Даний методичний матеріалносить довідковий характер і належить до широкого кола тем. У статті наведено огляд графіків основних елементарних функцій та розглянуто найважливіше питання – як правильно і ШВИДКО побудувати графік. У ході вивчення вищої математикибез знання графіків основних елементарних функційдоведеться важко, тому дуже важливо згадати, як виглядають графіки параболи, гіперболи, синуса, косинуса і т.д., запам'ятати деякі значення функцій. Також мова підепро деякі властивості основних функцій.

Я не претендую на повноту та наукову обґрунтованість матеріалів, наголос буде зроблено, перш за все, на практиці – тих речах, з якими доводиться стикатися буквально на кожному кроці, у будь-якій темі вищої математики. Графіки для чайників? Можна сказати і так.

На численні прохання читачів клікабельний зміст:

Крім того, є надкороткий конспект на тему
– освойте 16 видів графіків, вивчивши шість сторінок!

Серйозно, шість, здивувався навіть сам. Даний конспект містить покращену графіку і доступний за символічну плату, демо-версію можна подивитися. Файл зручно надрукувати, щоб графіки завжди були під рукою. Дякуємо за підтримку проекту!

І одразу починаємо:

Як правильно збудувати координатні осі?

На практиці контрольні роботи майже завжди оформляються студентами в окремих зошитах, розлинених у клітку. Навіщо потрібна картата розмітка? Адже роботу, загалом, можна зробити і на листах А4. А клітка необхідна якраз для якісного та точного оформлення креслень.

Будь-яке креслення графіка функції починається з координатних осей.

Креслення бувають двомірними та тривимірними.

Спочатку розглянемо двовимірний випадок декартовий прямокутної системикоординат:

1) Чортимо координатні осі. Вісь називається віссю абсцис , а вісь – віссю ординат . Рисувати їх завжди намагаємося акуратно і не криво. Стрілки теж не повинні нагадувати бороду Папи Карло.

2) Підписуємо осі великими літерами «ікс» та «ігрок». Не забуваємо підписувати осі.

3) Задаємо масштаб по осях: малюємо нуль і дві одиниці. При виконанні креслення найзручніший і найпоширеніший масштаб: 1 одиниця = 2 клітинки (креслення зліва) – по можливості дотримуйтеся саме його. Однак іноді трапляється так, що креслення не вміщається на зошит - тоді масштаб зменшуємо: 1 одиниця = 1 клітинка (креслення праворуч). Рідко, але буває, що масштаб креслення доводиться зменшувати (чи збільшувати) ще більше

НЕ ТРЕБА «строчити з кулемету» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Бо координатна площина– не пам'ятник Декарту, а студент – не голуб. Ставимо нульі дві одиниці по осях. Іноді замістьодиниць зручно "засікти" інші значення, наприклад, "двійку" на осі абсцис і "трійку" на осі ординат - і ця система (0, 2 і 3) теж однозначно задасть координатну сітку.

Передбачувані розміри креслення краще оцінити ще до побудови креслення. Так, наприклад, якщо в завданні потрібно накреслити трикутник з вершинами , , , то зрозуміло, що популярний масштаб 1 одиниця = 2 клітинки не підійде. Чому? Подивимося на точку - тут доведеться відміряти п'ятнадцять сантиметрів вниз, і, очевидно, що креслення не вмоститься (або вмоститься ледве) на зошит. Тому одночасно вибираємо дрібніший масштаб 1 одиниця = 1 клітинка.

До речі, про сантиметри і зошити. Чи правда, що у 30 зошитових клітинах міститься 15 сантиметрів? Відміряйте у зошиті для інтересу 15 сантиметрів лінійкою. У СРСР, можливо, це було правдою… Цікаво відзначити, що якщо відміряти ці сантиметри по горизонталі та вертикалі, то результати (у клітинах) будуть різними! Строго кажучи, сучасні зошити не картаті, а прямокутні. Можливо, це здасться нісенітницею, але, креслити, наприклад, коло циркулем при таких розкладах дуже незручно. Якщо чесно, в такі моменти починаєш замислюватися про правоту товариша Сталіна, який відправляв у табори за халтуру на виробництві, не кажучи вже про вітчизняне автомобілебудування, літаки, що падають, або вибухові електростанції.

До речі про якість, або коротка рекомендація щодо канцтоварів. На сьогоднішній день більшість зошитів у продажу, поганих слів не кажучи, повне гомно. Тому, що вони промокають, причому не тільки від гелевих, а й від кулькових ручок! На папері заощаджують. Для оформлення контрольних робітрекомендую використовувати зошити Архангельського ЦПК (18 аркушів, клітинка) або «П'ятірочка», щоправда, вона дорожча. Ручку бажано вибрати гелеву, навіть найдешевший китайський гелевий стрижень набагато краще, ніж кулькова ручка, яка маже, то б'є папір. Єдиною «конкурентоспроможною» кульковою ручкою на моїй пам'яті є «Еріх Краузе». Вона пише чітко, красиво та стабільно – що з повним стрижнем, що із практично порожнім.

Додатково: бачення прямокутної системи координат очима аналітичної геометрії висвітлюється у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів, детальну інформаціюпро координатних чвертяхможна знайти у другому параграфі уроку Лінійні нерівності.

Тривимірний випадок

Тут майже так само.

1) Чортимо координатні осі. Стандарт: вісь аплікат – спрямована вгору, вісь – спрямована вправо, вісь – ліворуч вниз суворопід кутом 45 градусів.

2) Підписуємо осі.

3) Задаємо масштаб по осях. Масштаб по осі – вдвічі менше, ніж масштаб по інших осях. Також зверніть увагу, що на правому кресленні я використав нестандартну «засічку» по осі (про таку можливість вже згадано вище). На мій погляд, так точніше, швидше і естетичніше – не потрібно під мікроскопом вишукувати середину клітини і «ліпити» одиницю впритул до початку координат.

При виконанні тривимірного креслення знову ж таки – віддавайте пріоритет масштабу
1 одиниця = 2 клітини (креслення зліва).

Навіщо потрібні всі ці правила? Правила існують у тому, щоб їх порушувати. Чим я зараз і займусь. Справа в тому, що наступні креслення статті будуть виконані мною в Екселі, і координатні осі будуть виглядати некоректно з точки зору правильного оформлення. Я б міг накреслити всі графіки від руки, але креслити їх насправді жах як небажання Ексель їх накреслить набагато точніше.

Графіки та основні властивості елементарних функцій

Лінійна функціязадається рівнянням. Графік лінійної функцій є пряму. Для того, щоб побудувати пряму, достатньо знати дві точки.

Приклад 1

Побудувати графік функції. Знайдемо дві точки. Як одну з точок вигідно вибрати нуль.

Якщо то

Беремо ще якусь точку, наприклад, 1.

Якщо то

При оформленні завдань координати точок зазвичай зводяться до таблиці:

А самі значення розраховуються усно чи на чернетці, калькуляторі.

Дві точки знайдені, виконаємо креслення:

При оформленні креслення завжди підписуємо графіки.

Не зайвим буде згадати окремі випадки лінійної функції:

Зверніть увагу, як я розташував підписи, підписи не повинні допускати різночитань щодо креслення. У даному випадкувкрай небажано було поставити підпис поруч із точкою перетину прямих, або праворуч унизу між графіками.

1) Лінійна функція виду () називається прямою пропорційністю. Наприклад, . Графік прямої пропорційності завжди проходить через початок координат. Таким чином, побудова прямої спрощується - достатньо знайти лише одну точку.

2) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції будується відразу, без будь-яких точок. Тобто запис слід розуміти так: «гравець завжди дорівнює -4, при будь-якому значенні ікс».

3) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції також будується одразу. Запис слід розуміти так: «ікс завжди, за будь-якого значення ігор, дорівнює 1».

Дехто запитає, ну навіщо згадувати 6 клас?! Так-то воно, може і так, тільки за роки практики я зустрів добрий десяток студентів, яких ставило в глухий кут завдання побудови графіка на кшталт або .

Побудова прямий – найпоширеніша дія у виконанні креслень.

Пряма лінія детально розглядається в курсі аналітичної геометрії, і бажаючі можуть звернутись до статті Рівняння прямої на площині.

Графік квадратичної, кубічної функції, графік багаточлена

Парабола. Графік квадратичні функції () являє собою параболу. Розглянемо знаменитий випадок:

Згадуємо деякі властивості функції.

Отже, рішення нашого рівняння: - Саме в цій точці і знаходиться вершина параболи. Чому це так, можна дізнатися з теоретичної статті про похідну та уроку про екстремуми функції . А поки що розраховуємо відповідне значення «гравець»:

Таким чином, вершина знаходиться в точці

Тепер знаходимо інші точки, при цьому нахабно користуємося симетричністю параболи. Слід зауважити, що функція – не є парноюПроте, симетричність параболи ніхто не скасовував.

В якому порядку знаходити інші точки, гадаю, буде зрозуміло з підсумкової таблиці:

Даний алгоритмпобудови образно можна назвати «човником» або принципом «туди-сюди» з Анфісою Чеховою.

Виконаємо креслення:

З розглянутих графіків згадується ще одна корисна ознака:

Для квадратичної функції () справедливо наступне:

Якщо , то гілки параболи спрямовані нагору.

Якщо , то гілки параболи спрямовані вниз.

Поглиблені знання про криву можна отримати на уроці гіпербола і парабола.

Кубічна парабола задається функцією. Ось знайоме зі школи креслення:

Перерахуємо основні властивостіфункції

Графік функції

Він є однією з гілок параболи. Виконаємо креслення:

Основні властивості функції:

В даному випадку вісь є вертикальною асимптотою для графіка гіперболи при .

Буде ГРУБИЙ помилкою, якщо при оформленні креслення з недбалості допустити перетин графіка з асимптотою .

Також односторонні межі говорять нам про те, що гіпербола не обмежена зверхуі не обмежена знизу.

Досліджуємо функцію на нескінченності: тобто якщо ми почнемо йти по осі вліво (або вправо) на нескінченність, то «ігреки» струнким кроком будуть нескінченно близьконаближатися до нуля, і, відповідно, гілки гіперболи нескінченно близьконаближатися до осі.

Таким чином, вісь є горизонтальною асимптотою для графіка функції, якщо «ікс» прагне плюс або мінус нескінченності.

Функція є непарний, отже, гіпербола симетрична щодо початку координат. Цей факточевидний з креслення, крім того, легко перевіряється аналітично: .

Графік функції виду () являє собою дві гілки гіперболи.

Якщо , то гіпербола розташована в першій та третій координатних чвертях(Див. малюнок вище).

Якщо , то гіпербола розташована у другій та четвертій координатних чвертях..

Зазначену закономірність місця проживання гіперболи неважко проаналізувати з погляду геометричних перетворень графіків.

Приклад 3

Побудувати праву гілку гіперболи

Використовуємо поточковий метод побудови, при цьому значення вигідно підбирати так, щоб ділилося націло:

Виконаємо креслення:

Не важко побудувати і ліву гілку гіперболи, тут якраз допоможе непарність функції. Грубо кажучи, в таблиці поточкового побудови подумки додаємо до кожного мінус, ставимо відповідні точки і прокреслюємо другу гілку.

Детальну геометричну інформацію про розглянуту лінію можна знайти у статті Гіперболу та параболу.

Графік показової функції

У цьому параграфі я одразу розгляну експоненційну функцію, оскільки в завданнях вищої математики у 95% випадків зустрічається саме експонента.

Нагадую, що це ірраціональне число: , це знадобиться при побудові графіка, який, власне, я без церемоній і побудую. Трьох точок, мабуть, вистачить:

Графік функції поки дамо спокій, про нього пізніше.

Основні властивості функції:

Принципово так само виглядають графіки функцій, і т.д.

Повинен сказати, що другий випадок зустрічається на практиці рідше, але він зустрічається, тому я вважав за потрібне включити його до цієї статті.

Графік логарифмічної функції

Розглянемо функцію з натуральним логарифмом.
Виконаємо крапковий креслення:

Якщо забули, що таке логарифм, будь ласка, зверніться до шкільних підручників.

Основні властивості функції:

Область визначення:

Область значень: .

Функція не обмежена зверху: , Нехай і повільно, але гілка логарифму йде на нескінченність.
Досліджуємо поведінку функції поблизу нуля праворуч: . Таким чином, вісь є вертикальною асимптотою для графіка функції при «ікс», що прагне до нуля праворуч.

Обов'язково потрібно знати та пам'ятати типове значення логарифму: .

Принципово так само виглядає графік логарифму на підставі : , , ( десятковий логарифмна підставі 10) і т.д. При цьому, що більша підстава, то більш пологім буде графік.

Випадок розглядати не будемо, щось я не пригадаю, коли востаннє будував графік із такою підставою. Та й логарифм начебто в завданнях вищої математики дуже рідкісний гість.

На закінчення параграфа скажу ще про один факт: Експоненційна функція та логарифмічна функція – це дві взаємно зворотні функції . Якщо придивитися до графіка логарифму, то можна побачити, що це - та сама експонента, просто вона розташована трохи по-іншому.

Графіки тригонометричних функцій

З чого починаються тригонометричні муки у школі? Правильно. З синуса

Побудуємо графік функції

Ця лінія називається синусоїдою.

Нагадую, що «пі» – це ірраціональне число: і в тригонометрії від нього в очах рябить.

Основні властивості функції:

Ця функціяє періодичноїз періодом. Що це означає? Подивимося на відрізок. Зліва і праворуч від нього нескінченно повторюється такий самий шматок графіка.

Область визначення: , тобто для будь-якого значення ікс існує значення синуса.

Область значень: . Функція є обмеженою: тобто всі «ігреки» сидять строго у відрізку .
Такого не буває: або, точніше, буває, але вказані рівняннянемає рішення.

Область визначення та область значень функції.В елементарній математиці вивчаються функції лише на безлічі дійсних чисел R.Це означає, що аргумент функції може набувати ті дійсні значення, у яких функція визначено, тобто. вона також набуває лише дійсних значень. Безліч Xвсіх допустимих дійсних значень аргументу x, при яких функція y= f(x)визначена, називається областю визначення функції. Безліч Yвсіх дійсних значень y, які приймає функція, називається областю значень функції. Тепер можна дати більше точне визначенняфункції: правило(закон) відповідності між множинами X та Y, за яким для кожного елемента з множиниX можна знайти один і тільки один елемент з множини Y, називається функцією.

З цього визначення випливає, що функція вважається заданою, якщо:

Задано область визначення функції X ;

Задано область значень функції Y ;

Відомо правило (закон) відповідності, причому таке, що для кожного

Значення аргументу можна знайти лише одне значення функції.

Ця вимога однозначності функції є обов'язковою.

Монотонна функція.Якщо для будь-яких двох значень аргументу x 1 і x 2 з умови x 2 > x 1 слід f(x 2) > f(x 1), то функція f(x) називається зростаючою; якщо для будь-яких x 1 і x 2 з умови x 2 > x 1 слід f(x 2) < f(x 1), то функція f(x) називається спадаючою. Функція, яка тільки зростає або лише зменшується, називається монотонної.

Обмежена та необмежена функції.Функція називається обмеженоюякщо існує таке додатне число M, що | f(x) | Mдля всіх значень x.Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.

Приміри.

Функція, зображена на рис.3 є обмеженою, але не монотонною. Функція на рис.4 - саме навпаки, монотонна, але необмежена. (Поясніть це, будь ласка!).

Безперервна та розривна функції.Функція y = f (x) називається безперервний у точціx = a, якщо:

1) функція визначена при x = a, Тобто. f (a) існує;

2) існує кінцевиймежа lim f (x) ;

x→a

(Див. «Межі функцій»)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Якщо не виконується хоча б одна з цих умов, то функція називається розривнийу точці x = a.

Якщо функція безперервна у всіх точках своєї галузі визначення, то вона називається безперервною функцією.

Парна та непарна функції.Якщо для будь-якого x f(- x) = f (x), то функція називається парної;якщо має місце: f(- x) = - f (x), то функція називається непарний. Графік парної функціїсиметричний щодо осі Y(рис.5), а графік непарної функції цимметричний щодо початку координат(Рис.6).

Періодична функція.Функція f (x) - періодичнаякщо існує таке відмінне від нулячисло T, що для будь-якого xв галузі визначення функції має місце: f (x + T) = f (x). Таке найменшечисло називається періодом функції. всі тригонометричні функціїє періодичними.

П р і м е р 1 . Довести, що sin xмає період 2 .

Рішення. Ми знаємо, що sin ( x+ 2n) = sin x, де n= 0, ± 1, ± 2, …

Отже, додавання 2 nдо аргументу синуса не

Змінює його значення. Чи існує інше число з таким

А якістю?

Припустимо, що P- Таке число, тобто. рівність:

Sin ( x+ P) = sin x,

Справедливо для будь-якого значення x. Але тоді воно має

Місце і при x= / 2, тобто.

Sin (/ 2 + P) = sin / 2 = 1.

Але за формулою приведення sin (/2 + P) = cos P. Тоді

З двох останніх рівностей випливає, що cos P= 1, але ми

Знаємо, що це правильно лише за P = 2n. Оскільки найменшим

Відмінним від нуля числом із 2 nє 2, то це число

І є період sin x. Аналогічно доводиться, що 2з nє , таким чином, це період 2 x.

Нулі функції.Значення аргументу, у якому функція дорівнює 0, називається нулем (коренем) функції. Функція може мати кілька нулів.Наприклад, функція y = x (x + 1) (x-3) має три нулі: x= 0, x= -1, x= 3. Геометрично нуль функції - це абсциса точки перетину графіка функції з віссю Х .

На рис.7 представлений графік функції з нулями: x= a, x = bі x= c.

Асимптота.Якщо графік функції необмежено наближається до деякої прямої при віддаленні від початку координат, то ця пряма називається асимптотою.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Російська гімназія

КОНСПЕКТ

Виконав

учень 10 "Ф" класу Бурмістрів Сергій

Керівник

учитель математики

Юліна О.А.

Нижній Новгород

Функція та її властивості

Функція-залежність змінної увід змінної x , якщо кожному значенню хвідповідає єдине значення у .

Змінна х-незалежна змінна чи аргумент.

Змінна у-залежна змінна

Значення функції-значення у, відповідне заданому значенню х .

Область визначення функції-всі значення, які набуває незалежна змінна.

Область значень функції (безліч значень)-всі значення, які набуває функція.

Функція є парною-якщо для будь-кого х f(x)=f(-x)

Функція є непарною-якщо для будь-кого хв галузі визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)

Зростаюча функція-якщо для будь-яких х 1і х 2 ,таких, що х 1 < х 2, виконується нерівність f( х 1 ) х 2 )

Знижена функція-якщо для будь-яких х 1і х 2 ,таких, що х 1 < х 2, виконується нерівність f( х 1 )>f( х 2 )

Способи завдання функції

¨ Щоб встановити функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у =f(x), де f(x)-íåêîòîðîå âиðàæåíèå зі змінною х. У такому разі кажуть, що функція задана формулою або функція задана аналітично.

¨ На практиці часто використовується табличнийспосіб завдання функції. При цьому способі наводиться таблиця, що вказує значення функції для значень аргументу, що є в таблиці. Прикладами табличного завдання функції таблиця квадратів, таблиця кубів.

Види функцій та їх властивості

1) Постійна функція-функція, задана формулою у= b , де b-кілька. Графіком постійної функціїу=b є пряма, паралельна осі абсцис і проходить через точку (0;b) на осі ординат

2) Пряма пропорційність-функція, задана формулою у= kx , де к10. Число kназивається коефіцієнтом пропорційності .

Властивості функції y=kx :

1. Область визначення функції-множинавсіх дійсних чисел

2. y=kx- непарна функція

3. При k>0 функція зростає, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Лінійна функція-функція, яка задана формулою y=kx+b, де kі b - дійсні числа. Якщо зокрема, k=0, то отримуємо постійну функцію y=b; якщо b=0, то отримуємо пряму пропорційність y=kx .

Властивості функції y=kx+b :

1. Область визначення-множина всіх дійсних чисел

2. Функція y=kx+bзагального вигляду, тобто. ні парна, ні непарна.

3. При k>0 функція зростає, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графіком функції є пряма .

4)Зворотня пропорційність-функція, задана формулою y=k /х,де k¹0 Число kназивають коефіцієнтом зворотної пропорційності.

Властивості функції y=k / x:

1. Область визначення-множина всіх дійсних чисел крім нуля

2. y=k / x - непарна функція

3. Якщо k>0, то функція зменшується на проміжку (0;+¥) та на проміжку (-¥;0). Якщо k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графіком функції є гіпербола .

5)Функція y=x 2

Властивості функції y=x 2:

2. y=x 2 - парна функція

3. На проміжку функція зменшується

Графіком функції є парабола .

6)Функція y=x 3

Властивості функції y=x 3:

1. Область визначення - вся числова пряма

2. y=x 3 - непарна функція

3. Функція зростає на всій числовій прямій

Графіком функції є кубічна парабола

7)Ступенева функція з натуральним показником-функція, задана формулою y=x n, де n- натуральне число. При n=1 отримуємо функцію y=x, її властивості розглянуті п.2. При n=2;3 отримуємо функції y=x2; y=x3. Їх властивості розглянуті вище.

Нехай n- довільне парне число, більше двох: 4,6,8... У цьому випадку функція y=x nмає ті ж властивості, що і функція y = x 2 . Графік функції нагадує параболу y=x 2 тільки гілки графіка при |х|>1 тим крутіше йдуть вгору, чим більше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Нехай n-довільне непарне число, більше трьох: 5,7,9... У цьому випадку функція y=x nмає ті ж властивості, що і функція y = x 3 . Графік функції нагадує кубічну параболу.

8)Ступінна функція з цілим негативним показником-функція, задана формулою y=x -n , де n- натуральне число. При n=1 отримуємо y=1/х властивості цієї функції розглянуті в п.4.

Нехай n-непарне число, більше одиниці: 3,5,7 ... У цьому випадку функція y=x -nмає в основному тими самими властивостями, що і функція y = 1/х.

Нехай n-парне число, наприклад, n=2.

Властивості функції y=x -2 :

1. Функція визначена за всіх x¹0

2. y=x -2 -парна функція

3. Функція зменшується на (0;+¥) і зростає на (-¥;0).

Ті ж властивості мають будь-які функції при парному n, більшому двох.

9)Функція y= Ö х

Властивості функції y= Ö х :

1. Область визначення - промінь і зростає на проміжку)