Математичний знак між. Математичні позначення

В абстрактній алгебрі повсюдно використовуються символи для спрощення та скорочення тексту, а також стандартні позначення для деяких груп. Нижче наведено список алгебраїчних позначень, що найчастіше зустрічаються, відповідні команди в … Вікіпедія

Математичні позначення – це символи, що використовуються для компактного запису математичних рівнянь та формул. Крім цифр і букв різних алфавітів (латинського, у тому числі в готичному накресленні, грецької та єврейської), …

Стаття містить список загальновживаних абревіатур математичних функцій, операторів та інших математичних термінів. Зміст 1 Абревіатури 1.1 Латиниця 1.2 Грецька абетка … Вікіпедія

Юнікод, або Унікод (англ. Unicode) стандарт кодування символів, що дозволяє подати знаки практично всіх письмових мов. Стандарт запропонований у 1991 році некомерційною організацією "Консорціум Юнікоду" (англ. Unicode Consortium, ... ... Вікіпедія

Список специфічних символів, що використовуються в математиці, можна побачити в статті Таблиця математичних символів Математичні позначення («мова математики») складна графічна система позначень, що служить для викладу абстрактних… … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Плюс мінус (значення). ± ∓ Знак плюс мінус (±) математичний символ, який ставиться перед деяким виразом і означає, що значення цього виразу може бути як позитивним, так і … Вікіпедія

Необхідно перевірити якість перекладу та привести статтю у відповідність до стилістичних правил Вікіпедії. Ви можете допомогти … Вікіпедія

Або математичні символи знаки, які символізують певні математичні події зі своїми аргументами. До найпоширеніших відносяться: Плюс: + Мінус: , − Знак множення: ×, ∙ Знак поділу: :, ∕, ÷ Знак зведення в… … Вікіпедія

Знаки операцій або математичні символи - знаки, які символізують певні математичні дії зі своїми аргументами. До найпоширеніших відносяться: Плюс: + Мінус: , − Знак множення: ×, ∙ Знак поділу: :, ∕, ÷ Знак зведення… … Вікіпедія

із двох), 3 > 2 (три більше двох) тощо.

Розвиток математичної символіки був із загальним розвитком понять і методів математики. Першими Знаки математичнібули знаки для зображення чисел - цифри, виникнення яких, очевидно, передувало писемності. Найбільш давні системи нумерації - вавилонська та єгипетська - з'явилися ще за 3 1/2 тисячоліття до н. е.

Перші Знаки математичнідля довільних величин з'явилися набагато пізніше (починаючи з 5-4 ст. до н. е.) у Греції. Величини (площі, об'єми, кути) зображалися як відрізків, а добуток двох довільних однорідних величин - як прямокутника, побудованого відповідних відрізках. У «Початках» Евкліда (3 ст до н. е.) величини позначаються двома літерами - початковою та кінцевою літерами відповідного відрізка, а іноді й однієї. У Архімеда (3 ст. до нашої ери) останній спосіб стає звичайним. Подібне позначення містило у собі можливості розвитку літерного обчислення. Однак у класичній античній математиці літерного числення створено був.

Початки літерного зображення та обчислення виникають у пізньоелліністичну епоху в результаті звільнення алгебри від геометричної форми. Діофант (ймовірно, 3 ст) записував невідому ( х) та її ступеня наступними знаками:

[ - Від грецького терміну dunamiV (dynamis - сила), що позначав квадрат невідомої, - від грецького cuboV (k_ybos) - куб]. Праворуч від невідомої або її ступенів Діофант писав коефіцієнти, наприклад 3х5 зображувалося

(Де = 3). При додаванні Діофант приписував доданки один до одного, для віднімання використовував спеціальний знак; рівність Діофант позначав буквою i [від грецької isoV (isos) – рівний]. Наприклад, рівняння

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =х

У Діофанта записалося б так:

(тут

означає, що одиниця немає множника як ступеня невідомого).

Через кілька століть індійці ввели різні Знаки математичнідля кількох невідомих (скорочення найменувань кольорів, що позначали невідомі), квадрата, квадратного кореня, числа, що віднімається. Так, рівняння

3х 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

У записі Брахмагупт (7 ст) мало б вигляд:

Йа ва 3 йа 10 ру 8

Йа ва 1 йа 0 ру 1

(йа - від яват - тават - невідоме, ва - від варга - квадратне число, ру - від рупа - монета рупія - вільний член, точка над числом означає віднімається число).

Створення сучасної символіки алгебри відноситься до 14-17 ст.; воно визначалося успіхами практичної арифметики та вчення про рівняння. У різних країнах стихійно з'являються Знаки математичнідля деяких дій та для ступенів невідомої величини. Проходять багато десятиліть і навіть століття, перш ніж виробляється той чи інший зручний символ. Так, наприкінці 15 в. н. Шюке та Л. Пачолі вживали знаки складання та віднімання

(Від лат. Plus і Minus), німецькі математики ввели сучасні + (ймовірно, скорочення лат. Et) і -. Ще в 17 ст. можна нарахувати близько десятка Знаки математичнідля дії множення.

Різні були і Знаки математичніневідомої та її ступенів. У 16 - на початку 17 ст. конкурувало більше десяти позначень для одного лише квадрата невідомої, наприклад се(від census - латинський термін, який служив перекладом грецького dunamiV, Q(від quadratum), , A (2), , Aii, aa, a 2та ін. Так, рівняння

x 3 + 5 x = 12

мало б у італійського математика Дж. Кардано (1545) вигляд:

у німецького математика М. Штифеля (1544):

у італійського математика Р. Бомбеллі (1572):

французького математика Ф. Вієта (1591):

у англійського математика Т. Гарріота (1631):

У 16 та на початку 17 ст. входять у вживання знаки рівності та дужки: квадратні (Р. 1999). Бомбеллі , 1550), круглі (Н. Тарталья, 1556), фігурні (Ф. Вієт, 1593). У 16 ст. сучасний вигляд приймає запис дробів.

Значним кроком вперед у розвитку математичної символіки стало введення Вієтом (1591) Знаки математичнідля довільних постійних величин у вигляді великих приголосних букв латинського алфавіту, D, що дало йому можливість вперше записувати алгебраїчні рівняння з довільними коефіцієнтами і оперувати ними. Невідомі Вієт зображував голосними великими літерами А, Е,... Наприклад, запис Вієта

У наших символах виглядає так:

x 3 + 3bx = d.

Вієт став творцем алгебраїчних формул. Р. Декарт (1637) надав знакам алгебри сучасного вигляду, позначаючи невідомі останніми літерами лат. алфавіту х, у, z,а довільні дані величини – початковими літерами а, b, с.Йому належить теперішній запис ступеня. Позначення Декарта мали велику перевагу в порівнянні з усіма попередніми. Тому вони незабаром отримали загальне визнання.

Подальший розвиток Знаки математичнібуло тісно пов'язане зі створенням аналізу нескінченно малих, для розробки символіки якого основа була вже значною мірою підготовлена ​​в алгебрі.

Дати виникнення деяких математичних знаків

знак	значення	Хто ввів	Коли введено
Знаки індивідуальних об'єктів
¥	нескінченність	Дж. Валліс	1655
e	основа натуральних логарифмів	Л. Ейлер	1736
p	відношення довжини кола до діаметру	У. Джонс Л. Ейлер	1706
i	корінь квадратний з -1	Л. Ейлер	1777 (у пресі 1794)
i j k	одиничні вектори, орти	У. Гамільтон	1853
П(а)	кут паралельності	Н.І. Лобачевський	1835
Знаки змінних об'єктів
x, y, z	невідомі чи змінні величини	Р. Декарт	1637
r	вектор	О. Коші	1853
Знаки індивідуальних операцій
+	додавання	німецькі математики	Кінець 15 ст.
–	віднімання
´	множення	У. Оутред	1631
×	множення	Г. Лейбніц	1698
:	поділ	Г. Лейбніц	1684
a 2 , a 3 ,…, a n	ступеня	Р. Декарт	1637
		І. Ньютон	1676
	коріння	К. Рудольф	1525
		А. Жірар	1629
Log	логарифм	І. Кеплер	1624
log		Б. Кавальєрі	1632
sin	синус	Л. Ейлер	1748
cos	косинус
tg	тангенс	Л. Ейлер	1753
arc.sin	арксинус	Ж. Лагранж	1772
Sh	гіперболічний синус	В. Ріккаті	1757
Ch	гіперболічний косинус
dx, ddx, …	диференціал	Г. Лейбніц	1675 (у пресі 1684)
d 2 x, d 3 x, …
	інтеграл	Г. Лейбніц	1675 (у пресі 1686)
	похідна	Г. Лейбніц	1675
|x	похідна	Ж. Лагранж	1770, 1779
y’
¦¢(x)
Dx	різниця	Л. Ейлер	1755
	приватна похідна	А. Лежандр	1786
	визначений інтеграл	Ж. Фур'є	1819-22
	сума	Л. Ейлер	1755
П	твір	К. Гаусс	1812
!	факторіал	К. Крамп	1808
|х|	модуль	К. Вейєрштрас	1841
lim	межа	У. Гамільтон, багато математиків	1853, початок 20 ст.
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	дзета-функція	Б. Ріман	1857
Г	гамма-функція	А. Лежандр	1808
У	бета-функція	Ж. Біне	1839
D	дельта (оператор Лапласа)	Р. Мерфі	1833
Ñ	набла (оператор Гамільтона)	У. Гамільтон	1853
Знаки змінних операцій
jx	функція	І. Бернули	1718
f(x)		Л. Ейлер	1734
Знаки індивідуальних стосунків
=	рівність	Р. Рекорд	1557
>	більше	Т. Гарріот	1631
<	менше
º	порівнянність	К. Гаусс	1801
	паралельність	У. Оутред	1677
^	перпендикулярність	П. Ерігон	1634

І. Ньютон у своєму методі флюксій і флюент (1666 та наступні рр.) увів знаки для послідовних флюксій (похідних) величини (у вигляді

і для нескінченно малого збільшення o. Дещо раніше Дж. Валліс (1655) запропонував знак нескінченності ¥.

Творцем сучасної символіки диференціального та інтегрального обчислень є Г.Р. Лейбніц. Йому, зокрема, належать уживані нині Знаки математичнідиференціалів

dx, d 2 x, d 3 x

та інтеграла

Величезна заслуга у створенні символіки сучасної математики належать Л.А. Ейлеру. Він увів (1734) у загальне вживання перший знак змінної операції, саме знак функції f(x) (Від лат. Functio). Після робіт Ейлера знаки для багатьох індивідуальних функцій, наприклад тригонометричних, набули стандартного характеру. Ейлеру ж належать позначення постійних е(підстава натуральних логарифмів, 1736), p [ймовірно, від грецького perijereia (periphereia) - коло, периферія, 1736], уявної одиниці

(від французького imaginaire - уявний, 1777, опублікований в 1794).

У 19 ст. роль символіки зростає. Саме тоді з'являються символи абсолютної величини |x| (До. Вейєрштрас, 1841), вектора (Про. Коші, 1853), визначника

(О. Келі, 1841) та ін. Багато теорій, що виникли в 19 ст, наприклад Тензорне обчислення, не могли бути розвинені без відповідної символіки.

Поряд із зазначеним процесом стандартизації Знаки математичніу сучасній літературі дуже часто можна зустріти Знаки математичні, які використовуються окремими авторами тільки в межах даного дослідження.

З точки зору математичної логіки, серед Знаки математичніможна намітити такі основні групи: а) знаки об'єктів, б) знаки операцій, в) знаки відносин. Наприклад, знаки 1, 2, 3, 4 зображують числа, тобто об'єкти, що вивчаються арифметикою. Знак операції додавання + сам собою не зображує ніякого об'єкта; він отримує предметне зміст, коли зазначено, які числа складаються: запис 1 + 3 зображує число 4. Знак > (більше) є відношення між числами. Знак відносини отримує цілком певний зміст, коли зазначено, між якими об'єктами ставлення розглядається. До перерахованих трьох основних груп Знаки математичніпримикає четверта: Р) допоміжні знаки, встановлюють порядок поєднання основних символів. Достатнє уявлення про такі знаки дають дужки, що вказують порядок провадження дій.

Знаки кожної з трьох груп А), Б) і В) бувають двох пологів: 1) індивідуальні знаки цілком певних об'єктів, операцій та відносин; 2) загальні знаки «неременних», або «невідомих», об'єктів, операцій та відносин.

Приклади першого роду знаків можуть служити (див. також таблицю):

A 1) Позначення натуральних чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентних чисел ета p; уявної одиниці i.

Б 1) Знаки арифметичних дій +, -, ·, ´,:; вилучення кореня, диференціювання

знаки суми (об'єднання) і твори (перетину) множин; сюди належать знаки індивідуальних функцій sin, tg, log тощо.

1) Знаки рівності та нерівності =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Знаки другого роду зображують довільні об'єкти, операції та відносини певного класу або об'єкти, операції та відносини, підпорядковані будь-яким заздалегідь обумовленим умовам. Наприклад, при записі тотожності ( a + b)(a - b) = a 2 - b 2 літери аі bпозначають довільні числа; щодо функціональної залежності у = х 2 літери хі у -довільні числа, пов'язані заданим ставленням; при вирішенні рівняння

хпозначає будь-яке число, що задовольняє даному рівнянню (в результаті розв'язання цього рівняння ми дізнаємося, що цій умові відповідають лише два можливі значення +1 і -1).

З логічної точки зору, законно такого роду загальні знаки називати знаками змінних, як це прийнято в математичній логіці, не лякаючись тієї обставини, що область зміни змінного може виявитися що складається з одного єдиного об'єкта або навіть порожній (наприклад, у разі рівнянь , які мають рішення). Подальшими прикладами такого роду знаків можуть бути:

A 2) Позначення точок, прямих, площин і складніших геометричних фігур літерами геометрії.

Б 2) Позначення f, , j для функцій та позначення операторного обчислення, коли однією літерою Lзображують, наприклад, довільний оператор виду:

Позначення для «змінних відносин» менш поширені, вони знаходять застосування лише математичної логіці (див. Алгебра логіки ) і порівняно абстрактних, переважно аксіоматичних, математичних дослідженнях.

Літ.: Cajori., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Стаття про слово Знаки математичніу Великій Радянській Енциклопедії була прочитана 39765 разів

Як відомо, математика любить точність і стислість - недаремно одна-єдина формула може в словесній формі займати абзац, а часом і цілу сторінку тексту. Таким чином, графічні елементи, що використовуються в усьому світі в науці, покликані збільшити швидкість написання і компактність представлення даних. Крім того, стандартизовані графічні зображення може розпізнати носій будь-якої мови, яка має базові знання у відповідній сфері.

Історія математичних знаків і символів налічує багато століть - деякі з них були придумані випадковим чином та призначалися для позначення інших явищ; інші ж стали продуктом діяльності вчених, які цілеспрямовано формують штучну мову і керуються виключно практичними міркуваннями.

Плюс і мінус

Історія походження символів, що позначають найпростіші арифметичні операції, невідома. Однак існує досить ймовірна гіпотеза походження знака «плюс», що має вигляд перехрещених горизонтальної та вертикальної характеристик. Відповідно до неї символ додавання бере початок у латинському союзі et, який перекладається російською мовою як «і». Поступово, з метою прискорення процесу запису, слово було скорочено вертикально орієнтованого хреста, що нагадує букву t. Найраніший достовірний приклад такого скорочення датується XIV століттям.

Загальноприйнятий знак «мінус» з'явився, мабуть, пізніше. У XIV і навіть XV столітті в науковій літературі використовувалась ціла низка символів, що позначають операцію віднімання, і лише до XVI століття «плюс» і «мінус» у їхньому сучасному вигляді стали зустрічатися в математичних працях разом.

Множення та розподіл

Як не дивно, математичні знаки та символи для цих двох арифметичних дій не повністю стандартизовані й сьогодні. Популярним позначенням множення є запропонований математиком Відред у XVII столітті діагональний хрестик, який можна побачити, наприклад, на калькуляторах. На уроках математики в школі ту ж операцію зазвичай представляють у вигляді точки - цей спосіб запропонував у тому ж столітті Лейбніц. Ще один спосіб подання - зірочка, яка найчастіше використовується при комп'ютерному поданні різних розрахунків. Використовувати її запропонував все в тому ж XVII столітті Йоган Ран.

Для операції поділу передбачені знак похилої риси (запропоновано Відред) і горизонтальна лінія з точками зверху і знизу (символ ввів Йоган Ран). Перший варіант позначення є популярнішим, проте другий також досить поширений.

Математичні знаки та символи та їх значення часом змінюються у часі. Однак усі три способи графічного представлення множення, а також обидва способи для поділу є тією чи іншою мірою заможними та актуальними на сьогоднішній день.

Рівність, тотожність, еквівалентність

Як і у багатьох інших математичних знаків і символів, позначення рівності спочатку було словесним. Досить тривалий час загальноприйнятим позначенням служило скорочення ae від латинського aequalis (рівні). Однак у XVI столітті математик з Уельсу на ім'я Роберт Рекорд запропонував як символ дві горизонтальні прямі, розташовані один під одним. Як стверджував учений, не можна вигадати нічого більш рівного між собою, ніж два паралельні відрізки.

Незважаючи на те, що аналогічний знак використовувався для позначення паралельності прямих, новий символ рівності поступово набув поширення. До речі, такі знаки як «більше» і «менше», що зображують розгорнуті в різні боки галочки, з'явилися лише XVII-XVIII столітті. Сьогодні ж вони здаються інтуїтивно зрозумілими для будь-якого школяра.

Дещо складніші знаки еквівалентності (дві хвилясті лінії) і тотожності (три горизонтальні паралельні прямі) узвичаїлися лише в другій половині XIX століття.

Знак невідомого – «Ікс»

Історія виникнення математичних знаків та символів знає й дуже цікаві випадки переосмислення графіки з розвитком науки. Знак позначення невідомого, який називається сьогодні «іксом», бере свій початок на Близькому Сході на зорі минулого тисячоліття.

Ще в X столітті в арабському світі, що славиться в той історичний період своїми вченими, поняття невідомого позначалося словом, що буквально перекладається як «щось» і починається зі звуку «Ш». З метою економії матеріалів та часу слово в трактатах почало скорочуватися до першої літери.

Через багато десятиліть письмові праці арабських учених опинилися у містах Піренейського півострова, біля сучасної Іспанії. Наукові трактати стали перекладатися національною мовою, але виникла труднощі - в іспанському відсутня фонема «Ш». Запозичені арабські слова, що починаються з неї, записувалися за особливим правилом і випереджалися літерою X. Науковою мовою того часу була латина, в якій відповідний знак має назву «Ікс».

Таким чином, знак, що на перший погляд є лише випадково обраним символом, має глибоку історію і спочатку є скороченням арабського слова «щось».

Позначення інших невідомих

На відміну від «Ікса», знайомі нам зі шкільної лави Y та Z, а також a, b, c мають набагато більш прозаїчну історію походження.

У XVII столітті було видано книгу Декарта під назвою «Геометрія». У цій книзі автор пропонував стандартизувати символи в рівняннях: відповідно до його ідеї, останні три літери латинського алфавіту (починаючи від «Ікса») стали означати невідомі, а три перші – відомі значення.

Тригонометричні терміни

По-справжньому незвичайна історія такого слова, як синус.

Спочатку відповідні тригонометричні функції отримали назву Індії. Слово, яке відповідає поняттю синуса, буквально означало «тітива». В епоху розквіту арабської науки індійські трактати були перекладені, а поняття, аналога якому не виявилося в арабській мові, транскрибовано. За збігом обставин те, що вийшло на листі, нагадувало реально існуюче слово «впадина», семантика якого не мала жодного відношення до вихідного терміну. В результаті, коли в 12 столітті арабські тексти були перекладені латиною, виникло слово «синус», що означає «впадина» і закріпилося як нове математичне поняття.

А ось математичні знаки та символи для тангенсу та котангенсу досі не стандартизовані – в одних країнах їх прийнято писати як tg, а в інших – як tan.

Деякі інші знаки

Як видно з прикладів, описаних вище, виникнення математичних знаків та символів значною мірою припало на XVI-XVII століття. На цей період довелося виникнення звичних сьогодні форм запису таких понять, як відсоток, квадратний корінь, ступінь.

Відсоток, т. е. сота частка, тривалий час позначався як cto (скорочення від латів. cento). Вважається, що загальноприйнятий на сьогоднішній день знак з'явився внаслідок друкарської помилки близько чотирьохсот років тому. Зображення, що вийшло, було сприйнято як вдалий спосіб скорочення і прижилося.

Знак кореня спочатку був стилізовану букву R (скорочення від латинського слова radix - «корінь»). Верхня риса, під яку сьогодні записується вираз, виконувала функцію дужок і була окремим символом, відокремленим від кореня. Круглі дужки були вигадані пізніше - у повсюдне звернення вони увійшли завдяки діяльності Лейбніца (1646-1716). Завдяки його ж працям було введено в науку і символ інтеграла, що виглядає як витягнута буква S – скорочення від слова «сума».

Нарешті знак операції зведення в ступінь був придуманий Декартом і доопрацьований Ньютоном у другій половині XVII століття.

Пізніші позначення

Враховуючи, що знайомі нам графічні зображення «плюсу» і «мінусу» було введено в обіг лише кілька століть тому, не здається дивним, що математичні знаки та символи, що позначають складні явища, почали використовувати лише позаминулому столітті.

Так, факторіал, що має вигляд знака оклику після числа або змінної, з'явився лише на початку XIX століття. Приблизно тоді з'явилися велика «П» для позначення твори і символ межі.

Дещо дивно, що знаки для числа Пі та алгебраїчної суми з'явилися лише у XVIII столітті - пізніше, ніж, наприклад, символ інтеграла, хоча інтуїтивно здається, що вони є більш уживаними. Графічне зображення відношення довжини кола до діаметра походить від першої літери грецьких слів, що означають «коло» та «периметр». А знак «сигма» для суми алгебри був запропонований Ейлером в останній чверті XVIII століття.

Назви символів різними мовами

Як відомо, мовою науки в Європі протягом багатьох століть була латина. Фізичні, медичні та інші терміни часто запозичувалися як транскрипцій, значно рідше - як кальки. Таким чином, багато математичних знаків і символів англійською називаються майже так само, як російською, французькою або німецькою. Чим складніша суть явища, тим вища ймовірність, що в різних мовах воно матиме однакову назву.

Комп'ютерний запис математичних знаків

Найпростіші математичні знаки та символи у "Ворді" позначаються звичайною комбінацією клавіш Shift+цифра від 0 до 9 у російській або англійській розкладці. Окремі кнопки відведені під деякі широковживані знаки: плюс, мінус, рівність, похила риса.

Якщо ж потрібно використовувати графічні зображення інтеграла, алгебраїчної суми чи твору, числа Пі тощо, потрібно відкрити у «Ворді» вкладку «Вставка» та знайти одну з двох кнопок: «Формула» або «Символ». У першому випадку відкриється конструктор, що дозволяє побудувати цілу формулу у межах одного поля, тоді як у другому - таблиця символів, де можна знайти будь-які математичні знаки.

Як запам'ятати математичні символи

На відміну від хімії та фізики, де кількість символів для запам'ятовування може перевищувати сотню одиниць, математика оперує відносно невеликою кількістю знаків. Найпростіші з них ми засвоюємо ще в глибокому дитинстві, навчаючись складати та віднімати, і лише в університеті на певних спеціальностях знайомимося з нечисленними складними математичними знаками та символами. Картинки для дітей допомагають за лічені тижні досягти миттєвого впізнавання графічного зображення необхідної операції, набагато більше часу знадобиться для оволодіння навичкою здійснення цих операцій і розуміння їх сутності.

Таким чином, процес запам'ятовування знаків відбувається автоматично і вимагає особливих зусиль.

На закінчення

Цінність математичних знаків і символів полягає в тому, що їх легко розуміють люди, які говорять різними мовами і є носіями різних культур. Тому дуже корисно розуміти і вміти відтворювати графічні зображення різних явищ і операцій.

Високий рівень стандартизації цих знаків зумовлює їх використання у найрізноманітніших сферах: у сфері фінансів, інформаційних технологій, інженерної справи та інших. Для кожного, хто хоче займатися справою, що з числами і розрахунками, знання математичних знаків і символів та його значень стає життєвої необхідністю .

Математичні позначення(«Мова математики») - складна графічна система позначень, що служить для викладу абстрактних математичних ідей та суджень у людино-читаній формі. Складає (за своєю складністю та різноманітністю) значну частку немовних знакових систем, що застосовуються людством. У цій статті описується загальноприйнята міжнародна система позначень, хоча різні культури минулого мали свої власні, деякі з них навіть мають обмежене застосування досі.

Зазначимо, що математичні позначення, як правило, застосовуються спільно з письмовою формою якоїсь із природних мов.

Крім фундаментальної та прикладної математики, математичні позначення мають широке застосування у фізиці, а також (у неповному своєму обсязі) в інженерії, інформатиці, економіці, та й взагалі у всіх галузях людської діяльності, де застосовуються математичні моделі. Відмінності між власне математичним та прикладним стилем позначень будуть обумовлені під час тексту.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Знак / в математиці

✪ Математика 3 клас. Таблиця розрядів багатозначних чисел

✪ Безліч математики

✪ Математика 19. Математичні забави - Шишкіна школа

Субтитри

Вітання! Це відео не про математику, скоріше про етимологію та семіотики. Але впевнений, що вам сподобається. Поїхали! Ви ось в курсі, що пошук розв'язання кубічних рівнянь загалом зайняв у математиків кілька століть? Це частково чому? Тому що не було ясних символів для ясних думок, чи то річ наш час. Символів стільки, що й заплутатися можна. Але нас з вами не обдуриш, давайте розбиратися. Ось це - велика перегорнута літера А. Це насправді англійська літера, що вважається першою в словах "all" і "any". Російською цей символ, залежно від контексту, може читатися так: для будь-кого, кожен, кожному, все і таке інше. Такий ієрогліф називатимемо квантором загальності. А ось ще один квантор, але вже існування. Англійську букву е відобразили в Paint-е зліва направо, натякаючи цим на заморський дієслово "exist", по-нашому читатимемо: існує, знайдеться, є й іншим подібним чином. Знак оклику такому квантору існування додасть єдиності. Якщо з цим зрозуміло, рухаємось далі. Невизначені інтеграли вам, напевно, траплялися в класі так одинадцятому, я б хотів нагадати, що це не просто якась первісна, а сукупність усіх первісних підінтегральних функцій. Так що не забувайте про С – константу інтегрування. Між тим, сам значок інтеграла – це просто витягнута буква s, відлуння латинського слова сума. У цьому таки є геометричний зміст певного інтеграла: пошук площі фігури під графіком підсумовуванням нескінченно малих величин. Як на мене, це найромантичніше заняття в матаналізі. А ось шкільна геометрія найкорисніше тим, що привчає до логічної суворості. До першого курсу має бути чітке розуміння, що таке слідство, що таке рівносильність. Ну не можна плутатися у необхідності та достатності, розумієте? Давайте навіть спробуємо копнути трохи глибше. Якщо ви вирішили зайнятися вищою математикою, то я уявляю, наскільки у вас все погано з особистим життям, але саме тому ви, напевно, погодитеся здолати невелику вправу. Тут три пункти, у кожному є ліва та права частини, яку вам потрібно зв'язати одним із трьох намальованих символів. Будь ласка, натисніть паузу, спробуйте самі, а потім послухайте, що я вам скажу. Якщо x=-2, то |x|=2, тоді як ліворуч праворуч так фразу вже побудувати. У другому пункті в лівій та правій частинах написано абсолютно одне й те саме. А третій пункт можна прокоментувати так: кожний прямокутник є паралелограмом, але не кожен паралелограм є прямокутником. Так, знаю, що ви вже не маленькі, але все ж таки мої оплески тим, хто впорався з цією вправою. Ну та гаразд, годі, давайте згадаємо числові множини. Натуральні числа використовуються за рахунку: 1, 2, 3, 4 тощо. У природі -1 яблука немає, але, до речі, цілі числа дозволяють говорити про такі речі. Літера ℤ кричить нам про важливу роль нуля, безліч раціональних чисел позначається буквою ℚ, і це невипадково. В англійському слово "quotient" означає "ставлення". До речі, якщо десь у Брукліні до вас підійде афроамериканець і скаже: "Keep it real!" - можете бути впевнені, перед вами математик, шанувальник дійсних чисел. Ну а вам варто почитати щось про комплексні числа, буде корисніше. Ми ж зараз зробимо відкат, повернемося до першого класу найзвичайнішої грецької школи. Коротше кажучи, згадаємо давній алфавіт. Перша літера - альфа, потім бетта, цей гачок - гама, потім дельта, після неї слідує епсілон і так далі, аж до останньої літери омега. Можете не сумніватися, що греки мають і великі літери, але ми зараз не будемо про сумне. Ми краще про веселе - про межі. Але тут ніяких загадок і немає, відразу зрозуміло, від якого слова з'явився математичний символ. Ну а отже, ми можемо перейти до фінальної частини відео. Будь ласка, спробуйте озвучити визначення межі числової послідовності, яка зараз написана перед вами. Клікайте швидше паузу і розумієте, і нехай буде вам щастя однорічної дитини, яка дізналася слово "мама". Якщо будь-якого эпсилон більше нуля знайдеться натуральне N, так, що всіх номерів числової послідовності, великих N, виконано нерівність |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Загальні відомості

Система складалася, на кшталт природних мов, історично (див. історія, математичних позначень), і організована на кшталт писемності природних мов, запозичуючи звідти також багато символів (передусім, з латинського та грецького алфавітів). Символи, як і звичайній писемності, зображуються контрастними лініями на рівномірному тлі (чорні на білому папері, світлі на темній дошці, контрастні на моніторі тощо. буд.), і значення їх визначається насамперед формою і взаємним расположением. Колір до уваги не приймається і зазвичай не використовується, але, при використанні літер , такі їх характеристики як накреслення і навіть гарнітура , що не впливають на сенс у звичайній писемності, в математичних позначеннях можуть відігравати значення.

Структура

Звичайні математичні позначення (зокрема, так звані математичні формули) пишуться загалом у рядок зліва направо, проте не обов'язково становлять послідовний рядок символів. Окремі блоки символів можуть розташовуватися у верхній або нижній половині рядка, навіть якщо символи не перекриваються вертикалями. Також деякі частини розташовуються цілком вище або нижче рядка. З граматичного боку майже будь-яку «формулу» можна вважати ієрархічно організованою структурою типу дерева.

Стандартизація

Математичні позначення представляють систему у сенсі взаємозв'язку своїх компонентів, але, загалом, нескладають формальну систему (в розумінні самої математики). Вони, у складному разі, неможливо знайти навіть розібрані програмно . Як і будь-яка природна мова, «мова математики» сповнена неузгоджених позначень, омографів, різних (в середовищі своїх носіїв) трактувань того, що вважати правильним і т. п. не завжди однозначно вирішується питання, чи вважати два позначення різними символами або різними написаннями одного символу.

Деяка частина математичних позначень (в основному, пов'язана з вимірюваннями) стандартизована в ISO 31 -11, проте в цілому стандартизація позначень швидше відсутня.

Елементи математичних позначень

Числа

При необхідності застосувати систему числення з основою, меншою за десять, основа записується в нижній індекс: 20003 8 . Системи числення з підставами, більшими за десять, у загальноприйнятому математичному записі не застосовуються (хоча, зрозуміло, вивчаються самою наукою), оскільки для них не вистачає цифр. У зв'язку з розвитком інформатики стала актуальною шістнадцяткова система, обчислення, в якій цифри від 10 до 15 позначаються першими шістьма латинськими літерами від A до F. Для позначення таких чисел в інформатиці використовується кілька різних підходів, але в математику вони не перенесені.

Надрядкові та підрядкові знаки

Дужки, подібні до них символи та роздільники

Круглі дужки «()» використовуються:

Квадратні дужки нерідко застосовуються у значенні угруповання, коли доводиться використовувати багато пар дужок. У такому випадку вони ставляться зовні і (при акуратній друкарні) мають більшу висоту, ніж дужки, що стоять усередині.

Квадратні «» та круглі «()» дужки використовуються при позначенні закритих та відкритих проміжків відповідно.

Фігурні дужки «()» використовуються, як правило, для , хоча щодо них справедлива та ж застереження, що і для квадратних дужок. Ліва "(" і права ")" дужки можуть використовуватися окремо; їх призначення описано.

Символи кутових дужок. ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» при акуратній друкарні повинні мати тупі кути і тим відрізнятися від схожих , що мають прямий або гострий кут. Насправді ж на це не слід сподіватися (особливо, при ручному записі формул) і розрізняти їх доводиться за допомогою інтуїції.

Часто використовуються пари симетричних (щодо вертикальної осі) символів, у тому числі і відмінних від перерахованих для виділення шматка формули. Призначення парних дужок описано.

Індекси

Залежно від розташування розрізняють верхні та нижні індекси. Верхній індекс може означати (але необов'язково означає) зведення в ступінь, про інші випадки використання.

Змінні

У науках зустрічаються набори величин, і будь-яка їх може приймати чи набір значень і називатися змінноївеличиною (варіантою), або лише одне значення і називатися константою. У математиці від фізичного сенсу величини часто відволікаються, і тоді змінна величина перетворюється на абстрактну(або числову) змінну, позначену якимось символом, не зайнятим спеціальними позначеннями, про які було сказано вище.

Змінна Xвважається заданою, якщо вказано безліч значень, які вона приймає. (x). Постійну величину зручно розглядати як змінну, у якої відповідна безліч (x)складається з одного елемента.

Функції та оператори

У математиці не вбачається суттєвої різниці між оператором(Унарним), відображеннямі функцією.

Однак, маються на увазі, що якщо для запису значення відображення від заданих аргументів необхідно вказувати , то символ відображення позначає функцію, в інших випадках швидше говорять про оператора. Символи деяких функцій єдиного аргументу використовуються і з дужками і без. Багато елементарних функцій, наприклад sin ⁡ x (\displaystyle \sin x)або sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), але елементарні функції завжди називаються функціями.

Оператори та відносини (унарні та бінарні)

Функції

Функція може згадуватись у двох сенсах: як вираз її значення при заданих аргументах (пишеться f (x), f (x, y) (\displaystyle f(x),\f(x,y))і т. п.) або власне як функція. В останньому випадку ставиться лише символ функції, без дужок (хоча часто пишуть абияк).

Є багато позначень загальноприйнятих функцій, які у математичних роботах без додаткових пояснень. В іншому випадку функцію треба якось описувати і в фундаментальній математиці вона принципово не відрізняється від і точно позначається довільною літерою. Для позначення функцій-змінних найбільш популярна літера f, також часто застосовуються g і більшість грецьких.

Обумовлені (зарезервовані) позначення

Однак, однолітерним позначенням може бути, за бажання, надано іншого змісту. Наприклад, буква i часто використовується як позначення індексу в контексті, де комплексні числа не застосовуються, а буква може бути використана як змінна в будь-якій комбінаториці . Також, символи теорії множин (такі як « ⊂ (\displaystyle \subset )» та « ⊃ (\displaystyle \supset )») та обчислення висловлювань (такі як « ∧ (\displaystyle \wedge)» та « ∨ (\displaystyle \vee)») можуть бути використані в іншому сенсі, зазвичай як відношення порядку і бінарні операції відповідно.

Індексування

Індексування графічно зображується (зазвичай нижніми, іноді верхніми) і є, у певному сенсі, способом розширити інформаційне наповнення змінної. Проте, використовується воно в трьох кілька різних (хоч і перекриваються) сенсах.

Власне номери

Можна мати кілька різних змінних, позначаючи їх однією літерою, аналогічно до використання . Наприклад: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Зазвичай вони пов'язані якоюсь спільнотою, але це не обов'язково.

Більше того, як «індекси» можна використовувати не тільки числа, а й будь-які символи. Однак, коли у вигляді індексу пишеться інша змінна та вираз, цей запис інтерпретується як «змінна з номером, що визначається значенням індексного виразу».

У тензорному аналізі

У лінійній, алгебрі, тензорному аналізі, диференціальній геометрії з індексами (у вигляді змінних) записуються

Для позначення геометричних фігур та їх проекцій, для відображення відносини між ними, а також для стислості записів геометричних речень, алгоритмів розв'язання задач та доказу теорем в курсі використовується геометрична мова, Складений з позначень і символів, прийнятих в курсі математики (зокрема, в новому курсі геометрії в середній школі).

Все різноманіття позначень та символів, а також зв'язки між ними можуть бути поділені на дві групи:

група I - позначення геометричних фігур та відносин між ними;

група II позначення логічних операцій, що становлять синтаксичну основу геометричної мови.

Нижче наведено повний список математичних символів, що використовуються у цьому курсі. Особлива увага приділяється символам, які використовуються для позначення проекцій геометричних фігур.

Група I

СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧАЮТЬ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВІДНОСИНИ МІЖ НИМИ

А. Позначення геометричних фігур

1. Геометрична фігура позначається – Ф.

2. Крапки позначаються великими літерами латинського алфавіту або арабськими цифрами:

А, В, С, D, ..., L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Лінії, довільно розташовані стосовно площин проекцій, позначаються малими літерами латинського алфавіту:

а, b, с, d, ..., l, m, n, ...

Лінії рівня позначаються: h – горизонталь; f-фронталь.

Для прямих використовуються також такі позначення:

(АВ) - пряма, що проходить через точки А АВ;

[АВ) - промінь із початком у точці А;

[АВ] – відрізок прямий, обмежений точками А та В.

4. Поверхні позначаються малими літерами грецького алфавіту:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Щоб підкреслити спосіб завдання поверхні, слід вказувати геометричні елементи, якими визначається, наприклад:

α(а || b) - площина визначається паралельними прямими а і b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхня β визначається напрямними d 1 і d 2 утворює g і площиною паралелізму α.

5. Кути позначаються:

∠ABC - кут з вершиною в точці В, а також ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Кутова: величина (градусна міра) позначається знаком, який ставиться над кутом:

Розмір кута АВС;

Розмір кута φ.

Прямий кут відзначається квадратом з точкою всередині

7. Відстань між геометричними фігурами позначаються двома вертикальними відрізками - ||.

Наприклад:

|АВ| - відстань між точками А та В (довжина відрізка АВ);

|Аа| - Відстань від точки А до лінії a;

|А?| - Відстань від точки А до поверхні α;

|ab| - відстань між лініями а та b;

|αβ| відстань між поверхнями α та β.

8. Для площин проекцій прийнято позначення: π 1 і π 2 , де π 1 - горизонтальна площина проекцій;

π 2 -фрюнтальна площина проекцій.

При заміні площин проекцій або запровадження нових площин останні позначають π 3 , π 4 і т.д.

9. Осі проекцій позначаються: х, у, z, де х – вісь абсцис; у - вісь ординат; z – вісь аплікат.

Постійну пряму епюру Монжа позначають k.

10. Проекції точок, ліній, поверхонь будь-якої геометричної фігури позначаються тими ж літерами (або цифрами), що й оригінал, з додаванням верхнього індексу, що відповідає площині проекції, на якій вони отримані:

А", В", С", D", ..., L", М", N", горизонтальні проекції точок; А", В", С", D", ..., L", М" , N", ... фронтальні проекції точок; a", b", c", d", ..., l", m", n", - горизонтальні проекції ліній; а", b", с", d", ..., l", m ", n", ... фронтальні проекції ліній; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальні проекції поверхонь; α", β", γ", δ",...,ζ" ,η",ν",... фронтальні проекції поверхонь.

11. Сліди площин (поверхень) позначаються тими самими літерами, що і горизонталь або фронталь, з додаванням підрядкового індексу 0α, що підкреслює, що ці лінії лежать у площині проекції та належать площині (поверхні) α.

Так: h 0α – горизонтальний слід площини (поверхні) α;

f 0α – фронтальний слід площини (поверхні) α.

12. Сліди прямих (ліній) позначаються великими літерами, з яких починаються слова, що визначають назву (латинської транскрипції) площині проекції, яку перетинає лінія, з підрядковим індексом, що вказує на приналежність до лінії.

Наприклад: Ha - горизонтальний слід прямої (лінії) а;

F a – фронтальний слід прямої (лінії) a.

13. Послідовність точок, ліній (будь-якої фігури) відзначається підрядковими індексами 1,2,3,..., n:

А 1, А 2, А 3, ..., А n;

a 1, a 2, a 3, ..., a n;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1, Ф 2, Ф 3, ..., Ф n і т. д.

Допоміжна проекція точки, отримана в результаті перетворення для отримання дійсної величини геометричної фігури, позначається тією ж літерою з підрядковим індексом 0:

A 0, B 0, З 0, D 0, ...

Аксонометричні проекції

14. Аксонометричні проекції точок, ліній, поверхонь позначаються тими самими літерами, що й натура з додаванням верхнього індексу 0:

А 0, В 0, З 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0, b 0, c 0, d 0, ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторинні проекції позначаються шляхом додавання верхнього індексу 1:

А 10, В10, С10, D10, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для полегшення читання креслень у підручнику під час оформлення ілюстративного матеріалу використано кілька кольорів, кожен із яких має певне смислове значення: лініями (точками) чорного кольору позначені вихідні дані; зелений колір використаний для допоміжних ліній графічних побудов; червоними лініями (точками) показані результати побудов чи ті геометричні елементи, куди слід звернути особливу увагу.

Б. Символи, що позначають відносини між геометричними фігурами

№ по пір.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису
1	≡	Збігаються	(АВ)≡(CD) - пряма, що проходить через точки А і В, збігається з прямою, що проходить через точки С та D
2	≅	Конгруентні	∠ABC≅∠MNK - кут АВС конгруентний куту MNK
3	∼	Подібні	ΔАВС~ΔMNK - трикутники АВС і MNK подібні
4	||	Паралельні	α||β - площина α паралельна площині β
5	⊥	Перпендикулярні	а⊥b - прямі а та b перпендикулярні
6		Схрещуються	з d - прямі з і d схрещуються
7		Дотичні	t l - Пряма t є дотичною до лінії l. βα - площина β, що стосується поверхні α
8	→	Відображаються	Ф 1 →Ф 2 - фігура Ф 1 відображається на фігуру Ф 2
9	S	Центр проектування. Якщо центр проектування невласна точка, то його положення позначається стрілкою, вказує напрямок проектування	-
10	s	Напрямок проектування	-
11	P	Паралельне проектування	р s α Паралельне проектування - паралельне проектування на площину α у напрямку s

В. Позначення теоретико-множинні

№ по пір.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису	Приклад символічного запису в геометрії
1	M,N	Безліч	-	-
2	A,B,C,...	Елементи множини	-	-
3	{ ... }	Складається з...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,... ) - фігура Ф складається з точок А, В,С, ...
4	∅	Порожня безліч	L - ∅ - множина L порожня (не містить елементів)	-
5	∈	Належить, є елементом	2∈N (де N - безліч натуральних чисел) - число 2 належить множині N	А ∈ а - точка А належить прямий а (Точка А лежить на прямій а)
6	⊂	Включає, містить	N⊂М - множина N є частиною (підмножиною) множини всіх раціональних чисел	а⊂α - пряма а належить площині α (розуміється в значенні: безліч точок прямої а є підмножиною точок площини α)
7	∪	Об'єднання	С = A U В - безліч С є об'єднання множин A та В; (1, 2. 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ламана лінія, ABCD є об'єднання відрізків [АВ], [ВС],
8	∩	Перетин множин	М=К∩L - множина М є перетин множин К і L (містить в собі елементи, що належать як множині До, так і множині L). М ∩ N = ∅- перетин множин М і N є порожня множина (Большості М і N не мають спільних елементів)	а = α ∩ β - пряма а є перетин площин α та β а ∩ b = ∅ - прямі а та b не перетинаються (Не мають спільних точок)

Група II СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧУЮТЬ ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ

№ по пір.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису
1	∧	Кон'юнкція речень; відповідає союзу "і". Пропозиція (р∧q) істинна тоді і тільки тоді, коли р і q обидва істинні	α∩β = ( К:K∈α∧K∈β) Перетин поверхонь α і β є безліч точок (лінія), що складається з усіх тих і лише тих точок К, які належать як поверхні α, так і β
2	∨	диз'юнкція пропозицій; відповідає союзу "чи". Пропозиція (p∨q) істинно, коли істинно хоча б одна з пропозицій р або q (тобто р, або q, або обидва).	-
3	⇒	Імплікація – логічне слідство. Пропозиція р⇒q означає: "якщо р, то q"	(а||с∧b||с)⇒a||b. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою
4	⇔	Пропозиція (р⇔q) розуміється в сенсі: "якщо р, то q; якщо q, то і р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка належить площині, якщо вона належить до певної лінії, що належить цій площині. Справедливим є також і зворотне твердження: якщо точка належить певній лінії, що належить площині, вона належить і самої площині
5	∀	Квантор спільності читається: для кожного, для всіх, для будь-кого. Вираз ∀(x)P(x) означає: "для кожного x: має місце властивість Р(х)"	∀(ΔАВС)( = 180°) Для кожного (для будь-якого) трикутника сума величин його кутів при вершинах дорівнює 180 °
6	∃	Квантор існування читається: існує. Вираз ∃(х)P(х) означає: "існує х, що має властивість Р(х)"	(∀α)(∃a). Для будь-якої площини α існує пряма а, яка не належить площині α та паралельна площині α
7	∃1	Квантор єдиності існування, читається: існує єдине (-я, -й)... Вираз ∃1(x)(Рх) означає: "є єдине (тільки одне) х, що володіє властивістю Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для будь-яких двох різних точок А та В існує єдина пряма a, що проходить через ці точки.
8	(Px)	Заперечення висловлювання P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь). Якщо прямі а і b схрещуються, то не існує площини а, яка містить їх
9	\	Заперечення знаку	≠ -відрізок [АВ] не дорівнює відрізку .а?b - лінія а не паралельна лінії b