побудуємо графік функції:

Дослідити функцію та побудувати графік функції у =

1. Знайдемо область визначення функції: 1 - х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .

2. З'ясуємо, чи є ця функція парною або непарною: ,

у(-х) ≠ у(х) - не є парною і у(- х) ≠ - у(х) - не є непарною

3. Не є періодичною.

4. Знайдемо точки перетину з осями координат: х = 0, то у = – 2; у = 0, то , Т. е. (0; - 2); ().

5. Знайдемо асимптоти графіка функції: т.к. х ≠ 1, то пряма х = 1 - вертикальна асимптота;