Асимптоти графіка функції

Примара асимптоти давно бродила сайтом щоб, нарешті, матеріалізуватися в окремо взятій статті і привести в особливе захоплення читачів, спантеличених повним дослідженням функції. Знаходження асимптот графіка – одна з небагатьох частин зазначеного завдання, що висвітлюється у шкільному курсі лише в оглядовому порядку, оскільки події обертаються навколо обчислення меж функцій, А вони ставляться все-таки до вищої математики. Відвідувачі, які слабо знаються на математичному аналізі, натяк, думаю, зрозумілий;-) …стоп-стоп, ви куди? Межі- це легко!

Приклади асимптот зустрілися відразу на першому уроці про графіки елементарних функцій, і зараз тема отримує детальний розгляд.

Отже, що таке асимптота?

Уявіть змінну точку, Що «їздить» за графіком функції. Асимптота – це пряма, до якої необмежено близьконаближається графік функції при видаленні його змінної точки в нескінченність.

Примітка : визначення змістовно, якщо вам необхідне формулювання у позначеннях математичного аналізу, будь ласка, зверніться до підручника.

На площині асимптоти класифікують за їх природним розташуванням:

1) Вертикальні асимптоти, Які задаються рівнянням виду , Де «альфа» - дійсне число. Популярна представниця визначає саму вісь ординат,
з приступом легкої нудоти згадуємо гіперболу.

2) Похилі асимптотитрадиційно записуються рівнянням прямоїз кутовим коефіцієнтом. Іноді окремою групою виділяють окремий випадок. горизонтальні асимптоти. Наприклад, та ж гіпербола з асимптотою.

Швидко пішло-поїхало, ударимо по темі короткою автоматною чергою:

Скільки асимптот може мати графік функції?

Жодної, одна, дві, три, або нескінченно багато. За прикладами далеко не ходитимемо, згадаємо елементарні функції. Парабола, кубічна парабола, синусоїда зовсім не мають асимптоту. Графік експоненційної, логарифмічної функції має єдину асимптоту. У арктангенса, арккотангенса їх дві, а у тангенса, котангенса – дуже багато. Не рідкість, коли графік укомплектований горизонтальними і вертикальними асимптотами. Гіпербола, буде завжди love you.

Що означає ?

Вертикальні асимптоти графіка функції

Вертикальна асимптота графіка, як правило, знаходиться у точці нескінченного розривуфункції. Все просто: якщо в точці функція зазнає нескінченного розриву, то пряма, задана рівнянням є вертикальною асимптотою графіка.

Примітка : Зверніть увагу, що запис використовується для позначення двох абсолютно різних понять. Точка має на увазі або рівняння прямої - залежить від контексту.

Таким чином, щоб встановити наявність вертикальної асимптоти в точці, достатньо показати, що хоча б одинз односторонніх меж нескінченний. Найчастіше це точка, де знаменник функції дорівнює нулю. Фактично, ми вже знаходили вертикальні асимптоти в останніх прикладах уроку про безперервність функції. Але в ряді випадків існує тільки одна одностороння межа, і, якщо вона нескінченна, то знову - любіть і шануйте вертикальну асимптоту. Найпростіша ілюстрація: і вісь ординат (див. Графіки та властивості елементарних функцій).

Зі сказаного також випливає очевидний факт: якщо функція безперервна на, то вертикальні асимптоти відсутні. На думку чомусь спала парабола. Справді, де тут «устромиш» пряму? …так… розумію… послідовники дядечка Фрейда забилися в істериці =)

Зворотне твердження в загальному випадку неправильне: так, функція не визначена по всій числовій прямій, проте абсолютно обділена асимптотами.

Похилі асимптоти графіка функції

Похилі (як окремий випадок – горизонтальні) асимптоти можуть намалюватися, якщо аргумент функції прагне «плюс нескінченності» або «мінус нескінченності». Тому графік функції не може мати більше двох похилих асимптот. Наприклад, графік експоненційної функції має єдину горизонтальну асимптоту при , а графік арктангенса при – два такі асимптоти, причому різні.

Коли графік і там і там зближується з єдиною похилою асимптотою, то нескінченності прийнято об'єднувати під єдиним записом. Наприклад, …правильно здогадалися: .

Загальне практичне правило:

Якщо існують два кінцевихмежі то пряма є похилою асимптотою графіка функції при . Якщо хоча б одинз перелічених меж нескінченний, то похила асимптота відсутня.

Примітка : формули залишаються справедливими, якщо «ікс» прагне лише «плюс нескінченності» або лише «мінус нескінченності»

Покажемо, що парабола не має похилих асимптотів:

Межа нескінченна, отже, похила асимптота відсутня. Зауважте, що у знаходженні межі необхідність відпала, оскільки відповідь вже отримано.

Примітка : якщо у вас виникли (або виникнуть) труднощі з розумінням знаків «плюс-мінус», «мінус-плюс», будь ласка, перегляньте довідку на початку уроку
про нескінченно малі функції, де я розповів, як правильно інтерпретувати ці знаки.

Очевидно, що у будь-якої квадратичної, кубічної функції, багаточлена 4-го та вищих ступенів також немає похилих асимптот.

А тепер переконаємося, що при графіку теж немає похилої асимптоти. Для розкриття невизначеності використовуємо правило Лопіталя:
, Що і потрібно перевірити.

При функція необмежено зростає, проте не існує такої прямої, до якої б її графік наближався нескінченно близько.

Переходимо до практичної частини уроку:

Як знайти асимптоти графіка функції?

Саме так формулюється типове завдання, і воно передбачає знаходження ВСІХ асимптот графіка (вертикальних, похилих/горизонтальних). Хоча, якщо бути більш точним у постановці питання – йдеться про дослідження на наявність асимптот (адже таких може взагалі не виявитися). Почнемо з чогось простого:

Приклад 1

Знайти асимптоти графіка функції

Рішеннязручно розбити на два пункти:

1) Спочатку перевіряємо, чи є вертикальні асимптоти. Знаменник звертається в нуль при , і зрозуміло, що у цій точці функція терпить нескінченний розрив, А пряма, задана рівнянням є вертикальною асимптотою графіка функції . Але перш ніж оформити такий висновок, необхідно знайти односторонні межі:

Нагадую техніку обчислень, на якій я подібно зупинявся у статті Безперервність функції. Точки розриву. У вираз під знаком межі замість «ікса» підставляємо . У чисельнику нічого цікавого:
.

А ось у знаменнику виходить нескінченно мале негативне число:
, Воно і визначає долю межі.

Лівостороння межа нескінченна, і, в принципі, вже можна винести вердикт про наявність вертикальної асимптоти. Але односторонні межі потрібні не тільки для цього – вони ДОПОМАГАЮТЬ ЗРОЗУМІТИ, ЯКрозташований графік функції та побудувати його КОРЕКТНО. Тому обов'язково обчислимо і правосторонню межу:

Висновок: односторонні межі нескінченні, отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції при .

Перша межа кінцевийОтже, необхідно «продовжити розмову» і знайти другу межу:

Друга межа теж кінцевий.

Таким чином, наша асимптота:

Висновок: Пряма, задана рівнянням є горизонтальною асимптотою графіка функції при .

Для знаходження горизонтальної асимптоти
можна користуватися спрощеною формулою:

Якщо існує кінцевиймежа, то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції при.

Неважко помітити, що чисельник та знаменник функції одного порядку зростання, а значить, межа буде кінцевою:

Відповідь:

За умовою не потрібно виконувати креслення, але якщо у розпалі дослідження функції, то на чернетці відразу ж робимо малюнок:

Виходячи з трьох знайдених меж, спробуйте самостійно прикинути, як може розташовуватися графік функції. Дуже важко? Знайдіть 5-6-7-8 пікселів і позначте їх на кресленні. Втім, графік цієї функції будується за допомогою перетворень графіка елементарної функції, і читачі, що уважно розглянули Приклад 21 зазначеної статті, легко здогадаються, що це за крива.

Приклад 2

Знайти асимптоти графіка функції

Це приклад самостійного рішення. Процес, нагадую, зручно розбити на два пункти – вертикальні асимптоти та похилі асимптоти. У прикладі рішення горизонтальна асимптота знайдена за спрощеною схемою.

На практиці найчастіше зустрічаються дробово-раціональні функції, і після тренування на гіперболах ускладнимо завдання:

Приклад 3

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: Раз, два і готове:

1) Вертикальні асимптоти знаходяться у точках нескінченного розривутому потрібно перевірити, чи звертається знаменник у нуль. Вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант позитивний, тому рівняння має два дійсних кореня, і роботи значно додається =)

З метою подальшого знаходження односторонніх меж квадратний тричлен зручно розкласти на множники:
(Для компактного запису «мінус» внесли в першу дужку). Для підстрахування здійснимо перевірку, подумки або на чернетці розкривши дужки.

Перепишемо функцію у вигляді

Знайдемо односторонні межі в точці:

І в точці:

Таким чином, прямі є вертикальними асимптотами графіка цієї функції.

2) Якщо подивитися на функцію , то цілком очевидно, що межа буде кінцевою і у нас горизонтальна асимптота. Покажемо її наявність коротким способом:

Таким чином, пряма (вісь абсцис) є горизонтальною асимптотою графіка цієї функції.

Відповідь:

Знайдені межі та асимптоти дають чимало інформації про графік функції. Постарайтеся подумки уявити креслення з урахуванням наступних фактів:

Схематично зобразіть вашу версію графіка на чернетці.

Звичайно, знайдені межі однозначно не визначають вид графіка, і можливо, ви припуститеся помилки, але сама вправа надасть неоціненну допомогу в ході повного дослідження функції. Правильна картинка – наприкінці уроку.

Приклад 4

Знайти асимптоти графіка функції

Приклад 5

Знайти асимптоти графіка функції

Це завдання самостійного рішення. Обидва графіки знову мають горизонтальні асимптоти, які негайно детектуються за такими ознаками: в Прикладі 4 порядок зростаннязнаменника більше, ніж порядок зростання чисельника, а Прикладі 5 чисельник і знаменник одного порядку зростання. У прикладі рішення перша функція досліджена наявність похилих асимптот повним шляхом, а друга – через межу .

Горизонтальні асимптоти, на моє суб'єктивне враження, зустрічаються помітно частіше, ніж ті, які «по-справжньому нахилені». Довгоочікуваний загальний випадок:

Приклад 6

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: класика жанру:

1) Оскільки знаменник позитивний, то функція безперервнапо всій числовій прямий, і вертикальні асимптоти відсутні. …Чи це добре? Не те слово – чудово! Пункт №1 закрито.

2) Перевіримо наявність похилих асимптотів:

Перша межа кінцевийтому їдемо далі. Під час обчислення другої межі для усунення невизначеності «нескінченність мінус нескінченність»наводимо вираз до спільного знаменника:

Друга межа теж кінцевий, Отже, у графіка розглянутої функції існує похила асимптота:

Висновок:

Таким чином, при графік функції нескінченно близьконаближається до прямої:

Зауважте, що він перетинає свою похилу асимптоту на початку координат, і такі точки перетину цілком допустимі – важливо, щоб «все було нормально» на нескінченності (власне, мова про асимптоти і заходить саме там).

Приклад 7

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: коментувати особливо нічого, тому оформлю приблизний зразок чистового рішення:

1) Вертикальні асимптоти. Досліджуємо точку.

Пряма є вертикальною асимптотою для графіка при .

2) Похилі асимптоти:

Пряма є похилою асимптотою для графіка при .

Відповідь:

Знайдені односторонні межі та асимптоти з високою достовірністю дозволяють припустити, як виглядає графік цієї функції. Коректне креслення наприкінці уроку.

Приклад 8

Знайти асимптоти графіка функції

Це приклад самостійного рішення, для зручності обчислення деяких меж можна почленно розділити чисельник на знаменник. І знову, аналізуючи отримані результати, постарайтеся накреслити графік цієї функції.

Очевидно, що володарями «справжніх» похилих асимптот є графіки тих дрібно-раціональних функцій, у яких старший ступінь чисельника на одиницю більшестаршого ступеня знаменника. Якщо більше – похилої асимптоти не буде (наприклад, ).

Але в житті відбуваються й інші чудеса:

Приклад 9

Приклад 11

Дослідити графік функції наявності асимптот

Рішення: очевидно, що тому розглядаємо тільки праву напівплощину, де є графік функції.

Таким чином, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою для графіка функції при .

2) Дослідження на похилу асимптоту можна провести за повною схемою, але у статті Правила Лопіталями з'ясували, що лінійна функція вищого порядку зростання, ніж логарифмічна, отже: (Див. Приклад 1 того ж уроку).

Висновок: вісь абсцис є горизонтальною асимптотою графіка функції при .

Відповідь:
, якщо;
якщо .

Креслення для наочності:

Цікаво, що в схожій функції асимптот немає взагалі (бажаючі можуть це перевірити).

Два заключні приклади для самостійного вивчення:

Приклад 12

Дослідити графік функції наявності асимптот

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати та вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами іабо відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Саме так формулюється типове завдання, і воно передбачає знаходження ВСІХ асимптот графіка (вертикальних, похилих/горизонтальних). Хоча, якщо бути більш точним у постановці питання - йдеться про дослідження на наявність асимптот (адже таких може зовсім не виявитися).

Почнемо з чогось простого:

Приклад 1

Рішення зручно розбити на два пункти:

1) Спочатку перевіряємо, чи є вертикальні асимптоти. Знаменник звертається в нуль при , і зрозуміло, що у цій точці функція терпить нескінченний розрив, А пряма, задана рівнянням є вертикальною асимптотою графіка функції . Але перш ніж оформити такий висновок, необхідно знайти односторонні межі:

Нагадую техніку обчислень, на якій я подібно зупинявся у статті безперервність функції. Точки розриву. У вираз під знаком межі замість «ікса» підставляємо . У чисельнику нічого цікавого:
.

А ось у знаменнику виходить нескінченно мале негативне число:
, Воно і визначає долю межі.

Лівостороння межа нескінченна, і, в принципі, вже можна винести вердикт про наявність вертикальної асимптоти. Але односторонні межі потрібні не тільки для цього – вони ДОПОМАГАЮТЬ ЗРОЗУМІТИ, ЯКрозташований графік функції та побудувати його КОРЕКТНО. Тому обов'язково обчислимо і правосторонню межу:

Висновок: односторонні межі нескінченні, отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції при .

Перша межа кінцевийОтже, необхідно «продовжити розмову» і знайти другу межу:

Друга межа теж кінцевий.

Таким чином, наша асимптота:

Висновок: Пряма, задана рівнянням є горизонтальною асимптотою графіка функції при .

Для знаходження горизонтальної асимптоти можна користуватися спрощеною формулою:

Якщо існує кінцева межа, то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції.

Неважко помітити, що чисельник та знаменник функції одного порядку зростання, а значить, межа буде кінцевою:

Відповідь:

За умовою не потрібно виконувати креслення, але якщо у розпалі дослідження функції, то на чернетці відразу ж робимо малюнок:

Виходячи з трьох знайдених меж, спробуйте самостійно прикинути, як може розташовуватися графік функції. Дуже важко? Знайдіть 5-6-7-8 пікселів і позначте їх на кресленні. Втім, графік цієї функції будується за допомогою перетворень графіка елементарної функції, і читачі, що уважно розглянули Приклад 21 зазначеної статті, легко здогадаються, що це за крива.

Приклад 2

Знайти асимптоти графіка функції

Це приклад самостійного рішення. Процес, нагадую, зручно розбити на два пункти – вертикальні асимптоти та похилі асимптоти. У прикладі рішення горизонтальна асимптота знайдена за спрощеною схемою.

На практиці найчастіше зустрічаються дробово-раціональні функції, і після тренування на гіперболах ускладнимо завдання:

Приклад 3

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: Раз, два і готове:

1) Вертикальні асимптоти знаходяться у точках нескінченного розривутому потрібно перевірити, чи звертається знаменник у нуль. Вирішимо квадратне рівняння :

Дискримінант позитивний, тому рівняння має два дійсних кореня, і роботи значно додається =)

З метою подальшого знаходження односторонніх меж квадратний тричлен зручно розкласти на множники:
(Для компактного запису «мінус» внесли в першу дужку). Для підстрахування здійснимо перевірку, подумки або на чернетці розкривши дужки.

Перепишемо функцію у вигляді

Знайдемо односторонні межі в точці:

І в точці:

Таким чином, прямі є вертикальними асимптотами графіка цієї функції.

2) Якщо подивитися на функцію , то цілком очевидно, що межа буде кінцевою і у нас горизонтальна асимптота. Покажемо її наявність коротким способом:

Таким чином, пряма (вісь абсцис) є горизонтальною асимптотою графіка цієї функції.

Відповідь:

Знайдені межі та асимптоти дають чимало інформації про графік функції. Постарайтеся подумки уявити креслення з урахуванням наступних фактів:

Схематично зобразіть вашу версію графіка на чернетці.

Звичайно, знайдені межі однозначно не визначають вид графіка, і можливо, ви припуститеся помилки, але сама вправа надасть неоціненну допомогу в ході повного дослідження функції. Правильна картинка – наприкінці уроку.

Приклад 4

Знайти асимптоти графіка функції

Приклад 5

Знайти асимптоти графіка функції

Це завдання самостійного рішення. Обидва графіки знову мають горизонтальні асимптоти, які негайно детектуються за такими ознаками: в Прикладі 4 порядок зростаннязнаменника більше, ніж порядок зростання чисельника, а Прикладі 5 чисельник і знаменник одного порядку зростання. У зразку рішення перша функція досліджена на наявність похилих асимптотів повним шляхом, а друга - через межу .

Горизонтальні асимптоти, на моє суб'єктивне враження, зустрічаються помітно частіше, ніж ті, які «по-справжньому нахилені». Довгоочікуваний загальний випадок:

Приклад 6

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: класика жанру:

1) Оскільки знаменник позитивний, то функція безперервнапо всій числовій прямий, і вертикальні асимптоти відсутні. …Чи це добре? Не те слово – чудово! Пункт №1 закрито.

2) Перевіримо наявність похилих асимптотів:

Перша межа кінцевийтому їдемо далі. Під час обчислення другої межі для усунення невизначеності «нескінченність мінус нескінченність»наводимо вираз до спільного знаменника:

Друга межа теж кінцевий, Отже, у графіка розглянутої функції існує похила асимптота:

Висновок:

Таким чином, при графік функції нескінченно близьконаближається до прямої:

Зауважте, що він перетинає свою похилу асимптоту на початку координат, і такі точки перетину цілком допустимі – важливо, щоб «все було нормально» на нескінченності (власне, мова про асимптоти і заходить саме там).

Приклад 7

Знайти асимптоти графіка функції

Рішення: коментувати особливо нічого, тому оформлю приблизний зразок чистового рішення:

1) Вертикальні асимптоти. Досліджуємо точку.

Пряма є вертикальною асимптотою для графіка при .

2) Похилі асимптоти:

Пряма є похилою асимптотою для графіка при .

Відповідь:

Знайдені односторонні межі та асимптоти з високою достовірністю дозволяють припустити, як виглядає графік цієї функції. Коректне креслення наприкінці уроку.

Приклад 8

Знайти асимптоти графіка функції

Це приклад самостійного рішення, для зручності обчислення деяких меж можна почленно розділити чисельник на знаменник. І знову, аналізуючи отримані результати, постарайтеся накреслити графік цієї функції.

Очевидно, що володарями «справжніх» похилих асимптот є графіки тих дрібно-раціональних функцій, у яких старший ступінь чисельника на одиницю більшестаршого ступеня знаменника. Якщо більше – похилої асимптоти вже не буде (наприклад, ).

Але в житті відбуваються й інші чудеса:

Приклад 9

Рішення: функція безперервнана всій числовій прямій, отже, вертикальні асимптоти відсутня. Але похилі цілком можуть бути. Перевіряємо:

Згадую, як ще у ВНЗ зіткнувся зі схожою функцією і просто не міг повірити, що в неї є похила асимптота. До тих пір, поки не обчислив другу межу:

Строго кажучи, тут дві невизначеності: і, але так чи інакше, потрібно використовувати метод рішення, який розібраний у Прикладах 5-6 статті про межі підвищеної складності. Помножуємо і ділимо на сполучене вираз, щоб скористатися формулою:

Відповідь:

Мабуть, найпопулярніша похила асимптота.

Досі нескінченності вдавалося «стригти під одну гребінку», але буває, що графік функції дві різніпохилі асимптоти при і при:

Приклад 10

Дослідити графік функції наявності асимптот

Рішення: підкорене вираз позитивно, значить, область визначення- будь-яке дійсно число, і вертикальних палиць не може бути.

Перевіримо, чи існують похилі асимптоти.

Якщо «ікс» прагне «мінус нескінченності», то:
(при внесенні "ікса" під квадратний корінь необхідно додати знак "мінус", щоб не втратити негативність знаменника)

Виглядає незвично, але тут невизначеність "нескінченність мінус нескінченність". Помножуємо чисельник і знаменник на поєднане вираз:

Таким чином, пряма є похилою асимптотою графіка при .

З «плюс нескінченністю» все тривіальніше:

А пряма – при.

Відповідь:

Якщо;
якщо .

Не втримаюсь від графічного зображення:


Це одна з гілок гіперболи .

Не рідкість, коли потенційна наявність асимптот спочатку обмежена. областю визначення функції:

Приклад 11

Дослідити графік функції наявності асимптот

Рішення: очевидно, що тому розглядаємо тільки праву напівплощину, де є графік функції.

1) Функція безперервнана інтервалі , отже, якщо вертикальна асимптота і є, це може бути лише вісь ординат. Досліджуємо поведінку функції поблизу точки справа:

Зверніть увагу, тут НІ невизначеності(на таких випадках акцентувалася увага на початку статті Методи розв'язання меж).

Таким чином, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою для графіка функції при .

2) Дослідження на похилу асимптоту можна провести за повною схемою, але у статті Правила Лопіталми з'ясували, що лінійна функція вищого порядку зростання, ніж логарифмічна, отже: (Див. Приклад 1 того ж уроку).

Висновок: вісь абсцис є горизонтальною асимптотою графіка функції при .

Відповідь:

Якщо;
якщо .

Креслення для наочності:

Цікаво, що в схожій функції асимптот немає взагалі (бажаючі можуть це перевірити).

Два заключні приклади для самостійного вивчення:

Приклад 12

Дослідити графік функції наявності асимптот

Для перевірки на вертикальні асимптоти спочатку потрібно знайти область визначення функції, а потім обчислити пару односторонніх меж у «підозрілих» точках. Похилі асимптоти теж не виключені, оскільки функція визначена на плюс і мінус нескінченності.

Приклад 13

Дослідити графік функції наявності асимптот

А тут можуть бути тільки похилі асимптоти, причому напрямки слід розглянути окремо.

Сподіваюся, ви знайшли необхідну асимптоту =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення :
. Знайдемо односторонні межі:

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції при .
2) Похилі асимптоти.

Пряма .
Відповідь:

Креслення до Прикладу 3:

Приклад 4:Рішення :
1) Вертикальні асимптоти. Функція зазнає нескінченного розриву в точці . Обчислимо односторонні межі:

Примітка: нескінченно мале негативне число парною рівне нескінченно малому позитивному числу: .

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.
2) Похилі асимптоти.


Пряма (вісь абсцис) є горизонтальною асимптотою графіка функції при .
Відповідь:

Скільки асимптот може мати графік функції?

Жодної, одна, дві, три, або нескінченно багато. За прикладами далеко не ходитимемо, згадаємо елементарні функції. Парабола, кубічна парабола, синусоїда зовсім не мають асимптоту. Графік експоненційної, логарифмічної функції має єдину асимптоту. У арктангенса, арккотангенса їх дві, а тангенса, котангенса - нескінченно багато. Не рідкість, коли графік укомплектований горизонтальними і вертикальними асимптотами. Гіпербола, буде завжди love you.

Що означає знайти асимптоти графіка функції?

Це означає з'ясувати їх рівняння, та й накреслити прямі лінії, якщо цього вимагає умова завдання. Процес передбачає знаходження меж функції.

Вертикальні асимптоти графіка функції

Вертикальна асимптота графіка, зазвичай, перебуває у точці нескінченного розриву функції. Все просто: якщо в точці функція зазнає нескінченного розриву, то пряма, задана рівнянням є вертикальною асимптотою графіка.

Зверніть увагу, що запис використовується для позначення двох абсолютно різних понять. Точка має на увазі або рівняння прямої - залежить від контексту.

Таким чином, щоб встановити наявність вертикальної асимптоти в точці досить показати, що хоча б одна з односторонніх меж нескінченна. Найчастіше це точка, де знаменник функції дорівнює нулю. Фактично, ми вже знаходили вертикальні асимптоти останніх прикладах уроку про безперервність функції. Але в ряді випадків існує тільки одна одностороння межа, і, якщо вона нескінченна, то знову - любіть і жалуйте вертикальну асимптоту. Найпростіша ілюстрація: і вісь ординат.

З вищесказаного також випливає очевидний факт: якщо функція безперервна, то вертикальні асимптоти відсутні. На думку чомусь спала парабола. Справді, де тут «устромиш» пряму? …так… розумію… послідовники дядечка Фрейда забилися в істериці =)

Зворотне твердження в загальному випадку неправильне: так, функція не визначена по всій числовій прямій, проте абсолютно обділена асимптотами.

Похилі асимптоти графіка функції

Похилі (як окремий випадок - горизонтальні) асимптоти можуть намалюватися, якщо аргумент функції прагне «плюс нескінченності» або «мінус нескінченності». Тому графік функції не може мати більше 2-х похилих асимптотів. Наприклад, графік експоненційної функції має єдину горизонтальну асимптоту при, а графік арктангенса при - двома такими асимптотами, причому різними.

Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох даних точок, званих фокусами, є постійна величина (ця постійна повинна бути позитивною і менше відстані між фокусами).

Позначимо цю постійну через 2а, відстань між фокусами через і виберемо осі координат так само, як і § 3. Нехай - довільна точка гіперболи.

За визначенням гіперболи

У правій частині рівності потрібно вибрати знак плюс, якщо знак мінус, якщо

Оскільки останню рівність можна записати у вигляді:

Це і є рівняння гіперболи у вибраній системі координат.

Звільняючись у цьому рівнянні від радикалів (як і § 3), можна привести рівняння до найпростішого виду.

Переносячи перший радикал у праву частину рівності і зводячи обидві частини квадрат, після очевидних перетворень отримаємо:

Звівши ще раз обидві частини рівності в квадрат, зробивши приведення подібних членів та розділивши на вільний член, отримаємо:

Оскільки , то величина позитивна. Позначаючи її через , тобто вважаючи

отримаємо канонічне рівняння гіперболи.

Досліджуємо форму гіперболи.

1) Симетрії гіперболи. Так як рівняння (3) містить тільки квадрати поточних координат, осі координат є осями симетрії гіперболи (див. аналогічне твердження для еліпса). Вісь симетрії гіперболи, на якій розташовуються фокуси, називається фокальною віссю. Точка перетину осей симетрії – центр симетрії – називається центром гіперболи. Для гіперболи, заданої рівнянням (3), фокальна вісь збігається з віссю Ох, а центром є початок координат.

2) Точки перетину з осями симетрії. Знайдемо точки перетину гіперболи з осями симетрії – вершини гіперболи. Вважаючи в ураненні знайдемо абсциси точок перетину гіперболи з віссю

Отже точки є вершинами гіперболи (рис. 51); відстань між ними дорівнює 2а. Щоб знайти точки перетину з віссю Оу, покладемо в рівнянні Отримаємо визначення ординат цих точок рівняння

т. е. для у ми отримали уявні значення; це означає, що вісь Оу не перетинає гіперболи.

Відповідно до цього вісь симетрії, що перетинає гіперболу, називається дійсною віссю симетрії (фокальною віссю), вісь симетрії, яка не перетинає гіперболи, називається уявною віссю симетрії. Для гіперболи, заданої рівнянням (3), справжньою віссю симетрії є вісь , уявною віссю симетрії - вісь Відрізок, що з'єднує вершини гіперболи, а також його довжина 2а називаються дійсною віссю гіперболи. Якщо на уявній осі симетрії гіперболи відкласти в обидві сторони від її центру Про відрізки ПРО, і довжиною b, то відрізок і його довжина називаються уявною віссю гіперболи. Величини а і b називаються відповідно до дійсної і уявної півосями гіперболи.

3) Форма гіперболи. При дослідженні форми гіперболи достатньо розглядати позитивні значення х та у, тому що крива симетрично розташована щодо осей координат.

Оскільки з рівняння (3) слід, що 1, може змінюватися від а до Коли збільшується від а до то У теж збільшується від 0 до Крива має форму, зображену на рис. 51. Вона розташовується поза смугою, обмеженою прямими і складається з двох окремих гілок. Для будь-якої точки М однієї з цих гілок (права гілка), для будь-якої точки М іншої гілки (ліва гілка).

4) Асимптоти гіперболи. Щоб чіткіше уявити вигляд гіперболи, розглянемо дві прямі лінії, тісно з нею пов'язані - звані асимптоти.

Припускаючи х і у позитивними, розв'яжемо рівняння (3) гіперболи щодо ординати у:

Порівняємо рівняння з рівнянням прямої лінії називаючи відповідними дві точки розташовані відповідно на цій прямій і гіперболі і мають одну і ту ж абсцису (рис. 51). Вочевидь, і різницю Y - у ординат відповідних точок висловлює відстань з-поміж них, тобто.

Покажемо, що з необмеженому зростанні відстань MN, вбиваючи, прагне нулю. Справді,

Після спрощення отримаємо:

З останньої формули ми вбачаємо, що при необмеженому зростанні абсциси відстань MN зменшується і прагне нуля. Звідси випливає, що коли точка М, рухаючись гіперболою в першому квадранті, видаляється в нескінченність, то її відстань до прямої зменшується і прагне нуля. Те саме обставина матиме місце під час руху точки М по гіперболі у третьому квадранті (внаслідок симетрії щодо початку координат Про).

Нарешті, внаслідок симетрії гіперболи щодо осі Оу ми отримаємо другу пряму симетрично розташовану з прямою до якої також буде необмежено наближатися точка М при русі гіперболі і видалення в нескінченність (у другому і четвертому квадрантах).

Ці дві прямі лінії звуться асимптот гіперболи, вони, як ми бачили, мають рівняння:

Очевидно, асимптоти гіперболи розташовуються по діагоналях прямокутника, одна сторона якого паралельна осі Ох дорівнює 2а, інша - паралельна осі Оу і дорівнює а центр лежить на початку координат (див. рис. 51).

При кресленні гіперболи за її рівнянням рекомендується заздалегідь побудувати її асимптоти.

Рівностороння гіпербола. У разі гіпербола називається рівносторонньою; її рівняння виходить з (3) і має вигляд:

Очевидно, кутові коефіцієнти асимптоту для рівносторонньої гіперболи будуть Отже, асимптоти рівносторонньої гіперболи перпендикулярні між собою і ділять навпіл кути між її осями симетрії.