Яке зазначених виразів тотожно дорівнює виразу. Тотожні перетворення виразів, їх види
Отримавши уявлення про тотожність, логічно перейти до знайомства з. У статті ми відповімо питанням, що таке тотожно рівні висловлювання, і навіть на прикладах розберемося, які висловлювання є тотожно рівними, а які – ні.
Навігація на сторінці.
Що таке тотожно рівні вирази?
Визначення тотожно рівних виразів дається паралельно з визначенням тотожності. Це відбувається на уроках алгебри у 7 класі. У підручнику з алгебри для 7 класів автора Ю. Н. Макарічев наведено таке формулювання:
Визначення.
- Це вирази, значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, що входять до них. Числові вирази, яким відповідають однакові значення, також називають тотожно рівними.
Це визначення використовується аж до 8 класу, воно справедливе для цілих виразів, тому що вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. А у 8 класі визначення тотожно рівних виразів уточнюється. Пояснимо, із чим це пов'язано.
У 8 класі починається вивчення інших видів виразів, які, на відміну цілих виразів, при деяких значеннях змінних можуть мати сенсу. Це змушує запровадити визначення допустимих і неприпустимих значень змінних, і навіть області допустимих значень ОДЗ змінної, як наслідок - внести уточнення визначення тотожно рівних выражений.
Визначення.
Два вирази, значення яких рівні при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них, називаються тотожно рівними виразами. Два числові вирази, що мають однакові значення, також називаються тотожно рівними.
У цьому визначенні тотожно рівних виразів варто уточнити зміст фрази «при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них». Вона має на увазі всі такі значення змінних, при яких одночасно мають сенс обидва тотожно рівні вирази. Цю думку роз'яснимо в наступному пункті, розглянувши приклади.
Визначення тотожно рівних виразів у підручнику Мордковича А. Г. дається трохи інакше:
Визначення.
Тотожно рівні вирази- Це вирази, що стоять у лівій та правій частинах тотожності.
За змістом, це і попереднє визначення збігаються.
Приклади тотожно рівних виразів
Введені в попередньому пункті визначення дозволяють навести приклади тотожно рівних виразів.
Почнемо з тотожно рівних числових виразів. Числові вирази 1+2 та 2+1 є тотожно рівними, тому що їм відповідають рівні значення 3 та 3 . Також тотожно рівні вирази 5 і 30:6, як і вирази (2 2) 3 і 2 6 (значення останніх виразів рівні чинності). А ось числові вирази 3+2 та 3−2 не є тотожно рівними, тому що їм відповідають значення 5 та 1 відповідно, а вони не рівні.
Тепер наведемо приклади тотожно рівних виразів із змінними. Такими є вирази a+b та b+a . Справді, за будь-яких значеннях змінних a і b записані вирази приймають однакові значення (що випливає з чисел). Наприклад, при a=1 і b=2 маємо a+b=1+2=3 та b+a=2+1=3 . При будь-яких інших змінних значення a і b ми також отримаємо рівні значення цих виразів. Вирази 0 x y y z і 0 теж тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних x , y і z . А ось вирази 2 x і 3 x не є тотожно рівними, так як, наприклад, при x = 1 їх значення не рівні. Дійсно, при x=1 вираз 2·x дорівнює 2·1=2 , а вираз 3·x дорівнює 3·1=3 .
Коли області допустимих значень змінних у виразах збігаються, як, наприклад, у виразах a+1 і 1+a , або a·b·0 і 0 , або і значення цих виразів рівні при всіх значеннях змінних з цих областей, то тут все зрозуміло – ці висловлювання тотожно рівні за всіх допустимих значеннях які в них змінних. Так a+1≡1+a за будь-яких a , вирази a·b·0 і 0 тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних a і b , а вирази і тотожно рівні при всіх x з ; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Розглянемо дві рівності:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Ця рівність буде виконуватися за будь-яких значень змінної а. Областю допустимих значень у тому рівності буде все безліч дійсних чисел.
2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .
Ця нерівність буде виконуватися всім значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся множина дійсних чисел, крім нуля.
Про кожну з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірним за будь-яких допустимих значень змінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.
Поняття тотожності
Тотожність - це рівність, правильне за будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо ця рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, має вийти правильне числове рівність.
Варто відзначити, що вірні числові рівності також є тотожностями. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a * (b + c) = a * b + a * c;
11. a * (-1) = -a.
Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно дорівнюють, то такі вирази називають тотожно рівними. Нижче наведено кілька прикладів тотожно рівних виразів:
1. (a 2) 4 та a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) і -a 3 *b 2;
3. ((x 3 *x 8)/x) та x 10 .
Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.
Приклади тотожностей
Приклад 1: чи тотожності такі рівності:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Не всі представлені вище вирази будуть тотожними. З цих рівностей тотожністю є лише 1,2 і 3 рівності. Які числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.
А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Тому що не за всіх допустимих значень ця рівність виконуватиметься. Наприклад, при значеннях a = 5 та b = 2 вийде наступний результат:
Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.
Ця стаття дає початкове уявлення про тотожності. Тут ми визначимо тотожність, введемо позначення, що використовується, і, звичайно ж, наведемо різні приклади тотожностей.
Навігація на сторінці.
Що таке тотожність?
Логічно почати виклад матеріалу з визначення тотожності. У підручнику Макарічева Ю. Н. алгебра для 7 класів визначення тотожності дається так:
Визначення.
Тотожність– це рівність, правильне за будь-яких значеннях змінних; будь-яке правильне числове рівність – це теж тотожність.
При цьому автор відразу застерігається, що надалі це визначення буде уточнено. Це уточнення відбувається у 8 класі, після знайомства з визначенням допустимих значень змінних та ОДЗ. Визначення стає таким:
Визначення.
Тотожності– це вірні числові рівності, і навіть рівності, які правильні за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них.
То чому, визначаючи тотожність, у 7 класі ми говоримо про будь-які значення змінних, а 8 класі починаємо говорити про значення змінних їх ОДЗ? До 8 класу робота ведеться виключно з цілими виразами (зокрема, з одночленами та багаточленами), а вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. Тому в 7 класі ми й говоримо, що тотожність – це рівність, вірна за будь-яких значень змінних. На 8 класі з'являються висловлювання, які мають сенс задля всіх значень змінних, лише для значень їх ОДЗ. Тому тотожностями ми починаємо називати рівності, вірні за всіх допустимих значень змінних.
Отже, тотожність – це окремий випадок рівності. Тобто будь-яка тотожність є рівністю. Але не всяка рівність є тотожністю, а тільки така рівність, яка вірна для будь-яких значень змінних з їхньої області допустимих значень.
Знак тотожності
Відомо, що в записі рівностей використовується знак рівності виду =, зліва і праворуч від якого стоять деякі числа або вирази. Якщо до цього знака додати ще одну горизонтальну межу, то вийде знак тотожності«≡», або як його ще називають знак тотожної рівності.
Знак тотожності зазвичай застосовують лише тоді, коли потрібно особливо наголосити, що перед нами не просто рівність, а саме тотожність. В інших випадках записи тотожності на вигляд нічим не відрізняються від рівностей.
Приклади тотожностей
Настав час привести приклади тотожностей. У цьому нам допоможе визначення тотожності, дане у першому пункті.
Числові рівності 2=2 є прикладами тотожностей, оскільки ці рівності вірні, а будь-яке правильне числове рівність за визначенням є тотожністю. Їх можна записати як 2≡2 та .
Тотожності є і числові рівності виду 2+3=5 і 7−1=2·3 , оскільки ці рівності є вірними. Тобто, 2+3≡5 і 7−1≡2·3 .
Переходимо до прикладів тотожностей, які у своєму запису як числа, а й змінні.
Розглянемо рівність 3 · (x + 1) = 3 · x +3. При будь-якому значенні змінної x записана рівність є вірною з розподільчої властивості множення щодо додавання, тому вихідна рівність є прикладом тотожності. Ось ще один приклад тотожності: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, тут область допустимих значень змінних x і y становлять усі пари (x, y) , де x і y - будь-які числа, крім нуля.
І це рівності x+1=x−1 і a+2·b=b+2·a є тотожностями, оскільки є значення змінних, у яких ці рівності будуть неправильні. Наприклад, при x=2 рівність x+1=x−1 звертається до невірної рівності 2+1=2−1 . Понад те, рівність x+1=x−1 взагалі досягається за жодних значеннях змінної x . А рівність a+2·b=b+2·a звернеться у неправильну рівність, якщо взяти будь-які різні значення змінних a і b . Наприклад, при a = 0 і b = 1 ми прийдемо до невірної рівності 0 +2 · 1 = 1 +2 · 0 . Рівність | x | = x, де | x | - Змінної x , також не є тотожністю, так як воно неправильне для негативних значень x .
Прикладами найбільш відомих тотожностей є види sin 2 α+cos 2 α=1 та a log a b =b .
На закінчення цієї статті хочеться зазначити, що з вивченні математики ми постійно зіштовхуємося з тотожностями. Записи властивостей дій з числами є тотожності, наприклад, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 та a+(−a)=0 . Також тотожними є
Тема «Докази тотожностей» 7 клас (КРО)
Підручник Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г.
Цілі уроку
Освітні:
ознайомити та первинно закріпити поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення»;
розглянути способи доказу тотожностей, сприяти виробленню навичок доказу тотожностей;
перевірити засвоєння учнями пройденого матеріалу, формувати вміння застосування вивченого сприйняття нового.
Розвиваюча:
Розвивати грамотну математичну мову учнів (збагачувати та ускладнювати словниковий запас при використанні спеціальних математичних термінів),
розвивати мислення,
Виховна: виховувати працьовитість, акуратність, правильність запису вирішення вправ.
Тип уроку: вивчення нового матеріалу
Хід уроку
1 . Організаційний момент.
Перевірка домашнього завдання.
Питання щодо домашнього завдання.
Розбирання рішення біля дошки.
Математика потрібна
Без неї ніяк не можна
Вчимо, вчимо ми, друзі,
Що ж ми пам'ятаємо з ранку?
2 . Зробимо розминку.
Результат додавання. (Сума)
Скільки цифр ви знаєте? (Десять)
Сота частина числа. (Відсоток)
Результат розподілу? (Приватне)
Найменше натуральне число? (1)
Чи можна при розподілі натуральних чисел отримати нуль? (ні)
Назвіть найбільше від'ємне число. (-1)
На яку кількість не можна ділити? (0)
Результат множення? (Твір)
Результат віднімання. (Різниця)
Переміщувальна властивість додавання. (Від перестановки місць доданків сума не змінюється)
Переміщувальна властивість множення. (Від перестановки місць множників твір не змінюється)
Вивчення нової теми (визначення із записом у зошит)
Знайдемо значення виразів при х=5 та у=4
3(х+у)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Ми отримали той самий результат. З розподільчого властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні.
Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. При х=1 і у=2 вони набирають рівні значення:
Однак можна вказати такі значення х і у, за яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо х = 3, у = 4, то
Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.
Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними.
Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями.
Визначення:Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.
Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися. Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Наведіть інші приклади тотожності
Визначення: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу
Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.
Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вам доводилося виконувати, наприклад приведення подібних доданків, розкриття дужок.
5 . № 691, № 692 (з промовлянням правил розкриття дужок, множення негативних та позитивних чисел)
Тотожності для вибору раціонального рішення:(фронтальна робота)
6 . Підбиття підсумків уроку.
Вчитель ставить запитання, а учні відповідають ними за бажанням.
Які два вирази називаються тотожно рівними? Наведіть приклади.
Яка рівність називається тотожністю? Навести приклад.
Які тотожні перетворення вам відомі?
7. Домашнє завдання. Вивчити визначення, наведіть приклади тотожних виразів (не менше 5) , запишіть їх у зошит
У ході вивчення алгебри ми стикалися з поняттями багаточленів (наприклад ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ і тд) і алгебраїчний дріб (наприклад $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ і т.д.. Подібність цих понять у тому, що і в многочленах, і в дробах алгебри присутні змінні і числові значення, виконуються арифметичні Відмінність цих понять полягає в тому, що в багаточленах не проводиться розподіл на змінну, а в алгебраїчних дробах розподіл на змінну можна виробляти.
І багаточлени, і алгебраїчні дроби в математиці називаються раціональними виразами алгебри. Але багаточлени є цілими раціональними виразами, а алгебраїчні дроби-дробно-раціональними виразами.
Можна отримати з дробово-раціонального виразу ціле вираз алгебри використовуючи тотожне перетворення, яке в даному випадку буде основною властивістю дробу - скороченням дробів. Перевіримо це практично:
Приклад 1
Виконати перетворення:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Рішення:Перетворити це дробно-раціональне рівняння можна шляхом використання основної якості дробу-скорочення, тобто. поділу чисельника і знаменника на те саме число чи вираз, відмінне від $0$.
Відразу цей дріб скоротити не можна, необхідно перетворити чисельник.
Перетворимо виразні дроби, що стоїть в чисельнику, для цього скористаємося формулою квадрата різниці :$a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Дроб має вигляд
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
Тепер бачимо, що у чисельнику і знаменнику є загальний множник --це вираз $x-2$, яку зробимо скорочення дробу
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
Після скорочення ми отримали, що вихідне дробово-раціональне вираз $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ стало многочленом $x-2$, тобто. цілим раціональним.
Тепер звернемо увагу, що тотожними вважатимуться висловлювання $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ і $x-2\ $ не за всіх значеннях змінної, т.к. для того, щоб дробово-раціональне вираження існувало і було можливе скорочення на багаточлен $x-2$ знаменник дробу не повинен дорівнювати $0$ (так само як і множник, на який ми виробляємо скорочення. У даному прикладі знаменник і множник збігаються, але так буває не завжди).
Значення змінної, у яких алгебраїчна дріб буде існувати називаються допустимими значеннями змінної.
Поставимо умову на знаменник дробу: $x-2≠0$, тоді $x≠2$.
Значить вирази $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ і $x-2$ тотожні при всіх значеннях змінної, крім $2$.
Визначення 1
Тотожно рівнимивиразами називаються ті, що рівні при всіх допустимих значеннях змінної.
Тотожнім перетворенням є будь-яка заміна вихідного виразу на тотожно рівне йому. Необхідно враховувати, що ряд перетворень, такі як скорочення, приведення подібних доданків можуть змінити допустимі значення змінної.
Прийоми, що використовуються для доказів тотожностей
Привести ліву частину тотожності до правої чи навпаки з використанням тотожних перетворень
Привести обидві частини до одного і того ж виразу за допомогою тотожних перетворень
Перенести вирази, що стоять в одній частині виразу в іншу і довести, що отримана різниця дорівнює $0$
Який із наведених прийомів використовуватиме докази даного тотожності залежить від вихідного тотожності.
Приклад 2
Довести тотожність $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Рішення:Для доказу цього тотожності ми використовуємо перший із наведених вище прийомів, а саме перетворюватимемо ліву частину тотожності до її рівності з правою.
Розглянемо ліву частину тотожності:$\((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- вона є різницею двох многочленів. При цьому перший многочлен є квадратом суми трьох доданків. Для зведення у квадрат суми кількох доданків використовуємо формулу:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Для цього нам необхідно виконати множення числа на багаточлен.
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Тепер повернемося до вихідного багаточлена, він набуде вигляду:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Звернемо увагу, що перед дужкою стоїть знак «-» означає при розкритті дужок усі знаки, які були у дужках, змінюються на протилежні.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Наведемо такі складові, тоді отримаємо, що одночлени $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ і $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаємно знищаться, тобто. їхня сума дорівнює $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Отже, шляхом тотожних перетворень ми отримали тотожний вираз у лівій частині вихідної тотожності.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Зауважимо, що отриманий вираз показує, що вихідне тотожність - вірно.
Звернімо увагу, що у вихідному тотожності допустимі всі значення змінної, отже ми довели тотожність використовуючи тотожні перетворення, і це вірно за всіх допустимих значеннях змінної.
Дядько Ваня сюжет п'єси. "Дядя Ваня. Ставлення до професора оточуючих
Крихітка Цахес по прозвищу Циннобер
Майков, Аполлон Миколайович – коротка біографія