Кінетична енергія при обертанні. Кінетична енергія при обертальному русі

Кінетична енергія – величина адитивна. Тому кінетична енергія тіла, що рухається довільним чином, дорівнює сумі кінетичних енергій усіх n матеріальних точок, на які це тіло можна подумки розбити:

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі z з кутовою швидкістю, то лінійна швидкість i-ї точки , Ri-відстань до осі обертання. Отже,

Зіставивши і можна побачити, що момент інерції тіла I є мірою інертності при обертальному русі, як і маса m – міра інерції при поступальному русі.

У загальному випадку рух твердого тіла можна представити у вигляді суми двох рухів - поступального зі швидкістю vc і обертального з кутовою швидкістю навколо миттєвої осі, що проходить через центр інерції. Тоді повна кінетична енергія цього тіла

Тут Ic – момент інерції щодо миттєвої осі обертання, що проходить центр інерції.

Основний закон динаміки обертального руху.

Динаміка обертального руху

Основний закон динаміки обертального руху:

або M=Jeде М - момент сили M = [r · F], J -момент інерції – момент імпульсу тіла.

якщо М(зовнішн) = 0 - закон збереження моменту імпульсу. - кінетична енергія тіла, що обертається.

робота при обертальному русі.

Закон збереження моменту імпульсу.

Моментом імпульсу (кількості руху) матеріальної точки А щодо нерухомої точки називається фізична величина, яка визначається векторним твором:

де r - радіус-вектор, проведений з точки Про точку A, p = mv - імпульс матеріальної точки (рис. 1); L - псевдовектор, напрям якого збігається з напрямом поступального руху правого гвинта при його обертанні від r до р.

Модуль вектор моменту імпульсу

де - кут між векторами r і р, l - плече вектора р щодо точки О.

Моментом імпульсу щодо нерухомої осі z називається скалярна величина Lz, рівна проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного щодо довільної точки даної осі. Момент імпульсу Lz залежить від положення точки Про осі z.

При обертанні абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі z, кожна точка тіла рухається по колу постійного радіуса ri зі швидкістю vi. Швидкість vi та імпульс mivi перпендикулярні цьому радіусу, тобто радіус є плечем вектора mivi . Отже, ми можемо записати, що момент імпульсу окремої частки дорівнює

і спрямований по осі у бік, що визначається правилом правого гвинта.

Монет імпульсу твердого тіла щодо осі є сума моментів імпульсу окремих частинок:

Використовуючи формулу vi = ωri, отримаємо

Таким чином, момент імпульсу твердого тіла щодо осі дорівнює моменту інерції тіла щодо тієї ж осі, помноженому на кутову швидкість. Продиференціюємо рівняння (2) за часом:

Ця формула - ще одна форма рівняння динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі: похідна моменту імпульсу твердого тіла щодо осі дорівнює моменту сил щодо тієї ж осі.

Можна показати, що має місце векторна рівність

У замкнутій системі момент зовнішніх сил М=0 і звідки

Вираз (4) є закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи зберігається, т. е. не змінюється з часом.

Закон збереження моменту імпульсу як і закон збереження енергії є фундаментальним законом природи. Він пов'язаний із властивістю симетрії простору – його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів щодо вибору напрямку осей координат системи відліку (щодо повороту замкнутої системи у просторі на будь-який кут).

Тут ми продемонструємо закон збереження моменту імпульсу за допомогою лави Жуковського. Людина, що сидить на лаві, що обертається навколо вертикальної осі, і тримає в витягнутих руках гантелі (рис. 2), обертається зовнішнім механізмом із кутовою швидкістю ω1. Якщо людина притисне гантелі до тіла, момент інерції системи зменшиться. Але момент зовнішніх сил дорівнює нулю, момент імпульсу системи зберігається і кутова швидкість обертання ω2 збільшується. Аналогічним чином, гімнаст під час стрибка через голову підтискає до тулуба руки та ноги з метою зменшити свій момент інерції і тим самим збільшити кутову швидкість обертання.

Тиск у рідині та газі.

Молекули газу, здійснюючи хаотичний, хаотичний рух, не пов'язані або досить слабо пов'язані силами взаємодії, через що рухаються практично вільно і в результаті зіткнень розлітаються на всі боки, при цьому заповнюючи весь наданий їм обсяг, тобто обсяг газу визначається обсягом займаної газом судини.

А рідина ж, маючи певний обсяг, набуває форми тієї посудини, в яку вона укладена. Але на відміну від газів у рідинах середня відстань між молекулами в середньому зберігається постійною, тому рідина має практично незмінний обсяг.

Властивості рідин і газів багато в чому сильно відрізняються, але у кількох механічних явищах їх властивості визначаються однаковими параметрами та ідентичними рівняннями. З цієї причини гідроаеромеханіка - розділ механіки, який вивчає рівновагу і рух газів і рідин, взаємодія між ними і між твердими тілами, що обтікаються ними, - тобто. застосовується єдиний підхід до вивчення рідин та газів.

У механіці рідини та гази з великим ступенем точності розглядаються як суцільні, безперервно розподілені у зайнятій ними частині проставранства. У газів площина від тиску залежить суттєво. Із досвіду встановлено. що стисливість рідини і газу часто можна знехтувати і доцільно користуватися єдиним поняттям - несжимаемістю рідини - рідини, з всюди однаковою щільністю, яка не змінюється з плином часу.

Помістимо в тонку пластинку, що покоїться, в результаті частини рідини, розташовані по різні сторони від пластини, будуть діяти на кожен її елемент ΔS з силами ΔF, які будуть рівні по модулю і спрямований перпендикулярно майданчику ΔS незалежно від орієнтації майданчика, в іншому випадку наявність дотичних сил привело б частинки рідини у рух (рис.1)

Фізична величина, яка визначається нормальною силою, що діє з боку рідини (або газу) на одиницю площі, називається тиском p/ рідини (або газу): p=ΔF/ΔS.

Одиниця тиску - паскаль (Па): 1 Па дорівнює тиску, що створюється силою 1 Н, яка рівномірно розподілена по нормальній до неї поверхні площею 1 м2 (1 Па = 1 Н/м2).

Тиск при рівновазі рідин (газів) підпорядковується закону Паскаля: тиск у будь-якому місці рідини, що покоїться, однаково за своїми напрямами, причому тиск однаково передається по всьому об'єму, який займає рідина, що покоїться.

Досліджуємо вплив ваги рідини на розподіл тиску всередині нерухомої рідини, що не стискається. При рівновазі рідини тиск уздовж будь-якої горизонтальної завжди однаково, інакше не було б рівноваги. Значить вільна поверхня рідини, що покоїться, завжди горизонтальна (тяжіння рідини стінками судини не враховуємо). Якщо рідина стислива, то щільність цієї рідини залежить від тиску. Тоді при поперечному перерізі S стовпа рідини, його висоті h і щільності ρ вага P=ρgSh, при цьому тиск на нижню основу: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

тобто тиск лінійно змінюється з висотою. Тиск ρgh називається гідростатичним тиском.

Згідно з формулою (1), сила тиску на нижні шари рідини буде більшою, ніж на верхні, тому на тіло, занурене в рідину, діє сила, яка визначається законом Архімеда: на тіло, занурене в рідину (газ), діє з боку цієї рідини спрямована вгору виштовхує сила, що дорівнює вазі витісненої тілом рідини (газу): FА=ρgV, де ρ - щільність рідини, V-об'єм зануреного в рідину тіла.

1. Розглянемо обертання тіла навколо нерухомийосі Z. Розіб'ємо все тіло на безліч елементарних мас m i. Лінійна швидкість елементарної маси m i– v i = w R i, де R i- Відстань маси m iвід осі обертання. Отже, кінетична енергія i-ой елементарної маси дорівнюватиме . Повна кінетична енергія тіла: , тут - момент інерції тіла щодо осі обертання.

Таким чином, кінетична енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, дорівнює:

2. Нехай тепер тіло обертаєтьсящодо деякої осі, а сама вісь переміщаєтьсяпоступально, залишаючись паралельною до самої себе.

ПРИКЛАД: Шар, що котиться без ковзання, здійснює обертальний рух, а центр тяжкості його, через який проходить вісь обертання (точка «О») переміщається поступально (рис.4.17).

Швидкість iтієї елементарної маси тіла дорівнює , де - Швидкість деякої точки «О» тіла; - Радіус-вектор, що визначає положення елементарної маси по відношенню до точки «О».

Кінетична енергія елементарної маси дорівнює:

ПРИМІТКА: векторний твір збігається у напрямку з вектором і має модуль, що дорівнює (рис.4.18).

Врахувавши це зауваження, можна записати, що , де - Відстань маси від осі обертання. У другому доданку зробимо циклічну перестановку співмножників, після цього отримаємо

Щоб отримати повну кінетичну енергію тіла, підсумуємо цей вираз за всіма елементарними масами, виносячи постійні множники за знак суми. Отримаємо

Сума елементарних мас є масою тіла «m». Вираз дорівнює добутку маси тіла на радіус-вектор центру інерції тіла (за визначенням центру інерції). Нарешті, момент інерції тіла щодо осі, що проходить через точку «О». Тому можна записати

Якщо в якості точки «O» взяти центр інерції тіла «С», радіус-вектор дорівнюватиме нулю і другий доданок зникне. Тоді, позначивши через швидкість центру інерції, а через момент інерції тіла щодо осі, що проходить через точку «С», отримаємо:

(4.6)

Таким чином, кінетична енергія тіла при плоскому русі складається з енергії поступального руху зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру інерції, та енергії обертання навколо осі, що проходить через центр інерції тіла.

Робота зовнішніх сил під час обертального руху твердого тіла.

Знайдемо роботу, яку виконують сили під час обертання тіла навколо нерухомої осі Z.

Нехай на масу діють внутрішня сила та зовнішня сила (результуюча сила лежить у площині перпендикулярної осі обертання) (рис. 4.19). Ці сили здійснюють за час dtроботу:

Здійснивши у змішаних творах векторів циклічну перестановку співмножників, знаходимо:

де , - відповідно, моменти внутрішньої та зовнішньої сил щодо точки «О».

Підсумувавши за всіма елементарними масами, отримаємо елементарну роботу, що здійснюється над тілом за час dt:

Сума моментів внутрішніх сил дорівнює нулю. Тоді, позначивши сумарний момент зовнішніх сил через , прийдемо до виразу:

Відомо, що скалярним твором двох векторів називається скаляр, рівний добутку модуля одного з векторів, що перемножуються, на проекцію другого на напрям першого, врахувавши, що , (напрями осі Z і збігаються), отримаємо

але w · dt=d j, тобто. кут, на який повертається тіло за час dt. Тому

p align="justify"> Знак роботи залежить від знака M z, тобто. від знака проекції вектора на напрямок вектора.

Отже, при обертанні тіла внутрішні сили роботи не здійснюють, а робота зовнішніх сил визначається формулою .

Робота за кінцевий проміжок часу перебуває шляхом інтегрування

Якщо проекція результуючого моменту зовнішніх сил на напрямок залишається постійною, то її можна винести за знак інтеграла:

, тобто. .

Тобто. робота зовнішньої сили при обертальному русі тіла дорівнює добутку проекції моменту зовнішньої сили на напрямок та кут повороту.

З іншого боку робота зовнішньої сили, що діє на тіло йде на збільшення кінетичної енергії тіла (або дорівнює зміні кінетичної енергії тіла, що обертається). Покажемо це:

;

Отже,

. (4.7)

Самостійно:

Пружні сили;

Закон Гука.

ЛЕКЦІЯ 7

Гідродинаміка

Лінії та трубки струму.

Гідродинаміка вивчає рух рідин, проте її закони застосовуються і до руху газів. При стаціонарному перебігу рідини швидкість її частинок у кожній точці простору є величина, незалежна від часу і функція координат. При стаціонарному перебігу траєкторії частинок рідини утворюють лінію струму. Сукупність ліній струму утворює трубку струму (рис. 5.1). Вважатимемо рідину несжимаемой, тоді обсяг рідини, що протікає через перерізи S 1 і S 2 буде однаковий. За секунду через ці перерізи пройде об'єм рідини, що дорівнює

, (5.1)

де і - швидкості рідини в перерізах S 1 і S 2 а вектора і визначаються як і , де і - нормалі до перерізів S 1 і S 2 . Рівняння (5.1) називають рівнянням нерозривності струменя. З нього випливає, що швидкість рідини обернено пропорційна перерізу трубки струму.

Рівняння Бернуллі.

Розглянемо ідеальну стисливу рідину, в якій внутрішнє тертя (в'язкість) відсутнє. Виділимо в стаціонарно поточній рідині тонку трубку струму (рис. 5.2) з перерізами S 1і S 2, перпендикулярними до ліній струму. У перерізі 1 за короткий час tчастинки змістяться на відстань l 1, а в перерізі 2 - на відстань l 2. Через обидва перерізи за час tпройдуть однакові малі обсяги рідини V= V 1 = V 2і перенесуть масу рідини m=rV, де r- Щільність рідини. Загалом зміна механічної енергії всієї рідини у трубці струму між перерізами S 1і S 2, що сталося за час t, можна замінити зміною енергії об'єму V, що відбулося при його переміщенні від перерізу 1 до перерізу 2 . При такому русі зміниться кінетична та потенційна енергія цього обсягу та повна зміна його енергії

, (5.2)

де v 1 і v 2 - швидкості частинок рідини у перерізах S 1і S 2відповідно; g- прискорення земного тяжіння; h 1і h 2- Висоти центру перерізів.

В ідеальній рідині втрати на тертя відсутні, тому збільшення енергії DEмає дорівнювати роботі, що здійснюється силами тиску над виділеним обсягом. За відсутності сил тертя ця робота:

Прирівнюючи праві частини рівностей (5.2) та (5.3) та переносячи члени з однаковими індексами в одну частину рівності, отримаємо

. (5.4)

Переріз трубки S 1і S 2були взяті довільно, тому можна стверджувати, що в будь-якому перерізі трубки струму справедливий вираз

. (5.5)

Рівняння (5.5) називається рівнянням Бернуллі. Для горизонтальної лінії струму h = constі рівність (5.4) набуває вигляду

r /2 + p 1 = r · /2 + p 2 , (5.6)

тобто. тиск виявляється меншим у тих точках, де швидкість більша.

Сили внутрішнього тертя.

Реальній рідині притаманна в'язкість, яка проявляється в тому, що будь-який рух рідини та газу мимоволі припиняється за відсутності причин, що його викликали. Розглянемо досвід, у якому шар рідини розташований над нерухомою поверхнею, а зверху його переміщається зі швидкістю плаваюча на ній пластина з поверхнею S(Рис. 5.3). Досвід показує, що для переміщення пластини з постійною швидкістю необхідно діяти на неї силою. Так як пластина не отримує прискорення, значить, дія цієї сили врівноважується іншою, яка дорівнює їй за величиною і протилежно спрямованою силою, яка є силою тертя. . Ньютон показав, що сила тертя

, (5.7)

де d- товщина шару рідини, h - коефіцієнт в'язкості або коефіцієнт тертя рідини, знак мінус враховує різний напрямок векторів F трі v o. Якщо досліджувати швидкість частинок рідини у різних місцях шару, то виявляється, що вона змінюється за лінійним законом (рис. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d) · z.

Диференціюючи цю рівність, отримаємо dv/dz= v 0 /d. З урахуванням цього

формула (5.7) набуде вигляду

F тр=- h(dv/dz)S , (5.8)

де h - коефіцієнт динамічної в'язкості. Величина dv/dzназивається градієнтом швидкості. Вона показує, як швидко змінюється швидкість у напрямку осі z. При dv/dz= const градієнт швидкості чисельно дорівнює зміні швидкості vпри зміні zна одиницю. Покладемо чисельно у формулі (5.8) dv/dz =-1 та S= 1, отримаємо h = F. звідси випливає фізичний зміст h: коефіцієнт в'язкості чисельно дорівнює силі, що діє на шар рідини одиничної площі при градієнті швидкості, що дорівнює одиниці. Одиниця в'язкості в СІ називається паскаль-секундою (позначається Па с). У системі СГС одиницею в'язкості є 1 пуаз (П), причому 1 Па = 10П.

Механіка.

Питання №1

Система відліку. Інерційні системи відліку. Принцип відносності Галілея – Ейнштейна.

Система відліку- це сукупність тіл стосовно яких описується рух даного тіла та пов'язана з ним система координат.

Інерційна система відліку (ІСО)- це система, в якій тіло, що вільно рухається, знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Принцип відносності Галілея-Ейнштейна- Усі явища природи у будь-якій інерційній системі відліку відбуваються однаково і мають однаковий математичний вигляд. Тобто всі ІСО рівноправні.

Питання №2

Рівняння руху. Види руху твердого тіла. Основне завдання кінематики.

Рівняння руху матеріальної точки:

- кінематичне рівняння руху

Види руху твердого тіла:

1) Поступальний рух - будь-яка пряма проведена в тілі переміщається паралельно до самої себе.

2) Обертальний рух - будь-яка точка тіла рухається по колу.

φ = φ(t)

Основне завдання кінематики- це отримання залежностей від часу швидкості V = V (t) і координат (або радіуса-вектора) r = r (t) матеріальної точки від відомої залежності від часу її прискорення a = a (t) і відомих початкових умов V 0 і r 0 .

Питання №7

Імпульс (Кількість руху) - Векторна фізична величина, що характеризує міру механічного руху тіла. У класичній механіці імпульс тіла дорівнює добутку маси mцієї точки на її швидкість v, напрям імпульсу збігається з напрямом вектора швидкості:

У теоретичній механіці узагальненим імпульсомназивається приватна похідна лагранжіана системи за узагальненою швидкістю

У випадку, якщо лагранжіан системи не залежить від деякої узагальненої координати, то в силу рівнянь Лагранжа .

Для вільної частки функція Лагранжа має вигляд: , звідси:

Незалежність лагранжіана замкнутої системи від її становища у просторі випливає з якості однорідності простору: Для добре ізольованої системи її поведінка залежить від цього, у місце простору ми її помістимо. за теоремі Нетерз цієї однорідності випливає збереження деякої фізичної величини. Цю величину і називають імпульсом (звичайним, не узагальненим).

У класичній механіці повним імпульсомсистеми матеріальних точок називається векторна величина, що дорівнює сумі творів мас матеріальних точок на їх швидкості:

відповідно величина називається імпульсом однієї матеріальної точки. Це векторна величина, спрямована у той бік, як і швидкість частки. Одиницею вимірювання імпульсу у Міжнародній системі одиниць (СІ) є кілограм-метр за секунду(кг·м/с)

Якщо ми маємо справу з тілом кінцевого розміру, для визначення його імпульсу необхідно розбити тіло на малі частини, які можна вважати матеріальними точками та підсумувати за ними, в результаті отримаємо:

Імпульс системи, на яку не діють жодні зовнішні сили (або вони компенсовані), зберігаєтьсяв часі:

Збереження імпульсу в цьому випадку випливає з другого та третього закону Ньютона: написавши другий закон Ньютона для кожної зі складових систему матеріальних точок і просумувавши по всіх матеріальних точках, що становлять систему, в силу третього закону Ньютона отримаємо рівність (*).

У релятивістській механіці тривимірним імпульсом системи невзаємодіючих матеріальних точок називається величина

де m i- Маса i-ї матеріальної точки.

Для замкнутої системи не взаємодіючих матеріальних точок ця величина зберігається. Однак тривимірний імпульс не є релятивістською інваріантною величиною, оскільки він залежить від системи відліку. Більш осмисленою величиною буде чотиривимірний імпульс, який для однієї матеріальної точки визначається як

Насправді часто застосовуються такі співвідношення між масою, імпульсом і енергією частки:

У принципі, для системи невзаємодіючих матеріальних точок їх чотири імпульси підсумовуються. Однак для взаємодіючих частинок в релятивістській механіці слід враховувати імпульси не тільки складових частинок, але й імпульс поля взаємодії між ними. Тому набагато осмисленішою величиною в релятивістській механіці є тензор енергії-імпульсу, який повною мірою задовольняє закони збереження.

Питання №8

Момент інерції- скалярна фізична величина, міра інерції тіла у обертальному русі навколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі. Характеризується розподілом мас у тілі: момент інерції дорівнює сумі творів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базової множини

Осьовий момент інерції

Осьові моменти інерції деяких тіл.

Моментом інерції механічної системищодо нерухомої осі («осьовий момент інерції») називається величина J a, що дорівнює сумі творів мас усіх nматеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

m i- Маса i-ї точки,
r i- відстань від i-ї точки до осі.

Осьовий момент інерціїтіла J aє мірою інертності тіла у обертальному русі навколо осі подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі.

dm = ρ dV- маса малого елемента об'єму тіла dV,
ρ - щільність,
r- відстань від елемента dVдо осі a.

Якщо тіло однорідне, тобто його густина скрізь однакова, то

Висновок формули

dmта моментами інерції dJ i. Тоді

Тонкостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції складових його частин. Розіб'ємо тонкостінний циліндр на елементи з масою dmта моментами інерції dJ i. Тоді

Оскільки всі елементи тонкостінного циліндра знаходяться на однаковій відстані від осі обертання, формула (1) перетворюється на вигляд

Теорема Штейнера

Момент інерціїтвердого тіла щодо будь-якої осі залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, але також від положення тіла по відношенню до цієї осі. Відповідно до теореми Штейнера (теореми Гюйгенса-Штейнера), момент інерціїтіла Jщодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерціїцього тіла J cщодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглянутої осі, і добутку маси тіла mна квадрат відстані dміж осями:

Якщо момент інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас тіла, то момент інерції відносно паралельної осі, розташованої на відстані від неї, дорівнює

де – повна маса тіла.

Наприклад, момент інерції стрижня щодо осі, що проходить через його кінець, дорівнює:

Енергія обертального руху

Кінетична енергія обертального руху- Енергія тіла, пов'язана з його обертанням.

Основні кінематичні характеристики обертального руху тіла – його кутова швидкість (ω) та кутове прискорення. Основні динамічні характеристики обертального руху – момент імпульсу щодо осі обертання z:

K z = I zω

та кінетична енергія

де I z – момент інерції тіла щодо осі обертання.

Схожий приклад можна знайти при розгляді молекули, що обертається, з головними осями інерції I 1, I 2і I 3. Обертальна енергія такої молекули задана виразом

де ω 1, ω 2, і ω 3- Основні компоненти кутової швидкості.

Загалом, енергія при обертанні з кутовою швидкістю знаходиться за формулою:

, де I- тензор інерції.

Питання №9

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, що залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена щодо осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання.

Слід врахувати, що обертання тут розуміється у сенсі, як як регулярне обертання навколо осі. Наприклад, навіть при прямолінійному русі тіла повз довільну уявну точку, що не лежить на лінії руху, воно також має момент імпульсу. Найбільшу, мабуть, роль момент імпульсу грає в описі власне обертального руху. Однак вкрай важливий і для набагато ширшого класу завдань (особливо - якщо задача має центральну або осьову симетрію, але не тільки в цих випадках).

Закон збереження моменту імпульсу(Закон збереження кутового моменту) - Векторна сума всіх моментів імпульсу щодо будь-якої осі для замкнутої системи залишається постійною у разі рівноваги системи. Відповідно до цього, момент імпульсу замкнутої системи відносно будь-якої невиробної моменту імпульсу за часом є момент сили:

Таким чином, вимога замкнутості системи може бути ослаблена до вимоги рівності нулю головного (сумарного) моменту зовнішніх сил:

де - момент однієї з сил, що додаються до системи частинок. (Але звичайно, якщо зовнішні сили взагалі відсутні, ця вимога також виконується).

Математично закон збереження моменту імпульсу випливає із ізотропії простору, тобто з інваріантності простору по відношенню до повороту на довільний кут. При повороті на довільний нескінченно малий кут радіус-вектор частки з номером зміняться на , а швидкості - . Функція Лагранжа системи за такого повороту не зміниться, внаслідок ізотропії простору. Тому

Основні динамічні характеристики обертального руху – момент імпульсу щодо осі обертання z:

та кінетична енергія

Загалом, енергія при обертанні з кутовою швидкістю знаходиться за формулою:

, де - тензор інерції.

У термодинаміці

Точно за тими самим міркуванням, як і разі поступального руху, рівнорозподіл передбачає, що з тепловому рівновазі середня обертальна енергія кожної частки одноатомного газу: (3/2)k B T. Аналогічно, теорема про рівнорозподіл дозволяє обчислити середньоквадратичну кутову швидкість молекул.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Енергія обертального руху" в інших словниках:

Цей термін має й інші значення, див. Енергія (значення). Енергія, Розмірність … Вікіпедія

РУХУ- РУХИ. Зміст: Геометрія Д....................452 Кінематика Д...................456 Динаміка Д. ...................461 Двигуні механізми............465 Методи вивчення Д. людини.........471 Патологія Д. людини ............. 474 ... ... Велика медична енциклопедія

Кінетична енергія енергія механічної системи, яка залежить від швидкостей руху її точок. Часто виділяють кінетичну енергію поступального та обертального руху. Суворіше, кінетична енергія є різниця між повною ... ... Вікіпедія

Тепловий рух пептиду. Складне тремтіння атомів, що становлять пептид, випадково, і енергія окремого атома флуктує в широких межах, але за допомогою закону рівнорозподілу обчислюють як середню кінетичну енергію кожного… … Вікіпедія

- (франц. marées, нім. Gezeiten, англ. tides) періодичні коливання рівня води внаслідок тяжіння Місяця та Сонця. Загальні відомості. П. найпомітніше по берегах океанів. Відразу після малої води найбільшого відливу, рівень океану починає… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Рефрижераторне судно Ivory Tirupati Початкова стійкість негативна Стійка здатність … Вікіпедія

Рефрижераторне судно Ivory Tirupati початкова стійкість негативна Стійкість здатність плавучого засобу протистояти зовнішнім силам, що викликають його крен або диферент і повертатися в стан рівноваги по закінченні того, що ... Вікіпедія

Кінетична енергія тіла, що обертається, дорівнює сумі кінетичних енергій усіх частинок тіла:

Маса якоїсь частинки, її лінійна (окружна) швидкість, пропорційна відстані даної частинки від осі обертання. Підставляючи в цей вираз і виносячи за знак суми загальну для всіх частинок кутову швидкість, знаходимо:

Цю формулу для кінетичної енергії тіла, що обертається, можна привести до вигляду, аналогічного виразу кінетичної енергії поступального руху, якщо ввести величину так званого моменту інерції тіла. Моментом інерції матеріальної точки називають добуток маси точки на квадрат відстані від осі обертання. Момент інерції тіла є сумою моментів інерції всіх матеріальних точок тіла:

Отже, кінетична енергія тіла, що обертається, визначається такою формулою:

Формула (2) відрізняється від формули, що визначає кінетичну енергію тіла при поступальному русі, тим, що замість маси тіла тут входить момент інерції I замість швидкості групова швидкість

Великою кінетичною енергією обертового маховика користуються в техніці, щоб зберегти рівномірність ходу машини при навантаженні, що раптово змінюється. Спочатку, щоб привести маховик з великим моментом інерції у обертання, від машини потрібна витрата значної роботи, але при раптовому включенні великого навантаження машина не зупиняється і виконує роботу за рахунок запасу кінетичної енергії маховика.

Особливо масивні махові колеса застосовують у прокатних станах, які приводять у дію електромотором. Ось опис одного з таких коліс: «Колесо має в діаметрі 3,5 м і важить При нормальній швидкості 600 об/хв запас кінетичної енергії колеса такий, що в момент прокату колесо дає потужність стану в 20 000 л. с. Тертя в підшипниках зведено до мінімуму казкою під тиском, і щоб уникнути шкідливої дії відцентрових сил інерції, колесо врівноважене так, що вантаж у поміщений на колі колеса виводить його зі стану спокою».

Наведемо (без виконання обчислень) значення моментів інерції деяких тіл (передбачається, що кожне з цих тіл має однакову у всіх своїх ділянках щільність).

Момент інерції тонкого кільця щодо осі, що проходить через його центр і перпендикулярна до його площини (рис. 55):

Момент інерції круглого диска (або циліндра) щодо осі, що проходить через його центр і перпендикулярна до його площини (полярний момент інерції диска; рис. 56):

Момент інерції тонкого круглого диска щодо осі, що збігається з його діаметром (екваторіальний момент інерції диска; рис. 57):

Момент інерції кулі щодо осі, що проходить через центр кулі:

Момент інерції тонкого сферичного шару радіусу щодо осі, що проходить через центр:

Момент інерції товстого сферичного шару (порожнистої кулі, що має радіус зовнішньої поверхні та радіус порожнини) щодо осі, що проходить через центр:

Обчислення моментів інерції тіл провадиться за допомогою інтегрального обчислення. Щоб дати уявлення про перебіг таких розрахунків, знайдемо момент інерції стрижня щодо перпендикулярної до нього осі (рис. 58). Нехай є переріз стрижня, густина. Виділимо елементарно малу частину стрижня, що має довжину і знаходиться на відстані х від осі обертання. Тоді її маса Так як вона знаходиться на відстані х від осі обертання, її момент інерції Інтегруємо в межах від нуля до I:

Момент інерції прямокутного паралелепіпеда щодо осі симетрії (рис. 59)

Момент інерції кільцевого тора (рис. 60)

Розглянемо, як пов'язана енергія обертання ковзання (без ковзання) по площині тіла з енергією поступального руху цього тіла,

Енергія поступального руху тіла, що котиться, дорівнює , де маса тіла і швидкість поступального руху. Нехай означає кутову швидкість обертання тіла, що котиться і радіус тіла. Легко збагнути, що швидкість поступального руху тіла, що котиться без ковзання, дорівнює окружній швидкості тіла в точках зіткнення тіла з площиною (за час коли тіло здійснює один оборот, центр тяжіння тіла переміщається на відстань отже,

Таким чином,

Енергія обертання

отже,

Підставляючи сюди вказані вище значення моментів інерції, знаходимо, що:

а) енергія обертального руху обруча, що котиться, дорівнює енергії його поступального руху;

б) енергія обертання однорідного диска, що котиться, дорівнює половині енергії поступального руху;

в) енергія обертання однорідної кулі, що котиться, становить енергії поступального руху.

Залежність моменту інерції положення осі обертання.Нехай стрижень (рис. 61) з центром тяжкості в точці С обертається з кутовою швидкістю (про навколо осі О, перпендикулярної до площини креслення. Припустимо, що протягом деякого проміжку часу він перемістився з положення А В, причому центр тяжіння описав дугу Це переміщення стрижня можна розглядати так, як якщо б стрижень спочатку поступально (тобто залишаючись собі паралельним) перемістився в положення і потім повернувся навколо С в положення Позначимо (відстань центру тяжкості від осі обертання) через а, а кут через рух стрижня з положення А У положення переміщення кожної його частинки однаково з переміщенням центру тяжіння, тобто воно дорівнює або Щоб отримати дійсний рух стрижня, ми можемо припустити, що обидва зазначені рухи відбуваються одночасно. навколо осі, що проходить через, можна розкласти на дві частини.