Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти

"Кубанський державний технологічний університет"

Теоретична механіка

Частина 2 динаміка

Затверджено Редакційно-видавничим

порадою університету як

навчального посібника

Краснодар

УДК 531.1/3 (075)

Теоретична механіка. Частина 2. Динаміка: Навчальний посібник/Л.І.Драйко; Кубан. держ. технол.ун-т. Краснодар, 2011. 123 с.

ISBN 5-230-06865-5

Викладається в короткій формі теоретичний матеріал, дано приклади вирішення завдань, більшість з яких відображає реальні питання техніки, приділено увагу вибору раціонального способу вирішення.

Призначено для бакалаврів заочної та дистанційної форм навчання будівельних, транспортних та машинобудівних напрямків.

Табл. 1 Ілл. 68 Бібліогр. 20 назв.

Науковий редактор канд. техн. наук, доц. В.Ф.Мельников

Рецензенти: зав. кафедрою теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету проф. Ф.М. Канарьов; доцент кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету М.Є. Мултих

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради Кубанського державного технологічного університету.

Перевидання

ISBN 5-230-06865-5 КубДТУ 1998р.

Передмова

Цей навчальний посібник призначений для студентів заочної формнавчання будівельних, транспортних та машинобудівних спеціальностей, але може бути використане при вивченні розділу «Динаміка» курсу теоретичної механіки студентами заочниками інших спеціальностей, а також студентами денної форминавчання за самостійної роботи.

Посібник складено відповідно до чинної програми курсу теоретичної механіки, що охоплює всі питання основної частини курсу. Кожен розділ містить короткий теоретичний матеріал, з ілюстраціями та методичними рекомендаціями для його використання при вирішенні завдань. У посібнику розібрано рішення 30 завдань, що відображають реальні питання техніки та відповідних контрольним завданням для самостійного рішення. Для кожного завдання представлена ​​розрахункова схема, що наочно ілюструє рішення. Оформлення рішення відповідає вимогам до оформлення контрольних робіт студентів-заочників.

Автор висловлює глибоку вдячність викладачам кафедри теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету за велика працяз рецензування навчального посібника, а також викладачам кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету за цінні зауваження та поради щодо підготовки навчального посібника до видання.

Всі критичні зауваження та побажання будуть прийняті автором з подякою та надалі.

Вступ

Динаміка є найважливішим розділом теоретичної механіки. Більшість конкретних завдань, які припадає на інженерну практику, належить до динаміці. Використовуючи висновки статики та кінематики, динаміка встановлює загальні закони руху матеріальних тіл під дією доданих сил.

Найпростішим матеріальним об'єктом є матеріальна точка. За матеріальну точку можна прийняти матеріальне тіло будь-якої форми, розмірами якого в розглянутій задачі можна знехтувати. За матеріальну точку можна приймати тіло кінцевих розмірів, якщо відмінність у русі його точок для цього завдання не суттєво. Це буває у разі, коли розміри тіла малі порівняно з відстанями, що проходять точки тіла. кожну частинку твердого тіламожна вважати матеріальною точкою.

Сили, прикладені до точки чи матеріальному тілу, у поступовій динаміці оцінюються з їхньої динамічному впливу, т. е. по тому, як змінюють характеристики руху матеріальних об'єктів.

Рух матеріальних об'єктів з часом відбувається у просторі щодо певної системи відліку. У класичній механіці, що спирається на аксіоми Ньютона, простір вважається тривимірним, його властивості не залежать від матеріальних об'єктів, що рухаються в ньому. Положення точки у такому просторі визначається трьома координатами. Час пов'язані з простором і рухом матеріальних об'єктів. Воно вважається однаковим всім систем відліку.

Закони динаміки описують рух матеріальних об'єктів стосовно абсолютним осям координат, умовно прийнятим за нерухомі. Початок абсолютної системи координат приймається у центрі Сонця, а осі прямують на віддалені, умовно не рухливі зірки. При вирішенні багатьох технічних завдань умовно не рухомими вважатимуться координатні осі, пов'язані із Землею.

Параметри механічного рухуматеріальних об'єктів у поступовій динаміці встановлюються шляхом математичних висновків з основних законів класичної механіки.

Перший закон (закон інерції):

Матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного та прямолінійного рухудоти, доки дія будь-яких сил не виведе її з цього стану.

Рівномірний та прямолінійний рух точки називають рухом за інерцією. Спокій є окремим випадком руху за інерцією, коли швидкість точки дорівнює нулю.

Будь-яка матеріальна точка має інертність, тобто прагне зберегти стан спокою або рівномірного прямолінійного руху. Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною, а рух, що спостерігається стосовно цієї системи, називається абсолютним. Будь-яка система відліку, яка здійснює щодо інерційної системи поступальний прямолінійний та рівномірний рух, буде також інерційною системою.

Другий закон (основний закон динаміки):

Прискорення матеріальної точки щодо інерційної системи відліку пропорційно доданій до точки сили та збігається з силою за напрямом:
.

З основного закону динаміки випливає, що за сили
прискорення
. Маса точки характеризує ступінь опірності точки зміни її швидкості, тобто є мірою інертності матеріальної точки.

Третій закон (закон дії та протидії):

Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони.

Сили, іменовані дією та протидією, додані до різним тіламі тому врівноважену систему не утворюють.

Четвертий закон (закон незалежності дії сил):

При одночасному дії кількох сил прискорення матеріальної точки дорівнює геометричній сумі прискорень, які б точка при дії кожної сили окремо:

, де
,
,…,
.

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРОДОВОЛЬСТВА РЕСПУБЛІКИ БІЛОРУСЬ

Установа освіти «БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ

ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ"

Кафедра теоретичної механіки та теорії механізмів та машин

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

методичного комплексу для студентів групи спеціальностей

74 06 Агроінженери я

У 2-х частинах Частина 1

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7 Т 33

Укладачі:

кандидат фізико-математичних наук, доцентЮ. С. Біза, кандидат технічних наук, ДоцентН. Л. Ракова, старший викладачІ. О. Тарасович

Рецензенти:

кафедра теоретичної механіки Установи освіти «Білоруський національний технічний університет»(завідувач

кафедрою теоретичної механіки БНТУ доктор фізико-математичних наук, професор. В. Чигарьов);

провідний науковий співробітник лабораторії «Віброзахист механічних систем» ДНУ «Об'єднаний інститут машинобудування

НАН Білорусі», кандидат технічних наук, доцент О. М. Гоман

Теоретична механіка. Розділ «Динаміка»: навчально-

Т33 метод. комплекс. У 2-х ч. Ч. 1 / Уклад: Ю. С. Біза, Н. Л. Ракова, І. А. Тарасевич. - Мінськ: БДАТУ, 2013. - 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

У навчально-методичному комплексіпредставлені матеріали щодо вивчення розділу «Динаміка», частина 1, що входить до складу дисципліни «Теоретична механіка». Включає курс лекцій, основні матеріали щодо виконання практичних занять, завдання та зразки виконання завдань для самостійної роботи та контролю навчальної діяльностістудентів очної та заочної форм навчання.

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7

ВСТУП................................................. .........................................
1. НАУКОВО-ТЕОРЕТИЧНИЙ ЗМІСТ НАВЧАЛЬНО-
МЕТОДИЧНОГО КОМПЛЕКСУ................................................ ..
1.1. Глосарій................................................. ................................
1.2. Теми лекцій та їх зміст............................................. ..
Глава 1. Введення у динаміку. Основні поняття
класичної механіки................................................ ....................
Тема 1. Динаміка матеріальної точки...........................................
1.1. Закони динаміки матеріальної точки
(закони Галілея – Ньютона) ............................................ ..........
1.2. Диференціальні рівняння руху
1.3. Дві основні завдання динаміки..........................................
Тема 2. Динаміка відносного руху
матеріальної точки................................................ ..........................
Питання для повторення............................................... .............
Тема 3. Динаміка механічної системи.....................................
3.1. Геометрія мас. Центр мас механічної системи......
3.2. Внутрішні сили................................................ ..................
Питання для повторення............................................... .............
Тема 4. Моменти інерції твердого тіла.
4.1. Моменти інерції твердого тіла
щодо осі та полюса.............................................. .....
4.2. Теорема про моменти інерції твердого тіла
щодо паралельних осей
(теорема Гюйгенса - Штейнера) ............................................ ....
4.3. Відцентрові моменти інерції.......................................
Питання для повторення............................................... ............
Розділ 2. Загальні теоремидинаміки матеріальної точки

Тема 5. Теорема про рух центру мас системи.......................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 6. Кількість руху матеріальної точки
та механічної системи............................................... ...................
6.1. Кількість руху матеріальної точки 43
6.2. Імпульс сили................................................ .......................
6.3. Теорема про зміну кількості руху
матеріальної точки................................................ ....................
6.4. Теорема про зміну головного вектора
кількості руху механічної системи..........................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 7. Момент кількості руху матеріальної точки
та механічної системи щодо центру та осі..................
7.1. Момент кількості руху матеріальної точки
щодо центру та осі.............................................. ...........
7.2. Теорема про зміну моменту кількості руху
матеріальної точки щодо центру та осі......................
7.3. Теорема про зміну кінетичного моменту
механічної системи щодо центру та осі.................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 8. Робота та потужність сил........................................... ............
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 9. Кінетична енергія матеріальної точки
та механічної системи............................................... ...................
9.1. Кінетична енергія матеріальної точки
та механічної системи. Теорема Кеніга...............................
9.2. Кінетична енергія твердого тіла
при різному русі............................................... .............
9.3. Теорема про зміну кінетичної енергії
матеріальної точки................................................ ....................

9.4. Теорема про зміну кінетичної енергії
механічної системи................................................ ................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 10. Потенційне силове поле
і потенційна енергія............................................... ..................
Питання для повторення............................................... .............
Тема 11. Динаміка твердого тіла............................................ .......
Питання для повторення............................................... .............
2. МАТЕРІАЛИ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ КОНТРОЛЮ
ПО МОДУЛЮ................................................ ...................................
САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ.........................
4. ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНИХ
РОБОТ ДЛЯ CТУДЕНТІВ ОЧНОЇ ТА ЗАОЧНОЇ
ФОРМ НАВЧАННЯ................................................ ........................
5. ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ
ДО ЕКЗАМЕНУ (ЗАЛІКУ) СТУДЕНТІВ
ОЧНИЙ І ЗАТОВНИЙ ФОРМ НАВЧАННЯ.
6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.............................................. ............

ВСТУП

Теоретична механіка - наука про загальні закони механічного руху, рівноваги та взаємодії матеріальних тіл.

Це одна з фундаментальних загальнонаукових фізико-математичних дисциплін. Вона є теоретичною основою сучасної техніки.

Вивчення теоретичної механіки, поряд з іншими фізикоматематичними дисциплінами, сприяє розширенню наукового кругозору, формує здібності до конкретного та абстрактного мисленнята сприяє підвищенню загальної технічної культури майбутнього фахівця.

Теоретична механіка, будучи науковою базою всіх технічних дисциплін, сприяє розвитку навичок раціональних рішень інженерних завдань, пов'язаних з експлуатацією, ремонтом та конструюванням сільськогосподарських та меліоративних машин та обладнання.

За характером завдань механіку поділяють на статику, кінематику і динаміку. Динаміка – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл під впливом прикладених сил.

У навчально-методичномукомплексі (УМК) представлені матеріали щодо вивчення розділу «Динаміка», який включає курс лекцій, основні матеріали для проведення практичних робіт, завдання та зразки виконання для самостійних робітта контролю навчальної діяльності студентів очної та заочної форм навчання.

У в результаті вивчення розділу «Динаміка» студент повинен засвоїти теоретичні основидинаміки та оволодіти основними методами вирішення задач динаміки:

Знати методи розв'язання задач динаміки, загальні теореми динаміки, принципи механіки;

Вміти визначати закони руху тіла залежно від сил, що діють на нього; застосовувати закони та теореми механіки для вирішення завдань; визначати статичні та динамічні реакції зв'язків, що обмежують рух тіл.

Навчальною програмою дисципліни «Теоретична механіка» передбачено загальну кількість аудиторних годинників – 136, у т. ч. на вивчення розділу «Динаміка» – 36 годин.

1. НАУКОВО-ТЕОРЕТИЧНИЙ ЗМІСТ НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНОГО КОМПЛЕКСУ

1.1. Глосарій

Статика - розділ механіки, в якому викладається загальне вчення про сили, вивчається приведення складних системсил до найпростішого вигляду та встановлюються умови рівноваги різних системсил.

Кінематика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчають рух матеріальних об'єктів незалежно від причин, що викликають цей рух, тобто незалежно від сил, які діють ці об'єкти.

Динаміка – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл (крапок) під впливом прикладених сил.

Матеріальна точка– матеріальне тіло, відмінність у русі точок якого є несуттєвим.

Маса тіла - це скалярна позитивна величина, яка залежить від кількості речовини, що міститься в даному тілі, і визначає його міру інертності при поступальному русі.

Система відліку – система координат, що з тілом, стосовно якого вивчається рух іншого тіла.

Інерційна система- Система, в якій виконуються перший та другий закони динаміки.

Імпульс сили – векторний захід дії сили протягом деякого часу.

Кількість руху матеріальної точки - Векторна міра її руху, рівна добуткумаси точки на вектор швидкості.

Кінетична енергія- Скалярна мірамеханічного руху.

Елементарна робота сили- Це нескінченно мала скалярна величина, рівна скалярному творувектор сили на вектор нескінченного малого переміщення точки додатка сили.

Кінетична енергія- Скалярна міра механічного руху.

Кінетична енергія матеріальної точки - скалярна по-

позитивна величина, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості.

Кінетична енергія механічної системи - арифметика.

тична сума кінетичних енергій усіх матеріальних точок цієї системи.

Сила – міра механічної взаємодії тіл, що характеризує його інтенсивність та спрямованість.

1.2. Теми лекцій та їх зміст

Розділ 1. Введення у динаміку. Основні поняття

класичної механіки

Тема 1. Динаміка матеріальної точки

Закони динаміки матеріальної точки (закони Галілея – Ньютона). Диференціальні рівняння руху матеріальної точки. Два основні завдання динаміки для матеріальної точки. Розв'язання другого завдання динаміки; постійні інтегрування та їх визначення за початковими умовами.

Література:, стор 180-196, , стор 12-26.

Тема 2. Динаміка відносного руху матеріального

Відносний рух матеріальної точки. диференціальні рівняння відносного руху точки; переносна та коріолісова сили інерції. Принцип відносності у класичній механіці. Випадок відносного спокою.

Література: , стор 180-196, , стор 127-155.

Тема 3. Геометрія мас. Центр мас механічної системи

Маса системи. Центр мас системи та її координати.

Література: , стор 86-93, стор 264-265

Тема 4. Моменти інерції твердого тіла

Моменти інерції твердого тіла щодо осі та полюса. Радіус інерції. Теорема про моменти інерції щодо паралельних осей. Осьові моменти інерції деяких тіл.

Відцентрові моменти інерції як характеристика асиметрії тіла.

Література: , стор 265-271, , стор 155-173.

Розділ 2. Загальні теореми динаміки матеріальної точки

та механічної системи

Тема 5. Теорема про рух центру мас системи

Теорема про рух центру мас системи. Наслідки з теореми про рух центру мас системи.

Література: , стор 274-277, , стор 175-192.

Тема 6. Кількість руху матеріальної точки

та механічної системи

Кількість руху матеріальної точки та механічної системи. Елементарний імпульс та імпульс сили за кінцевий проміжокчасу. Теорема про зміну кількості руху точки та системи у диференційній та інтегральній формах. Закон збереження кількості руху.

Література: , стор.280-284, , стор 192-207.

Тема 7. Момент кількості руху матеріальної точки

та механічної системи щодо центру та осі

Момент кількості руху точки щодо центру та осі. Теорема про зміну моменту кількості руху точки. Кінетичний момент механічної системи щодо центру та осі.

Кінетичний момент твердого тіла, що обертається, щодо осі обертання. Теорема про зміну кінетичного моменту системи. Закон збереження кінетичного моменту.

Література: , стор 292-298, , стор 207-258.

Тема 8. Робота та потужність сил

Елементарна робота сили, її аналітичний вираз. Робота сили на кінцевому шляху. Робота сили тяжіння, сили пружності. Рівність нулю суми робіт внутрішніх силдіють у твердому тілі. Робота сил, прикладених до твердого тіла, що обертається довкола нерухомої осі. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

Література: , стор 208-213, , стор 280-290.

Тема 9. Кінетична енергія матеріальної точки

та механічної системи

Кінетична енергія матеріальної точки та механічної системи. Обчислення кінетичної енергії твердого тіла у випадках його руху. Теорема Кеніга. Теорема про зміну кінетичної енергії точки в диференційній та інтегральній формах. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи у диференційній та інтегральній формах.

Література: , стор 301-310, , стор 290-344.

Тема 10. Потенційне силове поле та потенційна

Концепція силове поле. Потенційне силове поле та силова функція. Робота сили на кінцевому переміщенні точки у потенційному силовому полі. Потенціальна енергія.

Література: , стор 317-320, , стор 344-347.

Тема 11. Динаміка твердого тіла

Диференційне рівняння поступального рухутверде тіло. Диференціальне рівняння обертального рухутвердого тіла довкола нерухомої осі. Фізичний маятник. Диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла.

Література: , стор 323-334, , стор 157-173.

Розділ 1. У ведення в динаміку. Основні поняття

класичної механіки

Динаміка – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл (крапок) під впливом прикладених сил.

Матеріальне тіло- Тіло, що має масу.

Матеріальна точка– матеріальне тіло, відмінність у русі точок якого є несуттєвим. Це може бути як тіло, розмірами якого за його руху можна знехтувати, так і тіло кінцевих розмірів, якщо воно рухається поступально.

Матеріальними точками називають також частинки, куди подумки розбивається тверде тіло щодо деяких його динамічних характеристик. Приклади матеріальних точок (рис. 1): а – рух Землі навколо Сонця. Земля – матеріальна точка; б – поступальний рух твердого тіла. Тверде тіло – матері-

альна точка, т. к. V B = V A; a B = a A; в – обертання тіла навколо осі.

Частка тіла – матеріальна точка.

Інертність – властивість матеріальних тіл швидше чи повільніше змінювати швидкість свого руху під впливом прикладених сил.

Маса тіла - це скалярна позитивна величина, яка залежить від кількості речовини, що міститься в даному тілі, і визначає його міру інертності при поступальному русі. У класичній механіці маса - величина стала.

Сила – кількісний західмеханічної взаємодії між тілами або між тілом (точкою) та полем (електричним, магнітним тощо).

Сила – векторна величина, що характеризується величиною, точкою докладання та напрямком (лінією дії) (рис. 2: А – точка додатку; АВ – лінія дії сили).

Мал. 2

У динаміці поряд з постійними силами мають місце і змінні сили, які можуть залежати від часу t , швидкості , відстані або від сукупності цих величин, тобто.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ);

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ).

	Приклади таких сил наведено на рис. 3: a −										- вага тіла;
			(ϑ) – сила опору повітря; б −		Т =						- Сила тяги

електровоза; в − F = F (r ) – сила відштовхування від центру O або тяжіння до нього.

Система відліку – система координат, що з тілом, стосовно якого вивчається рух іншого тіла.

Інерційна система - система, в якій виконуються перший і другий закони динаміки. Це нерухома система координат або система, що рухається поступово і прямолінійно поступально.

Рух у механіці – це зміна становища тіла у просторі й у часі стосовно іншим тілам.

Простір у класичній механіці тривимірний, що підкоряється евклідовій геометрії.

Час - скалярна величина, що однаково протікає в будь-яких системах рахунку.

Система одиниць – це сукупність одиниць виміру фізичних величин. Для виміру всіх механічних величин достатньо трьох основних одиниць: одиниці довжини, часу, маси чи сили.

Механічна	Розмірність		Позначення	Розмірність	Позначення
величина
				сантиметр
	кілограм-

Решта одиниці виміру механічних величин – похідні від цих. Застосовуються два типи систем одиниць: міжнародна системаодиниць СІ (або дрібніша - СГС) і технічна система одиниць - МКГСС.

Тема1. Динамікаматеріальної точки

1.1. Закони динаміки матеріальної точки (закони Галілея – Ньютона)

Перший закон (законінерції).

Ізольована від зовнішніх впливівматеріальна точка зберігає свій стан спокою або рухається рівномірно і прямолінійно доти, доки прикладені сили не змусять її змінити цей стан.

Рух, що відбувається точкою за відсутності сил чи під дією врівноваженої системи сил, називається рухом за інерцією.

Наприклад, рух тіла по гладкій (сила тертя дорівнює нулю) го-

різонтальної поверхні (рис. 4: G - вага тіла; N - нормальна реакціяплощині).

Оскільки G = − N , то G + N = 0.

При ϑ 0 ≠ 0 тіло рухається з тією самою швидкістю; при ϕ 0 = 0 тіло спочиває (ϑ 0 – початкова швидкість).

Другий закон (основний закон динаміки).

Добуток маси точки на прискорення, яке вона отримує під дією даної сили, дорівнює модулю цієї сили, а її напрямок збігається з напрямом прискорення.

а б

Математично цей закон виражається векторною рівністю

При F = const,

a = const – рух точки рівнозмінний. Ес-

чи a ≠ const, α

- Рух уповільнений (рис. 5, а);

a ≠ const,

a –

– рух прискорений (рис. 5, б); m – маса точки;

вектор прискорення;

- Векторні сили; ϑ 0 - Вектор швидкості).

При F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – точка рухається поступово і прямолінійно чи приϑ 0 = 0 – лежить (закон інерції). Другий

закон дозволяє встановити зв'язок між масою m тіла, що знаходиться поблизу земної поверхні, та її вагою G .G = mg , де g –

прискорення вільного падіння.

Третій закон (закон рівності дії та протидії). Дві матеріальні точки діють один на одного з силами, рівними за величиною і спрямованими вздовж прямої, що з'єднує

ці точки, у протилежні сторони.

Так як сили F 1 = − F 2 прикладені до різним точкам, то система сил (F 1, F 2) не є врівноваженою, тобто (F 1, F 2) ≈ 0 (рис. 6).

В свою чергу

m a = m a

- Відношення

мас взаємодіючих точок обернено пропорційно їх прискоренням.

Четвертий закон (закон незалежності дії сил). Прискорення, що отримується точкою при дії на неї одночасно

але кількох сил, одно геометричній сумітих прискорень, які б точка при дії кожної сили окремо.

Пояснення (рис. 7).

т а n

а 1 а кF n

Рівнодійна R сил (F 1 ... F k ... F n ).

Оскільки ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , то

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , тобто четвертий закон еквівалентний

k = 1

правилу складання сил.

1.2. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

Нехай на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, серед яких є як постійні, і змінні.

Запишемо другий закон динаміки у вигляді

= ∑

(t,

k = 1

, ϑ=

r – радіус-вектор, що рухається

точки, то (1.2) містить похідні від r і є диференціальне рівняння руху матеріальної точки у векторній формі або основне рівняння динаміки матеріальної точки.

Проекції векторної рівності (1.2): - наосидекартових координат (рис. 8, а)

max = md
					= ∑ F kx;
					k = 1
may = md
					= ∑ F ky;	(1.3)
					k = 1
maz = m					= ∑ F kz;
					k = 1

Наприродної осі (рис. 8, б)

maτ				= ∑ F k τ ,
				k = 1
				= ∑ F k n;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

Mt oM oa

b on o

Рівняння (1.3) і (1.4) є диференціальними рівняннями руху матеріальної точки відповідно в декартових осях координат та природних осях, тобто природними диференціальними рівняннями, які зазвичай застосовуються при криволінійному русі точки, якщо траєкторія точки та її радіус кривизни відомі.

1.3. Дві основні завдання динаміки для матеріальної точки та їх вирішення

Перше (пряме) завдання.

Знаючи закон руху і масу точки, визначити силу, що діє наточку.

Щоб розв'язати це завдання необхідно знати прискорення точки. У задачах цього типу воно може бути задане безпосередньо або заданий закон руху точки, відповідно до якого воно може бути визначено.

1. Так, якщо рух точки задано у декартових координатах

x = f 1 (t ) , y = f 2 (t ) і z = f 3 (t ) , то визначаються проекції прискорення

ня на осі координатx =		d 2 x			d 2 y			d 2 z		А потім - проект-
ції F x , F y і F z сили на ці осі:
				,k) = F F z. (1.6) 2. Якщо точка здійснює криволінійний рухі відомий закон руху s = f (t ) , траєкторія точки та її радіус кривизни ρ, то зручно користуватися природними осями, а проекції прискорення на ці осі визначаються за відомими формулами: Що стосується a τ = d ϑ = d 2 2 s – дотичне прискорення; dt dt Головну нормаль ds 2 a n = ϑ 2 = dt – нормальне прискорення. Проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю. Тоді проекції сили природні осі F = m F = m Модуль і напрям сили визначаються за формулами: F = F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos( Друге (зворотне) завдання. Знаючи чинні на точку сили, її масу і початкові умовируху, визначити закон руху точки або будь-які інші її кінематичні характеристики. Початкові умови руху точки в декартових осях – це координати точки x 0 , y 0 , z 0 і проекції початкової швидкості 0 на ці осі ϑ 0 x = x 0 , ϑ 0 y = y 0 і ϑ 0 z = z 0 в момент часу, відпо- ний початку руху точки і прийнятий рівним нулю. Розв'язання задач цього типу зводиться до складання диффе- ренціальних рівнянь (або одного рівняння) руху матеріальної точки та їх подальшого вирішення шляхом безпосереднього інтегруванняабо з використанням теорії диференціальних рівнянь. Запитання на повторення 1. Що вивчає динаміка? 2. Який рух називається рухом за інерцією? 3. За якої умови матеріальна точка спочиватиме або рухатиметься рівномірно і прямолінійно? 4. У чому суть першого основного завдання динаміки матеріальної точки? Друге завдання? 5. Запишіть природні рівняння руху матеріальної точки. Завдання для самостійного вивчення 1. Точка масою m = 4 кг рухається горизонтальною прямою з прискоренням a = 0,3 t . Визначити модуль сили, що діє на точку у напрямку її руху в момент часу t = 3 c . 2. Деталь масою m = 0,5 кг ковзає вниз по лотку. Під яким кутом до горизонтальній площиніповинен розташовуватися лоток, щоб деталь рухалася з прискоренням a = 2 м/с2? Кут висловити у градусах. 3. Точка масою m = 14 кг рухається по осях з прискоренням a х = 2 t . Визначити модуль сили, що діє на точку у напрямку руху в момент часу t = 5 c .

(МЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ) - IV варіант

1. Основне рівняння динаміки матеріальної точки, як відомо, виражено рівнянням. Диференціальні рівняння руху довільних точок невільної механічної системи відповідно до двох способів поділу сил можна записати у двох формах:

(1) , де k = 1, 2, 3, ..., n - кількість точок матеріальної системи.

(2)

де - маса k-тої точки; - радіус вектор k-тої точки, - задана (активна) сила, що діє на k-ту точку або рівнодіє всіх активних сил, що діють на k-ту точку. - рівнодіюча сил реакцій зв'язків, що діє на k-ту точку; - рівнодіюча внутрішніх сил, що діє на k-ту точку; - рівнодіюча зовнішніх сил, що діє на k-ту точку.

За допомогою рівнянь (1) та (2) можна прагнути вирішувати як перше, так і друге завдання динаміки. Однак вирішення другого завдання динаміки для системи дуже ускладнюється не тільки з математичної точкизору, а й тому, що ми стикаємося з важливими труднощами. Вони полягають у тому, що як системи (1), так системи (2) число рівнянь значно менше числаневідомих.

Так, якщо використовувати (1), то відомими для другого (зворотного) завдання динаміки будуть і , а невідомими будуть і . Векторних рівнянь буде « n», а невідомих – «2n».

Якщо ж виходити із системи рівнянь (2), то відомі і частина зовнішніх сил. Чому частина? Справа в тому, що до зовнішніх сил входять і зовнішні реакціїзв'язків, які невідомі. До того ж, невідомими будуть ще й .

Отже, як система (1), і система (2) НЕЗАМКНУТА. Потрібно додавати рівняння, враховуючи рівняння зв'язків і, можливо, ще потрібно накладати деякі обмеження на самі зв'язки. Що робити?

Якщо з (1), можна піти шляхом складання рівнянь Лагранжа першого роду. Але такий шлях не раціональний тому, що чим простіше завдання(менше ступенів свободи), тим важче з погляду математики її вирішувати.

Тоді звернемо увагу на систему (2), де завжди невідомі. Перший крок під час вирішення системи – це треба виключити ці невідомі. Слід мати на увазі, що нас, як правило, не цікавлять внутрішні сили при русі системи, тобто під час руху системи не потрібно знати, як рухається кожна точка системи, а достатньо знати як рухається система в цілому.

Таким чином, якщо у різний спосібвиключити із системи (2) невідомі сили, то отримуємо деякі співвідношення, тобто з'являються деякі загальні характеристикидля системи, знання яких дозволяють судити у тому, як рухається система загалом. Ці характеристики вводяться за допомогою так званих загальних теорем динаміки. Таких теорем чотири:

1. Теорема про рух центру мас механічної системи;

2. Теорема про зміні кількості руху механічної системи;

3. Теорема про зміні кінетичного моменту механічної системи;

4. Теорема про зміні кінетичної енергії механічної системи.

Теорема про рух центру мас.Диференціальні рівняння руху механічної системи. Теорема про рух центру мас механічної системи. Закон збереження руху центру мас.

Теорема про зміну кількості руху.Кількість руху матеріальної точки. Елементарний імпульс сили. Імпульс сили за кінцевий проміжок часу та його проекції на координатні осі. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки у диференціальній та кінцевій формах.

Кількість руху механічної системи; його вираз через масу системи та швидкість її центру мас. Теорема про зміну кількості руху механічної системи у диференціальній та кінцевій формах. Закон збереження кількості руху механічного

(Поняття про тіло і точку змінної маси. Рівняння Мещерського. Формула Ціолковського.)

Теорема про зміну моменту кількості руху.Момент кількості руху матеріальної точки щодо центру та щодо осі. Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки. Центральна сила. Збереження моменту кількості руху матеріальної точки у разі центральної сили. (Поняття про секторну швидкість. Закон площ.)

Головний момент кількостей руху чи кінетичний момент механічної системи щодо центру та щодо осі. Кінетичний момент твердого тіла, що обертається, щодо осі обертання. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи. Закон збереження кінетичного моменту механічної системи. (Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи у відносному русі по відношенню до центру мас.)

Теорема про зміну кінетичної енергії.Кінетична енергія матеріальної точки. Елементарна робота сили; аналітичний вираз елементарної роботи Робота сили на кінцевому переміщенні точки її застосування. Робота сили тяжіння, сили пружності та сили тяжіння. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки у диференціальній та кінцевій формах.

Кінетична енергія механічної системи. Формули для обчислення кінетичної енергії твердого тіла при поступальному русі, при обертанні навколо нерухомої осі та в загальному випадкуруху (зокрема, при плоскопаралельному русі). Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи у диференційній та кінцевій формах. Рівність нулю суми робіт внутрішніх сил у твердому тілі. Робота та потужність сил, прикладених до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

Концепція силове поле. Потенційне силове поле та силова функція. Вираз проекцій сили через силову функцію. Поверхні рівного потенціалу. Робота сили на кінцевому переміщенні точки у потенційному силовому полі. Потенціальна енергія. Приклади потенційних силових полів: однорідне поле тяжкості та поле тяжіння. Закон збереження механічної енергії.

Динаміка твердого тіла.Диференціальні рівняння поступального руху твердого тіла. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла довкола нерухомої осі. Фізичний маятник. Диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла.

Принцип Даламбер.принцип Даламбера для матеріальної точки; сила інерції. Принцип Даламбер для механічної системи. Приведення сил інерції точок твердого тіла до центру; головний вектор і головний моментсил інерції.

(Визначення динамічних реакцій підшипників при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі. Випадок, коли вісь обертання є головною центральною віссю інерції тіла.)

Принцип можливих переміщеньта загальне рівняння динаміки.Зв'язки, що накладаються на механічну систему. Можливі (або віртуальні) переміщення матеріальної точки та механічної системи. Число ступенів свободи системи. Ідеальні зв'язки. Принцип можливих переміщень. Загальне рівняннядинаміки.

Рівняння руху системи в узагальнених координатах (Рівняння Лагранжа).Узагальнені координати системи; узагальнені швидкості. Вираз елементарної роботи у узагальнених координатах. Узагальнені сили та їх обчислення; випадок сил, які мають потенціал. Умови рівноваги системи у узагальнених координатах. Диференціальні рівняння руху системи в узагальнених координатах чи рівняння Лагранжа 2-го роду. Рівняння Лагранжа у разі потенційних сил; функція Лагранжа (кінетичний потенціал).

Поняття про стійкість рівноваги. Малі вільні коливаннямеханічної системи з одним ступенем свободи біля положення стійкої рівноваги системи та їх властивості.

Елементи теорії удару.Явище удару. Ударна сила та ударний імпульс. Дія ударної силина матеріальну точку. Теорема про зміну кількості руху механічної системи під час удару. Прямий центральний удар тіла об нерухому поверхню; пружний та непружний удари. Коефіцієнт відновлення при ударі та його дослідне визначення. Прямий центральний удар двох тіл. Теорема Карно.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Основний

Бутенін Н. Ст, Лунц Я-Л., Меркін Д. Р.Курс теоретичної механіки. Т. 1, 2. М., 1985 та попередні видання.

Добронравов Ст Ст, Нікітін Н. М.Курс теоретичної механіки. М., 1983.

Старжинський В. М.Теоретична механіка. М., 1980.

Тарг З. М.Стислий курс теоретичної механіки. М., 1986 та попередні видання.

Яблонський А. А., Никифорова Ст М.Курс теоретичної механіки. Ч. 1. М., 1984 та попередні видання.

Яблонський А. А.Курс теоретичної механіки. Ч. 2. М., 1984 та попередні видання.

Мещерський І. В.Збірник задач з теоретичної механіки. М., 1986 та попередні видання.

Збірник завдань з теоретичної механіки / Под ред. Колесникова. М., 1983.

Додатковий

Бать М. І., Джанелідзе Г. Ю., Кельзон А. С.Теоретична механіка в прикладах та задачах. Ч. 1, 2. М., 1984 та попередні видання.

Збірник завдань з теоретичної механіки/5ражничний/со Н. А., Кан Ст Л., Мінцберг Би. Л.та ін М., 1987.

Новожилов І. Ст, Зацепін М. Ф.Типові розрахунки з теоретичної механіки з урахуванням ЕОМ. М., 1986,

Збірник завдань для курсових робітз теоретичної механіки / Под ред. А. А. Яблонського. М., 1985 та попередні видання (містить приклади вирішення завдань).

Розглянемо рух деякої системи матеріальних томен щодо нерухомої системи координат Коли система невільна, її можна розглядати як вільну, якщо відкинути накладені на систему зв'язку і замінити їх дію відповідними реакціями.

Розіб'ємо всі сили, прикладені до системи, на зовнішні та внутрішні; в ті та інші можуть входити реакції відкинутих

зв'язків. Через і позначимо головний вектор і момент зовнішніх сил щодо точки А.

1. Теорема про зміну кількості руху.Якщо - кількість руху системи, то (див.)

т. е. справедлива теорема: похідна за часом кількості руху системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил.

Замінюючи вектор через його вираз де - маса-системи - швидкість центру мас, рівняння (4.1) можна надати іншу форму:

Ця рівність означає, що центр мас системи рухається, як матеріальна точкащ маса якої дорівнює масі системи і до якої прикладена сила, геометрично рівна головному вектору всіх зовнішніх сил системи. Останнє твердження називають теоремою про рух центру мас (центру інерції) системи.

Якщо з (4.1) випливає, що вектор кількості руху постійний за величиною і напрямом. Проектуючи його на осі координат, отримаємо три скалярні перші інтеграли, диференціальні рівняння дзвнзкепня системи:

Ці інтеграли носять назву інтегралів кількості руху. При швидкість центру мас постійна, тобто рухається рівномірно і прямолінійно.

Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на якусь одну вісь, наприклад, на вісь дорівнює нулю, то маємо один перший інтеграл або якщо ж рівні нулю» дві проекції головного вектора, то існує два інтеграли кількості руху.

2. Теорема про зміну кінетичного моменту.Нехай А – деяка довільна точкапростору (яка рухається або нерухома), яка не обов'язково збігається з будь-якою певною матеріальною точкою системи під час руху. Її швидкість у нерухомій спстемі координат позначимо через Теорему про зміну кінетичного моменту матеріальної системи щодо точки А має вигляд

Якщо точка А нерухома, то й рівність (4.3) набуває більш простого вигляду:

Ця рівність висловлює теорему про пзмепіння кінетичного моменту системи щодо нерухомої точки: похідна часу від кінетичного моменту системи, обчисленого щодо деякої нерухомої точки, дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил щодо цієї точки.

Якщо згідно (4.4) вектор кінетичного моменту постійний за величиною і напрямом. Проектуючи його на осі координат, отримаємо перші скалярні інтеграли диференціальних рівнянь двпжеиия системи:

Ці інтеграли займають назву інтегралів кінетичного моменту або інтегралів площ.

Якщо точка А збігається з центром мас системи, то перше доданок у правій частині рівності (4.3) звертається в нуль і теорема про зміну кінетичного моменту має ту ж форму запису (4.4), що і у разі нерухомої точки А. Зазначимо (див. п. 4 § 3), що в даному випадку абсолютний кінетичний момент системи в лівій частині рівності (4.4) може бути замінений рівний йому кінетичний момент системи в її русі щодо центру мас.

Нехай - деяка незмінна вісь або вісь постійного напрямку, що проходить через центр мас системи, а - кінетичний момент системи щодо цієї осі. З (4.4) випливає, що

де - момент зовнішніх сил щодо осі. Якщо під час руху то маємо перший інтеграл

У роботах С. А. Чаплигіна отримано кілька узагальнень теореми про зміну кінетичного моменту, які потім застосовані при вирішенні низки завдань про кочення куль. Подальші узагальнення теореми про зміну концептуального моменту та їх застосування в завданнях динаміки твердого тіла містяться в роботах. Основні результати цих робіт пов'язані з теоремою про зміну кінетичного моменту щодо рухомої , що постійно проходить через деяку точку А . одиничний вектор, спрямований уздовж цієї осі. Помноживши скалярно на обидві частини рівності (4.3) і додавши до його обох частин доданок одержимо

При виконанні кінематичної умови

з (4.7) випливає рівняння (4.5). І якщо весь час руху і виконується умова (4.8), існує перший інтеграл (4.6).

Якщо зв'язки системи ідеальні і допускають серед віртуальних переміщень обертання системи як твердого тіла навколо осі і, то головний момент реакцій щодо осі і дорівнює нулю , і тоді величина у правій частині рівняння (4.5) являє собою головний момент всіх зовнішніх активних сил щодо осі і . Рівність нулю цього моменту та здійсненність співвідношення (4.8) будуть у розглянутому випадку достатніми умовамидля існування інтегралу (4.6).

Якщо напрямок осі і незмінна то умова (4.8) запишеться у вигляді

Ця рівність означає, що проекції швидкості центру мас та швидкості точки А осі та на площину, перпендикулярну до цієї є паралельними. У роботі С. А. Чаплигіна замість (4.9) потрібно виконання менш загальної умовиде X - довільна стала величина.

Зауважимо, що умова (4.8) залежить від вибору точки на . Справді, нехай Р-довільна точка на осі. Тоді

і, отже,

На закінчення відзначимо геометричну інтерпретацію Резалю рівнянь (4.1) та (4.4): вектори абсолютних швидкостейкінців векторів і рівні відповідно до головного вектора і головного моменту всіх зовнішніх сил щодо точки А.