Вступ

Усі розділи накреслювальної геометрії користуються одним методом – методом проектування, тому креслення, що застосовуються не тільки в накреслювальній геометрії, називаються проекційні креслення.

Метод проектування полягає в тому, що будь-яка з точок безлічі точок простору може бути спроектована за допомогою променів, що проектують, на будь-яку поверхню. Для цього представимо деяку задану поверхню (рис.1) та точку Ав просторі. При проведенні променя Sчерез точку Ау напрямку поверхні останній перетне її в точці А 1 . Крапку Аназивають точкою, що проектується. Площина α, де отримують проекцію, називають площина проекцій. Точка перетину променя з площиною називається проекцією точки А. Пряма АА 1 (промінь), називається проеціюючим променем.

Рис.1.

Центральний (конічний або полярний) метод проектування заснований на тому, що при проектуванні на площину ряду точок ( А, B, Cі т.д.) всі проєцірующие промені проходять через одну точку, звану центром проектування, або полюсом.

Представимо у просторі трикутник АВСі проецірующие промені, що проходять через цей полюс Sі через крапки АВСтрикутника, проведені до перетину із площиною α. Трикутник А 1 B 1 C 1 буде центральною проекцією трикутника АВС(Рис.2).

Метод центрального проектування не задовольняє цілу низку умов, необхідних для технічного креслення, а саме: не дає однотипності зображення, повної ясності всіх геометричних форм, не має зручності, не має простоти зображення.

Метод паралельного (косокутного) проектування полягає в тому, що всі проецірующие промені, що проходять через точки трикутника АВС, Будуть паралельні між собою (рис.3). Цей метод випливає з методу центрального проектування, при цьому полюс має бути видалений на нескінченно велику відстань від площини, на яку проектується предмет.

Ортогональний (прямокутний) метод проектування – метод, коли проєкуючі промені паралельні між собою та перпендикулярні до площини проекцій (рис.4). Даний метод – окремий випадок паралельного проектування.

Таким чином, будь-яка точка простору може бути спроектована на площині проекцій: на горизонтальну П 1 фронтальну П 2 і профільну П 3 . Горизонтальна проекція точки позначається А 1 або А′, фронтальна А 2 або А″, профільна А 3 або А′″ (рис.5).

Паралельне проектування можна розглядати як окремий випадок центрального проектування.

Якщо центр проекцій при центральному апараті проектування перенести в нескінченність, то промені промені можна вважати паралельними. Звідси апарат паралельного проектування складається з площини проекцій П і напряму Р. При центральному проектуванні проецірующие промені виходять з однієї точки, а при паралельному проектуванні - паралельні між собою.

Залежно від напрямку проектуючих променів паралельне проектування може бути косокутним, коли проецірующие промені нахилені до площини проекцій, і прямокутним (ортогональним), коли проецірующие промені перпендикулярні до площини проекцій.

Розглянемо приклад косокутного паралельного проектування.

Побудуємо паралельну проекцію А1В1 відрізка АВ на площину П1 при заданому напрямку проектування Р не П1. Для цього необхідно провести проецірующие прямі через точки А і В, паралельні напрямку проектування Р. При перетині прямих, що проектують, з площиною П1 вийдуть паралельні проекції А1 і В1 точок А і В. З'єднавши паралельні проекції А1 і В1 ми отримаємо паралельну проекцію А1В1 відрізка .

Аналогічно можна побудувати паралельну проекцію А1В1С1D1 чотирикутника ABCD на площину П1 при заданому напрямку проектування Р не перпендикулярних П1.

Для цього необхідно провести проецірующие прямі через точки А, В, C, D, паралельні напрямку проектування Р. При перетині прямих, що проектують, з площиною П1 вийдуть паралельні проекції А1, В1, С1, D1 точок A, B, C, D. З'єднавши паралельні проекції А1, В1, С1, D1 ми отримаємо паралельну проекцію А1В1С1D1 чотирикутника ABCD.

Властивості проекцій при паралельному проектуванні:

Перші шість властивостей центрального проектування справедливі і для паралельного проектування. Перелічимо ще кілька властивостей властивих паралельному проеціювання:

1. Проекції паралельних прямих паралельні.

З малюнка видно, що прямі АА 1, ВВ 1, СС 1і DD 1утворюють дві паралельні площини aі b. Ці дві площини перетинаються з П 1. Отже, лінії перетину їх А 1 В 1і З 1 D 1будуть паралельні.

2. Якщо точка ділить довжину відрізка щодо m:n, то проекція цієї точки поділяє довжину проекції відрізка в тому самому відношенні.

Нехай крапка Зналежить відрізку АВ, причому |АС| : |СВ| = 2: 1. Побудуємо паралельну проекцію А 1 В 1відрізка АВ. Крапка З 1 А 1 В 1. Проведемо АC' || А 1 C 1і CB' || C 1 B 1, отримаємо два подібні трикутники АCC'і CBB’. З їхньої подоби випливає пропорційність сторін: |AC| : |СВ| = |AC'| : |CB'|, але |CB'| = | С1В1 |, а |AC'| = | А 1 C 1 |, звідси |AC| : |СВ| = | А 1 З 1 | : |C 1 B 1 |.

3. Плоска фігура, паралельна площині проекцій, проектується без спотворення.

Візьмемо трикутник АВСі спроектуємо його на дві паралельні площини проекцій П 1 ‘і П 1. Оскільки довжини відрізків рівні |А 1 А 1 '| = |У 1 У 1 '| = |З 1 З 1 '|і відрізки паралельні, то чотирикутники А 1 А 1 "У 1 В 1", В 1 В 1 "С 1 С 1", С 1 С 1 "А 1 А 1"є паралелограмами. Отже, протилежні сторони їх рівні за довжиною |А 1 У 1 | = | А 1 "У 1" |, | У 1 З 1 | = | У 1 " З 1 " |, | А 1 З 1 | = | А 1 "З 1" |, Отже, трикутники рівні.

Аналогічно, те саме можна довести і для будь-якої іншої плоскої фігури. Паралельне проектування, на відміну від центрального, має меншу наочність, але забезпечує простоту побудови і більший взаємозв'язок з оригіналом.

Паралельне проектування(рис. 1.6) можна розглядати як окремий випадок центрального проектування, при якому центр проектування видалений в нескінченність ( S∞). При паралельному проектуванні застосовують паралельні проецірующие прямі, проведені в заданому напрямку щодо площини проектування.

цій. Якщо напрям проектування перпендикулярно до площини проекцій, то проекції називають прямокутними або ортогональними. в інших випадках – косокутними (на рис. 1.6 напрямок проектування вказано стрілкою під кутом до площини проекцій).

При паралельному проектуванні зберігаються всі властивості центрального проектування, а також виникають нові властивості.

1. Паралельні проекції взаємно паралельних прямих паралельні, а відношення довжин відрізків таких прямих дорівнює відношенню довжин їх проекцій.

Якщо прямі MNі KL(рис. 1.7) паралельні, то проецірующие площини і паралельні, оскільки прямі, що перетинаються, в цих площинах взаємно паралельні: – за умовою,

Отже, проекції і паралельні як лінії перетину паралельних площин р і у з площиною л.

Зазначимо на прямій MNдовільний відрізок А Ві на прямий KLдовільний відрізок CD.Проведемо в площині р через точку Апряму й у площині через точку З пряму З – . Відрізки як відрізки паралельних між паралельними. Відрізки і, отже, . Відрізки , оскільки всі їхні сторони взаємно паралельні. З подоби трикутників і випливає:

З розглянутого випливає:

а) якщо довжина відрізка прямої ділиться точкою у будь-якому відношенні, то і довжина проекції відрізка ділиться проекцією цієї точки в тому самому відношенні (рис. 1.8):

б) проекції рівних за довжиною відрізків взаємно паралельних прямих взаємно паралельні та рівні за довжиною.

Це очевидно, оскільки (див. рис. 1.7) при . Тому при косокутному проектуванні в загальному випадку паралелограм, ромб, прямокутник, квадрат проектуються паралелограм.

• 2. Плоска фігура, паралельна площині проекцій, проектується при паралельному проектуванні на цю площину таку ж фігуру.
• 3. Паралельне перенесення фігури у просторі або площині проекцій не змінює вигляду та розмірів проекції фігури.

Паралельні проекції, як і центральні за одного центру проектування, також не забезпечують оборотності креслення.

Застосовуючи прийоми паралельного проектування точки та лінії, можна будувати паралельні проекції поверхні та тіла.

Паралельні проекції застосовують для побудови наочних зображень різних технічних пристроїв та їх деталей.

Прямокутне (ортогональне) проектування

Частковий випадок паралельного проектування, при якому напрям проектування перпендикулярно площині проекцій, називають прямокутнимабо ортогональним проектуванням. Прямокутною (ортогональною) проекцією точки називають основу перпендикуляра, проведеного з точки на площину проекцій. Прямокутна проекція D 0 крапки Dпоказано на рис. 1.9.

Поряд із властивостями паралельних (косовугільних) проекцій ортогональне проектування має таку властивість: ортогональні проекції двох взаємно перпендикулярних прямих, одна з яких паралельна площині проекцій, а інша не перпендикулярна до неї, взаємно перпендикулярні.

На рис. 1.10 Доведемо, що

Проекційна пряма перпендикулярна до площини проекцій , проекції та прямої ВА.Площина ) перпендикулярна до прямої ВА,так як вона перпендикулярна двом прямим цієї площини, що перетинається ( - за умовою, а за побудовою). Проекція перпендикулярна площині, оскільки . Отже, проекція площини на площині – пряма KLперпендикуляпна по поекції, а з прямою KLзбігається проекція У °С 0, т. е. що потрібно було довести.

У завданнях з геометрії успіх залежить тільки від знання теорії, а й від якісного креслення.
З плоскими кресленнями все більш-менш зрозуміло. А в стереометрії справа складніша. Адже зобразити треба тривимірнетіло на плоскомукресленні, причому так, щоб і ви самі, і той, хто дивиться на ваше креслення, побачили б те ж об'ємне тіло.

Як це зробити?
Звісно, ​​будь-яке зображення об'ємного тіла на площині буде умовним. Проте є певний набір правил. Існує загальноприйнятий спосіб побудови креслень. паралельне проектування.

Візьмемо об'ємне тіло.
Виберемо площина проекції.
Через кожну точку об'ємного тіла проведемо прямі, паралельні один одному і проекції, що перетинають площину, під яким-небудь кутом. Кожна з цих прямих перетинає площину проекції будь-якої точки. А всі разом ці точки утворюють проекціюоб'ємного тіла на площину, тобто його плоске зображення.

Як будувати проекції об'ємних тіл?
Уявіть, що у вас є каркас об'ємного тіла призми, піраміди або циліндра. Висвітлюючи його паралельним пучком світла, отримуємо зображення – тінь на стіні чи екрані. Зауважимо, що в різних ракурсах виходять різні зображення, але деякі закономірності все ж таки присутні:

Проекцією відрізка буде відрізок.

Звичайно, якщо відрізок перпендикулярний до площини проекції — він відобразиться в одну точку.

Проекцією кола у випадку виявиться еліпс.

Проекцією прямокутника – паралелограм.

Ось як виглядає проекція куба на площину:

Тут передня та задня грані паралельні площині проекції

Можна зробити по-іншому:

Який би ракурс ми не вибрали, проекціями паралельних відрізків на кресленні теж будуть паралельні відрізки. Це один із принципів паралельного проектування.

Малюємо проекції піраміди,

циліндра:

Ще раз повторимо основний принцип паралельного проектування. Вибираємо площину проекції та через кожну точку об'ємного тіла проводимо паралельні один одному прямі. Ці прямі перетинають площину проекції під будь-яким кутом. Якщо цей кут дорівнює 90° — йдеться про прямокутному проектуванні. За допомогою прямокутного проектування будуються креслення об'ємних деталей у техніці. У цьому випадку ми говоримо про вид зверху, вид спереду і вид збоку.

Окремий випадок центрального проектування з центром проекцій, що знаходяться в нескінченності (у невласній точці O). Здійснюється зв'язкою променів заданого напрямку S(Рис. 2).

Апарат паралельного проектування:

  площина проекцій;

S- Напрямок проектування;

[O  A][ O  B]  S

A  = [OA]  - паралельна проекція точки А на площину;

l  = (AA   BB) -паралельна проекція прямої на площину .

Оборотності немає. Одна центральна проекція точки не дозволяє судити про положення точки у просторі. А = D

Геометричні фігури проектуються на площину проекцій, у випадку, зі спотворенням. Характер спотворень залежить від апарату проектування і положення фігури, що проектується щодо площини проекцій.

Зокрема, при паралельному проектуванні порушуються метричні характеристики геометричних фігур (спотворюються лінійні та кутові величини). Деякі властивості фігури зберігаються для її проекції.

властивості фігури, що зберігаються в проекції, називаються незалежними або інваріантними. Ці інваріантні властивості часто називають скорочено інваріантами.

Інваріанти паралельного проектування

Проекція точки є крапкою (рис. 1; рис.2)

Проекція прямої є пряма (рис. 1; мал.2)



3 . Проекція точки, що належить прямій, належить до проекції.

цієї прямої (рис. 1; рис.2)

Проекція точки перетину прямих визначається перетином проекцій цих прямих (рис. 3)

Проекції взаємно паралельних прямих взаємно паралельні (рис. 4)

Відношення довжин відрізків взаємно паралельних прямих дорівнює відношенню довжин їх проекцій (рис. 4)

СЛІДСТВО:якщо відрізок прямий ділиться точкою у будь-якому відношенні, то проекція відрізка ділиться проекцією цієї точки в тому самому відношенні (рис. 5)

7 . Плоска фігура, паралельна площині проекцій, проектується на цю площину конгруентну фігуру (рис. 6)

Рис. 3 Мал. 4

Рис. 5 Мал. 6

1. Прямокутне (ортогональне) проектування

Частковий випадок паралельного проектування, при якому напрям проектування перпендикулярно площині проекцій (рис. 7)

Надалі беззастережно використовується ортогональне проектування.

В ортогональному проектуванні зберігаються всі властивості паралельного проектування. Крім того, для ортогонального проектування справедлива теорема про проектування прямого кута (дивися тему №6) і застосуємо спосіб визначення відстані між точками (тобто довжини відрізка, дивися тему №3), званий способом прямокутного трикутника.

Рис. 7

БІЛЬШ ДЕТАЛЬНО...

Положення предмета у просторі визначають чотири його точки, що не лежать в одній площині. Зображення просторового предмета на кресленні зводиться до побудови проекцій безлічі точок цього предмета на площині R(називається площиною проекцій) за допомогою прямих ліній (проекційних променів), що проходять через точки предмета і спрямованих до центру проектування S.

Однак, щоб збудувати проекцію предмета, не обов'язково будувати всі його точки. Достатньо знайти лише проекції характерних точок (вершин, ребер тощо), які потім з'єднати відповідною лінією.

Проецірующие промені в сукупності утворюють проекцію поверхню. Так, при проектуванні прямої АВ проекційною поверхнею є площина АВ ba(Рис.).

Лінія перетину abпроекції площини з площиною Rє проекцією прямої ABяка складається з проекцій окремих її точок.

Проекція подібна до тіні, відкинутої від предмета, освітленого лампою або сонцем.

При проектуванні кривої лінії у першому випадку проецірующие промені утворюють конічну поверхню з вершиною в точці S, Виходить доанічне (перспективне) зображення кривої (рис. 2). У другому випадку конус проектуючих променів перетворюється на циліндр і конічне зображення переходить у циліндричне (паралельне) (рис. 2). Проекція кривої лінії розглядається при цьому як лінія перетину поверхні, що проєкує, з площиною R.

У перспективі предмет зображується таким, яким він є оці спостерігача. Кришталик ока є центром проектування. Кожному з нас знайоме таке явище: якщо дивитися вздовж полотна залізниці, нам здається, що рейки ніби зближуються між собою і на горизонті сходяться в одну точку (центр), а опори, розташовані вздовж колії, зменшуються в міру віддалення.

Паралельне проектування -окремий випадок перспективи. Суть паралельного проектування полягає в наступному: якщо умовно видалити центр проектування в нескінченність, то промені промені можна вважати паралельними.

Так, щоб збудувати паралельну проекцію трикутника ABC(Рис.), потрібно задати: R- площина проекцій (не паралельна і не збігається з напрямком проектуючих променів); S- Напрямок проектуючих променів (напрямок проектування).

Далі, через характерні точки предмета проводять проєцірующие промені. Аа,Вbі Сспаралельно напрямку проектування, а потім знаходять точки a,bі з їхнього перетину з площиною R. Ці точки - потрібні паралельні проекції точок А,Уі Ззаданого трикутника.

Проекція abc- лінія перетину проекуючої призматичної поверхні з площиною R. Форма та розміри паралельної проекції будь-якого предмета при заданому напрямку проектування залежать тільки від вибору напрямку площини проекцій та не залежать від її віддалення від предмета. Трикутник, розташований у площині R 1 паралельної площині проекцій, проектується рівним заданому. В цьому випадку ab=AB,bc=BC,ac=AC.

Залежно від кута нахилу проекуючого променя до площини проекцій паралельне проектування поділяється на два види: прямокутне та косокутне.

ПРЯМОКУТНИМ(або ортогональним) проектування називається в тому випадку, коли напрямок проектування обрано перпендикулярним площині проекцій. В іншому випадку воно називається КОСУГІЛЬНИМ.

При прямокутному проектуванні (рис. 7) величина коефіцієнта спотворення не може перевищувати одиниці.

У косокутних проекціях (рис. 5) коефіцієнт спотворення ( До=ab/AB) даного відрізка АВможе приймати будь-які числові значення залежно від нахилу відрізка і променів, що проектують, до площини проекцій. Зокрема, якщо напрямок відрізка збігається з напрямком проектування, то проекцією цього відрізка буде точка, а коефіцієнт спотворення дорівнює нулю.

У паралельному проектуванні зберігаються основні властивостіперспективи, а саме:

1) проекція крапки є точка;

2) проекція прямої у випадку буде пряма;

3) кожній точці, що належить будь-якій лінії, відповідає проекція цієї точки на проекції цієї лінії.

Крім того, паралельне проектування має ще ряд (тільки йому властивих) властивостей:

4) якщо точка лежить на відрізку прямої, то проекція цієї точки ділить проекцію відрізка в тому ж відношенні, в якому

точка ділить відрізок, тобто. AC/CB=ас/cb(Рис. 5);

5) проекцією відрізків, що перетинаються, будуть також перетинаються відрізки, а точка їх перетину буде проекцією точки перетину даних відрізків (рис. 3);

6) проекції паралельних відрізків паралельні, одного напряму, які відношення дорівнює відношенню довжин відрізків, тобто. abcdі AB/CD=ab/cd(Рис. 4);

при прямокутному проектуванні прямий кут проектується прямим кутом тільки в тому випадку, якщо одна з його сторін паралельна площині проекцій, а друга не є проєчуючим променем (теорема про проектування прямого кута).