Коло синусів і косінусів зі знаками. Тригонометричне коло

Якщо ви вже знайомі з тригонометричним колом , і хочете лише освіжити в пам'яті окремі елементи, або ви зовсім нетерплячі, - то він, :

Ми ж тут все докладно розбиратимемо крок за кроком.

Тригонометричне коло – не розкіш, а необхідність

Тригонометрія у багатьох асоціюється з непрохідною часткою. Раптом навалюється стільки значень тригонометричних функцій, стільки формул… А адже воно, як, – незалагодилося спочатку, і… пішло-поїхало… суцільне нерозуміння…

Дуже важливо не махати рукою на значення тригонометричних функцій, - Мовляв, завжди можна подивитися в шпору з таблицею значень.

Якщо ви постійно дивитеся в таблицю зі значеннями тригонометричних формул, давайте позбавлятися цієї звички!

Нас виручить! Ви кілька разів попрацюєте з ним, і далі він у вас сам спливатиме в голові. Чим він кращий за таблицю? Та в таблиці ви знайдете обмежену кількість значень, а на колі - ВСЕ!

Наприклад, скажіть, дивлячись у стандартну таблицю значень тригонометричних формул , Чому дорівнює синус, скажімо, 300 градусів, або -45.

Ніяк?.. можна, звичайно, підключити формули приведення… А дивлячись на тригонометричне коло, легко можна відповісти на такі запитання. І ви скоро знатимете як!

А при розв'язанні тригонометричних рівнянь і нерівностей без тригонометричного кола взагалі нікуди.

Знайомство з тригонометричним колом

Давайте по порядку.

Спочатку випишемо ось такий ряд чисел:

А тепер такий:

І, нарешті, такий:

Звісно, зрозуміло, що, насправді, першому місці стоїть , другою місці стоїть , але в останньому – . Тобто нас буде більше цікавити ланцюжок.

Але як гарно вона вийшла! У разі чого – відновимо цю «драбинку-чуденечку».

І навіщо воно нам?

Цей ланцюжок – і є основні значення синуса та косинуса у першій чверті.

Накреслимо в прямокутній системі координат коло одиничного радіусу (тобто радіус по довжині беремо будь-який, а його довжину оголошуємо одиничною).

Від променя «0-Старт» відкладаємо у напрямку стрілки (див. мал.) кути.

Отримуємо відповідні точки на колі. Так от якщо спроектувати крапки на кожну з осей, то ми вийдемо якраз на значення із зазначеного вище ланцюжка.

То чому ж, запитаєте ви?

Не розбиратимемо все. Розглянемо принципщо дозволить впоратися і з іншими аналогічними ситуаціями.

Трикутник АОВ – прямокутний, у ньому. А ми знаємо, що проти кута лежить катет вдвічі менший гіпотенузи (гіпотенуза у нас = радіусу кола, тобто 1).

Значить, АВ = (а отже, і ЗМ =). А за теоремою Піфагора

Сподіваюся, що вже щось стає зрозуміло?

Так ось точка В і відповідатиме значенню , а точка М – значенню

Аналогічно з іншими значеннями першої чверті.

Як ви розумієте, звична нам вісь (ox) буде віссю косинусів, а вісь (oy) - віссю синусів . пізніше.

Зліва від нуля по осі косинусів (нижче від нуля по осі синусів) будуть, звичайно, негативні значення.

Отже, ось він, ВСІМНИЙ, без якого нікуди в тригонометрії.

А ось як користуватися тригонометричним колом, ми поговоримо у .

Що таке одиничне коло. Одиничне коло - це коло з радіусом, рівним 1, і з центром на початку координат. Згадайте, що рівняння кола виглядає як x2+y2=1. Таке коло може бути використане для знаходження деяких "особливих" тригонометричних співвідношень, а також при побудові графічних зображень. За допомогою неї та укладеної в ній лінії можна оцінювати і чисельні значення тригонометричних функцій.

Запам'ятайте 6 тригонометричних співвідношень.Пам'ятайте, що

sinθ=протилежний катет/гіпотенуза
cosθ=прилеглий катет/гіпотенуза
tgθ=протилежний катет/прилеглий катет
cosecθ=1/sin
secθ=1/cos
ctgθ=1/tg.

Що таке радіан. Радіан - один із заходів для визначення величини кута. Один радіан - це величина кута між двома радіусами, проведеними так, що довжина дуги між ними дорівнює величині радіусу. Зауважте, що при цьому величина та розташування кола не відіграють жодної ролі. Слід також знати, чому дорівнює кількість радіан для повного кола (360 градусів). Згадайте, що довжина кола дорівнює 2πr, що перевищує довжину радіусу в 2π рази. Оскільки за визначенням 1 радіан - це кут між кінцями дуги, довжина якої дорівнює радіусу, в повному колі укладено кут, рівний 2π радіан.

Вмійте перевести радіани в градуси.У повному колі міститься 2π радіан, або 360 градусів. Таким чином:

2π радіан = 360 градусів
1 радіан=(360/2π) градусів
1 радіан=(180/π) градусів
360 градусів = 2π радіан
1 градус=(2π/360) радіан
1 градус=(π/180) радіан

Вивчіть "особливі" кути.Ці кути в радіанах становлять π/6, π/3, π/4, π/2, π і добутку даних величин (наприклад, 5π/6)

Вивчіть та запам'ятайте значення тригонометричних функцій для особливих кутів.Для визначення їх величин ви повинні поглянути на одиничне коло. Згадайте про відрізок відомої довжини, що міститься в одиничному колі. Крапка на колі відповідає кількості радіан в утвореному куті. Наприклад, куту π/2 відповідає точка на колі, радіус якого утворює з позитивним горизонтальним радіусом кут величиною π/2. Для знаходження значення тригонометричної функції будь-якого кута визначаються координати точки, що відповідає цьому куту. Гіпотенуза завжди дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом кола, і так як будь-яке число, поділене на 1, дорівнює самому собі, а протилежний катет дорівнює довжині вздовж осі Оy, звідси випливає, що значення синуса будь-якого кута - це координата y відповідної точки на колі. Значення косинуса можна знайти подібним чином. Косинус дорівнює довжині прилеглого катета, поділеної на довжину гіпотенузи; оскільки остання дорівнює одиниці, а довжина прилеглого катета дорівнює координаті x точки на колі, звідси випливає, що косинус дорівнює значенню цієї координати. Знайти тангенс трохи складніше. Тангенс кута прямокутного трикутника дорівнює протилежному катету, поділеному на прилеглий. В даному випадку, на відміну від попередніх, приватна не є константою, тому обчислення дещо ускладнюються. Пригадаємо, що довжина протилежного катета дорівнює координаті y, а прилеглого - координаті x точки на одиничному колі; підставивши ці значення отримаємо, що тангенс дорівнює y/x. Поділивши 1 на знайдені вище значення, можна легко знайти відповідні тригонометричні зворотні функції. Таким чином, можна розрахувати всі основні тригонометричні функції:

sinθ=y
cosθ=x
tgθ=y/x
cosec=1/y
sec=1/x
ctg=x/y

Знайдіть та запам'ятайте значення шести тригонометричних функцій для кутів, що лежать на координатних осях., тобто кутів, кратних π/2, таких як 0, π/2, π, 3π/2, 2π і т.п.д. Для точок кола, що знаходяться на координатних осях, це не становить жодних проблем. Якщо точка лежить на осі Оx, синус дорівнює нулю, а косинус - 1 або -1 залежно від напрямку. Якщо точка лежить на осі Оy, синус дорівнюватиме 1 або -1, а косинус - 0.

Знайдіть та запам'ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута π/6. Нанесіть кут π/6 на одиничне коло. Ви знаєте, як знаходити довжини всіх сторін особливих прямокутних трикутників (з кутами 30-60-90 і 45-45-90) за відомою довжиною однієї зі сторін, а оскільки π/6=30 градусів, цей трикутник є одним із особливих випадків. Для нього, як ви пам'ятаєте, короткий катет дорівнює 1/2 гіпотенузи, тобто координата y становить 1/2, а довгий катет довший за короткий в √3 разів, тобто дорівнює (√3)/2, так що координата x буде ( √3)/2. Таким чином, отримуємо крапку на одиничному колі з наступними координатами: ((√3)/2,1/2). Користуючись наведеними вище рівностями, знаходимо:

sinπ/6=1/2
cosπ/6=(√3)/2
tgπ/6=1/(√3)
cosecπ/6=2
secπ/6=2/(√3)
ctgπ/6=√3

Знайдіть та запам'ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута π/3. Кут π/3 відображається на колі точкою, в якій координата x дорівнює координаті y кута π/6, а координата y така сама, як x для цього кута. Таким чином, точка має координати (1/2, √3/2). У результаті отримуємо:

sinπ/3=(√3)/2
cosπ/3=1/2
tgπ/3=√3
cosecπ/3=2/(√3)
secπ/3=2
ctgπ/3=1/(√3)

Знайдіть та запам'ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута π/4. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з кутами 45-45-90 відноситься до довжин його катетів як √2 до 1, так само співвідносні і значення координат точки на одиничному колі. У результаті маємо:

sinπ/4=1/(√2)
cosπ/4=1/(√2)
tgπ/4=1
cosecπ/4=√2
secπ/4=√2
ctgπ/4=1

Визначте, чи позитивно, чи негативно значення функції. Всі кути, що належать одному сімейству, дають однакові абсолютні значення тригонометричних функцій, але ці значення можуть відрізнятися за знаком (одно бути позитивним, друге - негативним).

Якщо кут знаходиться в першому квадранті, то всі тригонометричні функції мають позитивні значення.
Для кута у другому квадранті всі функції, крім sin і cosec, негативні.
У третьому квадранті значення всіх функцій, крім tg та ctg, менше нуля.
У четвертому квадранті всі функції, крім cos і sec, мають негативні значення.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Табличка на дверях Відчиняє двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Таблиця значень тригонометричних функцій

Примітка. У цій таблиці значень тригонометричних функцій використовується знак для позначення квадратного кореня. Для позначення дробу – символ "/".

Див. такожкорисні матеріали:

Для визначення значення тригонометричної функції, знайдіть його на перетині рядка із зазначенням тригонометричної функції. Наприклад, синус 30 градусів - шукаємо колонку із заголовком sin (синус) і знаходимо перетин цієї колонки таблиці з рядком "30 градусів", на їх перетині зчитуємо результат - одна друга. Аналогічно знаходимо косинус 60градусів, синус 60градусів (ще раз, у перетині колонки sin (синус) та рядки 60 градусів знаходимо значення sin 60 = √3/2) тощо. Так само знаходяться значення синусів, косінусів і тангенсів інших "популярних" кутів.

Синус пі, косинус пі, тангенс пі та інших кутів у радіанах

Наведена нижче таблиця косінусів, синусів та тангенсів також підходить для знаходження значення тригонометричних функцій, аргумент яких заданий у радіанах. Для цього скористайтеся другою колонкою значень кута. Завдяки цьому можна перевести значення популярних кутів із градусів у радіани. Наприклад, знайдемо кут 60 градусів у першому рядку і під ним прочитаємо його значення у радіанах. 60 градусів дорівнює π/3 радіан.

Число пі однозначно виражає залежність довжини кола від градусної міри кута. Таким чином, пі радіан дорівнюють 180 градусам.

Будь-яке число, виражене через пі (радіан), можна легко перевести в градусну міру, замінивши число пі (π) на 180.

Приклади:
1. Сінус пі.
sin π = sin 180 = 0
таким чином, синус пі - це те саме, що синус 180 градусів і він дорівнює нулю.

2. Косинус пі.
cos π = cos 180 = -1
таким чином, косинус пі - це те саме, що косинус 180 градусів і він дорівнює мінус одиниці.

3. Тангенс пі
tg π = tg 180 = 0
таким чином, тангенс пі - це те саме, що тангенс 180 градусів і він дорівнює нулю.

Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса для кутів 0 - 360 градусів (часті значення)

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах (через число пі)	sin (синус)	cos (Косінус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (Косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Якщо в таблиці значень тригонометричних функцій замість значення функції вказано прочерк (тангенс (tg) 90 градусів, котангенс (ctg) 180 градусів) означає, що при даному значенні градусної міри кута функція не має певного значення. Якщо прочерку немає - клітина порожня, значить ми ще не внесли потрібне значення. Ми цікавимося, за якими запитами до нас приходять користувачі і доповнюємо таблицю новими значеннями, незважаючи на те, що поточних даних про значення косинусів, синусів і тангенсів значень кутів, що найчастіше зустрічаються, цілком достатньо для вирішення більшості завдань.

Таблиця значень тригонометричних функцій sin, cos, tg для найпопулярніших кутів
0, 15, 30, 45, 60, 90...360 градусів
(Цифрові значення "як за таблицями Брадіса")

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

У цій статті ми дуже докладно розберемо визначення числового кола, дізнаємося про її головну властивість і розставимо числа 1,2,3 і т.д. Про те, як відзначати інші числа на колі (наприклад, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π)( 6)\)) розуміється на .

Числовим колом називають коло одиничного радіусу, точки якого відповідають , Розставленим за такими правилами:

1) Початок відліку знаходиться у крайній правій точці кола;

2) Проти годинникової стрілки – позитивний напрямок; за годинниковою – негативне;

3) Якщо в позитивному напрямку відкласти на колі відстань (t), то ми потрапимо в точку зі значенням (t);

4) Якщо у негативному напрямку відкласти на колі відстань \(t\), то ми потрапимо в точку зі значенням \(-t\).

Чому коло називається числовим?
Тому що на ній позначаються числа. У цьому колі схожа на числову вісь – на колі, як і на осі, для кожного числа є певна точка.

Навіщо знати, що таке числове коло?
За допомогою числового кола визначають значення синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Тому для знання тригонометрії та здачі ЄДІ на 60+ балів, обов'язково потрібно розуміти, що таке числове коло і як на ньому розставити крапки.

Що у визначенні означають слова "... одиничного радіусу ..."?
Це означає, що радіус цього кола дорівнює \(1\). І якщо ми побудуємо таку коло з центром на початку координат, то вона перетинатиметься з осями в точках \(1\) і \(-1\).

Її не обов'язково малювати маленькою, можна змінити «розмір» поділів по осях, тоді картинка буде більшою (див. нижче).

Чому радіус саме одиниця? Так зручніше, адже в цьому випадку при обчисленні довжини кола за допомогою формули (l = 2πR) ми отримаємо:

Довжина числового кола дорівнює \(2π\) або приблизно \(6,28\).

А що означає «…точки якої відповідають дійсним числам»?
Як говорили вище, на числовому колі для будь-якого дійсного числа обов'язково знайдеться його «місце» - точка, яка відповідає цій кількості.

Навіщо визначати на числовому колі початок відліку та напрямки?
Головна мета числового кола - кожному числу однозначно визначити свою точку. Але як можна визначити, де поставити крапку, якщо невідомо звідки рахувати і куди рухатися?

Тут важливо не плутати початок відліку на координатному прямому та на числовому колі – це дві різні системи відліку! А також не плутайте \(1\) на осі \(x\) і \(0\) на колі - це точки на різних об'єктах.

Які точки відповідають числам (1), (2) і т.д?

Пам'ятаєте, ми прийняли, що у числовому колі радіус дорівнює (1)? Це і буде нашим одиничним відрізком (за аналогією з числовою віссю), який ми відкладатимемо на колі.

Щоб відзначити на числовому колі точку відповідну числу 1, потрібно від 0 пройти відстань, що дорівнює радіусу в позитивному напрямку.

Щоб відзначити на колі точку відповідну числу \(2\), потрібно пройти відстань, що дорівнює двом радіусам від початку відліку, щоб \(3\) – відстань, що дорівнює трьом радіусам і т.д.

При погляді на цю картинку у вас можуть виникнути 2 питання:
1. Що буде, коли коло «закінчиться» (тобто ми зробимо повний оборот)?
Відповідь: ходімо на друге коло! А коли й другий закінчиться, підемо на третій і таке інше. Тому на коло можна завдати нескінченну кількість чисел.

2. Де будуть від'ємні числа?
Відповідь: там же! Їх можна також розставити, відраховуючи від нуля потрібну кількість радіусів, але тепер у негативному напрямку.

На жаль, позначати на числовому колі цілі труднощі. Це з тим, що довжина числової кола дорівнюватиме цілому числу: \(2π\). І на найзручніших місцях (у точках перетину з осями) теж будуть не цілі числа, а частки