Криволінійний рух визначення та формули. Конспект уроку "Прямолінійний та криволінійний рух

Ця тема буде присвячена складнішому виду руху – КРИВОЛІНІЙНОМУ. Як нескладно здогадатися, криволінійним називається рух, траєкторія якого є кривою лінією. І, оскільки цей рух складніший за прямолінійний, то для його опису вже не вистачає тих фізичних величин, які були перераховані в попередньому розділі.

Для математичного опису криволінійного руху є 2 групи величин: лінійні та кутові.

ЛІНІЙНІ ВЕЛИЧИНИ.

1. Переміщення. У розділі 1.1 ми стали уточнювати різницю між поняттям

Рис.1.3 шляху (відстань) та поняттям переміщення,

оскільки в прямолінійному русі ці

відмінності не відіграють принципової ролі, та й

Позначаються ці величини однієї і тієї ж бук-

виття S. Але, маючи справу з криволінійним рухом,

це питання слід прояснити. Отже, що таке шлях

(або відстань)? - Це довжина траєкторії

руху. Тобто, якщо Ви відстежите траєкторію

руху тіла і виміряйте її (в метрах, кілометрах і т.д.), ви отримаєте величину, яка називається шляхом (або відстанню) S(Див. рис.1.3). Отже, шлях – це скалярна величина, яка характеризується лише числом.

Рис.1.4 А переміщення - це найкоротша відстань між

точкою початку шляху та точкою кінця шляху. І, оскільки

переміщення має сувору спрямованість із початку

Шляхи в його кінець, то воно є величиною векторної

і характеризується як чисельним значенням, а й

напрямом (рис.1.3). Неважко здогадатися, що якщо

тіло здійснює рух по замкнутій траєкторії, то до

моменту його повернення у початкове положення переміщення дорівнюватиме нулю (див. рис.1.4).

2 . Лінійна швидкість. У розділі 1.1 ми давали визначення цієї величини і воно залишається в силі, хоча тоді ми не уточнювали, що ця швидкість лінійна. Як спрямований вектор лінійної швидкості? Звернемося до рис.1.5. Тут зображено фрагмент

криволінійної траєкторії тіла. Будь-яка крива лінія є з'єднання між собою дуг різних кіл. На рис.1.5 зображені тільки дві з них: коло (О 1, r 1) і коло (О 2, r 2). На момент проходження тіла по дузі даного кола її центр стає тимчасовим центром повороту з радіусом, рівним радіусу цього кола.

Вектор, проведений із центру повороту в точку, де зараз знаходиться тіло, називається радіусом-вектором.На рис.1.5 радіуси-вектори представлені векторами та . Також на цьому малюнку зображено і вектор лінійної швидкості: вектор лінійної швидкості завжди спрямований по дотичній до траєкторії в бік руху. Отже, кут між вектором і радіусом-вектором, проведеним у цю точку траєкторії, завжди дорівнює 90°. Якщо тіло рухається з постійною лінійною швидкістю, то модуль вектора не змінюватиметься, тоді як його напрям постійно змінюється в залежності від форми траєкторії. У випадку, зображеному на рис.1.5, рух здійснюється зі змінною лінійною швидкістю, тому вектор змінюється модуль. Але оскільки при криволінійному русі напрям вектора змінюється завжди, то звідси випливає дуже важливий висновок:

при криволінійному русі завжди є прискорення! (Навіть якщо рух здійснюється з постійною лінійною швидкістю.) Причому прискорення, про яке йдеться в даному випадку, надалі ми називатимемо лінійним прискоренням.

3 . Лінійне прискорення. Нагадаю, що прискорення виникає тоді, коли змінюється швидкість. Відповідно, лінійне прискорення з'являється у разі зміни лінійної швидкості. А лінійна швидкість при криволінійному русі може змінюватися як по модулю, так і за напрямом. Таким чином, повне лінійне прискорення розкладається на дві складові, одна з яких впливає на напрям вектора, а друга його модуль. Розглянемо ці прискорення (рис. 1.6). На цьому малюнку

Рис. 1.6

Про

зображено тіло, що рухається круговою траєкторією з центром повороту в точці О.

Прискорення, яке змінює напрямок вектора , називається нормальним і позначається. Нормальним воно називається оскільки спрямовано перпендикулярно (нормально) до дотичної, тобто. вздовж радіусу до центру повороту . Його ще називають доцентровим прискоренням.

Прискорення, яке змінює модуль вектора тангенціальним і позначається. Воно лежить на дотичній і може бути спрямоване як у бік напрямку вектора, так і протилежно йому :

Якщо лінійна швидкість збільшується, то > 0 та їх вектора сонаправлены;

Якщо лінійна швидкість зменшується, то< 0 и их вектора противоположно

спрямовані.

Таким чином, ці два прискорення завжди утворюють між собою прямий кут (90 º) і є складовими повного лінійного прискорення, тобто. повне лінійне прискорення є векторна сума нормального та тангенційного прискорення:

Зауважу, що в цьому випадку йдеться саме про векторну суму, але в жодному разі не про скалярну. Щоб знайти чисельне значення , знаючи і , необхідно скористатися теоремою Піфагора (квадрат гіпотенузи трикутника чисельно дорівнює сумі квадратів катетів цього трикутника):

(1.8).

Звідси випливає:

(1.9).

За якими формулами розраховувати і розглянемо трохи згодом.

Кутові величини.

1 . Кут повороту φ . При криволінійному русі тіло як проходить якийсь шлях і здійснює якесь переміщення, а й повертається на певний кут (див. рис. 1.7(а)). Тому для опису такого руху вводиться величина, яка називається кутом повороту, позначається грецькою літерою φ (читається "фі"). У системі СІ кут повороту вимірюється у радіанах (позначається «рад»). Нагадаю, що один повний оборот дорівнює 2π радіанам, а число π є константа: π ≈ 3,14. на рис. 1.7(а) зображено траєкторію руху тіла по колу радіуса r з центром у точці О. Сам кут повороту – це кут між радіус-векторами тіла в деякі моменти часу.

2 . Кутова швидкість ω – це величина, що показує, як змінюється кут повороту за одиницю часу. (ω - Грецька буква, читається «омега».) На рис. 1.7(б) зображено положення матеріальної точки, що рухається круговою траєкторією з центром в точці О, через проміжки часу Δt . Якщо кути, куди повертається тіло протягом цих проміжків, однакові, то кутова швидкість постійна, і це рух вважатимуться рівномірним. А якщо кути повороту різні – рух нерівномірний. І, оскільки кутова швидкість показує, на скільки радіан

повернулося тіло за одну секунду, то її одиниця виміру – радіан за секунду

(позначається « радий/с »).

Рис. 1.7

а). б). Δt

Δt

Δt

Про φ Про Δt

3 . Кутове прискорення ε - Це величина, що показує, як змінюється за одиницю часу. І, оскільки кутове прискорення ε з'являється тоді, коли змінюється, кутова швидкість ω , можна зробити висновок, що кутове прискорення має місце лише у разі нерівномірного криволінійного руху. Одиниця виміру кутового прискорення – « радий/с 2 » (Радіан за секунду в квадраті).

Таким чином, таблицю 1.1 можна доповнити ще трьома величинами:

Табл.1.2

№	фізична величина	визначення величини	позначення величини	одиниця виміру
1.	шлях	це відстань, яка долає тіло у процесі свого руху	S	м (метр)
2.	швидкість	ця відстань, яка проходить тіло за одиницю часу (наприклад, за 1 секунду)	υ	м/с (метр за секунду)
3.	прискорення	це величина, яку змінюється швидкість тіла за одиницю часу	a	м/с 2 (метр за секунду у квадраті)
4.	час		t	з (секунда)
5.	кут повороту	це кут, на який повертається тіло в процесі криволінійного руху	φ	радий (радіан)
6.	кутова швидкість	це кут, який повертається тіло за одиницю часу (наприклад, за 1 сек.)	ω	рад/с (радіан за секунду)
7.	кутове прискорення	це величина, яку змінюється кутова швидкість за одиницю часу	ε	рад/с 2 (радіан за секунду у квадраті)

Тепер можна перейти безпосередньо до розгляду всіх видів криволінійного руху, а їх лише три.

За допомогою цього уроку ви зможете самостійно вивчити тему «Прямолінійний та криволінійний рух. Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю». Спочатку ми охарактеризуємо прямолінійне і криволінійне рух, розглянувши, як із цих видах руху пов'язані вектор швидкості і прикладена до тіла сила. Далі розглянемо окремий випадок, коли відбувається рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю.

На попередньому уроці ми розглянули питання, пов'язані із законом всесвітнього тяжіння. Тема сьогоднішнього уроку тісно пов'язана із цим законом, ми звернемося до рівномірного руху тіла по колу.

Раніше ми говорили, що рух -це зміна положення тіла у просторі щодо інших тіл з часом. Рух та напрямок руху характеризуються в тому числі і швидкістю. Зміна швидкості та сам вид руху пов'язані з дією сили. Якщо на тіло діє сила, тіло змінює свою швидкість.

Якщо сила спрямована паралельно руху тіла, такий рух буде прямолінійним(Рис. 1).

Рис. 1. Прямолінійний рух

Криволінійнимбуде такий рух, коли швидкість тіла та сила, прикладена до цього тіла, спрямовані один щодо одного під деяким кутом (рис. 2). В цьому випадку швидкість змінюватиме свій напрямок.

Рис. 2. Криволінійний рух

Отже, за прямолінійному русівектор швидкості спрямований у той самий бік, як і сила, прикладена до тілу. А криволінійним рухомє такий рух, коли вектор швидкості та сила, прикладена до тіла, розташовані під деяким кутом один до одного.

Розглянемо окремий випадок криволінійного руху, коли тіло рухається по колу з постійною за модулем швидкістю. Коли тіло рухається по колу із постійною швидкістю, то змінюється лише напрямок швидкості. За модулем вона залишається постійною, а напрямок швидкості змінюється. Така зміна швидкості призводить до наявності у тіла прискорення, яке називається доцентровим.

Рис. 6. Рух по криволінійній траєкторії

Якщо траєкторія руху тіла є кривою, її можна уявити як сукупність рухів по дугах кіл, як і зображено на рис. 6.

На рис. 7 показано, як змінюється напрямок вектора швидкості. Швидкість при такому русі спрямована по дотичній до кола, дугою якої рухається тіло. Таким чином, її напрямок безперервно змінюється. Навіть якщо швидкість по модулю залишається постійною величиною, зміна швидкості призводить до появи прискорення:

В даному випадку прискореннябуде направлено до центру кола. Тому воно називається доцентровим.

Чому доцентрове прискорення спрямоване до центру?

Згадаємо, що й тіло рухається по криволінійної траєкторії, його швидкість спрямовано по дотичній. Швидкість є величиною векторною. У вектора є чисельне значення та напрямок. Швидкість у міру руху тіла безперервно змінює свій напрямок. Тобто різниця швидкостей у різні моменти часу не дорівнюватиме нулю (), на відміну від прямолінійного рівномірного руху.

Отже, ми маємо зміну швидкості за якийсь проміжок часу . Ставлення до – це прискорення. Ми приходимо до висновку, що навіть якщо швидкість не змінюється по модулю, у тіла, що здійснює рівномірний рух по колу, є прискорення.

Куди ж спрямоване це прискорення? Розглянемо рис. 3. Деяке тіло рухається криволінійно (по дузі). Швидкість тіла в точках 1 та 2 спрямована по дотичній. Тіло рухається поступово, тобто модулі швидкостей рівні: , але напрями швидкостей не збігаються.

Рис. 3. Рух тіла по колу

Віднімемо зі швидкість і отримаємо вектор. Для цього необхідно з'єднати початки обох векторів. Паралельно перенесемо вектор на початок вектора. Добудовуємо до трикутника. Третя сторона трикутника буде вектором різниці швидкостей (рис. 4).

Рис. 4. Вектор різниці швидкостей

Вектор спрямований у бік кола.

Розглянемо трикутник, утворений векторами швидкостей та вектором різниці (рис. 5).

Рис. 5. Трикутник, утворений векторами швидкостей

Цей трикутник є рівнобедреним (модулі швидкостей рівні). Значить, кути при основі рівні. Запишемо рівність для суми кутів трикутника:

З'ясуємо, куди спрямоване прискорення у цій точці траєкторії. Для цього почнемо наближати точку 2 до точки 1. При такому необмеженому старанні кут прагнутиме 0, а кут - . Кут між вектором зміни швидкості та вектором самої швидкості становить . Швидкість спрямована дотичною, а вектор зміни швидкості спрямований до центру кола. Отже, прискорення теж спрямоване до центру кола. Саме тому це прискорення носить назву доцентрове.

Як знайти доцентрове прискорення?

Розглянемо траєкторію, якою рухається тіло. У разі це дуга кола (рис. 8).

Рис. 8. Рух тіла по колу

На малюнку представлені два трикутники: трикутник, утворений швидкостями, та трикутник, утворений радіусами та вектором переміщення. Якщо точки 1 і 2 дуже близькі, вектор переміщення буде збігатися з вектором шляху. Обидва трикутники є рівнобедреними з однаковими кутами при вершині. Таким чином, трикутники подібні. Це означає, що відповідні сторони трикутників відносяться однаково:

Переміщення дорівнює добутку швидкості тимчасово: . Підставивши цю формулу, можна отримати наступний вираз для доцентрового прискорення:

Кутова швидкістьпозначається грецькою буквою омега (ω), вона говорить про те, на який кут повертається тіло за одиницю часу (рис. 9). Це величина дуги у градусній мірі, пройденої тілом за деякий час.

Рис. 9. Кутова швидкість

Звернемо увагу, що якщо тверде тіло обертається, то кутова швидкість для будь-яких точок на цьому тілі буде постійною. Ближче точка розташовується до центру обертання чи далі - це важливо, т. е. від радіусу залежить.

Одиницею виміру у разі буде або градус за секунду (), або радіан за секунду (). Часто слово «радіан» не пишуть, а просто пишуть. Наприклад знайдемо, чому дорівнює кутова швидкість Землі. Земля робить повний поворот на за год, і в цьому випадку можна говорити про те, що кутова швидкість дорівнює:

Також зверніть увагу на взаємозв'язок кутової та лінійної швидкостей:

Лінійна швидкість прямо пропорційна радіусу. Чим більший радіус, тим більша лінійна швидкість. Тим самим, віддаляючись від центру обертання, ми збільшуємо свою лінійну швидкість.

Слід зазначити, що рух по колу з постійною швидкістю - це окремий випадок руху. Однак рух по колу може бути нерівномірним. Швидкість може змінюватися не тільки за напрямом і залишатися однаковою за модулем, але й змінюватися за своїм значенням, тобто, крім зміни напрямку, існує зміна модуля швидкості. У цьому випадку ми говоримо про так званий прискорений рух по колу.

Що таке радіан?

Існує дві одиниці виміру кутів: градуси та радіани. У фізиці, як правило, радіальний захід кута є основним.

Побудуємо центральний кут, що спирається на дугу завдовжки.

Поняття швидкості та прискорення природним чином узагальнюються на випадок руху матеріальної точки по криволінійної траєкторії. Положення точки, що рухається на траєкторії, задається радіус-вектором. r , проведеним у цю точку з будь-якої нерухомої точки Пронаприклад, початку координат (рис. 1.2). Нехай у момент часу tматеріальна точка перебуває у положенні Мз радіус-вектором r = r (t). Через короткий час D t, вона переміститься в становище М 1з радіусом – вектором r 1 = r (t+ D t). Радіус – вектор матеріальної точки отримає збільшення, яке визначається геометричною різницею D r = r 1 - r . Середньою швидкістю руху за час D tназивається величина

Напрямок середньої швидкості V ср збігаєтьсяз напрямком вектора D r .

Межа середньої швидкості у D t® 0, тобто похідна радіуса – вектора r по часу

(1.9)

називається істинноюабо миттєвоїшвидкістю матеріальної точки. Вектор V спрямований щодо дотичноїдо траєкторії точки, що рухається.

Прискорення а називається вектор, рівний першій похідній вектора швидкості V або другий похідний радіус – вектор r по часу:

(1.10)

(1.11)

Зазначимо наступну формальну аналогію між швидкістю та прискоренням. З довільної нерухомої точки 1 будемо відкладати вектор швидкості V рухомої точки у всілякі моменти часу (рис. 1.3).

Кінець вектора V називається швидкісною точкою. Геометричне місце швидкісних точок є крива, звана рікографом швидкості.Коли матеріальна точка описує траєкторію, відповідна їй швидкісна точка рухається годографом.

Рис. 1.2 відрізняється від рис. 1.3 лише позначеннями. Радіус – вектор r замінений на вектор швидкості V , матеріальна точка – на швидкісну точку, траєкторія – на годограф. Математичні операції над вектором r при знаходженні швидкості та над вектором V при знаходженні прискорення абсолютно тотожні.

Швидкість V направлена ​​по дотичній траєкторії. Тому прискоренняa буде направлено щодо дотичної до годографа швидкості.Можна сказати що прискорення є швидкість руху швидкісної точки за годографом. Отже,

Залежно від форми траєкторії, рух ділиться на прямолінійний та криволінійний. У реальному світі ми найчастіше маємо справу з криволінійним рухом, коли траєкторія є кривою лінією. Прикладами такого руху є траєкторія тіла, кинутого під кутом до горизонту, рух Землі навколо Сонця – рух планет, кінця стрілки годинника по циферблату тощо.

Малюнок 1. Траєкторія та переміщення при криволінійному русі

Визначення

Криволінійний рух - це рух, траєкторія якого є кривою лінією (наприклад, коло, еліпс, гіперболу, параболу). При русі криволінійною траєкторією вектор переміщення $\overrightarrow(s)$ спрямований по хорді (рис. 1), а l - довжина траєкторії. Миттєва швидкість руху тіла (тобто швидкість тіла в даній точці траєкторії) спрямована по дотичній в тій точці траєкторії, де в даний момент знаходиться тіло, що рухається (рис. 2).

Малюнок 2. Миттєва швидкість при криволінійному русі

Проте зручнішим є наступний підхід. Можна уявити цей рух як сукупність кількох рухів по дугах кіл (див. рис. 4.). Таких розбиття вийде менше, ніж у попередньому випадку, крім того, рух по колу сам є криволінійним.

Малюнок 4. Розбиття криволінійного руху на рухи по дугах кіл

Висновок

Для того, щоб описувати криволінійний рух, потрібно навчитися описувати рух по колу, а потім довільний рух представляти як сукупності рухів по дугах кіл.

Завданням дослідження криволінійного руху матеріальної точки є складання кінематичного рівняння, що описує цей рух і що дозволяє за заданими початковими умовами визначити всі характеристики цього руху.