Який натуральний логарифм дорівнює 1. Натуральний логарифм

нерідко беруть цифру е = 2,718281828 . Логарифми з цієї підстави називають натуральним. Під час проведення обчислень із натуральними логарифмами загальноприйнято оперувати знаком ln, а не log; при цьому число 2,718281828 , Які визначають основу, не вказують.

Тобто формулювання матиме вигляд: натуральний логарифмчисла х- це показник ступеня, в який потрібно звести число e, Щоб отримати x.

Так, ln(7,389...)= 2, оскільки e 2 =7,389... . Натуральний логарифм самого числа e= 1, тому що e 1 =e, а натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю, оскільки e 0 = 1.

Саме число евизначає межу монотонної обмеженої послідовності

обчислено, що е = 2,7182818284... .

Дуже часто для фіксації в пам'яті якогось числа, цифри необхідного числа асоціюють з якоюсь видатною датою. Швидкість запам'ятовування перших дев'яти знаків числа епісля коми зросте, якщо помітити, що 1828 - це рік народження Льва Толстого!

На сьогоднішній день є досить повні таблиці натуральних логарифмів.

Графік натурального логарифму(функції y =ln x) є наслідком графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої у = хі має вигляд:

Натуральний логарифм може бути знайдений для кожного позитивного речового числа aяк площа під кривою y = 1/xвід 1 до a.

Елементарність цього формулювання, яке стиковується з багатьма іншими формулами, в яких задіяний натуральний логарифм, стало причиною утворення назви «натуральний».

Якщо аналізувати натуральний логарифм, як речову функцію дійсної змінної, вона виступає зворотною функцієюдо експоненційної функції, що зводиться до тотожностей:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

За аналогією з усіма логарифмами, натуральний логарифм перетворює множення на додавання, поділ на віднімання:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(Х/в) = lnx - lny

Логарифм може бути знайдений для кожної позитивної основи, яка не дорівнює одиниці, а не тільки для e, але логарифми інших підстав відрізняються від натурального логарифму лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються термінах натурального логарифму.

Проаналізувавши графік натурального логарифму,отримуємо, що він існує при позитивних значеннях змінної x. Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму виступає мінус нескінченність ( -∞ ).При x → +∞ межею натурального логарифму виступає плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих xлогарифм збільшується досить повільно. Будь-яка статечна функція x aз позитивним показником ступеня aзростає швидше за логарифму. Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремуми у нього відсутні.

Використання натуральних логарифмівдуже раціонально під час проходження вищої математики. Так, використання логарифму зручно для знаходження відповіді рівнянь, у яких невідомі фігурують як показник ступеня. Застосування в розрахунках натуральних логарифмів дає можливість значно полегшити. велика кількістьматематичні формули. Логарифми на підставі е присутні при вирішенні значної кількості фізичних завдань і природним чином входять до математичного опису окремих хімічних, біологічних та інших процесів. Так, логарифми використовуються розрахунку постійної розпаду відомого періоду напіврозпаду, чи обчислення часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони виступають у головній ролі у багатьох розділах математики та практичних наук, до них вдаються у сфері фінансів для вирішення великої кількості завдань, у тому числі й у розрахунку складних відсотків.

Зовсім непогано, правда? Поки математики підбирають слова, щоб дати вам довге плутане визначення, давайте поглянемо ближче на це просте і ясне.

Число e означає зростання

Число e означає безперервне зростання. Як ми бачили в минулому прикладі, e x дозволяє нам ув'язати відсоток і час: 3 роки при зростанні 100% є те саме, що й 1 рік при 300%, за умови "складних відсотків".

Можна підставляти будь-які значення відсотка та часу (50% протягом 4 років), але краще задати відсоток як 100% для зручності (виходить 100% протягом 2 років). За рахунок переходу до 100% ми можемо сфокусуватись виключно на компоненті часу:

e x = e відсоток * час = e 1.0 * час = e час

Очевидно, що e x означає:

• наскільки зросте мій вклад через x одиниць часу (за умови 100% безперервного зростання).
• наприклад, через 3 проміжки часу я отримаю в e 3 = 20.08 разів більше "штуковин".

e x - це масштабуючий коефіцієнт, що показує, якого рівня ми виростемо за x відрізків часу.

Натуральний логарифм означає час

Натуральний логарифм - це інверсія числа e, такий химерний термін позначення протилежності. До речі, про чудасії; латиною він називається logarithmus naturali, звідси і з'явилася абревіатура ln.

І що ця інверсія чи протилежність означає?

• e x дозволяє нам підставити час та отримати зростання.
• ln(x) дозволяє нам взяти зростання або дохід і дізнатися про час, необхідний для його отримання.

Наприклад:

• e 3 дорівнює 20.08. Через три відрізки часу у нас буде в 20.08 разів більше за те, з чого ми почали.
• ln(20.08) буде приблизно 3. Якщо вас цікавить зростання в 20.08 разів, вам знадобиться 3 проміжки часу (знову ж таки, за умови стовідсоткового безперервного зростання).

Чи все ще читаєте? Натуральний логарифм показує час, необхідний для досягнення бажаного рівня.

Цей нестандартний логарифмічний рахунок

Ви проходили логарифми – це дивні істоти. Як їм вдалося перетворити множення на додавання? А розподіл у віднімання? Давайте подивимося.

Чому дорівнює ln(1)? Інтуїтивно зрозуміло, що питання стоїть так: скільки потрібно чекати, щоб отримати в 1 раз більше того, що я маю?

Нуль. Нуль. Анітрохи. У вас це вже є один раз. Не потрібно анітрохи часу, щоб від рівня 1 дорості до рівня 1.

• ln(1) = 0

Добре, що щодо дробового значення? Через скільки у нас залишиться 1/2 від наявної кількості? Ми знаємо, що за стовідсоткове безперервне зростання ln(2) означає час, необхідний подвоєння. Якщо ми звернемо час назад(тобто почекаємо негативну кількість часу), то отримаємо половину від того, що маємо.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логічно, правда? Якщо ми повернемося назад (час назад) на 0.693 секунд, то виявимо половину наявної кількості. Взагалі, можна перевертати дріб і брати негативне значення: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Це означає, що якщо ми повернемося в минуле на 1.09 відрізків часу, то виявимо лише третину від нинішнього числа.

Гаразд, а як щодо логарифму негативного числа? Скільки часу потрібно, щоб виростити колонію бактерій від 1 до -3?

Це неможливо! Не можна отримати негативну кількість бактерій, чи не так? Ви можете отримати максимум (е... мінімум) нуль, але вам ніяк не отримати негативне число цих маленьких тварин. У негативному числі бактерій немає сенсу.

• ln(негативне число) = невизначено

"Невизначено" означає, що немає такого проміжку часу, який би треба було прочекати, щоб отримати негативне значення.

Логарифмічне множення – просто втомлення

Скільки часу займе чотириразове зростання? Звісно, ​​можна взяти ln(4). Але це дуже просто, ми підемо іншим шляхом.

Можна уявити чотириразове зростання як подвоєння (що вимагає ln(2) одиниць часу) і потім знову подвоєння (що вимагає ще ln(2) одиниць часу):

• Час на 4х ріст = ln(4) = Час на подвоїться і потім ще раз подвоїться = ln(2) + ln(2)

Цікаво. Будь-який показник зростання, скажімо, 20 можна розглядати як подвоєння відразу після 10-кратного збільшення. Або зростання в 4 рази, а потім у 5 разів. Або потроєння і потім збільшення в 6.666 разів. Бачите закономірність?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм від A, помноженого на B є log(A) + log(B). Це ставлення відразу набуває сенсу, якщо оперувати в термінах зростання.

Якщо вас цікавить 30-кратне зростання, ви можете почекати ln(30) за один присід, або ж почекати ln(3) Для потроєння, а потім ще ln(10) для удесятірення. Кінцевий результат той самий, так що звичайно час повинен залишатися постійним (і залишається).

Що на рахунок розподілу? Зокрема, ln(5/3) означає: скільки часу знадобиться для того, щоб вирости в 5 разів, а потім отримати 1/3 від цього?

Добре, зростання в 5 разів є ln (5). Зростання у 1/3 разу займе -ln(3) одиниць часу. Отже,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Це означає: дайте вирости в 5 разів, а потім "поверніться в часі" до тієї позначки, де залишиться всього третина від тієї кількості, так що у вас вийде 5/3 зростання. Загалом виходить

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я сподіваюся, що дивна арифметика логарифмів починає набувати для вас сенсу: множення показників зростання стає додаванням одиниць часу зростання, а розподіл перетворюється на віднімання одиниць часу. Не треба запам'ятовувати правила, спробуйте їх усвідомити.

Використання натурального логарифму при довільному зростанні

Ну звичайно, - скажете ви, - це все добре, якщо зростання 100%, а що у випадку 5%, які я отримую?

Немає проблем. "Час", який ми розраховуємо за допомогою ln(), насправді є комбінацією відсоткової ставки і часу, Х з рівняння e x . Ми лише вирішили задати відсоток як 100% для простоти, але ми вільні використовувати будь-які числа.

Допустимо, ми хочемо досягти 30-кратного зростання: беремо ln(30) і отримуємо 3.4.

• e x = зростання
• e 3.4 = 30

Очевидно, це рівняння означає "100% прибутковість протягом 3.4 років дає зростання в 30 разів". Ми можемо записати це рівняння у такому вигляді:

• e x = e ставка * час
• e 100% * 3.4 роки = 30

Ми можемо змінювати значення "ставки" та "часу", аби ставка * час залишався 3.4. Наприклад, якщо нас цікавить 30-кратне зростання - скільки нам доведеться чекати за процентної ставки 5%?

• ln(30) = 3.4
• ставка * час = 3.4
• 0.05 * час = 3.4
• час = 3.4/0.05 = 68 років

Я міркую так: "ln(30) = 3.4, отже, при 100%-ном зростанні це займе 3.4 року. Якщо я подвоюю швидкість зростання, необхідний час зменшиться вдвічі".

• 100% за 3.4 роки = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 року = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% за 6.8 року = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% за 68 роки = .05 * 68 = 3.4.

Здорово, правда? Натуральний логарифм може використовуватися з будь-якими значеннями процентної ставки та часу, оскільки їхній твір залишається постійним. Можете переміщати значення змінних скільки душі завгодно.

Відпадний приклад: Правило сімдесяти двох

Правило сімдесяти двох – математичний прийом, що дозволяє оцінити, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися. Зараз ми його виведемо (так!), і більше того, спробуємо усвідомити його суть.

Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти ваші гроші за 100% ставку, що наростає щорічно?

Оп-па. Ми використовували натуральний логарифм для випадку з безперервним зростанням, а тепер ти говориш про щорічне нарахування? Чи не стане ця формула непридатною для такого випадку? Так, стане, однак для реальних відсоткових ставок на кшталт 5%, 6% або навіть 15% різниця між щорічним нарахуванням відсотків і безперервним зростанням буде невелика. Так що груба оцінка працює, мм, грубо, так що ми вдамо, що у нас повністю безперервне нарахування.

Тепер питання просте: Як швидко можна подвоїтися при 100% зростання? ln(2) = 0.693. Потрібно 0.693 одиниць часу (років – у нашому випадку), щоб подвоїти нашу суму з безперервним зростанням 100%.

Так, а що якщо процентна ставка – не 100%, а скажімо, 5% чи 10%?

Легко! Оскільки ставка * час = 0.693, ми подвоїмо суму:

• ставка * час = 0.693
• час = 0.693/ставка

Виходить, якщо зростання 10%-не, це займе 0.693 / 0.10 = 6.93 років на подвоєння.

Щоб спростити обчислення, давайте домножимо обидві частини на 100, тоді можна буде говорити "10", а не "0.10":

• час на подвоєння = 69.3/ставка, де ставка виражена у відсотках.

Тепер черга подвоюватись при ставці 5%, 69.3/5 = 13.86 років. Однак 69.3 - не найзручніше ділене. Давайте виберемо близьке число, 72, яке зручно ділити на 2, 3, 4, 6, 8 та інші числа.

• час на подвоєння = 72/ставка

що є правилом сімдесяти двох. Все шито-крите.

Якщо вам потрібно знайти час для потроєння, можете використовувати ln(3) ~ 109.8 та отримати

• час на потроєння = 110 / ставка

Що є ще одним корисним правилом. "Правило 72" застосовується до зростання за відсотковими ставками, зростання населення, культур бактерій, і всього, що росте експоненційно.

Що далі?

Сподіваюся, натуральний логарифм тепер набув вам сенсу - він показує час, необхідний для зростання будь-якого числа при експоненційному зростанні. Я думаю, натуральним він називається тому, що e – універсальна міра зростання, так що ln можна вважати універсальним способом визначення, скільки часу потрібно для зростання.

Щоразу, коли ви бачите ln(x), згадуйте "час, потрібний, щоб вирости в Х разів". У майбутній статті я опишу e і ln у зв'язці, так що свіжий аромат математики заповнить повітря.

Додаток: Натуральний логарифм від e

Швидка вікторина: скільки буде ln(e)?

• математичний робот скаже: оскільки вони визначені як інверсія одна одною, очевидно, що ln(e) = 1.
• розуміє людина: ln(e) це кількість часу, щоб вирости в "е" раз (близько 2.718). Проте число e саме собою є мірою зростання в 1 раз, отже ln(e) = 1.

Думайте ясно.

9 вересня 2013

Натуральний логарифм

Графік функції натурального логарифму. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності зі збільшенням xі швидко наближається до негативної нескінченності, коли xпрагне до 0 («повільно» і «швидко» в порівнянні з будь-якою статечною функцією від x).

Натуральний логарифм- це логарифм на основі , де e- ірраціональна константа, що дорівнює приблизно 2,718281 828 . Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln( x), log e (x) або іноді просто log( x), якщо підстава eмається на увазі.

Натуральний логарифм числа x(записується як ln(x)) - це показник ступеня, в який потрібно звести число e, Щоб отримати x. Наприклад, ln(7,389...)дорівнює 2, тому що e 2 =7,389... . Натуральний логарифм самого числа e (ln(e)) дорівнює 1, тому що e 1 = e, а натуральний логарифм 1 ( ln(1)) дорівнює 0, оскільки e 0 = 1.

Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного речового числа aяк площа під кривою y = 1/xвід 1 до a. Простота цього визначення, що узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується натуральний логарифм, призвела до появи назви натуральний. Це визначення можна розширити на комплексні числа, про що буде сказано нижче.

Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції, що призводить до тотожностей:

Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення до складу:

Таким чином, логарифмічна функція є ізоморфізмом групи позитивних дійсних чисел щодо множення на групу дійсних чисел за додаванням, який можна представити у вигляді функції :

Логарифм може бути визначений для будь-якої позитивної основи, відмінної від 1, а не тільки для e, але логарифми інших підстав відрізняються від натурального логарифму лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються термінах натурального логарифму. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, в яких невідомі присутні як показник ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійного розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони відіграють важливу роль у багатьох галузях математики та прикладних наук, застосовуються у сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи знаходження складних відсотків.

Історія

Першу згадку натурального логарифму зробив Ніколас Меркатор у роботі Logarithmotechnia, Опублікованій в 1668 році, хоча вчитель математики Джон Спайделл ще в 1619 році склав таблицю натуральних логарифмів. Раніше його називали гіперболічним логарифмом, оскільки він відповідає площі під гіперболою. Іноді його називають логарифмом Непера, хоча первісний зміст цього терміна був дещо інший.

Конвенції про позначення

Натуральний логарифм прийнято позначати через «ln( x)», логарифм на підставі 10 - через «lg( x)», а інші підстави прийнято вказувати явно за символом «log».

Багато роботах з дискретної математики, кібернетиці, інформатиці автори використовують позначення «log( x)» для логарифмів на підставі 2, але ця угода не є загальноприйнятою і вимагає роз'яснення або у списку використаних позначень, або (за відсутності такого списку) виноскою або коментарем під час першого використання.

Дужки навколо аргументу логарифмів (якщо це не призводить до помилкового читання формули) зазвичай опускають, а при зведенні логарифму до ступеня показник приписують безпосередньо до знаку логарифму: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Англо-американська система

Математики, статистики та частина інженерів зазвичай застосовують для позначення натурального логарифму чи «log( x)», або «ln( x)» , а для позначення логарифму на підставі 10 - «log 10 ( x)».

Деякі інженери, біологи та інші фахівці завжди пишуть «ln( x)» (або зрідка «log e ( x)»), коли вони мають на увазі натуральний логарифм, а запис «log( x)» у них означає log 10 ( x).

log eє «натуральним» логарифмом, оскільки він з'являється автоматично і з'являється в математиці дуже часто. Наприклад, розглянемо проблему похідної логарифмічної функції:

Якщо основа bодно e, то похідна дорівнює просто 1/ x, а при x= 1 ця похідна дорівнює 1. Іншим обґрунтуванням, за яким основа eлогарифма є найбільш натуральним, є те, що він може бути досить просто визначений у термінах простого інтеграла або ряду Тейлора, чого не можна сказати про інші логарифми.

Подальші обґрунтування натуральності не пов'язані зі зчисленням. Так, наприклад, є кілька простих рядів із натуральними логарифмами. П'єтро Менголі та Микола Меркатор називали їх логарифмус натураліскілька десятиліть до того часу, поки Ньютон і Лейбніц не розробили диференціальне та інтегральне числення.

Визначення

Формально ln ( a) може бути визначений як площа під кривою графіка 1/ xвід 1 до a, тобто як інтеграл:

Це дійсно логарифм, оскільки він задовольняє фундаментальну властивість логарифму:

Це можна продемонструвати, припускаючи наступним чином:

Чисельне значення

Для розрахунку чисельного значення натурального логарифму числа можна використовувати розкладання його в ряд Тейлора у вигляді:

Щоб отримати кращу швидкість збіжності, можна скористатися такою тотожністю:

за умови, що y = (x−1)/(x+1) та x > 0.

Для ln ( x), де x> 1, чим ближче значення xдо 1, тим швидше швидкість збіжності. Тотожності, пов'язані з логарифмом, можна використовувати для досягнення мети:

Ці методи застосовувалися ще до появи калькуляторів, навіщо використовувалися числові таблиці та виконували маніпуляції, аналогічні вищеописаним.

Висока точність

Для обчислення натурального логарифму з великою кількістю цифр точності ряд Тейлора не ефективний, оскільки його збіжність повільна. Альтернативою є використання методу Ньютона для інвертування в експоненційну функцію, ряд якої сходиться швидше.

Альтернативою для дуже високої точності розрахунку є формула:

де Mпозначає арифметико-геометричне середнє 1 і 4/s,

mобрано так, що pзнаків точності досягається. (У більшості випадків значення 8 для m цілком достатньо.) Насправді, якщо використовується цей метод, може бути використана інверсія Ньютона натурального логарифму для ефективного обчислення експоненційної функції. (Константи ln 2 і пі можуть бути попередньо обчислені до бажаної точності, використовуючи будь-який з відомих рядів, що швидко сходяться.)

Обчислювальна складність

Обчислювальна складність натуральних логарифмів (за допомогою арифметико-геометричного середнього) дорівнює O( M(n) ln n). Тут n- Число цифр точності, для якої натуральний логарифм повинен бути оцінений, а M(n) - обчислювальна складність множення двох n-значних чисел.

Безперервні дроби

Хоча для представлення логарифму відсутні прості безперервні дроби, але можна використовувати кілька узагальнених безперервних дробів, у тому числі:

Комплексні логарифми

Експонентна функція може бути розширена до функції, яка дає комплексне число виду e xдля будь-якого довільного комплексного числа x, при цьому використовується нескінченний ряд із комплексним x. Ця показова функція може бути інвертована з утворенням комплексного логарифму, який матиме здебільшого властивості звичайних логарифмів. Є, проте, дві проблеми: немає x, для котрого e x= 0, і виявляється, що e 2πi = 1 = e 0 . Оскільки властивість мультиплікативності дійсна для комплексної експоненційної функції, то e z = e z+2nπiдля всіх комплексних zі цілих n.

Логарифм не може бути визначений на всій комплексній площині, і навіть при цьому він багатозначний - будь-який комплексний логарифм може бути замінений на «еквівалентний» логарифм, додавши будь-яке ціле число, кратне πi. Комплексний логарифм може бути однозначним лише зрізі комплексної площині. Наприклад, ln i = 1/2 πiабо 5/2 πiабо −3/2 πi, і т.д., і хоча i 4 = 1, 4 log iможе бути визначена як 2 πi, або 10 πiабо −6 πi, і так далі.

Див. також

• Джон Непер - винахідник логарифмів

Примітки

1. Mathematics for physical chemistry . - 3rd. – Academic Press, 2005. – P. 9. – ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
2. J J O "Connor and E F RobertsonНомер e . MacTutor History of Mathematics archive (вересень 2001). Архівовано
3. Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . – AMS Bookstore, 1991. – P. 152. – ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . Архівовано з першоджерела 12 лютого 2012 року.

Наведено основні властивості натурального логарифму, графік, область визначення, безліч значень, основні формули, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та представлення функції ln x за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Натуральний логарифм- це функція y = ln x, зворотна до експоненти , x = e y , що є логарифмом на основі числа е : ln x = log e x.

Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.

Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.

Графік функції y = ln x.

Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої y = x .

Натуральний логарифм визначено за позитивних значень змінної x . Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).

При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a зростає швидше за логарифму.

Властивості натурального логарифму

Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання

Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості натурального логарифму представлені у таблиці.

Значення ln x

ln 1 = 0

Основні формули натуральних логарифмів

Формули, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:

Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".

Зворотня функція

Зворотною для натурального логарифму є експонента.

Якщо то

Якщо то .

Похідна ln x

Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:
.
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексної змінної z:
.
Виразимо комплексну змінну zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде тим самим числом при різних n .

Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.