Нерівність, що задає числовий проміжок таблиці. Числовий інтервал

Числовий інтервал

Проміжок, відкритий проміжок, інтервал- безліч точок числової прямої, укладених між двома даними числами aі b, тобто безліч чисел x, що задовольняють умові: a < x < b . Проміжок не включає кінців і позначається ( a,b) (іноді) a,b[ ], На відміну від відрізка [ a,b] (замкнутого проміжку), що включає кінці, тобто складається з точок .

У записі ( a,b) , числа aі bназивають кінцями проміжку. Проміжок включає всі речові числа , проміжок - усі числа менші aі проміжок - усі числа великі a .

Термін проміжоквикористовується у складі складних термінів:

• при інтегруванні - проміжок інтегрування,
• при уточненні коренів рівняння - проміжок ізоляції
• при визначенні збіжності статечних рядів - проміжок збіжності статечного ряду.

До речі, в англійській мові словом intervalназивається відрізок. А для позначення поняття інтервалу використовується термін open interval.

Література

• Вигодський М. Я. Довідник з вищої математики. М.: "Астрель", "АСТ", 2002

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Числовий інтервал" в інших словниках:

Від латів. intervallum проміжок, відстань: У музиці: Інтервал відношення висот двох тонів; відношення звукових частот цих тонів. В математиці: Інтервал (геометрія) безліч точок прямої, ув'язнених між точками А і В, ... Вікіпедія

< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Проміжок, відкритий проміжок, інтервал множини точок числової прямої, укладених між двома даними числами a і b, тобто безліч чисел x, що задовольняють умові: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Проміжок, або точніше, проміжок числової прямої безліч дійсних чисел, що володіє тією властивістю, що разом з будь-якими двома числами містить будь-яке, що лежить між ними. З використанням логічних символів, це визначення ... Вікіпедія

Нагадаємо визначення деяких основних підмножин дійсних чисел. Якщо, то множина називається відрізком розширеної числової прямої R і позначається через, тобто у разі відрізок … Вікіпедія

Послідовність Числова послідовність це послідовність елементів числового простору. Числові пос… Вікіпедія

МІКРОСКОП- (від грец. mikros малий і skopeo дивлюся), оптичний інструмент вивчення малих предметів, недоступних безпосередньому розгляду неозброєним оком. Розрізняють простий М., або лупу, і складний М., або мікроскоп у власному значенні. Лупа… … Велика медична енциклопедія

ДЕРЖСТАНДАРТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовий моніторинг міських територій- Термінологія ДЕРЖСТАНДАРТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовий моніторинг міських територій Оригінал документа: 1 Денний оціночний рівень звуку. 2 Вечірній максимальний рівень звуку. 3 Нічний оціночний рівень звукового тиску … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Відрізком може називатися одне з двох близьких понять у геометрії та математичному аналізі. Відрізок безліч точок, … Вікіпедія

Коефіцієнт кореляції- (Correlation coefficient) Коефіцієнт кореляції це статистичний показник залежності двох випадкових величин Визначення коефіцієнта кореляції, види коефіцієнтів кореляції, властивості коефіцієнта кореляції, обчислення та застосування. Енциклопедія інвестора

До числових проміжків відносяться промені, відрізки, інтервали та напівінтервали.

Види числових проміжків

Назва	Зображення	Нерівність	Позначення
Відкритий промінь		x > a	(a; +∞)
		x < a	(-∞; a)
Замкнений промінь		x ⩾ a	[a; +∞)
		x ⩽ a	(-∞; a]
Відрізок		a ⩽ x ⩽ b	[a; b]
Інтервал		a < x < b	(a; b)
Напівінтервал		a < x ⩽ b	(a; b]
		a ⩽ x < b	[a; b)

В таблиці aі b- це граничні точки, а x- змінна, яка може приймати координату будь-якої точки, що належить числовому проміжку.

Гранична точка- Це точка, що визначає межу числового проміжку. Гранична точка може як належати числовому проміжку, так і не належати йому. На кресленнях граничні точки, що не належать числовому проміжку, що розглядається, позначають незафарбованим кругом, а належать - зафарбованим кругом.

Відкритий і замкнутий промінь

Відкритий промінь- це безліч точок прямої, що лежать по один бік від граничної точки, яка не входить у цю множину. Відкритим промінь називається саме через граничну точку, яка йому не належить.

Розглянемо безліч точок координатної прямої, що мають координату, більшу 2, а значить розташованих правіше точки 2:

Така множина можна задати нерівністю x> 2. Відкриті промені позначаються з допомогою круглих дужок - (2; +∞), цей запис читається так: відкритий числовий промінь від двох до плюс нескінченності.

Безліч, якій відповідає нерівність x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнений промінь- це безліч точок прямої, що лежать по одну сторону від граничної точки, що належить даній множині. На кресленнях граничні точки, що належать множині, позначаються зафарбованим колом.

Замкнуті числові промені задаються несуворими нерівностями. Наприклад, нерівності x 2 та x 2 можна зобразити так:

Позначаються дані замкнені промені так: , Читається це так: числовий промінь від двох до плюс нескінченності і числовий промінь від мінус нескінченності до двох. Квадратна дужка у позначенні показує, що точка 2 належить числовому проміжку.

Відрізок

Відрізок- це безліч точок прямої, що лежать між двома граничними точками, що належать даній множині. Такі множини задаються подвійними нестрогими нерівностями.

Розглянемо відрізок координатної прямої з кінцями в точках -2 та 3:

Безліч точок, з яких складається даний відрізок, можна задати подвійною нерівністю -2 x 3 або позначити [-2; 3], такий запис читається так: відрізок від мінус двох до трьох.

Інтервал та напівінтервал

Інтервал- це безліч точок прямої, що лежать між двома граничними точками, що не належать даній множині. Такі множини задаються подвійними суворими нерівностями.

Розглянемо відрізок координатної прямої з кінцями в точках -2 та 3:

Безліч точок, з яких складається цей інтервал, можна задати подвійною нерівністю -2< x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Напівінтервал- це безліч точок прямої, що лежать між двома граничними точками, одна з яких належить множині, а інша не належить. Такі множини задаються подвійними нерівностями:

Позначаються дані напівінтервали так: (-2; 3] і [-2; 3), читається це так: напівінтервал від мінус двох до трьох, включаючи 3 і напівінтервал від мінус двох до трьох, включаючи мінус два.

Серед числових множин, тобто множин, об'єктами яких є числа, що виділяють так звані числові проміжки. Їхня цінність у тому, що дуже легко уявити безліч, що відповідає зазначеному числовому проміжку, і навпаки. Тому з їхньою допомогою зручно записувати безліч рішень нерівності.

У статті ми розберемо всі види числових проміжків. Тут ми дамо їх назви, введемо позначення, зобразимо числові проміжки на координатній прямій, а також покажемо, які найпростіші нерівності відповідають їм. На закінчення наочно представимо всю інформацію як таблиці числових проміжків.

Навігація на сторінці.

Види числових проміжків

Кожному числовому проміжку притаманні чотири нерозривно пов'язані між собою речі:

• назва числового проміжку,
• відповідальна йому нерівність або подвійна нерівність,
• позначення,
• та його геометричний образ у вигляді зображення на координатній прямій.

Будь-який числовий проміжок може бути заданий будь-яким із трьох останніх за списком способів: або нерівністю, або позначенням, або його зображення координатної прямої. Причому за цим способом завдання, наприклад, по нерівності, легко відновлюються й інші (у разі позначення і геометричний образ).

Переходимо до конкретики. Опишемо всі числові проміжки із зазначених вище чотирьох сторін.

Почнемо з опису числового проміжку, який отримав назву відкритий числовий промінь. Зауважимо, що прикметник «відкритий» опускають, залишаючи назву відкритий промінь.

Цьому числовому проміжку відповідають найпростіші нерівності з одного змінного виду x a , де a – деяке дійсне число. Тобто, відповідно до змісту записаних нерівностей, відкритий числовий промінь становлять усі , які менші від числа a (у разі нерівності x a).

Безліч чисел, що задовольняють нерівності x a як (a, +∞) .

Залишилося показати геометричне зображення відкритого променя, з нього стане видно, що таку назву числовий проміжок, що розглядається, отримав не випадково. Звернемося до . Відомо, що між її точками та дійсними числами має місце взаємно однозначна відповідність, що дозволяє координатну пряму називати числовою прямою. А при розмові про порівняння чиселми відзначили, що більша кількість розташовується на координатній прямій правіше меншого, а менше – лівіше більшого. Виходячи з цих міркувань, нерівності x a – точки, що лежать правіше точки a . Саме число a не задовольняє ці нерівності, щоб підкреслити це на кресленні її зображують точкою з порожнім центром. Над точками, яким відповідають числа, що задовольняють нерівності, зображують похилий штрих:

З наведених креслень видно, що даним числовим проміжкам відповідають частини числової прямої, що являють собою променіз початком у точці a, але виключаючи саму точку a. Інакше кажучи, це промені без початку. Звідси і назва – відкритий числовий промінь.

Наведемо кілька конкретних прикладів відкритих числових променів. Так сувора нерівність x>-3 задає відкритий числовий промінь. Його ж ставить запис (−3, ∞) . А на координатній прямий цей числовий проміжок є безліч точок, що лежать правіше точки з координатою −3 , не включаючи саму цю точку. Ще приклад: нерівність x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Переходимо до числових проміжків наступного виду – числовим променям. У геометричному плані їхня відмінність від відкритих променів у тому, що початок променя не відкидається. Іншими словами, геометричний образ числових проміжків цього виду є повноцінним промінням.

Що ж до завдання числових променів з допомогою нерівностей, їм відповідають нестрогі нерівності x≤a чи x≥a . Їх прийняті позначення (−∞, a] і . А геометричний образ числового відрізка є відрізок разом із його кінцями:


Наприклад, числовий відрізок, який задається подвійною нерівністю, можна позначити як , на координатній прямій йому відповідає відрізок з кінцями в точках, що мають координати корінь з двох і корінь з трьох.

Залишилося лише сказати про числові проміжки, звані напівінтервалами. Вони являють собою, якщо так можна висловитися, проміжний варіант між інтервалом і відрізком, оскільки включають одну з граничних точок. Напівінтервали задаються подвійними нерівностями a

Таблиця числових проміжків

Отже, у попередньому пункті ми визначили та описали наступні числові проміжки:

• відкритий числовий промінь;
• числовий промінь;
• інтервал;
• напівінтервал.

Для зручності зведемо всі дані про числові проміжки в таблицю. Занесемо до неї назву числового проміжку, відповідну йому нерівність, позначення та зображення на координатній прямій. Отримуємо наступну таблицю числових проміжків:

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.

Серед множин чисел є множини, де об'єктами виступають числові проміжки. При вказівці множини простіше визначити по проміжку. Тому записуємо безліч рішень, використовуючи числові проміжки.

Ця стаття дає відповіді на запитання про числові проміжки, назви, позначення, зображення проміжків на координатній прямій, відповідність нерівностей. На закінчення буде розглянуто таблицю проміжків.

Визначення 1

Кожен числовий проміжок характеризується:

• назвою;
• наявністю звичайної чи подвійної нерівності;
• позначенням;
• геометричним зображенням на прямій координатою.

Числовий проміжок задається за допомогою будь-яких 3 способів з наведеного вище списку. Тобто при використанні нерівності, позначення, зображення координатної прямої. Цей спосіб найбільш застосовний.

Зробимо опис числових проміжків із вище зазначеними сторонами:

Визначення 2

• Відкритий числовий промінь.Назва пов'язана з тим, що його опускають, залишаючи відкритим.

Цей проміжок має відповідні нерівності x< a или x >a де a є деяким дійсним числом. Тобто на таке промені є всі дійсні числа, які менші за a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Безліч чисел, які задовольнятимуть нерівності виду x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a як (a , + ∞) .

Геометричний змил відритого променя розглядає наявність числового проміжку. Між точками координатної прямої та її числами є відповідність, завдяки якому пряму називаємо координатною. Якщо необхідно порівняти числа, то на координатній прямій більше правої. Тоді нерівність виду x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – точки, які правіше. Саме число не підходить для вирішення, тому на кресленні позначають точкою, що виколола. Проміжок, який необхідний, виділяють за допомогою штрихування. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

З наведеного малюнка видно, що числові проміжки відповідають частини прямої, тобто променям з початком в a . Інакше кажучи, називається променями без початку. Тому він і отримав назву відкритий числовий промінь.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1

При заданій суворій нерівності x > − 3 задається відкритий промінь. Цей запис можна подати у вигляді координат (−3, ∞). Тобто це всі точки, що лежать правіше, ніж 3 .

Приклад 2

Якщо маємо нерівність виду x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Визначення 3

• Числовий промінь.Геометричний сенс у тому, що початок не відкидається, інакше кажучи, промінь залишає за собою повноцінність.

Його завдання йде за допомогою нестрогих нерівностей виду x ≤ a або x ≥ a. Для такого виду прийняті спеціальні позначення виду (− ∞ , a ] і [ a , + ∞) , причому наявність квадратної дужки має значення того, що точка включена в розв'язок або безліч. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Для наочного прикладу поставимо числовий промінь.

Приклад 3

Нерівність виду x ≥ 5 відповідає запису [ 5 , + ∞), тоді отримуємо промінь такого виду:

Визначення 4

• Інтервал.Завдання за допомогою інтервалів записується за допомогою подвійних нерівностей a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Приклад 4

Приклад інтервалу - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Визначення 5

• Числовий відрізок.Даний проміжок відрізняється тим, що він включає граничні точки, тоді має запис виду a ≤ x ≤ b . Така несувора нерівність говорить про те, що при записі у вигляді числового відрізка застосовують квадратні дужки [a, b], означає, що точки включаються в безліч і зображуються зафарбованими.

Приклад 5

Розглянувши відрізок, отримаємо, що його завдання можливе за допомогою подвійної нерівності 2 ≤ x ≤ 3, яку зображаємо у вигляді 2, 3. На координатній прямій точки будуть включені в рішення і зафарбовані.

Визначення 6 Приклад 6

Якщо є напівінтервал (1, 3], тоді його позначення можна у вигляді подвійної нерівності 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Визначення 7

Проміжки можуть бути зображені у вигляді:

• відкритого числового променя;
• числового променя;
• інтервалу;
• числового відрізка;
• напівінтервалу.

Щоб спростити процес обчислення, необхідно користуватися спеціальною таблицею, де є позначення всіх видів числових проміжків прямої.

Назва	Нерівність	Позначення	Зображення
Відкритий числовий промінь	x< a	- ∞ , a
	x > a	a , + ∞
Числовий промінь	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[ a , + ∞)
Інтервал	a< x < b	a, b
Числовий відрізок	a ≤ x ≤ b	a, b
Напівінтервал