24.1. Поняття диференціалу функції

Нехай функція у = ƒ (х) має в точці х відмінну від нуля похідну.

Тоді, за теоремою про зв'язок функції, її межі та нескінченно малої функції, можна записати D у/D х=ƒ"(х)+α, де α→0 при ∆х→0, або ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким чином, збільшення функції ∆у являє собою суму двох доданків ƒ"(х) ∆х і а ∆х, які є нескінченно малими при ∆x→0. При цьому перший доданок є нескінченно мала функція одного порядку з ∆х, так як а другий доданок є нескінченно мала функція вищого порядку, ніж ∆х:

Тому перший доданок ƒ"(х) · ∆х називають головною частиною збільшенняфункції ∆у.

Диференціалом функціїу=ƒ(х) у точці х називається головна частина її збільшення, рівна добутку похідної функції на збільшення аргументу, і позначається dу (або dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)

Диференціал dу називають також диференціалом першого порядку.Знайдемо диференціал незалежної змінної х, тобто диференціал функції у = х.

Так як у "=х" = 1, то, згідно з формулою (24.1), маємо dy = dx = ∆x, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної: dх = ∆х.

Тому формулу (24.1) можна записати так:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

іншими словами, диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на диференціал незалежної змінної.

З формули (24.2) випливає рівність dy/dx=ƒ"(х). Тепер позначення

похідної dy/dx можна як ставлення диференціалів dy і dх.

<< Пример 24.1

Знайти диференціал функції ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Рішення: За формулою dy=ƒ"(х) dx знаходимо

dy=(3х2-sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Знайти диференціал функції

Обчислити dy при x=0, dx=0,1.

Рішення:

Підставивши х=0 та dx=0.1, отримаємо

24.2. Геометричний зміст диференціала функції

З'ясуємо геометричне значення диференціала.

Для цього проведемо до графіка функції у=ƒ(х) у точці М(х; у) дотичну МТ і розглянемо ординату цієї дотичної точки х+∆х (див. рис. 138). На малюнку ½ АМ½ = ∆х, | AM 1 | = ∆у. З прямокутного трикутника МАВ маємо:

Але, згідно з геометричним змістом похідної, tga=ƒ"(х). Тому АВ=ƒ"(х) ∆х.

Порівнюючи отриманий результат з формулою (24.1), отримуємо dy=АВ, тобто диференціал функції у=ƒ(х) у точці х дорівнює прирощенню ординати дотичної до графіка функції у цій точці, коли х отримає приріст ∆х.

У цьому полягає геометричний сенс диференціала.

24.3 Основні теореми про диференціали

Основні теореми про диференціали легко отримати, використовуючи зв'язок диференціала і похідної функції (dy=f"(x)dx) та відповідні теореми про похідні.

Наприклад, так як похідна функції у = дорівнює нулю, то диференціал постійної величини дорівнює нулю: dy = з "dx = 0 dx = 0".

Теорема 24.1.Диференціал суми, твору та частки двох диференційованих функцій визначаються такими формулами:

Доведемо, наприклад, другу формулу. За визначенням диференціалу маємо:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Теорема 24.2.Диференціал складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на диференціал цього проміжного аргументу.

Нехай у=ƒ(u) і u=φ(х) дві функції, що диференціюються, що утворюють складну функцію у=ƒ(φ(х)). За теоремою про похідну складну функцію можна написати

у "х = у" u u" x.

Помноживши обидві частини цієї рівності на dx, повчаємо у "х dx=у" u u" х dx. Але у" х dx=dy і u" х dx=du. Отже, останню рівність можна переписати так:

dy=у" u du.

Порівнюючи формули dy=у" х dx і dy=у" u du, бачимо, що перший диференціал функції у=ƒ(х) визначається однією і тією ж формулою незалежно від того, є її аргумент незалежною змінною або є функцією іншого аргументу.

Цю властивість диференціалу називають інваріантністю (незмінністю) форми першого диференціалу.

Формула dy=у" х dx на вигляд збігається з формулою dy=у" u du, але між ними є принципова відмінність: у першій формулі х - незалежна змінна, отже, dx=∆х, у другій формулі і є функція від х тому, взагалі кажучи, du≠∆u.

За допомогою визначення диференціалу та основних теорем про диференціали легко перетворити таблицю похідних у таблицю диференціалів.

Наприклад: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Таблиця диференціалів

24.5. Застосування диференціала до наближених обчислень

Як вже відомо, збільшення ∆у функції у=ƒ(х) у точці х можна представити у вигляді ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, де α→0 при ∆х→0, або ∆у= dy+α ∆х Відкидаючи нескінченно малу α ∆х вищого порядку, ніж ∆х, отримуємо наближену рівність

∆у≈dy, (24.3)

причому ця рівність тим точніша, чим менше ∆х.

Ця рівність дозволяє з великою точністю обчислити приблизно збільшення будь-якої диференційованої функції.

Диференціал зазвичай знаходиться значно простіше, ніж збільшення функції, тому формула (24.3) широко застосовується у обчислювальній практиці.

<< Пример 24.3

Знайти наближене значення збільшення функції у=х 3 -2х+1 при х=2 і ∆х=0,001.

Рішення: Застосовуємо формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Отже, ∆у» 0,01.

Подивимося, яку похибку допустили, обчисливши диференціал функції замість її збільшення. Для цього знайдемо ∆у:

∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х ) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);

Абсолютна похибка наближення дорівнює

| ∆у-dy | = | 0,010006-0,011 = 0,000006.

Підставляючи в рівність (24.3) значення ∆у та dy, отримаємо

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Формула (24.4) використовується для обчислення наближених значень функцій.

<< Пример 24.4

Обчислити приблизно arctg(1,05).

Рішення: Розглянемо функцію ƒ(х)=arctgx. За формулою (24.4) маємо:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

тобто.

Так як х + ∆х = 1,05, то при х = 1 і ∆х = 0,05 отримуємо:

Можна показати, що абсолютна похибка формули (24.4) вбирається у величини М (∆х) 2 , де М - найбільше значення |ƒ"(х)| на сегменті [х;х+∆х].

<< Пример 24.5

Який шлях пройде тіло при вільному падінні на Місяці за 10,04 з початку падіння. Рівняння вільного падіння тіла

H = g л t 2/2, g л = 1,6 м/с 2 .

Рішення: Потрібно знайти H(10,04). Скористаємося наближеною формулою (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с і ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, знаходимо

Завдання (для самостійного вирішення).Тіло масою m=20 кг рухається зі швидкістю =10,02 м/с. Обчислити приблизно кінетичну енергію тіла

24.6. Диференціали вищих порядків

Нехай у = ƒ (х) диференційована функція, а її аргумент х - незалежна змінна.Тоді її перший диференціал dy=ƒ"(х)dx є також функція х; можна знайти диференціал цієї функції.

Диференціал від диференціала функції у = ƒ (х) називається її другим диференціалом(або диференціалом другого порядку) і позначається d 2 y або d 2 (х).

Отже, визначення d 2 y=d(dy). Знайдемо вираз другого диференціала функції у = ƒ (х).

Так як dx = ∆х не залежить від х, то при диференціюванні вважаємо dx постійним:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 тобто .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)

Тут dx 2 означає (dx) 2 .

Аналогічно визначається та знаходиться диференціал третього порядку

d 3 y = d (d 2 y) = d (ƒ "(х) dx 2) f" (x) (dx) 3 .

І, взагалі, диференціал n-го порядку є диференціал від диференціалу (n-1)-го порядку: dn y = d (dn-l y) = f (n) (x) (dx) n .

Звідси знаходимо, що, зокрема, при n=1,2,3

відповідно отримуємо:

тобто похідну функції можна розглядати як відношення її диференціалу відповідного порядку до відповідного ступеня диференціалу незалежної змінної.

Зазначимо, що це наведені вище формули справедливі лише, якщо х - незалежна змінна. Якщо ж функцію у = ƒ (х), де х - функція від будь-якої іншої незалежної змінної, то диференціали другого і вище порядків не мають властивість інваріантності форми і обчислюються за іншими формулами. Покажемо це з прикладу диференціала другого порядку.

Використовуючи формулу диференціала твору (d(uv)=vdu+udv), отримуємо:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x , тобто.

d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)

Порівнюючи формули (24.5) і (24.6), переконуємося, що у разі складної функції формула диференціала другого порядку змінюється: з'являється другий доданок ƒ"(х) d 2 х.

Зрозуміло, що якщо х – незалежна змінна, то

d 2 x = d (dx) = d (l dx) = dx d (l) = dx 0 = 0

і формула (24.6) перетворюється на формулу (24.5).

<< Пример 24.6

Знайти d 2 y, якщо у = е 3х і х - незалежна змінна.

Рішення: Так як у "=3е 3х, у" = 9e 3х, то за формулою (24.5) маємо d 2 y = 9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Знайти d 2 y, якщо у = х 2 і х = t 3 +1і t-незалежна змінна.

Рішення: Використовуємо формулу (24.6): оскільки

у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2

то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Інше рішення: у = х 2, х = t 3 +1. Отже, у = (t 3 +1) 2 . Тоді за формулою (24.5)

d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,

d 2 y = (30t 4 +12t) dt 2 .

Диференціали вищих систем.

Нехай функція у = ¦(х) визначена в деякому проміжку Х (наприклад, інтервалі) і має в кожній внутрішній точці похідні всіх порядків. Тоді її диференціал dу = 1 dх. Будемо називати її диференціалом першого порядку.

У кожній точці диференціал функції є число. На проміжку він є функцією від х. Тому можна говорити про диференціал від першого диференціалу.

Визначення: Диференціал від диференціалу першого порядку функції у=|(х) називають диференціалом другого порядку цієї функції і символічно записують d(dу)=d 2 у.

Взагалі: диференціалом n-го порядку функції у = | (х) називають диференціал від диференціала (n-1) порядку функції d n у = d (d n-1 у).

Застосовні і позначення d(х), d2(х), dn(х)

Диференціали порядку вище за перший називаються диференціалами вищих порядків.

При обчисленні диференціалів вищих порядків треба враховувати, що dх є довільне, але не залежить від х число і при диференціювання по х слід вважати постійним множником.

Тому dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(у 1)= dх(у 11 dх)=у 11 (dх) 2 . Прийнято записувати рівень диференціала без дужок (dх) 2 = dх 2 .

Таким чином, d 2 у=у''dх 2 але це не можна плутати з d(х 2)= 2хdх

Аналогічно: d 3 у = d (у 11 dх 2) = dх 2 d (у 11) = dх 2 (у 111 dх) = у 111 dх 3; d 3 у = 111 dх 3 .

Тут знову dх 3 = dх dх dх, а чи не d(х 3)=3х 2 dх

d n у = у n dх n

Тут dх n = (dх) n як і раніше.

Із загальної формули диференціала n-го порядку зокрема випливає формула похідної n-го порядку.

У (n) = dn у / dх n, тобто. похідна n-го порядку є приватним n-го диференціала функції і n-го ступеня диф. незалежний. змін.

Ми бачили, що форма першого диференціала dу = у 1 dх не залежить від того, чи є х незалежним змінним або є сама функцією від деякої змінної t.

Форма диференціала порядку n=2 вже не зберігається в цьому випадку, вона не має інваріантності.

У разі незалежної змінної х d 2 у = 11 dх 2 -диференціал другого порядку. Нехай тепер х = , dу 1 = 1 dх. Але тепер dх не є довільна стала, dх= dt, тобто. dх є функція від t і тому при знаходженні d 2 у ми dх не можемо виносити за знак диференціала.

d 2 у = d (у 1 dх) = d (у 1) dх + у 1 d (dх) = у 11 dх 2 + у 1 d 2 х, тобто.

d 2 у = у 11 dх 2 + у 1 d 2 х – форма диференціала змінилася, додалося доданок у 1 d 2 х. Тим більше, не зберігається форма d n у. Значить, у разі, коли х немає незалежна змінна позначення у (п) = d п у/ dх п слід розуміти, як єдиний символ, а не як відношення диференціалів.

Приватні похідні функції двох змінних.
Поняття та приклади рішень

На цьому уроці ми продовжимо знайомство з функцією двох змінних і розглянемо, мабуть, найпоширеніше тематичне завдання – знаходження приватних похідних першого та другого порядку, а також повного диференціалу функції. Студенти-заочники, як правило, стикаються з приватними похідними на 1 курсі у 2 семестрі. Причому, за моїми спостереженнями, завдання перебування приватних похідних практично завжди зустрічається на іспиті.

Для ефективного вивчення нижченаведеного матеріалу вам необхідновміти більш менш впевнено знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної. Навчитися правильно поводитися з похідними можна під час уроків Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Також нам знадобиться таблиця похідних елементарних функцій та правил диференціювання, найзручніше, якщо вона буде під рукою в роздрукованому вигляді. Здобути довідковий матеріал можна на сторінці Математичні формули та таблиці.

Швиденько повторимо поняття функції двох змінних, я постараюся обмежитися найменшим. Функція двох змінних зазвичай записується як , у своїй змінні , називаються незалежними зміннимиабо аргументами.

Приклад: - Функція двох змінних.

Іноді використовують запис. Також зустрічаються завдання, де замість букви використовується буква .

З геометричної точки зору функція двох змінних найчастіше є поверхнею тривимірного простору (площина, циліндр, куля, параболоїд, гіперболоїд і т. д.). Але, власне, це вже більше аналітична геометрія, а у нас на порядку денному математичний аналіз, який ніколи не давав списувати мій викладач вузу є моїм «ковзаном».

Переходимо до питання перебування приватних похідних першого та другого порядків. Повинен повідомити хорошу новину для тих, хто випив кілька чашок кави і налаштувався на неймовірно важкий матеріал: приватні похідні – це майже те саме, що й «звичайні» похідні функції однієї змінної.

Для приватних похідних справедливі всі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Є тільки кілька невеликих відмінностей, з якими ми познайомимося прямо зараз:

…так, до речі, для цієї теми я таки створив маленьку pdf-книжку, яка дозволить "набити руку" буквально за пару годин. Але, користуючись сайтом, ви, безумовно, теж отримаєте результат - тільки може трохи повільніше:

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого та другого порядку функції

Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку. Їх дві.

Позначення:
або - приватна похідна по "ікс"
або – приватна похідна за «ігроком»

Почнемо з . Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінна вважається константою (постійним числом).

Коментарі до виконаних дій:

(1) Перше, що ми робимо під час перебування приватної похідної – укладаємо всюфункцію в дужки під штрих з підрядковим індексом.

Увага, важливо!Підрядкові індекси НЕ ВТРАЮЄМО по ходу рішення. В даному випадку, якщо ви десь намалюєте «штрих» без , то викладач, як мінімум, може поставити поруч із завданням (відразу відкусити частину бала за неуважність).

(2) Використовуємо правила диференціювання , . Для простого прикладу, як цей, обидва правила можна застосувати на одному кроці. Зверніть увагу на перший доданок: оскільки вважається константою, а будь-яку константу можна винести за знак похідної, то ми виносимо за дужки. Тобто в цій ситуації нічим не краще за звичайне число. Тепер подивимося на третій доданок: тут, навпаки, нічого не виносити. Оскільки константа, то – теж константа, і в цьому сенсі вона нічим не краща за останній доданок – «сімки».

(3) Використовуємо табличні похідні та .

(4) Спрощуємо, або, як я люблю говорити, «зачісуємо» відповідь.

Тепер. Коли ми знаходимо приватну похідну за «ігроком», то зміннавважається константою (постійним числом).

(1) Використовуємо самі правила диференціювання , . У першому доданку виносимо константу за знак похідної, у другому доданку нічого винести не можна оскільки – вже константа.

(2) Використовуємо таблицю похідних елементарних функцій. Уявно поміняємо в таблиці всі «ікси» на «ігреки». Тобто дана таблиця рівно справедлива і для (та й взагалі майже для будь-якої літери). Зокрема, формули, які ми використовуємо, виглядають так: і .

У чому сенс приватних похідних?

По суті приватні похідні 1-го порядку нагадують «звичайну» похідну:

– це функції, які характеризують швидкість змінифункції у напрямку осей та відповідно. Так, наприклад, функція характеризує крутість «підйомів» та «схилів» поверхніу напрямку осі абсцис, а функція повідомляє нам про «рельєф» цієї ж поверхні у напрямку осі ординат.

! Примітка : тут маються на увазі напрямки, які паралельнікоординатним осям.

З метою кращого розуміння розглянемо конкретну точку площини та обчислимо в ній значення функції (висоту):
– а тепер уявіть, що ви тут знаходитесь (НА САМІЙ поверхні).

Обчислимо приватну похідну по «ікс» у цій точці:

Негативний знак «іксової» похідної повідомляє про спаданняфункції в точці за напрямом осі абсцис. Іншими словами, якщо ми зробимо маленький-маленький (Безмежно малий)крок у бік вістря осі (паралельно даної осі), то спустимося вниз схилом поверхні.

Тепер дізнаємося характер «місцевості» у напрямку осі ординат:

Похідна за «ігроком» позитивна, отже, в точці за напрямком осі функція зростає. Якщо дуже просто, то тут нас чекає підйом у гору.

Крім того, приватна похідна в точці характеризує швидкість змінифункції за відповідним напрямом. Чим набуте значення більше за модулем– тим поверхня крутіша, і навпаки, чим вона ближче до нуля – тим поверхня більш полога. Так, у нашому прикладі «схил» у напрямку осі абсцис крутіший, ніж «гора» у напрямку осі ординат.

Але то були два приватні шляхи. Цілком зрозуміло, що з точки, в якій ми знаходимося, (і взагалі з будь-якої точки даної поверхні)ми можемо зрушити і в якомусь іншому напрямку. Таким чином, виникає інтерес скласти загальну «навігаційну карту», ​​яка повідомляла б нам про «ландшафт» поверхні по можливостіу кожній точці області визначення цієї функціїпо всіх доступних шляхах. Про це та інші цікаві речі я розповім на одному з наступних уроків, а поки що повернемося до технічного боку питання.

Систематизуємо елементарні прикладні правила:

1) Коли ми диференціюємо по , то змінна вважається константою.

2) Коли ж диференціювання здійснюється зато константою вважається.

3) Правила та таблиця похідних елементарних функцій справедливі і застосовні для будь-якої змінної (або будь-якої іншої), за якою ведеться диференціювання.

Крок другий. Знаходимо приватні похідні другого порядку. Їх чотири.

Позначення:
або – друга похідна з «ікс»
або – друга похідна за «ігроком»
або – змішанапохідна «ікс із ігрок»
або – змішанапохідна «ігрок з ікс»

З другої похідної немає жодних проблем. Говорячи простою мовою, друга похідна – це похідна від першої похідної.

Для зручності я перепишу вже знайдені приватні похідні першого порядку:

Спочатку знайдемо змішані похідні:

Як бачите, все просто: беремо приватну похідну та диференціюємо її ще раз, але в даному випадку – вже за «ігроком».

Аналогічно:

У практичних прикладах можна орієнтуватися на таку рівність:

Таким чином, через змішані похідні другого порядку дуже зручно перевірити, чи правильно ми знайшли приватні похідні першого порядку.

Знаходимо другу похідну по «ікс».
Жодних винаходів, беремо і диференціюємо її по «ікс» ще раз:

Аналогічно:

Слід зазначити, що при знаходженні потрібно проявити підвищена увага, оскільки жодних чудових рівностей для їхньої перевірки не існує.

Другі похідні також знаходять широке практичне застосування, зокрема вони використовуються в задачі відшукання екстремумів функції двох змінних. Але всьому свій час:

Приклад 2

Обчислити приватні похідні першого порядку функції у точці. Знайти похідні другого порядку.

Це приклад самостійного рішення (відповіді наприкінці уроку). Якщо виникли труднощі з диференціюванням коріння, поверніться до уроку Як знайти похідну?А взагалі, незабаром ви навчитеся знаходити подібні похідні «з льоту».

Набиваємо руку на складніших прикладах:

Приклад 3

Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Рішення: Знаходимо приватні похідні першого порядку:

Зверніть увагу на підрядковий індекс: , поряд з «іксом» можна в дужках записувати, що - константа. Ця позначка може бути дуже корисною для початківців, щоб легше було орієнтуватися у вирішенні.

Подальші коментарі:

(1) Виносимо всі константи за знак похідної. У разі і , отже, та його твір вважається постійним числом.

(2) Не забуваємо, як правильно диференціювати коріння.

(1) Виносимо всі константи за знак похідної, у разі константою є .

(2) Під штрихом у нас залишився добуток двох функцій, отже, потрібно використовувати правило диференціювання твору .

(3) Не забуваємо, що це складна функція (хоча і найпростіша зі складних). Використовуємо відповідне правило: .

Тепер знаходимо змішані похідні другого порядку:

Отже, всі обчислення виконані правильно.

Запишемо повний диференціал. У контексті завдання не має сенсу розповідати, що таке повний диференціал функції двох змінних. Важливо, що цей диференціал дуже часто потрібно записати в практичних завданнях.

Повний диференціал першого порядкуфункції двох змінних має вигляд:

В даному випадку:

Тобто, у формулу треба тупо просто підставити вже знайдені похідні приватні першого порядку. Значки диференціалів і в цій та схожих ситуаціях по можливості краще записувати в чисельниках:

І на неодноразові прохання читачів, повний диференціал другого порядку.

Він виглядає так:

УВАЖНО знайдемо «однолітерні» похідні 2-го порядку:

і запишемо «монстра», акуратно «прикріпивши» квадрати, твір і не забувши подвоїти змішану похідну:

Нічого страшного, якщо щось здалося важким, до похідних завжди можна повернутися пізніше, після того, як підніміть техніку диференціювання:

Приклад 4

Знайти приватні похідні першого порядку функції . Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Розглянемо серію прикладів зі складними функціями:

Приклад 5

Знайти приватні похідні першого порядку функції.

Рішення:

Приклад 6

Знайти приватні похідні першого порядку функції .
Записати повний диференціал.

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку). Повне рішення не наводжу, оскільки воно досить просте

Досить часто всі вищерозглянуті правила застосовують у комбінації.

Приклад 7

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

(1) Використовуємо правило диференціювання суми

(2) Перше доданок у разі вважається константою, оскільки у виразі немає нічого, залежить від «ікс» – лише «ігреки». Знаєте, завжди приємно, коли дріб вдається перетворити на нуль). Для другого доданку застосовуємо правило диференціювання твору. До речі, у цьому сенсі нічого б не змінилося, якби натомість була дана функція – важливо, що тут добуток двох функцій, КОЖНА з яких залежить від «ікс», А тому потрібно використовувати правило диференціювання твору. Для третього доданку застосовуємо правило диференціювання складної функції.

(1) У першому доданку і в чисельнику і в знаменнику міститься «гравець», отже потрібно використовувати правило диференціювання приватного: . Другий доданок залежить ТІЛЬКИ від «ікс», значить, вважається константою і перетворюється на нуль. Для третього доданку використовуємо правило диференціювання складної функції.

Для тих читачів, які мужньо дісталися майже кінця уроку, розповім старий мехматовский анекдот для разрядки:

Одного разу в просторі функцій з'явилася зла похідна і як пішла всіх диференціювати. Усі функції розбігаються хто куди, нікому не хочеться перетворюватися! І лише одна функція нікуди не тікає. Підходить до неї похідна і запитує:

– А чому це ти від мене нікуди не тікаєш?

– Ха. А мені все одно, адже я «е в ступені ікс», і ти зі мною нічого не вдієш!

На що зла похідна з підступною посмішкою відповідає:

- Ось тут ти помиляєшся, я тебе продиференціюю по "ігрок", так що тобі бути нулем.

Хто зрозумів анекдот, той освоїв похідні щонайменше на «трійку»).

Приклад 8

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення завдання – наприкінці уроку.

Ну ось майже все. Насамкінець не можу не порадувати любителів математики ще одним прикладом. Справа навіть не в любителях, у всіх різний рівень математичної підготовки - зустрічаються люди (і не так вже й рідко), які люблять потягатися із завданнями складніше. Хоча, останній цьому уроці приклад не так складний, скільки громіздкий з погляду обчислень.

Нехай у = f (х) диференційована функція, та її аргументах- незалежна змінна. Тоді її перший диференціалdy = f '(x) dx є також функція відх; можна знайти диференціал цієї функції.

Диференціал від диференціала функції у = f (х) називається її другим диференціалом(або диференціалом другого порядку) і позначається d 2 y або d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Тут dx 2 позначає (dx)2.

Аналогічно визначається і знаходиться диференціал третього порядку: d 3 y = d(d2 y) = d(f'′(x) dx2) = f′′′(x) dx3 .

Взагалі, диференціал n-го порядку є диференціал від диференціала (n-1)-го порядку: dn y = d (d n - 1 y) = f (n) (x) (dx) n.

Звідси знаходимо, що f(n) (x) = dn y. Зокрема, приn = 1, 2, 3 відповідно отримуємо: dx n

f′(x) =			f ′′ (x) =	d 2 y		f ′′′(x ) =	d 3 y	Тобто. похідну функції можна розглядати як

відношення її диференціала відповідного порядку до відповідного ступеня диференціала незалежної змінної.

Зазначимо, що це наведені вище формули справедливі лише, якщо х – незалежна змінна.

приклад. Знайти d 2 y, якщо y = e 3 x їх - незалежна змінна. Рішення: так як y ' = 3e 3 x , y '' = 9e 3 x , то маємо d 2 y = 9e 3 x dx 2 .

Правила Лопіталя

Правила Лопіталю застосовуються для розкриття невизначеностей виду 0 0 і ∞ ∞ , які називаються основними.

Теорема 3. (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду00).

Нехай функції f(x) і g(x) безперервні та диференційовані в околицях крапках 0 і

перетворюються на нуль у цій точці: f (x 0 ) =g (x 0 ) = 0. Нехай g ' (x )≠ 0 в околиці точки x 0 . Якщо

існує межа

f ′ (x)

L , то

f(x)

f ′ (x)

g(x)

g′ (x)

x→ x0

x→ x0

x→ x0

приклад. Знайти lim1 - cos6 x.

x→ 0

2x 2

Рішення: lim

1− cos 6x

п. л.

6sin 6x

п. л.

36 cos 6x

x→ 0

x→ 0

x→ 0

Теорема 4. (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду ∞ ∞ ).

Нехай функції f (x ) і g (x ) безперервні і диференційовані в околицях точках 0 (крім,
може бути, точки х 0 ), в цій околиці
	f ′ (x)			f(x)			f ′ (x)	x→ x0	x→ x0
межа lim
	g′ (x)			g(x)
x→ x0			x→ x0			x→ x0	g′ (x)

tg 3 x

приклад. Знайти lim tg 5 x

x→ π 2

lim tg 3 x =

∞ =

Lim 3cos

п. л.

п. л.

x→

tg 5 x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x→

sin6x

x→

6cos6x

Невизначеності виду , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], зводяться до двох основних шляхів тотожних перетворень.

Нехай f (x) → 0, g (x) → 0 прих → х 0 . Тоді очевидні такі перетворення:

lim (f (x) g (x)) = [0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x→ x

x→ x

x→ x

g(x)

g(x)

Знайти lim tg

π x

(2 − x).

x→ 2

2 − x

0 =lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

п. л.

x→ 2

x→ 2

π x

ctg 4

x→ 2

2 π x

Нехай f (x )→ ∞ , ig (x )→ ∞ прих → х 0 . Тоді можна вчинити так:

lim(f(x)−g(x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x→ x0

x→ x0

x→ x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Нехай f (x) → 1, g (x) → ∞, або f (x) → ∞, g (x) → 0, або f (x) → 0, g (x) → 0 прих → х 0 .

Для знаходження межі виду lim f (x) g (x) пригадаємо властивість логарифму

x→ x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

приклад. Знайти lim x → 0 (cos2 x) x 2 .