Загальне рівняння динаміки. Аналітична динаміка

Загальне рівняння динаміки системи з будь-якими зв'язками (об'єднаний принцип Даламбера-Лагранжаабо загальне рівняння механіки):

де - активна сила, прикладена до -ї точки системи; - Сила реакції зв'язків; - Сила інерції точки; - Можливе переміщення.

Воно у разі рівноваги системи при зверненні нанівець усіх сил інерції точок системи перетворюється на принцип можливих переміщень. Зазвичай його застосовують для систем із ідеальними зв'язками, для яких виконується умова

У цьому випадку (229) набуває однієї з форм:

. (230)

Таким чином, згідно з загальним рівнянням динаміки, у будь-який момент руху системи з ідеальними зв'язками сума елементарних робіт усіх активних сил і сил інерції точок системи дорівнює нулю на будь-якому можливому переміщенні системи, що допускається зв'язками.

Загального рівняння динаміки можна надати інші, еквівалентні форми. Розкриваючи скалярний добуток векторів, його можна виразити у вигляді

де – координати точки системи. З огляду на те, що проекції сил інерції на осі координат через проекції прискорень на ці осі виражаються співвідношеннями

загальному рівнянню динаміки можна надати форму

У цьому виді його називають загальним рівнянням динаміки в аналітичній формі.

З використанням загального рівняння динаміки необхідно вміти обчислювати елементарну роботу сил інерції системи на можливих переміщеннях. Для цього застосовуються відповідні формули елементарної роботи, отримані для звичайних сил. Розглянемо їх застосування для сил інерції твердого тіла у окремих випадках його руху.

При поступальному русі. У цьому випадку тіло має три ступені свободи і внаслідок накладених зв'язків може здійснювати лише поступальний рух. Можливі переміщення тіла, що допускають зв'язки, також є поступальними.

Сили інерції при поступальному русі призводять до рівнодіючої . Для суми елементарних робіт сил інерції на поступальному можливому переміщенні тіла отримаємо

де - Можливе переміщення центру мас і будь-якої точки тіла, так як поступальне можливе переміщення у всіх точок тіла однаково: однакові і прискорення, тобто .

При обертанні твердого тіла довкола нерухомої осі. Тіло у разі має одну ступінь свободи. Воно може обертатися навколо нерухомої осі. Можливе переміщення, яке допускається накладеними зв'язками, є поворотом тіла на елементарний кут навколо нерухомої осі.

Сили інерції, наведені до точки на осі обертання, зводяться до головного вектора і моменту . Головний вектор сил інерції прикладено до нерухомої точки, і його елементарна робота на можливому переміщенні дорівнює нулю. У головного моменту сил інерції не рівну нулю елементарну роботу здійснить лише його проекція на вісь обертання. Таким чином, для суми робіт сил інерції на можливому переміщенні маємо

якщо кут повідомити у напрямку дугової стрілки кутового прискорення.

При плоскому русі. Зв'язки, накладені на тверде тіло, допускають у цьому випадку лише можливе плоске переміщення. У загальному випадку воно складається з поступального можливого переміщення разом з полюсом, за який виберемо центр мас, і повороту на елементарний кут навколо осі, що проходить через центр мас і перпендикулярної площині, паралельно якій може тіло здійснювати плоский рух.

Так як сили інерції при плоскому русі твердого тіла можна привести до головного вектора і головного моменту (якщо за центр приведення вибрати центр мас), то сума елементарних робіт сил інерції на плоскому можливому переміщенні зведеться до елементарної роботи отавною вектора сил інерції на можливому переміщенні центру мас та елементарної роботи головного моменту сил інерції на елементарному поворотному переміщенні навколо осі, що проходить через центр мас. У цьому рівну нулю елементарну роботу може зробити лише проекція головного моменту сил інерції на вісь , тобто. . Таким чином, у даному випадку маємо

Вступ

У кінематиці розглядається опис найпростіших типів механічних рухів. При цьому не торкалися причини, що викликають зміни положення тіла щодо інших тіл, а систему відліку вибирається з міркувань зручності при вирішенні того чи іншого завдання. У динаміці, передусім, цікаві причини, внаслідок яких деякі тіла починають рухатися щодо інших тіл, і навіть чинники, що зумовлюють появи прискорення. Однак закони в механіці, строго кажучи, у різних системах відліку мають різний вигляд. Встановлено, що існують такі системи відліку, у яких закони та закономірності не залежить від вибору системи відліку. Такі системи відліку отримали назву інерційні системи(ІСО). У цих системах відліку величина прискорення залежить лише діючих сил і залежить від вибору системи відліку. Інерційною системою відліку є геліоцентрична система відліку, початок відліку якої знаходиться у центрі Сонця. Системи відліку, що рухаються рівномірно прямолінійно щодо інерційної є також інерційними, а системи відліку, що рухаються з прискоренням щодо інерційної системи, неінерційними. З цих причин поверхні землі, власне кажучи, є неінерційною системою відліку. У багатьох завдань систему відліку, пов'язану із Землею, з гарним ступенем точності можна вважати інерційною.

Основні закони динаміки в інерційних та неінерційних

Системах відліку

Здатність тіла зберігати стан рівномірного прямолінійного руху або спочиває в ІСО, називається інертністю тіла. Мірою інертності тіла є маса. Маса величина скалярна, у системі СІ вимірюється у кілограмах (кг). Мірою взаємодії є величина, яка називається силою. Сила - величина векторна, у системі СІ вимірюється в Ньютонах (Н).

Перший закон Ньютона. В інерційних системах відліку точка рухається рівномірно прямолінійно або спочиває в тому випадку, якщо сума всіх сил, що діють на неї, дорівнює нулю, тобто:

де - сили, що діють на цю точку.

Другий закон Ньютона. В інерційних системах тіло рухається з прискоренням, якщо сума всіх сил, що діють на нього не дорівнює нулю, причому добуток маси тіла на його прискорення дорівнює сумі цих сил, тобто:

Третій закон Ньютона. Сили, з якими тіла діють один на одного, рівні за величиною та протилежні за напрямом, тобто: .

Сили, як заходи взаємодії, завжди народжуються парами.

Для успішного вирішення більшості завдань із використанням законів Ньютона необхідно дотримуватися деякої послідовності дії (свого роду алгоритму).

Основні пункти алгоритму.

1. Проаналізувати умову завдання і з'ясувати, з якими тілами взаємодіє тіло, що розглядається. Виходячи з цього, визначити кількість сил, що діють на тіло, що розглядається. Припустимо, кількість сил, які діють тіло, дорівнює . Потім виконати схематично правильний малюнок, на якому побудувати всі сили, що діють тіло.

2. Використовуючи умову завдання, визначити напрямок прискорення тіла, що розглядається, і зобразити вектор прискорення на малюнку.

3. Записати у векторній формі другий закон Ньютона, тобто:

де сили, які діють тіло.

4. Вибрати інерційну систему відліку. Зобразити на малюнку прямокутну декартову систему координат, вісь якої направити по вектору прискорення, вісь ОY і ОZ направити перпендикулярно осі ОХ.

5. Скориставшись основною властивістю векторних рівностей, записати другий закон Ньютона для проекцій векторів на осі координат, тобто:

6. Якщо задачі крім сил і прискорень потрібно визначити координати і швидкість, крім другого закону Ньютона необхідно використовувати кінематичні рівняння руху. Записавши систему рівнянь, необхідно звернути увагу на те, щоб кількість рівнянь дорівнювала числу невідомих у даному завданні.

Розглянемо неінерційну систему відліку, що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі, що переміщається поступово зі швидкістю щодо інерційної системи. У цьому випадку прискорення точки в інерційній системі () пов'язане з прискоренням у неінерційній системі () співвідношенням:

де - прискоренням неінерційної системи щодо інерційної системи, лінійна швидкість точки в неінерційній системі. З останнього співвідношення замість прискорення підставимо на рівність (1), отримаємо вираз:

Це співвідношення називається другим законом Ньютона у неінерційній системі відліку.

Сила інерції. Введемо позначення:

1. – поступальна сила інерції;

2. – сила Коріоліса;

3 – відцентрова сила інерції.

У задачах поступальна сила інерції зображується проти вектора прискоренням поступального руху неінерційної системи відліку (), відцентрова сила інерції від центру обертання по радіусу (); напрям сили Коріоліса визначається за правилом буравчикадля векторного добутку векторів.

Строго кажучи, сили інерції є у сенсі силами, т.к. їм не виконується третій закон Ньютона, тобто. вони є парними.

Сили

Сила всесвітнього тяжіння. Сила всесвітнього тяжіння виникає в процесі взаємодії між тілами, що володіють масами, і обчислюється із співвідношення:

. (4)

Коефіцієнт пропорційності отримав назву гравітаційної постійної. Його величина у системі СІ дорівнює .

Сила реакції. Сили реакції виникають при взаємодії тіла з різними конструкціями, що обмежують його положення у просторі. Наприклад, на тіло, підвішене на нитки, діє сила реакції, яка зазвичай називається силою натягу. Сила натягу нитки спрямована завжди вздовж нитки.Формули обчислення її величини немає. Зазвичай величину її знаходять або з першого або з другого закону Ньютона. До сил реакції також відносять сили, що діють частинку на гладкій поверхні. Її називають нормальною силою реакції, позначають. Сила реакції завжди спрямована перпендикулярно даної поверхні. З боку тіла на гладку поверхню діє сила, яка називається силою нормального тиску(). За третім законом Ньютона сила реакції дорівнює за величиною силою нормального тиску, але вектори цих сил протилежні у напрямку.

Сила пружності. Сили пружності з'являються у тілах у разі, якщо тіла деформовані, тобто. якщо змінено форму тіла або його об'єм. У разі припинення деформації сили пружності зникають. Слід зауважити, що хоча сили пружності виникають при деформаціях тіл, не завжди деформація призводить до виникнення сил пружності. Сили пружності виникають у тілах, здатних відновлювати свою форму після припинення зовнішнього впливу. Такі тіла, і відповідні деформації, називаються пружними. При пластичній деформації зміни повністю зникають після припинення зовнішнього впливу. Яскравим прикладом прояви сил пружності можуть бути сили, що виникають у пружинах, схильних до деформації. Для пружних деформацій, що у деформованих тілах, сила пружності завжди пропорційна величині деформації, тобто:

, (5)

де коефіцієнт пружності (або жорсткості) пружини вектор деформації пружини.

Це твердження отримало назву закону Гука.

Сила тертя. При русі одного тіла поверхнею іншого виникають сили, що перешкоджають цьому руху. Такі сили прийнято називати силами тертя ковзання. Величина сили тертя спокою може змінюватись залежно від прикладеної зовнішньої сили. За деякого значення зовнішньої сили сила тертя спокою досягає максимального значення. Після цього починається ковзання тіла. Експериментально встановлено, що сила тертя ковзання прямо пропорційна силі нормального тиску тіла на поверхню.Згідно з третім законом Ньютона сила нормального тиску тіла на поверхню завжди дорівнює силі реакції, з якою сама поверхня діє на тіло, що рухається. З урахуванням цього формула для обчислення величини сили тертя ковзання має вигляд:

, (6)

де величина сили реакції; коефіцієнт тертя ковзання. Сила тертя ковзання, що діє на тіло, що рухається, завжди спрямована проти його швидкості, вздовж дотичних поверхонь.

Сила спротиву. При русі тіл у рідинах і газах виникають також сили тертя, але вони суттєво відрізняються від сил сухого тертя. Ці сили називаються силами в'язкого тертя, або сили опору. Сили в'язкого тертя виникають лише за відносного руху тіл. Сили опору залежить від багатьох чинників, саме: від розмірів та форми тіл, від властивостей середовища (щільності, в'язкості), від швидкості відносного руху. При малих швидкостях сила опору прямо пропорційно залежить від швидкості руху тіла щодо середовища, тобто:

. (7)

При великих швидкостях сила опору пропорційна квадрату швидкості руху тіла щодо середовища, тобто:

, (8)

де деякі коефіцієнти пропорційності, звані коефіцієнтами опору.

Основне рівняння динаміки

Основне рівняння динаміки матеріальної точки є нічим іншим, як математичне вираз другого закону Ньютона:

. (9)

В інерційній системі відліку у суму всіх сил входять лише сили, що є заходами взаємодій, у неінерційних системах у суму входять сили інерції.

З математичної точки зору співвідношення (9) є диференціальним рівнянням руху точки у векторному вигляді. Його рішення - є основне завдання динаміки матеріальної точки.

Приклади розв'язання задач

Завдання №1. На аркуш паперу поміщено склянку. З яким прискоренням треба привести в рух аркуш, щоб висмикнути його з-під склянки, якщо коефіцієнт тертя між склянкою та аркушем паперу дорівнює 0,3?

Припустимо, що з певної силі , що діє листок паперу, склянка рухається разом із листом. Зобразимо окремо сили, що діють на склянку масою. На склянку діють такі тіла: Земля із силою тяжкості , аркуш паперу із силою реакції , аркуш паперу із силою тертя , спрямованої за швидкістю руху склянки. Рух склянки є рівноприскореним, отже, вектор прискорення спрямований швидкості руху склянки.

Зобразимо вектор прискорення склянки малюнку. Запишемо другий закон Ньютона у векторній формі для сил, що діють на склянку:

Направимо вісь ОХ вектором прискорення склянки, а вісь OY ¾ вертикально вгору. Запишемо другий закон Ньютона у проекціях на ці осі координат, отримаємо наступні рівняння:

(1.1)

При збільшенні сили, що діє на аркуш паперу, зростає величина сили тертя, з якою аркуш паперу діє склянку. При деякому значенні сили величина сили тертя досягає свого максимального значення, що дорівнює за величиною силі тертя ковзання. З цього моменту починається ковзання склянки щодо поверхні паперу. Граничне значення сили тертя пов'язане із силою реакції, що діє на склянку таким співвідношенням:

З рівності (1.2) виражаємо величину сили реакції, а потім підставляємо останнє співвідношення, маємо . З отриманого співвідношення знаходимо величину сили тертя і поставляємо в рівність (1.1), отримаємо вираз визначення максимального прискорення склянки:

Підставивши числові значення величин в останню рівність, знайдемо величину максимального прискорення склянки:

Отримана величина прискорення склянки дорівнює мінімальному прискоренню аркуша паперу, у якому його можна «висмикнути» з-під склянки.

Відповідь: .

Зобразимо всі сили, які діють тіло. Крім зовнішньої сили на тіло діє Земля із силою тяжіння, горизонтальна поверхня із силою реакції та силою тертя, спрямованою проти швидкості руху тіла. Тіло рухається рівноприскорено, і, отже, вектор його прискорення спрямовано швидкості руху. Зобразимо вектор малюнку. Вибираємо систему координат так, як показано на малюнку. Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі:

Використовуючи основну властивість векторних рівностей, запишемо рівняння для проекцій векторів, що входять до останньої векторної рівності:

Записуємо співвідношення для сили тертя ковзання

З рівності (2.2) знаходимо величину сили реакції

З отриманого виразу підставимо на рівність (2.3) замість величини сили реакції , отримаємо вираз

Підставивши отриманий вираз для сили тертя у рівність (2.1), матимемо формулу для обчислення прискорення тіла:

В останню формулу підставимо числові дані в системі СІ, знайдемо величину прискорення руху вантажу:

Відповідь: .

Для мінімальної величини сили визначимо напрям сили тертя, яка діє на брусок, що покоїться. Уявімо, що сила менша від тієї мінімальної сили, достатньої для того, щоб тіло залишалося у спокої. У цьому випадку тіло рухатиметься вниз, і сила тертя, прикладена до нього, буде спрямована вертикально вгору. Щоб зупинити тіло, потрібно збільшити величину прикладеної сили . Крім того, на це тіло діє Земля з силою тяжіння, спрямованою вертикально вниз, а також стінка з силою реакції, спрямованої горизонтально вліво. Зобразимо на малюнку всі сили, які діють тіло. Візьмемо прямокутну декартову систему координат, осі якої направимо так, як показано на малюнку. Для тіла, що покоїться, запишемо перший закон Ньютона у векторній формі:

Для знайденої векторної рівності запишемо рівні для проекцій векторів на осі координат, отримаємо наступні рівняння:

При мінімальному значенні зовнішньої сили величина сили тертя спокою досягає максимального значення, що дорівнює величині сили тертя ковзання:

З рівності (3.1) знаходимо величину сили реакції і підставляємо в рівність (3.3), отримаємо наступне вираз для сили тертя:

Підставимо замість сили тертя у рівність (3.2) праву частину цього співвідношення, отримаємо формулу для обчислення величини прикладеної сили:

З останньої формули знаходимо величину сили:

Відповідь: .

Зобразимо всі сили, що діють на кульку, що рухається в повітрі вертикально вниз. На нього діє Земля з силою тяжіння та повітря з силою опору. Зобразимо розглянуті сили малюнку. У початковий момент часу рівнодіюча всіх сил має максимальне значення, оскільки швидкість кульки дорівнює нулю і сила опору також дорівнює нулю. У цей момент кулька має максимальне прискорення, що дорівнює . У міру руху кульки швидкість його руху збільшується, отже, сила опору повітря зростає. У певний момент часу сила опору досягає величини, що дорівнює величині сили тяжіння. З цього часу кулька рухається поступово. Запишемо перший закон Ньютона у векторній формі для рівномірного руху кульки:

Направимо вісь OY вертикально вниз. Запишемо для даної векторної рівності рівність для векторних проекцій на вісь OY:

. (4.1)

Сила опору залежить від площі поперечного перерізу кульки та величини її швидкості руху наступним чином:

, (4.2)

де коефіцієнт пропорційності, званий коефіцієнтом опору.

З рівностей (4.1) і (4.2) випливає таке співвідношення:

. (4.3)

Виразимо масу кульки через її щільність та об'єм, а об'єм у свою чергу, - через радіус кульки:

. (4.4)

З цього виразу знаходимо масу і підставляємо в рівність (4.3), отримаємо наступну рівність:

. (4.5)

Виражаємо площу поперечного перерізу кульки через її радіус:

З урахуванням співвідношення (4.6) рівність (4.5) набуде наступного вигляду:

Позначимо як радіус першої кульки; як радіус другої кульки. Запишемо формули для швидкостей встановленого руху першої та другої кульок:

З отриманих рівностей знаходимо відношення швидкостей:

З умови завдання ставлення радіусів кульок дорівнює двом. Використовуючи цю умову, знаходимо відношення швидкостей:

Відповідь: .

На тіло, що рухається вгору вздовж похилої площини, діють зовнішні тіла: а) Земля із силою тяжіння, спрямованою вертикально донизу; б) похила площина із силою реакції , спрямованої перпендикулярно похилій площині; в) похила площину із силою тертя, спрямованої проти руху тіла; г) зовнішнє тіло із силою, спрямованою вгору вздовж похилої площини. Під дією цих сил тіло рухається рівноприскорено вгору похилою площиною, і, отже, вектор прискорення спрямований переміщення тіла. Зобразимо вектор прискорення малюнку. Запишемо другий закон Ньютона у векторній формі:

Виберемо прямокутну декартову систему координат, вісь ОХ якої направимо на прискорення руху тіла, а вісь OY - перпендикулярно похилій площині. Запишемо другий закон Ньютона у проекціях на ці осі координат, отримаємо наступні рівняння:

Сила тертя ковзання пов'язана із силою реакції наступним співвідношенням:

З рівності (5.2) знаходимо величину сили реакції і підставляємо на рівність (5.3), маємо такий вираз для сили тертя:

. (5.4)

Підставимо в рівність (5.1) замість сили тертя праву частину рівності (5.4), отримаємо наступне рівняння для обчислення величини сили, що шукається:

Обчислимо величину сили:

Відповідь: .

Зобразимо всі сили, що діють на тіла та на блок. Розглянемо процес руху тіл, пов'язаних ниткою, що перекинута через блок. Нитка є невагомою і нерозтяжною, отже, величина сили натягу будь-якій ділянці нитки буде однаковою, тобто. та .

Переміщення тіл за будь-які проміжки часу будуть однаковими, і, отже, будь-якої миті часу однаковими будуть величини швидкостей та прискорень цих тіл. З того, що блок обертається без тертя і є невагомим, випливає, що сила натягу нитки по обидва боки блоку буде однаковою, тобто: .

Звідси випливає рівність сил натягу нитки, що діє перше і друге тіло, тобто. . Зобразимо на малюнку вектори прискорень першого та другого тіла. Зобразимо дві осі ОХ. Першу вісь направимо уздовж вектора прискорення першого тіла, другу - уздовж вектора прискорення другого тіла. Запишемо другий закон Ньютона для кожного тіла у проекції на ці осі координат:

Враховуючи, що , і висловивши з першого рівняння, підставимо на друге рівняння, отримаємо

З останньої рівності знаходимо величину прискорення:

З рівності (1) знаходимо величину сили натягу:

Відповідь: , .

На мале кільце при його обертанні по колу діють дві сили: сила тяжіння, спрямована вертикально вниз, і сила реакції, спрямована до центру кільця. Зобразимо ці сили малюнку, і навіть покажемо у ньому траєкторію руху кільця. Вектор доцентрового прискорення кільця лежить в площині траєкторії і спрямований до осі обертання. Зобразимо малюнку. Запишемо другий закон Ньютона у векторній формі для кільця, що обертається:

Виберемо прямокутну систему координат, вісь ОХ якої направимо по доцентровому прискоренню , а вісь OY - вертикально вгору вздовж осі обертання. Запишемо другий закон Ньютона у проекціях на ці осі координат:

З рівності (7.2) знаходимо величину сили реакції і підставляємо на рівність (7.1), отримаємо вираз:

. (7.3)

Центрошвидке прискорення пов'язане з частотою обертання співвідношенням: де радіус обертання маленького кільця. Підставимо праву частину останньої рівності замість формули (7.3), отримаємо наступне співвідношення:

. (7.4)

З малюнка знаходимо величину тангенсу кута альфа . З урахуванням цього виразу рівність (7.4) набуде вигляду:

З останнього рівняння знаходимо шукану висоту:

Відповідь: .

На тіло, що обертається разом із диском, діють три сили: сила тяжіння, сила реакції та сила тертя, спрямована до осі обертання. Зобразимо всі сили малюнку. Покажемо на даному малюнку напрямок вектора доцентрового прискорення . Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі:

Виберемо прямокутну декартову систему координат так, як показано малюнку. Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі координат:

; (8.1)

. (8.2)

Запишемо співвідношення для доцентрового прискорення:

. (8.3)

Підставимо праву частину рівності (8.3) замість доцентрового прискорення до рівності (8.1), отримаємо:

. (8.4)

З рівності (8.4) видно, що величина сили тертя прямо пропорційна радіусу обертання, тому при збільшенні радіусу обертання сила тертя спокою збільшується, і при певній величині сила тертя спокою досягає максимального значення, що дорівнює силі тертя ковзання ().

З урахуванням рівності (8.2), отримаємо вирази для максимальної сили тертя спокою:

Підставимо праву частину отриманої рівності замість сили тертя рівність (4), отримаємо наступне співвідношення:

З цього рівняння знаходимо граничне значення радіусу обертання:

Відповідь: .

Під час польоту краплі на неї діє дві сили: сила тяжіння та сила опору. Зобразимо всі сили малюнку. Виберемо вертикально спрямовану вісь OY, початок відліку якої розташуємо лежить на Землі. Запишемо основне рівняння динаміки:

Спроектуємо рівність на вісь OY, матимемо співвідношення:

Розділимо обидві частини останньої рівності на і одночасно помножимо обидві частини на , врахуємо що , отримаємо вираз:

Розділимо обидві частини цього виразу на , Отримаємо співвідношення:

Інтегруємо останнє співвідношенням, отримуємо залежність швидкості від часу: .

Константу знайдемо з початкових умов ( ), отримаємо шукану залежність швидкості від часу:

Визначаємо максимальну швидкість із умови :

Відповідь: ; .

Зобразимо малюнку сили, що діють шайбу. Запишемо другий закон Ньютона у проекціях на осі OX, OY та OZ

Т.к. , то для всієї траєкторії руху шайби для сили тертя справедливо формула , яка, з урахуванням рівності для OZ, перетворюється на вигляд:

З урахуванням цього співвідношення рівність для осі OX набуде вигляду

Спроектуємо другий закон Ньютона на дотичну до траєкторії руху шайби в точці, що розглядається, отримаємо співвідношення:

де - Величина тангенціального прискорення. Порівнюючи праві частини останніх рівностей, робимо висновок у тому, что .

Оскільки і , то з урахуванням попереднього співвідношення маємо рівність , інтегрування якого призводить до виразу , де константа інтегрування. Підставимо останній вираз , отримаємо залежність швидкості від кута:

Константу визначимо з початкових умов (коли . ). З огляду на це запишемо остаточну залежність

Мінімальне значення швидкості досягається тоді, коли , вектор швидкості спрямований паралельно осі OX а її величина дорівнює .

Принцип можливих переміщень: для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, при будь-якому можливому переміщенні дорівнювала нулю. чи проекціях: .

Принцип можливих переміщень дає у загальній формі умови рівноваги для будь-якої механічної системи, дає загальний метод розв'язання задач статики.

Якщо система має кілька ступенів свободи, то рівняння принципу можливих переміщень становлять кожному за незалежного переміщень окремо, тобто. буде стільки рівнянь, скільки система має ступені свободи.

Принцип можливих переміщень зручний тим, що з розгляду системи з ідеальними зв'язками їх реакції не враховуються і необхідно оперувати лише активними силами.

Принцип можливих переміщень формулюється так:

Для того, щоб мати. система, підпорядкована ідеальним зв'язкам перебувала у стані спокою, необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт, що виконуються активними силами на можливих переміщеннях точок системи, була позитивна

Загальне рівняння динаміки - при русі системи з ідеальними зв'язками в кожний момент часів сума елементарних робіт всіх прикладених активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнюватиме нулю. Рівняння використовує принцип можливих переміщень та принцип Даламбера та дозволяє скласти диференціальні рівняння руху будь-якої механічної системи. Дає загальний метод розв'язання задач динаміки.

Послідовність складання:

а) до кожного тіла прикладають діючі на нього сили, що задаються, а також умовно прикладають сили і моменти пар сил інерції;

б) повідомляють системі можливі переміщення;

в) становлять рівняння принципу можливих переміщень, вважаючи систему, що знаходиться в рівновазі.

Слід зазначити, що загальне рівняння динаміки можна застосовувати і для систем з неідеальними зв'язками, тільки в цьому випадку реакції неідеальних зв'язків, таких, як сила тертя або момент тертя кочення, необхідно віднести до категорії активних сил.

Робота на можливому переміщенні як активних, так і сил інерцій шукається також як і елементарна робота на дійсному переміщенні:

Можлива робота сили: .

Можлива робота моменту (пари сил): .

Узагальненими координатами механічної системи називаються незалежні між собою параметри q 1 , q 2 , …, q S будь-якої розмірності, що однозначно визначають положення системи в будь-який момент часу.

Число узагальнених координат дорівнює S - числу ступенів волі механічної системи. Положення кожної точки точки системи, тобто її радіус вектор в загальному випадку завжди можна виразити у вигляді функції узагальнених координат:

Загальне рівняння динаміки в узагальнених координатах виглядає у вигляді системи рівнянь S наступним чином:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

тут - узагальнена сила, що відповідає узагальненій координаті:

(26)

а - узагальнена сила інерції, що відповідає узагальненій координаті:

Число незалежних між собою можливих переміщень системи називається числом ступенів волі цієї системи. Наприклад. куля на площині може переміщатися у будь-якому напрямку, але будь-яке його можливе переміщення може бути отримано як геометрична сума двох переміщень вздовж двох взаємно перпендикулярних осей. Вільне тверде тіло має 6 ступенів волі.

Узагальнені сили.Кожній узагальненій координаті можна обчислити відповідну їй узагальнену силу Q k.

Обчислення провадиться за таким правилом.

Щоб визначити узагальнену силу Q k, що відповідає узагальненій координаті q k, Треба дати цій координаті збільшення (збільшити координату на цю величину), залишивши всі інші координати незмінними, обчислити суму робіт усіх сил, прикладених до системи, на відповідних переміщеннях точок і поділити її на збільшення координати:

(7)

де - переміщення iтієї точки системи, отримане за рахунок зміни kтієї узагальненої координати.

Узагальнена сила визначається з допомогою елементарних робіт. Тому цю силу можна обчислити інакше:

І оскільки є збільшення радіуса-вектора за рахунок збільшення координати при інших постійних координатах і часу t, відношення можна визначати як приватну похідну. Тоді

де координати точок – функції узагальнених координат (5).

Якщо система консервативна, тобто рух відбувається під дією сил потенційного поля, проекції яких де , А координати точок - функції узагальнених координат, то

Узагальнена сила консервативної системи є приватною похідною від потенційної енергії за відповідною узагальненою координатою зі знаком мінус.

Звичайно, при обчисленні цієї узагальненої сили, потенційну енергію слід визначати як функцію узагальнених координат.

П = П( q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s).

Зауваження.

Перше. При обчисленні узагальнених сил реакції ідеальних зв'язків не враховуються.

Друге. Розмірність узагальненої сили залежить від розмірності узагальненої координати.

Рівняння Лагранжа 2-го родувиводяться із загального рівняння динаміки в узагальнених координатах. Число рівнянь відповідає числу ступенів свободи:

(28)

Для складання рівняння Лагранжа 2-го роду вибираються узагальнені координати та знаходяться узагальнені швидкості . Знаходиться кінетична енергія системи, що є функцією узагальнених швидкостей , і, у деяких випадках, узагальнених координат. Виконуються операції диференціювання кінетичної енергії, передбачені лівими частинами рівнянь Лагранжа.

(29)

У чисельнику правої частини формули - сума елементарних робіт усіх активних сил на можливому переміщенні системи, що відповідає варіації i-ї узагальненої координати - . При цьому можливе переміщення всі інші узагальнені координати не змінюються. Отримані рівняння є диференціальними рівняннями руху механічної системи з S ступенями свободи.

У цьому випадку (229) набуває однієї з форм:

. (230)

загальному рівнянню динаміки можна надати форму

У цьому виді його називають загальним рівнянням динаміки в аналітичній формі.

якщо кут повідомити у напрямку дугової стрілки кутового прискорення.

Принцип можливих переміщень дає загальний спосіб вирішення завдань статики. З іншого боку, принцип Даламбер дозволяє використовувати методи статики для вирішення завдань динаміки. Отже, застосовуючи ці два принципи одночасно, ми можемо одержати загальний метод розв'язання задач динаміки.

Розглянемо систему матеріальних точок, яку накладено ідеальні зв'язку. Якщо до всіх точок системи крім активних сил і реакцій зв'язків, що діють на них, додати відповідні сили інерції, то згідно з принципом Даламбера отримана система сил перебуватиме в рівновазі. Тоді, застосовуючи до цих сил принцип можливих переміщень, отримаємо

Але остання сума за умовою (98) дорівнює нулю і остаточно буде:

З отриманого результату випливає наступний принцип Даламбера - Лагранжа: при русі механічної системи з ідеальними зв'язками в кожний момент часу сума елементарних робіт усіх прикладених активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнюватиме нулю.

Рівняння (102), що виражає цей принцип, називають загальним рівнянням динаміки. В аналітичній формі рівняння (102) має вигляд

Рівняння (102) або (103) дозволяють скласти диференціальні рівняння руху механічної системи.

Якщо при цьому система являє собою сукупність яких-небудь твердих тіл, то для складання рівнянь потрібно до активних еил, що діють на кожне тіло, додати прикладену в будь-якому центрі силу, рівну головному вектору сил інерції, і пару з моментом, рівним головному моменту сил інерції щодо цього центру (або одну з цих величин, див. § 134), а потім застосувати принцип можливих переміщень.

Задача 173. У відцентровому регуляторі, що рівномірно обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю (мал. 362), вага кожної з куль і дорівнює вага муфти дорівнює Q. Нехтуючи вагою стрижнів, визначити кут а, якщо

Рішення. Приєднуємо до активних сил відцентрові сили інерції (сила інерційні муфти, очевидно, дорівнюватиме нулю) і складаємо загальне рівняння динаміки у вигляді (103). Тоді, обчислюючи проекції всіх сил на координатні осі, отримаємо

Координати точок застосування сил рівні:

Диференціюючи ці висловлювання, знаходимо:

Підставляючи всі знайдені значення рівняння (а), отримуємо

Звідси остаточно

Так як кулі будуть відхилятися, коли . Зі збільшенням кута росте, прагнучи до 90° при

Завдання 174. У витягу, зображеному на рис. 363, до шестерні має вагу і радіус інерції щодо її осі доданий обертовий мемент М. Визначити прискорення вантажу, що піднімається 3 вагою Q, нехтуючи вагою мотузки і тертям в осях. Барабан, на який намотується мотузка, жорстко скріплений з іншою шестернею; їх загальна вага дорівнює, а радіус інерції щодо осі обертання Радіуси шестерень рівні відповідно а радіус барабана.

Рішення. Зображаємо діючу систему активну силу Q і крутний момент М (сили роботи не здійснюють); приєднуємо до них силу інерції вантажу та пари з моментами і до яких наводяться сили інерції тіл, що обертаються (див. § 134).