Нормальний закон розподілу ймовірностей

Без перебільшення його можна назвати філософським законом. Спостерігаючи за різними об'єктами та процесами навколишнього світу, ми часто стикаємося з тим, що чогось буває мало, і що буває норма:


Перед вами важливий вигляд функції щільностінормального розподілу ймовірностей, і я вітаю вас на цьому цікавому уроці.

Які приклади можна навести? Їхня просто темрява. Це, наприклад, зростання, вага людей (і не тільки), їхня фізична сила, розумові здібності і т.д. Існує «основна маса» (за тією чи іншою ознакою)і є відхилення в обидві сторони.

Це різні характеристики неживих об'єктів (ті самі розміри, вага). Це випадкова тривалість процесів, наприклад, час забігу стометрівки або перетворення смоли на бурштин. З фізики згадалися молекули повітря: серед них є повільні, швидкі, але більшість рухаються зі «стандартними» швидкостями.

Далі відхиляємося від центру ще одне стандартне відхилення і розраховуємо висоту:

Зазначаємо точки на кресленні (зелений колір)і бачимо, що цього цілком достатньо.

На завершальному етапі акуратно креслимо графік, та особливо акуратновідбиваємо його опуклість/увігнутість! Ну і, мабуть, ви давно зрозуміли, що вісь абсцис – це горизонтальна асимптота, І «залазити» за неї категорично не можна!

При електронному оформленні рішення графік легко побудувати в Екселі, і несподівано для себе я навіть записав короткий відеоролик на цю тему. Але спочатку поговоримо про те, як змінюється форма нормальної кривої в залежності від значень і .

При збільшенні чи зменшенні «а» (При постійному «сигма»)графік зберігає свою форму та переміщається вправо / влівовідповідно. Так, наприклад, при функція набуває вигляду і наш графік «переїжджає» на 3 одиниці вліво – рівно на початок координат:


Нормально розподілена величина з нульовим математичним очікуванням отримала цілком природну назву - центрована; її функція щільності – парна, І графік симетричний щодо осі ординат.

У разі зміни «сигми» (При постійному "а"), графік «залишається дома», але змінює форму. При збільшенні він стає нижчим і витягнутим, наче восьминіг, що розтягує щупальця. І, навпаки, при зменшенні графіка стає вужчим і високим- Виходить «здивований восьминіг». Так, при зменшенні«сигми» вдвічі: попередній графік звужується і витягується вгору вдвічі:

Все в повній відповідності до геометричними перетвореннями графіків.

Нормальний розподіл із одиничним значенням «сигма» називається нормованим, а якщо воно ще й центровано(наш випадок), то такий розподіл називають стандартним. Воно має ще простішу функцію щільності, яка вже зустрічалася в локальної теореми Лапласа: . Стандартний розподіл знайшов широке застосування практично, і дуже скоро ми остаточно зрозуміємо його призначення.

Ну а тепер дивимось кіно:

Так, абсолютно вірно - якось незаслужено у нас залишилася в тіні функція розподілу ймовірностей. Згадуємо її визначення:
- Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, МЕНШЕ, ніж змінна , яка "пробігає" всі дійсні значення до "плюс" нескінченності.

Усередині інтеграла зазвичай використовують іншу букву, щоб не виникало «накладок» з позначеннями, бо тут кожному значенню ставиться у відповідність невласний інтеграл , який дорівнює деякому числуз інтервалу.

Майже всі значення не піддаються точному розрахунку, але як ми щойно бачили, із сучасними обчислювальними потужностями з цим немає жодних труднощів. Так, для функції стандартного розподілу відповідна екселівська функція взагалі містить один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – і готово:

На кресленні добре видно виконання всіх властивостей функції розподілу, і з технічних нюансів тут слід звернути увагу на горизонтальні асимптотиі точку перегину.

Тепер згадаємо одне з ключових завдань теми, а саме з'ясуємо, як знайти – ймовірність того, що нормальна випадкова величина набуде значення з інтервалу. Геометрично ця ймовірність дорівнює площіміж нормальною кривою та віссю абсцис на відповідній ділянці:

але щоразу вимучувати наближене значення нерозумно, і тому тут раціональніше використовувати «легку» формулу:
.

! Згадує також , що

Тут можна знову задіяти Ексель, але є пара вагомих "але": по-перше, він не завжди під рукою, а по-друге, "готові" значення, швидше за все, викличуть питання у викладача. Чому?

Про це я неодноразово розповідав раніше: свого часу (і ще не дуже давно) розкішшю був звичайний калькулятор, і в навчальній літературі досі зберігся «ручний» спосіб вирішення завдання. Його суть полягає в тому, щоб стандартизуватизначення «альфа» та «бета», тобто звести рішення до стандартного розподілу:

Примітка : функцію легко отримати із загального випадкуза допомогою лінійної заміни. Тоді й:

і з проведеної заміни випливає формула переходу від значень довільного розподілу – до відповідних значень стандартного розподілу.

Навіщо це потрібно? Справа в тому, що значення скрупульозно підраховані нашими предками і зведені до спеціальної таблиці, яка є в багатьох книгах за тервером. Але ще частіше зустрічається таблиця значень, з якою ми вже мали справу в інтегральної теореми Лапласа:

Якщо в нашому розпорядженні є таблиця значень функції Лапласа , То вирішуємо через неї:

Дробові значення традиційно округляємо до 4 знаків після коми, як це зроблено у типовій таблиці. І для контролю є Пункт 5 макета.

Нагадую, що , і щоб уникнути плутанини завжди контролюйте, таблиця ЯКИЙ функції перед очима.

Відповідьпотрібно дати у відсотках, тому розраховану ймовірність потрібно помножити на 100 і забезпечити результат змістовним коментарем:

- з перельотом від 5 до 70 м впаде приблизно 15,87% снарядів

Тренуємося самостійно:

Приклад 3

Діаметр підшипників, виготовлених на заводі, являє собою випадкову величину, нормально розподілену з математичним очікуванням 1,5 см і середнім квадратичним відхиленням 0,04 см. Знайти ймовірність того, що розмір навмання взятого підшипника коливається від 1,4 до 1,6 см.

У зразку рішення і далі я використовуватиму функцію Лапласа як найпоширеніший варіант. До речі, зверніть увагу, що згідно з формулюванням, тут можна включити кінці інтервалу до розгляду. Втім, це критично.

І вже у цьому прикладі нам зустрівся особливий випадок – коли інтервал симетричний щодо математичного очікування. У такій ситуації його можна записати у вигляді і, користуючись непарністю функції Лапласа, спростити робочу формулу:

Параметр "дельта" називають відхиленнямвід математичного очікування, і подвійну нерівність можна «упаковувати» за допомогою модуля:

- Імовірність того, що значення випадкової величини відхилиться від математичного очікування менш ніж на .

Добре те рішення, яке вміщується в один рядок:)
- Імовірність того, що діаметр навмання взятого підшипника відрізняється від 1,5 см не більше ніж на 0,1 см.

Результат цього завдання вийшов близьким до одиниці, але хотілося б ще більшої надійності - а саме, дізнатися межі, в яких знаходиться діаметр майже всіхпідшипників. Чи існує якийсь критерій щодо цього? Існує! На поставлене запитання відповідає так зване

правило «трьох сигм»

Його суть полягає в тому, що практично достовірним є той факт, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з проміжку .

І насправді, ймовірність відхилення від матожидания менш ніж становить:
або 99,73%

У «перерахунку на підшипники» – це 9973 штуки з діаметром від 1,38 до 1,62 см і лише 27 «некондиційних» екземплярів.

У практичних дослідженнях правило "трьох сигм" зазвичай застосовують у зворотному напрямку: якщо статистичновстановлено, що майже всі значення досліджуваної випадкової величиниукладаються в інтервал довжиною 6 стандартних відхилень, то з'являються вагомі підстави вважати, що ця величина розподілена за нормальним законом. Перевірка здійснюється за допомогою теорії статистичних гіпотез.

Продовжуємо вирішувати суворі радянські завдання:

Приклад 4

Випадкова величина помилки зважування розподілена за нормальним законом з нульовим математичним очікуванням і стандартним відхиленням 3 грами. Знайти ймовірність того, що чергове зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує модуля 5 грам.

Рішеннядуже просте. За умовою, і відразу зауважимо, що за чергового зважування (чогось чи когось)ми майже 100% отримаємо результат із точністю до 9 грам. Але в задачі фігурує вужче відхилення і за формулою :

- Імовірність того, що чергове зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує 5 грам.

Відповідь:

Вирішене завдання принципово відрізняється від начебто схожого Приклад 3уроку про рівномірному розподілі. Там була похибка округленнярезультатів вимірів, тут йдеться про випадкової похибки самих вимірів. Такі похибки виникають у зв'язку з технічними характеристиками приладу (діапазон припустимих помилок, як правило, вказують у його паспорті), а також з вини експериментатора – коли ми, наприклад, «на око» знімаємо свідчення зі стрілки тієї ж ваги.

Окрім інших, існують ще так звані систематичніпомилки виміру. Це вже невипадковіпомилки, які виникають через некоректне налаштування або експлуатацію приладу. Так, наприклад, невідрегульовані ваги підлоги можуть стабільно «додавати» кілограм, а продавець систематично обвішувати покупців. Або не систематично можна обрахувати. Однак, у будь-якому випадку, випадковою така помилка не буде, і її маточкування відмінно від нуля.

…терміново розробляю курс з підготовки продавців =)

Самостійно вирішуємо зворотне завдання:

Приклад 5

Діаметр валика - випадкова нормально розподілена випадкова величина, середнє квадратичне відхилення її дорівнює мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного щодо математичного очікування, куди з ймовірністю потрапить довжина діаметра валика.

Пункт 5* розрахункового макетав допомогу. Зверніть увагу, що тут не відоме математичне очікування, але це не заважає вирішити поставлене завдання.

І екзаменаційне завдання, яке я настійно рекомендую для закріплення матеріалу:

Приклад 6

Нормально розподілена випадкова величина задана своїми параметрами (математичне очікування) та (середнє квадратичне відхилення). Потрібно:

а) записати щільність ймовірності та схематично зобразити її графік;
б) знайти ймовірність того, що набуде значення з інтервалу ;
в) знайти ймовірність того, що відхилиться по модулю не більше ніж на ;
г) застосовуючи правило "трьох сигм", знайти значення випадкової величини.

Такі завдання пропонуються повсюдно, і за роки практики мені їх довелося вирішити сотні та сотні штук. Обов'язково попрактикуйтесь у ручній побудові креслення та використанні паперових таблиць;)

Ну а я розберу приклад підвищеної складності:

Приклад 7

Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини має вигляд . Знайти, математичне очікування, дисперсію, функцію розподілу, побудувати графіки щільності та функції розподілу, знайти.

Рішення: Насамперед, звернемо увагу, що в умові нічого не сказано про характер випадкової величини Сама собою присутність експоненти ще нічого не означає: це може виявитися, наприклад, показовеабо взагалі довільне безперервний розподіл. І тому «нормальність» розподілу ще треба обґрунтувати:

Оскільки функція визначена при будь-комудійсному значенні, і її можна привести до вигляду , то випадкова величина розподілена за нормальним законом.

Наводимо. Для цього виділяємо повний квадратта організуємо триповерховий дріб:


Обов'язково виконуємо перевірку, повертаючи показник у вихідний вигляд:

що ми й хотіли побачити.

Таким чином:
- за правилу дій зі ступенями«відщипуємо». І тут можна одразу записати очевидні числові характеристики:

Тепер знайдемо значення параметра. Оскільки множник нормального розподілу має вигляд і , то:
, звідки висловлюємо та підставляємо на нашу функцію:
, після чого ще раз пробіжимося по запису очима і переконаємося, що отримана функція має вигляд .

Побудуємо графік щільності:

та графік функції розподілу :

Якщо під рукою немає Екселя і навіть звичайного калькулятора, останній графік легко будується вручну! У точці функція розподілу набуває значення і тут знаходиться

Визначення. Нормальнимназивається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини, який описується щільністю ймовірності

Нормальний закон розподілу також називається законом Гауса.

Нормальний закон розподілу займає центральне місце у теорії ймовірностей. Це зумовлено тим, що цей закон проявляється у всіх випадках, коли випадкова величина є результатом дії великої кількості різних факторів. До нормального закону наближаються й інші закони розподілу.

Можна легко показати, що параметри і , що входять у щільність розподілу є відповідно математичним очікуванням та середньоквадратичним відхиленням випадкової величини Х.

Знайдемо функцію розподілу F(x) .

Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривоюабо кривою Гауса.

Нормальна крива має такі властивості:

1) Функція визначена по всій числовій осі.

2) За всіх хфункція розподілу набуває лише позитивних значень.

3) Вісь ОХ є горизонтальною асимптотою графіка густини ймовірності, т.к. при необмеженому зростанні за абсолютною величиною аргументу хзначення функції прагне до нуля.

4) Знайдемо екстремум функції.

Т.к. при y’ > 0 при x < mі y’ < 0 при x > m, то в точці х = тфункція має максимум, рівний
.

5) Функція є симетричною щодо прямої х = а, т.к. різниця

(х – а) входить у функцію щільності розподілу у квадраті.

6) Для знаходження точок перегину графіка знайдемо другу похідну функції щільності.

При x = m+  та x = m-  друга похідна дорівнює нулю, а під час переходу через ці точки змінює знак, тобто. у цих точках функція має перегин.

У цих точках значення функції дорівнює
.

Побудуємо графік функції густини розподілу (рис. 5).

Побудовано графіки при т=0 і трьох можливих значеннях середньоквадратичного відхилення  = 1,  = 2 та  = 7. Як видно, зі збільшенням значення середнього квадратичного відхилення графік стає більш пологім, а максимальне значення зменшується.

Якщо а> 0, то графік зміститься у позитивному напрямку, якщо а < 0 – в отрицательном.

При а= 0 і  = 1 крива називається нормованою. Рівняння нормованої кривої:

Функція Лапласа

Знайдемо можливість потрапляння випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в заданий інтервал.

Позначимо

Т.к. інтеграл
не виражається через елементарні функції, то вводиться на розгляд функція

,

яка називається функцією Лапласаабо інтегралом ймовірностей.

Значення цієї функції при різних значеннях хпораховані та наводяться у спеціальних таблицях.

На рис. 6 показано графік функції Лапласа.

Функція Лапласа має такі властивості:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф( ) = 1.

Функцію Лапласа також називають функцією помилокта позначають erf x.

Ще використовується нормованафункція Лапласа, яка пов'язана з функцією Лапласа співвідношенням:

На рис. 7 показано графік нормованої функції Лапласа.

П равило трьох сигм

При розгляді нормального закону розподілу виділяється важливий окремий випадок, відомий як правило трьох сигм.

Запишемо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного очікування менше заданої величини :

Якщо прийняти  = 3, то одержуємо з використанням таблиць значень функції Лапласа:

Тобто. ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу за потрійне середнє квадратичне відхилення, практично дорівнює нулю.

Це правило називається правилом трьох сигм.

Не практиці вважається, що для будь-якої випадкової величини виконується правило трьох сигм, то ця випадкова величина має нормальне розподіл.

Висновок з лекції:

У лекції ми розглянули закони розподілу безперервних величин Під час підготовки до наступної лекції та практичних занять ви повинні самостійно при поглибленому вивченні рекомендованої літератури та вирішенні запропонованих завдань доповнити свої конспекти лекцій.

Коротка теорія

Нормальним називають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини, щільність якого має вигляд:

де - Математичне очікування, - Середнє квадратичне відхилення.

Імовірність того, що набуде значення, що належить інтервалу:

де - функція Лапласа:

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа:

Зокрема, при справедливій рівності:

При вирішенні завдань, які висуває практика, доводиться стикатися з різними розподілами випадкових безперервних величин .

Окрім нормального розподілу, основні закони розподілу безперервних випадкових величин:

Приклад розв'язання задачі

На верстаті виготовляється деталь. Її довжина - випадкова величина, розподілена за нормальним законом із параметрами , . Знайти ймовірність того, що довжина деталі буде укладена між 22 і 24,2 см. Яке відхилення довжини деталі можна гарантувати з ймовірністю 0,92; 0,98? У яких межах, симетричних щодо , лежатимуть практично всі розміри деталей?

вступайте до групи ВК.

Рішення:

Імовірність того, що випадкова величина, розподілена за нормальним законом, перебуватиме в інтервалі:

Отримуємо:

Імовірність того, що випадкова величина, розподілена за нормальним законом, відхилиться від середнього не більше ніж на величину:

За умовою

:

Якщо вам зараз не потрібна допомога, але може знадобитися надалі, то щоб не втратити контакт,

Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.

Нормальний розподіл: теоретичні засади

Прикладами випадкових величин, розподілених за нормальним законом, є зростання людини, маса виловлюваної риби одного виду. Нормальність розподілу означає таке : існують значення росту людини, маси риби одного виду, які на інтуїтивному рівні сприймаються як "нормальні" (а по суті - усереднені), і вони досить великій вибірці зустрічаються набагато частіше, ніж відрізняються в більшу або меншу сторону.

Нормальний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини (іноді - розподіл Гауса) можна назвати дзвоноподібним через те, що симетрична відносно середнього функція щільності цього розподілу дуже схожа на розріз дзвона (червона крива на малюнку вище).

Імовірність зустріти у вибірці ті чи інші значення дорівнює площі фігури під кривою і у разі нормального розподілу ми бачимо, що під верхом "дзвона", якому відповідають значення, що прагнуть середнього, площа, а значить, ймовірність, більша, ніж під краями. Таким чином, отримуємо те саме, що вже сказано: ймовірність зустріти людину "нормального" зростання, зловити рибу "нормальної" маси вище, ніж для значень, що відрізняються у більшу чи меншу сторону. У багатьох випадках практики помилки виміру розподіляються за законом, близькому до нормальному.

Зупинимося ще раз малюнку на початку уроку, у якому представлена ​​функція щільності нормального розподілу. Графік цієї функції отримано при розрахунку деякої вибірки даних у пакеті програмних засобів STATISTICA. На ній стовпці гістограми є інтервали значень вибірки, розподіл яких близько (або, як прийнято говорити в статистиці, незначно відрізняються від) до власне графіку функції щільності нормального розподілу, який є кривою червоного кольору. На графіці видно, що ця крива дійсно дзвоноподібна.

Нормальний розподіл багато в чому цінний завдяки тому, що знаючи лише математичне очікування безперервної випадкової величини та стандартне відхилення, можна обчислити будь-яку ймовірність, пов'язану з цією величиною.

Нормальний розподіл має ще й ту перевагу, що один із найпростіших у використанні статистичних критеріїв, що використовуються для перевірки статистичних гіпотез - критерій Стьюдента- може бути використаний тільки в тому випадку, коли ці вибірки підпорядковуються нормальному закону розподілу.

Функцію щільності нормального розподілу безперервної випадкової величиниможна знайти за формулою:

,

де x- значення величини, що змінюється, - середнє значення, - стандартне відхилення, e=2,71828... - основа натурального логарифму, =3,1416...

Властивості функції щільності нормального розподілу

Зміни середнього значення переміщують криву функції щільності нормального розподілу у напрямку осі Ox. Якщо зростає, крива переміщається праворуч, якщо зменшується, то вліво.

Якщо змінюється стандартне відхилення, змінюється висота вершини кривої. При збільшенні стандартного відхилення вершина кривої знаходиться вище, при зменшенні нижче.

Імовірність влучення значення нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал

Вже у цьому параграфі почнемо вирішувати практичні завдання, зміст яких позначений у заголовку. Розберемо, які можливості для вирішення задач надає теорія. Відправне поняття для обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини заданий інтервал - інтегральна функція нормального розподілу.

Інтегральна функція нормального розподілу:

.

Однак проблематично отримати таблиці для кожної можливої ​​комбінації середнього та стандартного відхилення. Тому одним із простих способів обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини заданий інтервал є використання таблиць ймовірностей для стандартизованого нормального розподілу.

Стандартизованим або нормованим називається нормальний розподіл, середнє значення якого , а стандартне відхилення .

Функція густини стандартизованого нормального розподілу:

.

Інтегральна функція стандартизованого нормального розподілу:

.

На малюнку нижче представлено інтегральну функцію стандартизованого нормального розподілу, графік якої отримано при розрахунку певної вибірки даних у пакеті програмних засобів STATISTICA. Власне графік є кривою червоного кольору, а значення вибірки наближаються до нього.

Для збільшення малюнка можна натиснути по ньому лівою кнопкою миші.

Стандартизація випадкової величини означає перехід від початкових одиниць, що використовуються в завданні, до стандартизованих одиниць. Стандартизація виконується за формулою

На практиці всі можливі значення випадкової величини часто не відомі, тому значення середнього та стандартного відхилення точно визначити не можна. Їх замінюють середнім арифметичним спостереженням та стандартним відхиленням s. Величина zвиражає відхилення значень випадкової величини від середнього арифметичного при вимірі стандартних відхилень.

Відкритий інтервал

Таблиця ймовірностей для стандартизованого нормального розподілу, яка є практично в будь-якій книзі за статистикою, містить ймовірність того, що випадкова величина, що має стандартний нормальний розподіл Zнабуде значення менше деякого числа z. Тобто потрапить у відкритий інтервал від мінус нескінченності до z. Наприклад, ймовірність того, що величина Zменше 1,5, дорівнює 0,93319.

приклад 1.Підприємство виробляє деталі, термін служби яких нормально розподілений із середнім значенням 1000 та стандартним відхиленням 200 годин.

Для випадково відібраної деталі визначити ймовірність того, що її термін служби буде не менше 900 годин.

Рішення. Введемо перше позначення:

Шукана ймовірність.

Значення випадкової величини перебувають у відкритому інтервалі. Але ми вміємо обчислювати ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, менше заданого, а за умовою завдання потрібно знайти рівне або більше заданого. Це інша частина простору під кривою густини нормального розподілу (дзвони). Тому, щоб знайти ймовірність, потрібно з одиниці відняти згадану ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше заданого 900:

Тепер випадкову величину слід стандартизувати.

Продовжуємо вводити позначення:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 – задане значення випадкової величини;

μ = 1000 – середнє значення;

σ = 200 – стандартне відхилення.

За цими даними умови завдання отримуємо:

.

За таблицями стандартизованої випадкової величини (межі інтервалу) z= −0,5 відповідає ймовірність 0,30854. Віднімемо її з одиниці і отримаємо те, що потрібно за умови завдання:

Отже, ймовірність того, що термін служби деталі буде не менше ніж 900 годин, становить 69%.

Цю можливість можна отримати, використовуючи функцію MS Excel НОРМ.РАСП (значення інтегральної величини - 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

Про розрахунки в MS Excel – в одному з наступних параграфів цього уроку.

приклад 2.У деякому місті середньорічний дохід сім'ї є нормально розподіленою випадковою величиною із середнім значенням 300000 та стандартним відхиленням 50000. Відомо, що доходи 40 % сімей менші за величину A. Знайти величину A.

Рішення. У цьому завданні 40 % - ні що інше, як ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з відкритого інтервалу, меншого за певне значення, позначеного буквою A.

Щоб знайти величину A, спочатку складемо інтегральну функцію:

За умовою завдання

μ = 300000 – середнє значення;

σ = 50000 – стандартне відхилення;

x = A- Величина, яку потрібно знайти.

Складаємо рівність

.

За статистичними таблицями знаходимо, що ймовірність 0,40 відповідає значенню межі інтервалу z = −0,25 .

Тому складаємо рівність

і знаходимо його рішення:

A = 287300 .

Відповідь: доходи 40% сімей менше 287300.

Закритий інтервал

У багатьох завданнях потрібно знайти ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення в інтервалі від z 1 до z 2 . Тобто потрапить до закритого інтервалу. Для вирішення таких завдань необхідно знайти в таблиці ймовірності, що відповідають межі інтервалу, а потім знайти різницю цих ймовірностей. При цьому потрібно віднімати менше значення з більшого. Приклади на вирішення цих поширених завдань - наступні, причому вирішити їх пропонується самостійно, а потім можна переглянути правильні рішення та відповіді.

приклад 3.Прибуток підприємства за період - випадкова величина, підпорядкована нормальному закону розподілу із середнім значенням 0,5 млн. у.о. та стандартним відхиленням 0,354. Визначити з точністю до двох знаків після коми ймовірність того, що прибуток підприємства становитиме від 0,4 до 0,6 у.о.

приклад 4.Довжина деталі, що виготовляється, являє собою випадкову величину, розподілену за нормальним законом з параметрами μ =10 і σ = 0,071. Знайти з точністю до двох знаків після коми можливість шлюбу, якщо допустимі розміри деталі повинні бути 10±0,05 .

Підказка: в цьому завданні, крім знаходження ймовірності потрапляння випадкової величини в закритий інтервал (ймовірність отримання небракованої деталі), потрібно виконати ще одну дію.

дозволяє визначити ймовірність того, що стандартизоване значення Zне менше -zі не більше +z, де z- Довільно обране значення стандартизованої випадкової величини.

Наближений метод перевірки нормальності розподілу

Наближений метод перевірки нормальності розподілу значень вибірки ґрунтується на наступному властивості нормального розподілу: коефіцієнт асиметрії β 1 та коефіцієнт ексцесу β 2 рівні нулю.

Коефіцієнт асиметрії β 1 чисельно характеризує симетрію емпіричного розподілу щодо середнього. Якщо коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю, то середнє арифметричне значення, медіана та мода рівні: і крива щільності розподілу симетрична щодо середнього. Якщо коефіцієнт асиметрії менший за нуль (β 1 < 0 ), то середнє арифметичне менше медіани, а медіана, у свою чергу, менше моди () і крива зсунута вправо (порівняно з нормальним розподілом). Якщо коефіцієнт асиметрії більший за нуль (β 1 > 0 ), то середнє арифметичне більше медіани, а медіана, у свою чергу, більше моди () і крива зрушена вліво (порівняно з нормальним розподілом).

Коефіцієнт ексцесу β 2 характеризує концентрацію емпіричного розподілу навколо арифметичного середнього у напрямку осі Ойі ступінь гостроверхості кривої щільності розподілу. Якщо коефіцієнт ексцесу більший за нуль, то крива більш витягнута (порівняно з нормальним розподілом)вздовж осі Ой(графік більш гостроверхий). Якщо коефіцієнт ексцесу менше нуля, то крива сплющена (порівняно з нормальним розподілом)вздовж осі Ой(графік більш туповершинний).

Коефіцієнт асиметрії можна визначити за допомогою функції MS Excel СКОС. Якщо ви перевіряєте один масив даних, потрібно ввести діапазон даних в одне вікно "Число".

Коефіцієнт ексцесу можна визначити за допомогою функції MS Excel ЕКСЦЕС. При перевірці одного масиву даних достатньо ввести діапазон даних в одне вікно "Число".

Отже, як ми вже знаємо, при нормальному розподілі коефіцієнти асиметрії та ексцесу дорівнюють нулю. Але що якщо ми отримали коефіцієнти асиметрії, рівні -0,14, 0,22, 0,43, а коефіцієнти ексцесу, рівні 0,17, -0,31, 0,55? Питання цілком справедливе, оскільки практично ми маємо справу лише з наближеними, вибірковими значеннями асиметрії та ексцесу, які схильні до деякого неминучого, неконтрольованого розкиду. Тому не можна вимагати суворої рівності цих коефіцієнтів нулю, вони повинні бути досить близькими до нуля. Але що означає – достатньо?

Потрібно порівняти отримані емпіричні значення з допустимими значеннями. Для цього потрібно перевірити такі нерівності (порівняти значення коефіцієнтів за модулем з критичними значеннями - межами області перевірки гіпотези).

Для коефіцієнта асиметрії β 1 .

Визначення. Нормальнимназивається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини, який описується щільністю ймовірності

Нормальний закон розподілу також називається законом Гауса.

Нормальний закон розподілу займає центральне місце у теорії ймовірностей. Це зумовлено тим, що цей закон проявляється у всіх випадках, коли випадкова величина є результатом дії великої кількості різних факторів. До нормального закону наближаються й інші закони розподілу.

Можна легко показати, що параметри і , що входять у щільність розподілу є відповідно математичним очікуванням та середньоквадратичним відхиленням випадкової величини Х.

Знайдемо функцію розподілу F(x) .

Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривоюабо кривою Гауса.

Нормальна крива має такі властивості:

1) Функція визначена по всій числовій осі.

2) За всіх хфункція розподілу набуває лише позитивних значень.

3) Вісь ОХ є горизонтальною асимптотою графіка густини ймовірності, т.к. при необмеженому зростанні за абсолютною величиною аргументу хзначення функції прагне до нуля.

4) Знайдемо екстремум функції.

Т.к. при y’ > 0 при x < mі y’ < 0 при x > m, то в точці х = тфункція має максимум, рівний
.

5) Функція є симетричною щодо прямої х = а, т.к. різниця

(х – а) входить у функцію щільності розподілу у квадраті.

6) Для знаходження точок перегину графіка знайдемо другу похідну функції щільності.

При x = m+  та x = m-  друга похідна дорівнює нулю, а під час переходу через ці точки змінює знак, тобто. у цих точках функція має перегин.

У цих точках значення функції дорівнює
.

Побудуємо графік функції густини розподілу (рис. 5).

Побудовано графіки при т=0 і трьох можливих значеннях середньоквадратичного відхилення  = 1,  = 2 та  = 7. Як видно, зі збільшенням значення середнього квадратичного відхилення графік стає більш пологім, а максимальне значення зменшується.

Якщо а> 0, то графік зміститься у позитивному напрямку, якщо а < 0 – в отрицательном.

При а= 0 і  = 1 крива називається нормованою. Рівняння нормованої кривої:

Функція Лапласа

Знайдемо можливість потрапляння випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в заданий інтервал.

Позначимо

Т.к. інтеграл
не виражається через елементарні функції, то вводиться на розгляд функція

,

яка називається функцією Лапласаабо інтегралом ймовірностей.

Значення цієї функції при різних значеннях хпораховані та наводяться у спеціальних таблицях.

На рис. 6 показано графік функції Лапласа.

Функція Лапласа має такі властивості:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф( ) = 1.

Функцію Лапласа також називають функцією помилокта позначають erf x.

Ще використовується нормованафункція Лапласа, яка пов'язана з функцією Лапласа співвідношенням:

На рис. 7 показано графік нормованої функції Лапласа.

П равило трьох сигм

При розгляді нормального закону розподілу виділяється важливий окремий випадок, відомий як правило трьох сигм.

Запишемо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного очікування менше заданої величини :

Якщо прийняти  = 3, то одержуємо з використанням таблиць значень функції Лапласа:

Тобто. ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу за потрійне середнє квадратичне відхилення, практично дорівнює нулю.

Це правило називається правилом трьох сигм.

Не практиці вважається, що для будь-якої випадкової величини виконується правило трьох сигм, то ця випадкова величина має нормальне розподіл.

Висновок з лекції:

У лекції ми розглянули закони розподілу безперервних величин Під час підготовки до наступної лекції та практичних занять ви повинні самостійно при поглибленому вивченні рекомендованої літератури та вирішенні запропонованих завдань доповнити свої конспекти лекцій.