Легкі квадратні рівняння. Рівняння дискримінанта з математики

Продовжуємо вивчення теми « вирішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями та переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується в загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах докладно розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до розв'язання повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння та розглянемо розв'язання характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Що таке квадратне рівняння? Їхні види

Спочатку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмову про квадратні рівняння логічно розпочати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних із ним визначень. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені та ненаведені, а також повні та неповні рівняння.

Визначення та приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння– це рівняння виду a x 2 + b x + c = 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівнянням другого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади квадратних рівнянь. Так 2 x 2 +6 x 1 = 0, 0,2 x 2 +2,5 x +0,03 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.

Визначення.

Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a x 2 +b x + c = 0 , причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2 b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x , а c - вільним членом.

Наприклад візьмемо квадратне рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 тут старший коефіцієнт є 5 , другий коефіцієнт дорівнює −2 , а вільний член дорівнює −3 . Зверніть увагу, коли коефіцієнти b та/або c негативні, як у наведеному прикладі, то використовується коротка формазаписи квадратного рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a та/або b дорівнюють 1 або −1 , то вони в записі квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями запису таких . Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 −y+3=0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює −1 .

Наведені та ненаведені квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені та ненаведені квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1 називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є ненаведеним.

Згідно даному визначеннюквадратні рівняння x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 тощо. – наведені, у кожному їх перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5·x 2 −x−1=0 і т.п. - Ненаведені квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1 .

Від будь-якого ненаведеного квадратного рівняння за допомогою поділу обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням , тобто отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне ненаведене квадратне рівняння, або так само як воно, не має коренів.

Розберемо з прикладу, як виконується перехід від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.

приклад.

Від рівняння 3 x 2 +12 x 7 = 0 перейдіть до відповідного наведеного квадратного рівняння.

Рішення.

Нам достатньо виконати розподіл обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3 він відрізняється від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , що те саме, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , і далі (3:3) · x 2 + (12:3) · x-7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

Відповідь:

Повні та неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння є умова a≠0 . Ця умова потрібна для того, щоб рівняння a x 2 + b x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b x + c = 0 .

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть дорівнювати нулю, причому як окремо, так і разом. У таких випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 називають неповнимякщо хоча б один з коефіцієнтів b , c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повне квадратне рівняння- Це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З наступних міркувань це стане зрозумілим.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набуває вигляду a x 2 +0 x + c = 0 і воно рівносильне рівнянню a x 2 + c = 0 . Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a x 2 + b x + 0 = 0, то його можна переписати як a x 2 + b x = 0 . А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a x 2 = 0 . Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданку зі змінною x, або вільного члена, або того й іншого. Звідси та його назва – неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 +x+1=0 і −2·x 2 −5·x+0,2=0 – це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

a x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
a x 2 + c = 0, коли b = 0;
і a x 2 + b x = 0 , коли c = 0 .

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a x 2 = 0

Почнемо з розв'язання неповних квадратних рівнянь, у яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто з рівнянь виду a x 2 =0 . Рівнянню a x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Вочевидь, коренем рівняння x 2 =0 є нуль, оскільки 0 2 =0 . Іншого коріння це рівняння немає, що пояснюється , дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2 >0 , звідки випливає, що при p≠0 рівність p 2 =0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0 .

Як приклад наведемо розв'язок неповного квадратного рівняння −4·x 2 =0 . Йому рівносильне рівняння x 2 =0 його єдиним коренем є x=0 , отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Коротке рішення в цьому випадку можна оформити так:
−4·x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Тепер розглянемо, як розв'язуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c 0 , тобто рівняння виду a x 2 + c = 0 . Ми знаємо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести такі рівносильні перетвореннянеповного квадратного рівняння a x 2 +c=0 :

перенести c у праву частину, Що дає рівняння a x 2 = -c ,
і розділити обидві його частини на a, отримуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a=1 і c=2 , то ) або позитивним, (наприклад, якщо a=−2 і c=6 , то ), воно не дорівнює нулю , оскільки за умовою c≠0. Окремо розберемо випадки та .

Якщо , то рівняння немає коріння. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом. З цього випливає, що коли , то ні для якого числа p рівність не може бути вірною.

Якщо , то справа з корінням рівняння йде інакше. У цьому випадку, якщо згадати про , то відразу стає очевидним корінь рівняння , ним є число , оскільки . Неважко здогадатися, як і число теж є коренем рівняння , дійсно, . Іншого коріння це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від протилежного. Зробимо це.

Позначимо щойно озвучені коріння рівняння як x 1 і −x 1 . Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2 відмінний від зазначених коренів x 1 і −x 1 . Відомо, що підстановка рівняння замість x його коренів звертає рівняння вірну числову рівність . Для x 1 і −x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівностей і дає x 1 2 −x 2 2 =0 . Властивості дій з числами дозволяють переписати отриману рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) = 0 . Ми знаємо, що добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманої рівності випливає, що x 1 −x 2 =0 та/або x 1 +x 2 =0 , що те саме, x 2 =x 1 та/або x 2 =−x 1 . Так ми дійшли протиріччя, оскільки спочатку сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і −x 1 . Цим доведено, що рівняння не має іншого коріння, окрім і .

Узагальним інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a x 2 +c=0 рівносильне рівнянню , яке

не має коріння, якщо ,
має два корені і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a x 2 + c = 0 .

Почнемо з квадратного рівняння 9 x 2 +7 = 0 . Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9·x 2 =−7 . Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як у правій частині вийшло негативне число, то це рівняння не має коріння, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 x 2 +7 = 0 не має коренів.

Розв'яжемо ще одне неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 . Переносимо дев'ятку до правої частини: −x 2 =−9 . Тепер ділимо обидві частини на −1, отримуємо х 2 =9. У правій частині знаходиться додатне число, Звідки укладаємо, що або . Після цього записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 має два корені x=3 або x=−3 .

a x 2 + b x = 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього видунеповних квадратних рівнянь при c=0. Неповні квадратні рівняння виду a x 2 + b x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо , що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x . Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильному рівняннювиду x · (a · x + b) = 0 . І це рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь x=0 і a·x+b=0 , останнє є лінійним і має корінь x=−b/a .

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 + b x = 0 має два корені x = 0 і x = - b / a .

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильне двом рівнянням x = 0 і . Вирішуємо отримане лінійне рівняння: , і виконавши поділ змішаного числана звичайний дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і .

Після отримання необхідної практики рішення таких рівнянь можна записувати коротко:

Відповідь:

x = 0 .

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів. Запишемо формулу коренів квадратного рівняння: , де D=b 2 −4·a·c- так званий дискримінант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що .

Корисно знати, як було отримано формула коренів, і як вона застосовується під час знаходження коренів квадратних рівнянь. Розберемося із цим.

Висновок формули коріння квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 . Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо квадратне рівняння.
Тепер виділимо повний квадрату його лівій частині: . Після цього рівняння набуде вигляду.
На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків у праву частину із протилежним знаком, маємо .
І ще перетворимо вираз, що опинилося у правій частині: .

У результаті ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратному рівнянню a x 2 + b x + c = 0 .

Аналогічні за формою рівняння ми вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали . Це дозволяє зробити такі висновки, що стосуються коренів рівняння:

якщо , то рівняння немає дійсних рішень;
якщо , то рівняння має вигляд , отже , звідки видно його єдиний корінь ;
якщо , те чи , що те саме чи , тобто, рівняння має два корені.

Отже, наявність чи відсутність коренів рівняння , отже, і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу , що стоїть правої частини. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, оскільки знаменник 4·a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 −4·a·c . Цей вираз b 2 −4·a·c назвали дискримінантом квадратного рівнянняі позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанта - за його значенням і знаком роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсне коріння, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння , перепишемо з використанням позначення дискримінанта: . І робимо висновки:

якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
якщо D=0 , це рівняння має єдиний корінь ;
нарешті, якщо D>0 , то рівняння має два корені або , які можна переписати у вигляді або , а після розкриття і приведення дробів до спільному знаменникуотримуємо.

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд де дискримінант D обчислюється за формулою D=b 2 −4·a·c .

З їх допомогою при позитивному дискримінанті можна обчислити обидва дійсні корені квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінанті обидві формули дають те саме значення кореня, що відповідає єдиному рішенню квадратного рівняння. А при негативному дискримінанті при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося із вилученням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки і шкільної програми. При негативному дискримінанті квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно пов'язанихкоренів, які можна знайти за тими самими отриманими нами формулами коренів .

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Насправді при розв'язанні квадратних рівняння можна одночасно використовувати формулу коренів, з допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставиться до знаходження комплексного коріння.

Однак у шкільному курсіалгебри зазвичай мова йдене про комплексне, а про дійсне коріння квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він невід'ємний (інакше можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм розв'язання квадратного рівняння. Щоб розв'язати квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0, треба:

за формулою дискримінанта D=b 2 −4·a·c обчислити його значення;
зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант негативний;
обчислити єдиний корінь рівняння за такою формулою , якщо D=0 ;
знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що з рівному нулю дискримінанту можна використовувати формулу , вона дасть те значення, як і .

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму розв'язання квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо розв'язки трьох квадратних рівнянь із позитивним, негативним та рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх розв'язанням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 +2·x−6=0.

Рішення.

І тут маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=1 , b=2 і c=−6 . Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Оскільки 28>0 , тобто дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх за формулою коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореняз подальшим скороченням дробу:

Відповідь:

Переходимо до такого характерного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння −4·x 2 +28·x−49=0 .

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як , тобто,

Відповідь:

x = 3,5.

Залишається розглянути розв'язання квадратних рівнянь із негативним дискримінантом.

приклад.

Розв'яжіть рівняння 5·y 2 +6·y+2=0 .

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a = 5, b = 6 і c = 2. Підставляємо ці значення у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння немає дійсних коренів.

Якщо ж потрібно вказати комплексне коріння, то застосовуємо відому формулукоренів квадратного рівняння , і виконуємо дії з комплексними числами :

Відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі: .

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якій вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексного коріння.

Формула коренів для парних других коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння , де D=b 2 −4·a·c дозволяє отримати формулу більш компактного виду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парним коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2·n , наприклад , або 14· ln5 = 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Допустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a x 2 +2 x x c = 0 . Знайдемо його коріння з використанням відомої формули. Для цього обчислюємо дискримінант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c), і далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 −a·c як D 1 (іноді його позначають D" ). Тоді формула коренів аналізованого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2·n набуде вигляду де D 1 =n 2 −a·c .

Нескладно помітити, що D=4·D 1 або D 1 =D/4 . Іншими словами, D1 – це четверта частина дискримінанта. Зрозуміло, що знак D 1 такий самий, як знак D . Тобто знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб розв'язати квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2n, треба

Обчислити D 1 =n 2 −a·c;
Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Якщо D 1 =0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
Якщо ж D 1 >0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої у цьому пункті формули коренів.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння 5·x 2 −6·x−32=0 .

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна як 2·(−3) . Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , тут a=5 , n=−3 та c=−32 і обчислити четверту частину дискримінанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Так як його значення позитивне, то рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

Відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Деколи, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вигляд цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 x 2 −4 x 6 = 0, ніж 1100 x 2 −400 x 600 = 0 .

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або розподілу обох частин на деяке число. Наприклад, у попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 x 2 −400 x 600=0 розділивши обидві його частини на 100 .

Подібне перетворення проводять із квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є . При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння на абсолютних величинйого коефіцієнтів. Наприклад візьмемо квадратне рівняння 12 x 2 −42 x 48 = 0 . абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6 . Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильного йому квадратного рівняння 2 x 2 -7 x + 8 = 0 .

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай проводиться для позбавлення від дробових коефіцієнтів. У цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК(6, 3, 1)=6 , воно набуде простіший вигляд x 2 +4·x−18=0 .

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на −1 . Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння −2·x 2 −3·x+7=0 переходять до рішення 2·x 2 +3·x−7=0 .

Зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коріння квадратного рівняння виражає коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомі та застосовні формули з теореми Вієта виду та . Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3·x 2 −7·x+22=0 можна відразу сказати, що його коренів дорівнює 7/3 , а добуток коренів дорівнює 22/3 .

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна виразити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти: .

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

5х (х – 4) = 0

5 х = 0 або х - 4 = 0

х = ± √ 25/4

Навчившись вирішувати рівняння першого ступеня, безумовно, хочеться працювати з іншими, зокрема з рівняннями другого ступеня, які по-іншому називаються квадратними.

Квадратні рівняння - це рівняння типу ах ² + bx + c = 0, де змінною є х, числами будуть - а, b, с де а не дорівнює нулю.

Якщо у квадратному рівнянні один чи інший коефіцієнт (с або b) дорівнюватиме нулю, то це рівняння буде відноситися до неповного квадратного рівняння.

Як вирішити неповне квадратне рівняння, якщо учні досі вміли розв'язувати лише рівняння першого ступеня? Розглянемо неповні квадратні рівняння різних видівта нескладні способи їх вирішення.

а) Якщо коефіцієнт с дорівнюватиме 0, а коефіцієнт b не дорівнюватиме нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + bх = 0.

Щоб розв'язати таке рівняння, потрібно знати формулу розв'язання неповного квадратного рівняння, яка полягає в тому, щоб ліву частину розкласти на множники і пізніше використовувати умову рівності твору нулю.

Наприклад, 5х² - 20х = 0. Розкладаємо ліву частину рівняння на множники, при цьому здійснюючи звичайну математичну операцію: винесення загального множника за дужки

5х (х – 4) = 0

Використовуємо умову, яка каже, що твори дорівнюють нулю.

5 х = 0 або х - 4 = 0

Відповіддю буде: перший корінь – 0; другий корінь – 4.

б) Якщо b = 0, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння ах ² + 0х + с = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + с = 0. Розв'язують рівняння двома способами: а) розкладаючи багаточлен рівняння в лівій частині на множники ; б) використовуючи властивості арифметичного квадратного кореня. Таке рівняння вирішується одним із методів, наприклад:

х = ± √ 25/4

х = ±5/2. Відповіддю буде: перший корінь дорівнює 5/2; другий корінь дорівнює – 5/2.

в) Якщо b дорівнюватиме 0 і с дорівнюватиме 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² = 0. У такому рівнянні x дорівнюватиме 0.

Як бачите, неповні квадратні рівняння можуть мати не більше двох коренів.

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не самих простих формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їхній явний запис, коли самий великий ступіньзаписана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

у рішенні буде два корені;
відповіддю буде одне число;
коріння рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони виглядатимуть як загальна формула квадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповідь рівняння буде дві різних кореня. При негативному числікоріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня – це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спершу розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.

Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другим корисною порадоюта помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданкидо того, розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.

Відомо, що воно є приватним варіантом рівності ах 2 +вх + с = о, де а, в і с - речові коефіцієнти при невідомому х, і де а ≠ про, а і з будуть нулями - одночасно або порізно. Наприклад, с = о, в ≠ або навпаки. Ми майже згадали визначення квадратного рівняння.

Тричлен другого ступеня дорівнює нулю. Перший його коефіцієнт а ≠ о, в і з можуть набувати будь-які значення. Значення змінної x тоді буде коли за підстановці оберне їх у правильне числове рівність. Зупинимося на речових коренях, хоча рішеннями рівняння можуть бути і Повним прийнято називати рівняння, в якому жоден з коефіцієнтів не дорівнює о, а ≠о, в ≠о, з ≠о.
Вирішимо приклад. 2х 2 -9х-5 = о, знаходимо
D = 81+40 = 121,
D позитивний, значить коріння є, х 1 = (9 + √121): 4 = 5, а другий х 2 = (9-√121): 4 = -о,5. Перевірка допоможе переконатися, що вони є вірними.

Ось поетапне рішення квадратного рівняння

Через дискримінант можна вирішити будь-яке рівняння, у лівій частині якого відомий квадратний тричленпри а ≠ о. У прикладі. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 + вх + с = о)

Розглянемо, які бувають неповні рівняння другого ступеня

ах 2+вх = o. Вільний член, коефіцієнт з при х 0 тут дорівнює нулю, в ≠ o.
Як розв'язувати неповне квадратне рівняння такого виду? Виносимо їх за дужки. Згадуємо, коли добуток двох множників дорівнює нулю.
x(ax+b) = o, це можливо, коли х = про або коли ax+b = o.
Вирішивши 2-ге маємо x = -в/а.
В результаті маємо коріння х 1 = 0 за обчисленнями x 2 = -b/a .
Тепер коефіцієнт прих дорівнює, а з не дорівнює (≠) о.
x 2 + с = о. Перенесемо з праву частину рівності, отримаємо x 2 = -с. Це рівняння тільки тоді має речове коріння, коли -з позитивне число (з ‹о),
х 1 тоді дорівнює √(-с), відповідно х 2 ― -√(-с). В іншому випадку рівняння зовсім не має коріння.
Останній варіант: b = c = o, тобто ах 2 = о. Звичайно, таке простеньке рівняння має один корінь, x = о.

Приватні випадки

Як розв'язувати неповне квадратне рівняння розглянули, а тепер матимуть будь-які види.

У повному квадратному рівнянні другий коефіцієнт при х – парне число.
Нехай k = o, 5b. Маємо формули для обчислення дискримінанта та коріння.
D/4 = k 2 - ас, коріння обчислюється так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
x = -k/a при D = o.
Немає коріння при D ‹ o.
Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х у квадраті дорівнює 1 їх прийнято записувати x 2 +рх + q = o. На них поширюються всі наведені вище формули, обчислення ж дещо простіше.
Наприклад, х 2 -4х-9 = 0. Обчислюємо D: 2 2+9, D = 13.
х 1 = 2 + √13, х 2 = 2-√13.
Крім того, до наведених легко застосовується. У ній говориться, що сума коренів рівняння дорівнює -p, другому коефіцієнту з мінусом (мається на увазі протилежний знак), а добуток цього ж коріння дорівнюватиме q, вільному члену. Перевірте, як легко можна було б усно визначити коріння цього рівняння. Для ненаведених (за всіх коефіцієнтів, не рівних нулю) ця теорема застосовна так: сума x 1 +x 2 дорівнює -в/а, добуток х 1 · х 2 дорівнює с/a.

Сума вільного члена з першого коефіцієнта а дорівнює коефіцієнту b. У цій ситуації рівняння має не менше одного коріння (легко доводиться), перший обов'язково дорівнює -1, а другий -з/а, якщо він існує. Як вирішувати неповне квадратне рівняння можна перевірити самостійно. Простіше простого. Коефіцієнти можуть бути в деяких співвідношеннях між собою

x 2 +x = o, 7х2 -7 = o.
Сума всіх коефіцієнтів дорівнює о.
Коріння такого рівняння - 1 і с/а. Наприклад, 2х2 -15х +13 = o.
x 1 = 1, х 2 = 13/2.

Існує ряд інших способів розв'язання різних рівнянь другого ступеня. Ось, наприклад, метод виділення з цього полінома повного квадрата. графічних способівкілька. Коли часто маєш справу з такими прикладами, навчишся «клацати» їх, як насіння, адже всі способи приходять на думку автоматично.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Дискримінант дозволяє вирішувати будь-які квадратні рівняння за допомогою загальної формули, яка має такий вигляд:

Формула дискримінанта залежить від рівня багаточлена. Вищеописана формула підійде для розв'язання квадратних рівнянь наступного виду:

Дискримінант має такі властивості, які потрібно знати:

* "D" дорівнює 0, коли многочлен має кратне коріння ( рівне коріння);

* "D" є симетричним багаточленом щодо коріння багаточлена і тому є багаточленом від його коефіцієнтів; більше, коефіцієнти цього многочлена цілі незалежно від розширення, у якому беруться коріння.

Допустимо, нам дано квадратне рівняння наступного виду:

1 рівняння

За формулою маємо:

Оскільки \, то рівняння має 2 корені. Визначимо їх:

Де можна вирішити рівняння через дискримінант онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.