Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІпо математиці. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Паралелограм називається такий чотирикутник, в якому протилежні сторони попарно паралельні.

Паралелограм має всі властивості чотирикутників, але крім цього має і свої відмітні особливості. Знаючи їх, ми можемо легко знаходити як сторони, так і кути паралелограма.

Властивості паралелограма

1. Сума кутів у будь-якому паралелограмі, як і будь-якому чотирикутнику, дорівнює 360°.
2. Середні лінії паралелограма та його діагоналі перетинаються у одній точці і діляться нею навпіл. Цю точку прийнято називати центром симетрії паралелограма.
3. Протилежні сторони паралелограма завжди рівні.
4. Також у цієї постаті завжди рівні протилежні кути.
5. Сума кутів, що прилягають до будь-якої із сторін паралелограма, завжди становить 180°.
6. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його двох суміжних сторін. Це виражається формулою:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 +b 2), де d 1 і d 2 - діагоналі, a і b - суміжні сторони.
7. Косинус тупого кута завжди менше нуля.

Як визначити кути заданого паралелограма, застосовуючи ці властивості практично? І які формули можуть нам у цьому допомогти? Розглянемо конкретні завдання, яких вимагають: знайдіть величини кутів паралелограма.

Знаходження кутів паралелограма

Випадок 1. Відома міра тупого кута, потрібно знайти гострий кут.

Приклад: У паралелограмі ABCD кут A дорівнює 120 °. Знайдіть міру інших кутів.

Рішення: Користуючись властивістю № 5, ми можемо визначити міру кута B, суміжного з тим кутом, що дано у завданні. Він дорівнюватиме:

• 180 ° -120 ° = 60 °

А тепер, користуючись властивістю №4, ми визначаємо, що два кути C і D, що залишилися, протилежні тим кутам, які ми вже знайшли. Кут C протилежний куту A, кут D - куту B. Отже вони попарно їм рівні.

• Відповідь: B = 60 °, C = 120 °, D = 60 °

Випадок 2. Відомі довжини сторін та діагоналі

У такому разі нам необхідно скористатися теоремою косінусів.

Ми можемо спочатку за формулою обчислити косинус потрібного нам кута, а потім за спеціальною таблицею знайти, до чого дорівнює сам кут.

Для гострого кута формула така:

• cosa = (А² + В² - d²) / (2 * А * В), де
• а - це шуканий гострий кут,
• А і В - сторони паралелограма,
• d - менша діагональ

Для тупого кута формула трохи змінюється:

• cosß = (А² + В² - D²) / (2 * А * В), де
• ß - це тупий кут,
• А і В - сторони,
• D – велика діагональ

Приклад: необхідно знайти гострий кут паралелограма, сторони якого дорівнюють 6 см і 3 см, а менша діагональ дорівнює 5.2 см

Підставляємо значення у формулу для знаходження гострого кута:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. По таблиці з'ясовуємо, що кут дорівнює 60°.

Паралелограм називають чотирикутник протилежні сторони якого попарно паралельні. Також паралелограм має такі властивості, як протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні, сума всіх кутів дорівнює 360 градусів.

Вам знадобиться

• Знання з геометрії.

Інструкція

1. Подаємо один з кутів паралелограма і дорівнює A. Виявимо значення інших 3. За властивістю паралелограма протилежні кути рівні. Значить кут, що лежить навпаки даного дорівнює даному і його значення дорівнює А.

2. Виявимо два кути, що залишилися. Тому що сума всіх кутів у паралелограмі дорівнює 360 градусів, а протилежні кути між собою рівні, то виходить, що кут, що належить одній стороні з даними, дорівнює (360 - 2А)/2. Ну або пізніше реформування отримаємо 180 - А. Таким чином у паралелограмі два кути рівні А, а два інших кута рівні 180 - А.

Зверніть увагу!
Значення одного кута не може перевищувати 180 градусів. Отримані значення кутів можна легко перевірити. Для цього складіть їх і якщо сума дорівнює 360, все пораховано правильно.

Корисна порада
Прямокутник і ромб є окремим випадком паралелограма, тому всі властивості і способи обчислення кутів застосовні і до них.

Середній рівень

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат (2019)

1. Паралелограм

Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.

Ну, тобто, взяли дві паралельні прямі:

Перетнули ще двома:

І ось всередині - паралелограм!

Які є властивості у паралелограма?

Властивості паралелограма.

Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?

На це запитання відповідає така теорема:

Давай намалюємо докладно.

Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно

Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:

Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:

Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у завданні? Спробуй орієнтуватися на питання завдання, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.

А тепер поставимо собі інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?

На це запитання відповідає кілька ознак паралелограма.

Ознаки паралелограма.

Увага! Починаємо.

Паралелограм.

Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.

2. Прямокутник

Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що

Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?

Звісно, ​​є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака 3?

А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у будь-якого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Але є у прямокутника і одна відмінна властивість.

Властивість прямокутника

Чому ця властивість відмінна? Тому що в жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.

Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.

3. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

• як навхрест лежачі
• як навхрест лежать.

Значить (за II ознакою: і - загальна.)

Ну от, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... інакше!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, в.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

Отже, по двох катетах (і - загальний).

Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

1. Протилежні сторони рівні: , .
2. Протилежні кути дорівнюють: , .
3. Кути з одного боку становлять у сумі: , .
4. Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

1. Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
2. Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

1. Діагоналі ромба перпендикулярні: .
2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
3. Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також.

ЧОТИРИКУТНИКИ.

§43. ПАРАЛЕЛОГРАМ.

1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках АВDС та ЕFNМ (чорт. 224) ВD || АС та АВ || CD;
ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм АВDС (чорт. 225), у якому АВ | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі АВСС діагональ СВ. Доведемо, що /\ САВ = /\ СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; / АВС = / ВСD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АВ і СD і січній СВ; / АСВ = / СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD і січній CB (§ 38).

Звідси /\ САВ = /\ СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і АВD.

Наслідки. 1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

/ А = / D, це випливає з рівності трикутників САВ та СDВ.
Аналогічно та / З = / Ст.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

АВ = СD та АС = ВD, оскільки це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма в точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай ВС та AD - діагоналі паралелограма AВDС (чорт. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = ОВ.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад /\ AОВ та /\ СОD.

У цих трикутниках АВ = СD як протилежні сторони паралелограма;
/ 1 = / 2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних АВ і СD і січній AD;
/ 3 = / 4 з тієї ж причини, оскільки АВ | СD і СВ – їхня січна (§ 38).

Звідси слідує що /\ AОВ = /\ СОD. На рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = ОВ.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до одного боку паралелограма, дорівнює 2 d .

Довести самостійно.

3. Ознаки паралелограма.

Теорема. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику AВСС (чорт. 227) АВ = СD і АС = ВD. Доведемо, що за цієї умови АВ || СD та АС || ВD, тобто чотирикутник АВDC – паралелограм.
З'єднаємо відрізком якісь дві протилежні вершини цього - чотирикутника, наприклад С і В. Чотирьохкутник АВСС розбився на два рівні трикутники: /\ СAВ та /\ СDВ. Справді, сторона СВ вони загальна, АВ = СD і АС = ВD за умовою. Таким чином, три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого, тому /\ СAВ = /\ СDВ.

У рівних трикутниках проти рівних сторінлежать рівні кутитому
/ 1 = / 2 та / 3 = / 4.

Кути 1-ї та 2-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих АВ і СD прямий СВ. Отже, АВ | СD.

Так само кути 3-ї та 4-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих СА і ВD прямий СВ, отже, СА || ВD (§ 35).

Таким чином, протилежні сторони чотирикутника АВDС попарно паралельні, отже він паралелограм, що і потрібно довести.

Теорема 2. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику АВDС АВ = СD та АВ || СD. Доведемо, що за цих умов чотирикутник АВDС-паралелограм (чорт. 228).

З'єднаємо відрізком СВ вершини С і В. Внаслідок паралельності прямих АВ і СD кути 1 і 2, як кути внутрішні навхрест лежать, рівні (§ 38).
Тоді трикутник САВ дорівнює трикутникуСDВ, оскільки сторона СВ у них загальна,
АВ = СD за умовою теореми та / 1 = / 2 за доведеним. З рівності цих трикутників випливає рівність кутів 3 і 4, оскільки вони лежать проти рівних сторін у рівних трикутниках.

Але кути 3 і 4 - це внутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині прямих АС і ВD прямий СВ, отже, АС || ВD (§ 35), тобто чотирикутник
АВDС-паралелограм.

Вправи.

1. Довести, що й діагоналі чотирикутника у точці їх взаємного перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.

2. Довести, що чотирикутник, у якого сума внутрішніх кутів, що належать до кожної з двох сусідніх сторін, дорівнює 2 dє паралелограм.

3. Побудувати паралелограм по обидва боки і кут між ними:

а) використовуючи паралельність протилежних сторінпаралелограма;
б) використовуючи рівність протилежних сторін паралелограма.

4. Побудувати паралелограм за двома суміжним сторонамта діагоналі.

5. Побудувати паралелограм за двома його діагоналями та кутом між ними.

6. Побудувати паралелограм з його боку та двом діагоналям.