ДОВІРНИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО ОЧЕКАННЯ

1. Нехай відомо, що сл. величина x підкоряється нормальному закону з невідомим середнім μ і відомою σ 2: X~N(μ,σ 2), σ 2 поставлено, μ не відомо. Встановлено β. За вибіркою x 1, x 2, … , x n треба побудувати I β (θ) (зараз θ = μ), що задовольняє (13)

Вибіркове середнє (кажуть також вибіркова середня) підпорядковується нормальному закону з тим самим центром μ, але меншою дисперсією X~N (μ , D ), де дисперсією D = 2 = 2 /n.

Нам знадобиться число β , що визначається для ξ~N(0,1) умовою

Словами: між точками -К і К осі абсцис лежить площа під кривою щільності стандартного нормального закону, рівна β

Наприклад, До 0,90 =1,645 квантиль рівня 0,95 величини ξ

K 0,95 = 1,96. ; До 0,997 =3.

Зокрема, відклавши від центру будь-якого нормального закону 1,96 стандартних відхилень вправо і стільки ж вліво, ми захопимо площу під кривою щільності, рівну 0.95, внаслідок чого К 095 є квантиллю рівня 0,95 + 1/2 * 0,005 = 0,975 для цього закону.

Шуканий довірчий інтервал для генерального середнього μ є IA (μ) = (х-σ, х+σ),

де δ = (15)

Дамо обґрунтування:

За сказаним, сл. величина інтервал J=μ±σ потрапляє з ймовірністю β (рис.9). У цьому випадку величина відхиляється від центру менше, ніж на δ , і випадковий інтервал ± δ (з випадковим центром і такою самою як у J ширини) накриє точку μ. Тобто Є J<=> μ Є I β ,тому Р(μЕІ β ) = Р( Є J )=β.

Отже, постійний за вибіркою інтервал I β містить середнє з ймовірністю β.

Зрозуміло, що більше n, то менше σ і вже інтервал, чим більше ми беремо гарантію β, тим довірчий інтервал ширше.

Приклад 21.

За вибіркою з n=16 для нормальної величиниз відомою дисперсієюσ 2 =64 знайдено х=200. Побудувати довірчий інтервал для генерального середнього (іншими словами, для математичного очікування) μ, прийнявши β=0,95.

Рішення. I β (μ)= ± δ, де δ = К β σ/ -> До β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

Роблячи висновок, що з гарантією β=0,95 справжнє середнє належить інтервалу (196,204), ми розуміємо, що можлива помилка.

Зі 100 довірчих інтервалів I 0. 95 (μ) в середньому 5 не містять μ.

Приклад 22.

Яким за умов попереднього прикладу 21 слід взяти n, щоб удвічі звузити довірчий інтервал? Щоб мати 2δ=4, треба взяти

Насправді часто користуються односторонніми довірчими інтервалами. Так, якщо корисні чи не страшні високі значенняμ, але не.приємні низькі, як у випадку з міцністю або надійністю, то резонно будувати односторонній інтервал. Для цього слід максимально підняти його верхню межу. Якщо ми збудуємо, як у прикладі 21, двосторонній довірчий інтервал для заданого β, а потім максимально розширимо його за рахунок однієї з кордонів, то отримаємо односторонній інтервал з більшою гарантією β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, наприклад, якщо β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Наприклад, вважатимемо, що мова йдепро міцність виробу і піднімемо верхню межу інтервалу до . Тоді для у прикладі 21 отримаємо односторонній довірчий інтервал (196,°°) з нижньою межею 196 і довірчою ймовірністю β"=0,95+0,05/2=0,975.

Практичним недоліком формули (15)_є те, що вона виведена в припущенні, що дисперсія = σ 2 (звідси і = σ 2 /n) відома; а це буває у житті рідко. Виняток становить випадок, коли обсяг вибірки великий, скажімо, n вимірюється сотнями або тисячами і тоді за 2 можна практично прийняти її оцінку s 2 або .

Приклад 23.

Припустимо, в деякому великому містів результаті вибіркового обстеженняжитлових умов мешканців отримано наступну таблицю даних (приклад із роботи).

Таблиця 8

Вихідні дані, наприклад

Природно припустити, що сл. величина X - загальна (корисна) площа (м2), що припадає на одну людину підпорядковується нормальному закону. Середня μ та дисперсія σ 2 не відомі. Для μ потрібно побудувати 95% довірчий інтервал. Щоб за групованими даними знайти вибіркові середні та дисперсію, складемо наступну таблицю викладок (табл.9).

Таблиця 9

Обчислення X та 5 за згрупованими даними

N групи з	Загальна площа у розрахунку на 1 особу, м 2	Число мешканців групи г j	Середина інтервалу x j	r j x j	rjxj 2
	До 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	понад 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

У цій допоміжній таблиці за формулою (2) підраховано перший та другий початкові статистичні моменти а 1і а 2

Хоча дисперсія σ 2 тут невідома, через великий обсяг вибірки можна практично застосувати формулу (15), поклавши у ній σ= =7.16.

Тоді δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Довірчий інтервал для середнього генерального при β=0,95 дорівнює I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Отже, середнє значення площі одну людину у цьому місті з гарантією 0.95 лежить у проміжку (18.54; 19.46).

2. Довірчий інтервал для математичного очікування у разі невідомої дисперсії σ 2 нормальної величини. Цей інтервал для заданої гарантії β будується за формулою де ν = n-1 ,

(16)

Коефіцієнт t β,ν має той самий сенс для t – розподілу з ν ступенями свободи, що до β для розподілу N(0,1), а саме:

.

Інакше кажучи, сл. Величина tν потрапляє до інтервалу (-t β,ν ; +t β,ν) з ймовірністю β. Значення t β,ν дано в табл.10 для β=0.95 і β=0.99.

Таблиця 10

Значення t β,ν

Повертаючись до прикладу 23, бачимо, що в ньому довірчий інтервал був побудований за формулою (16) з коефіцієнтом t β,? = k 0..95 = 1.96, т. К.

Ви можете використовувати цю форму пошуку, щоб знайти потрібне завдання. Введіть слово, фразу із завдання чи її номер, якщо він вам відомий.

Шукати тільки в даному розділі

Довірчі інтервали: список розв'язків задач

Довірчі інтервали: теорія та завдання

Загальні відомості про довірчі інтервали

Введемо коротко поняття довірчого інтервалу, який
1) оцінює деякий параметр числової вибірки безпосередньо за даними самої вибірки,
2) накриває значення цього параметра із ймовірністю γ.

Довірчим інтерваломдля параметра X(при ймовірності γ) називається інтервал виду , такий що , а значення обчислюються деяким чином на вибірці .

Зазвичай у прикладних задачах довірчу ймовірністьберуть рівною γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Розглянемо деяку вибірку обсягу n, зроблену з генеральної сукупності, розподіленої імовірно за нормальним законом розподілу . Покажемо, за якими формулами є довірчі інтервали для параметрів розподілу- математичного очікування та дисперсії (середнього квадратичного відхилення).

Довірчий інтервал для математичного очікування

Випадок 1.Дисперсія розподілу відома і дорівнює. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вигляд:
tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням

Випадок 2Дисперсія розподілу невідома, за вибіркою обчислена точкова оцінкадисперсії. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вигляд:
де - вибіркове середнє, обчислене за вибіркою, параметр tвизначається з таблиці розподілу Стьюдента

приклад.За даними 7 вимірів деякої величини знайдено середня результатіввимірювань, що дорівнює 30 і вибіркова дисперсія 36. Знайдіть межі, в яких з надійністю 0,99 укладено справжнє значеннявимірюваної величини.

Рішення.Знайдемо . Тоді довірчі межі для інтервалу, що містить справжнє значення вимірюваної величини, можна знайти за формулою:
, де – вибіркове середнє, – вибіркова дисперсія. Підставляємо всі величини та отримуємо:

Довірчий інтервал для дисперсії

Вважаємо, що взагалі кажучи, математичне очікування невідоме, а відома лише точкова незміщена оцінка дисперсії. Тоді довірчий інтервал має вигляд:
, де - Квантилі розподілу, що визначаються з таблиць.

приклад.За даними 7 випробувань знайдено значення оцінки для середньоквадратичного відхилення s=12. Знайти із ймовірністю 0,9 ширину довірчого інтервалу, побудованого для оцінки дисперсії.

Рішення.Довірчий інтервал для невідомої дисперсії генеральної сукупності можна знайти за такою формулою:

Підставляємо та отримуємо:


Тоді ширина довірчого інтервалу дорівнює 465,589-71,708 = 393,881.

Довірчий інтервал для ймовірності (частки)

Випадок 1.Нехай у задачі відомий обсяг вибірки та вибіркова частка (відносна частота) . Тоді довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) має вигляд:
, де параметр tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням.

Випадок 2Якщо в задачі додатково відомий загальний обсяг сукупності , з якої було зроблено вибірку, довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) можна знайти за скоригованою формулою:
.

приклад.Відомо, що знайти межі, в яких з ймовірністю укладено генеральну частку.

Рішення.Використовуємо формулу:

Знайдемо параметр із умови , отримаємо Підставляємо у формулу:

Інші приклади завдань з математичної статистикиви знайдете на сторінці

Нехай зроблена вибірка з генеральної сукупності, підпорядкованої закону нормальногорозподілу XN( m;  ). Це основне припущення математичної статистики ґрунтується на центральній граничній теоремі. Нехай відоме генеральне середнє квадратичне відхилення  , але невідомо математичне очікування теоретичного розподілу m(середнє значення ).

У такому разі середнє вибіркове , отримане в ході експерименту (п.3.4.2), також буде випадковою величиною m;
). Тоді «нормалізоване» відхилення
N(0;1) – є стандартною нормальною випадковою величиною.

Завдання полягає у пошуку інтервальної оцінки для m. Побудуємо двосторонній довірчий інтервал для m так, щоб справжнє математичне очікування належало йому із заданою ймовірністю (надійністю)  .

Встановити такий інтервал для величини
- Це означає знайти максимальне значення цієї величини
та мінімальне
, які є межами критичної області:
.

Т.к. така ймовірність дорівнює
, то корінь цього рівняння
можна знайти за допомогою таблиць функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1).

Тоді з ймовірністю  можна стверджувати, що випадкова величина
, тобто шукане генеральне середнє належить інтервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

називають точністюоцінки.

Число
– квантильнормального розподілу – можна як аргумент функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1), враховуючи співвідношення 2Ф( u)=, тобто. Ф( u)=
.

Назад, за заданому значеннювідхилення  можна знайти, з якою ймовірністю, невідоме генеральне середнє належить інтервалу
. Для цього потрібно обчислити

. (3.15)

Нехай із генеральної сукупності вилучено випадкову вибірку методом повторного відбору. З рівняння
можна знайти мінімальнийобсяг повторної вибірки n, необхідний для того, щоб довірчий інтервал із заданою надійністю не перевищував наперед заданого значення  . Оцінку необхідного обсягу вибірки роблять за такою формулою:

. (3.16)

Досліджуємо точність оцінки
:

1) У разі зростання обсягу вибірки nвеличина  зменшується, і значить, точність оцінки збільшується.

2) З збільшеннямнадійності оцінки збільшується значення аргументу u(Т.к. Ф(u) монотонно зростає) і значить збільшується  . У такому разі збільшення надійності зменшуєточність її оцінки  .

Оцінку
(3.17)

називають класичною(де t- певний параметр, що залежить від і n), т.к. вона характеризує найпоширеніші закони розподілу.

3.5.3 Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого середнього квадратичного відхилення 

Нехай відомо, що генеральна сукупність підпорядкована закону нормального розподілу XN( m; ), де величина середнього квадратичноговідхилення невідома.

Для побудови довірчого інтервалу оцінки генерального середнього у разі використовується статистика
, що має розподіл Ст'юдента з k= n-1 ступенями свободи. Це випливає з того, що N(0;1) (див. п.3.5.2), а
(див. п.3.5.3) та з визначення розподілу Ст'юдента (ч.1.п.2.11.2).

Знайдемо точність класичної оцінки розподілу Стьюдента: тобто. знайдемо tіз формули (3.17). Нехай ймовірність виконання нерівності
задана надійністю  :

. (3.18)

Оскільки TSt( n-1), очевидно, що tзалежить від  і nтому зазвичай пишуть
.

(3.19)

де
- функція розподілу Ст'юдента з n-1 ступенями свободи.

Вирішуючи це рівняння щодо m, отримаємо інтервал
який з надійністю  покриває невідомий параметр m.

Величина t  , n-1 , що служить для визначення довірчого інтервалу випадкової величини T(n-1), розподіленою за Ст'юдентом з n-1 ступенями свободи, називається коефіцієнтом Ст'юдента. Його слід знаходити за заданими значеннями nта  з таблиць « Критичні точкирозподілу Стьюдента». (Таблиця 6, додаток 1), які є рішення рівняння (3.19).

У результаті отримуємо такий вираз точності довірчого інтервалу для оцінки математичного очікування (генерального середнього), якщо невідома дисперсія:

(3.20)

Т.ч. існує загальна формула побудови довірчих інтервалів для математичного очікування генеральної сукупності:

де точність довірчого інтервалу  залежно від відомої чи невідомої дисперсії знаходиться за формулами відповідно 3.16. та 3.20.

Завдання 10.Проведено деякі випробування, результати яких занесені до таблиці:

x i

Відомо, що вони підпорядковуються закону нормального розподілу з
. Знайти оцінку m* для математичного очікування m, побудувати йому 90% довірчий інтервал.

Рішення:

Отже, m(2.53;5.47).

Завдання 11.Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює 0, а випадкові помилки розподіляються за нормальним законом, із середнім квадратичним відхиленням  = 15м. Скільки треба зробити незалежних вимірів, щоб визначити глибину з помилками не більше 5м за довірчої ймовірності 90%?

Рішення:

За умовою завдання маємо XN( m;  ), де  = 15м,  = 5м,  =0.9. Знайдемо обсяг n.

1) Із заданою надійністю = 0.9 знайдемо за таблицями 3 (Додаток 1) аргумент функції Лапласа u  = 1.65.

2) Знаючи задану точність оцінки  =u  =5, знайдемо
. Маємо

. Тому кількість випробувань n25.

Завдання 12.Вибір температури tза перші 6 днів січня представлена ​​у таблиці:

Знайти довірчий інтервал для математичного очікування mгенеральної сукупності з довірчою ймовірністю
та оцінити генеральне стандартне відхилення s.

Рішення:

і
.

2) Незміщену оцінку знайдемо за формулою
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Оскільки генеральна дисперсія невідома, але відома її оцінка, то оцінки математичного очікування mвикористовуємо розподіл Ст'юдента (Таблиця 6, додаток 1) та формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 = 6, то ,
, s 1 =6.85 маємо:
, звідси -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Тому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогічно маємо,
, s 2 = 4.8, тому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) та m 2 (-34.9;-29.1).

У прикладних науках, наприклад, у будівельних дисциплінах, для оцінки точності об'єктів використовуються таблиці довірчих інтервалів, які наведені у довідковій літературі.

Нехай випадкова величина Х генеральної сукупності розподілена нормально, враховуючи, що дисперсія та середнє відхилення квадрати s цього розподілу відомі. Потрібно оцінити невідоме математичне очікування щодо вибіркової середньої. В даному випадку завдання зводиться до знаходження довірчого інтервалу для математичного очікування з надійністю b. Якщо визначити значення довірчої ймовірності (надійності) b, то можна знайти ймовірність попадання в інтервал для невідомого математичного очікування, використовуючи формулу (6.9а):

де Ф(t) – функція Лапласа (5.17а).

В результаті можна сформулювати алгоритм відшукання меж довірчого інтервалу для математичного очікування, якщо відома дисперсія D = s 2:

1. Задати значення надійності - b.
2. З (6.14) виразити Ф(t) = 0,5×b. Вибрати значення t із таблиці для функції Лапласа за значенням Ф(t) (див. Додаток 1).
3. Обчислити відхилення e за формулою (6.10).
4. Записати довірчий інтервал за такою формулою (6.12), що з ймовірністю b виконується нерівність:

.

Приклад 5.

Випадкова величина Х має нормальний розподіл. Знайти довірчі інтервали з оцінкою з надійністю b = 0,96 невідомого математичного очікування а, якщо дані:

1) генеральне середнє квадратичне відхилення s = 5;

2) вибіркова середня;

3) обсяг вибірки n = 49.

У формулі (6.15) інтервальної оцінки математичного очікування а з надійністю b усі величини, крім t, відомі. Значення t можна знайти за допомогою (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.

За таблицею Додатка 1 функції Лапласа Ф(t) = 0,48 знаходять відповідне значення t = 2,06. Отже, . Підставивши у формулу (6.12) обчислене значення e можна отримати довірчий інтервал: 30-1,47< a < 30+1,47.

Шуканий довірчий інтервал оцінки з надійністю b = 0,96 невідомого математичного очікування дорівнює: 28,53< a < 31,47.

Для початку нагадаємо таке визначення:

Розглянемо наступну ситуацію. Нехай варіанти генеральної сукупності має нормальний розподіл із математичним очікуванням $a$ і середнім квадратичним відхиленням $\sigma$. Вибіркове середнє у разі розглядатиметься як випадкова величина. Коли величина $X$ розподілена нормально, вибіркове середнє також матиме нормальний розподіл з параметрами

Знайдемо довірчий інтервал, який покриває величину $a$ з надійністю $gamma $.

Для цього нам необхідно, щоб виконувалась рівність

З неї отримаємо

Звідси ми можемо легко знайти $t$ за таблицею значень функції $Ф\left(t\right)$ і, як наслідок, знайти $delta$.

Нагадаємо таблицю значень функції $Ф\left(t\right)$:

Малюнок 1. Таблиця значень функції $Ф\left(t\right).$

Довірчий інтеграл для оцінки математичного очікування за невідомого $(\mathbf \sigma )$

У цьому випадку ми користуватимемося значенням виправленої дисперсії $S^2$. Замінюючи у вище виведеній формулі $sigma $ на $S$, отримаємо:

Приклад завдань перебування довірчого інтервалу

Приклад 1

Нехай величина $X$ має нормальний розподіл із дисперсією $\sigma =4$. Нехай обсяг вибірки $ n = 64 $, а надійність дорівнює $ Gamma = 0,95 $. Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного очікування цього розподілу.

Нам необхідно знайти інтервал ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

Як ми бачили вище

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]

Параметр $t$ знайдемо з формули

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0,95)(2)=0,475\]

З таблиці 1 отримуємо, що $t=1,96$.