Пошук кореня нелінійного рівняння методом дотичних до Excel. Вирішення систем нелінійних рівнянь методами ітерацій

n приклад 2.3.Знайти коріння рівняння

x - tg (x) = 0. (2.18)

Перший етап вирішення (етап відділення коріння) був реалізований у розділі 2.1 (приклад 2.2). Корінь рівняння, що шукається, знаходиться на відрізку xÎ, що видно на графіці (рис. 2.9).

Рис.2.9. Етап відділення коріння

Етап уточнення кореняреалізуємо засобами Excel. Продемонструємо це на прикладі методу половинного поділу . Схеми розрахунків для методів дотичнихі хордмало чим відрізняються від наведеної нижче схеми.

Послідовність дій:

1. Підготуємо таблицю, як показано на рис.2.10 та введемо значення a, bε відповідно в осередки В3, В4, В5.

2. Заповнимо перший рядок таблиці:

D4 = 0 номер ітерації;

Е4 = В3, F4 = B4, для обчислення f(a): G4=E4-TAN(E4),

Аналогічно, в комірки H4, I4, J4 введемо формули для обчислення відповідно f(b), x n=(a+b)/2 та f(x n);

У комірці К4 обчислимо довжину відрізка [ a, b]: K4 = ABS (E4-F4).

3. D5=D4+1, на формування номера итерации.

4. У комірки E5, F5 введемо формули для формування кінців вкладених відрізків відповідно до алгоритму, викладеного в розділі 2.2.1:

E5=ЯКЩО(J4*H4<0;I4;E4);

F5=ЯКЩО(J4*H4>0;I4;F4).

5. Виділимо осередки G4: K4 і скопіюємо їх вниз на один рядок.

6. Виділимо комірки D5:K5 і скопіюємо їх до кінця таблиці.

Рис.2.10. Схема розв'язання нелінійного рівнянняметодом бісекції

Розподіл відрізків продовжуємо доти, доки довжина останнього стане менше заданого ε, тобто. доти, доки виконається умова .

Щоб зробити наочним закінчення ітераційного процесу, скористаємося Умовним форматуванням

Умовне форматування -це форматування виділених осередків на основі деякого критерію, в результаті чого відбудеться колірне оформлення осередків, вміст яких задовольняє задану умову (у нашому випадку).

Для цього виконаємо такі дії:

Виділимо осередки останнього стовпця (К) розрахункової схеми (рис.2.10), де задаватиметься критерій закінчення ітераційного процесу;

Виконаємо команду

Головна\Стилі\Умовне форматування;

Рис.2.11. Вікно біля словного форматування

У вікні (рис.2.11) виберемо рядок:

Правила виділення осередків \ Менше;

У лівій частині діалогового вікна, що з'явилося. Менше (рис.2.12) задаємо значення, яке буде використано як критерій (у нашому прикладі це адреса осередку B5, де знаходиться значення ε ).

Рис.2.12. Діалогове вікно Менше

У правій частині вікна Менше виберемо колір, яким будуть забарвлені осередки, що відповідають заданій умові; та натиснемо кнопку ОК.

Внаслідок такого форматування осередку стовпця К , значення яких менше 0.1,тоновані, рис.2.10.

Таким чином, за наближене значення кореня рівняння x- tg (x) = 0 із точністю e=0.1приймається 3-я ітерація, тобто. x * »4.46875. Для e = 0.01 - x * » 4.49609(6-та ітерація).

Вирішення нелінійних рівнянь з використанням надбудови «Підбір параметра»

Вирішення нелінійних рівнянь можна реалізувати в додатку MS Excelз використанням надбудови Підбір параметра, де реалізується певний ітераційний процес.

Знайдемо коріння розглянутого вище рівняння (2.18).

За нульове наближення рішення рівняння, як видно з рис.2.13, можна прийняти х 0 = 4 або х 0 =4,5.

Послідовність дій

1. Підготуємо таблицю, як показано на рис.2.13. У осередок А2 введемо деяке значення х 0 (наприклад х 0 = 4) з ОДЗ функції y=f(x). Це буде початковим наближенням для ітераційного процесу, реалізованого програмою Вибір параметра.

2. Осередок В 2 є змінним осередком у процесі роботи надбудови. Введемо до неї це значення х 0 , а в осередку С3 обчислимо значення функції f(x n) для цього наближення.

3. Виберемо команду:

Дані \ Робота з даними \ Аналіз "що-якщо" \ Підбір параметра.

4. У вікні "Підбір параметра" зробимо установки, як показано на рис.2.13 і натиснемо кнопку ОК.

Рис.2.13. Вирішення нелінійного рівняння за допомогою надбудови «Підбір параметра»

Якщо все було зроблено правильно, то в осередку В2 (рис.2.13) буде отримано наближене значення кореня нашого рівняння.

Виконайте всі ці операції ще раз з іншим значенням початкового наближення, наприклад х 0 = 4,5.

Контрольні питання

1. Яке рівняння називається нелінійним. Що рішення нелінійного рівняння.

2. Геометрична інтерпретація розв'язання нелінійного рівняння.

3. Методи вирішення нелінійного рівняння (прямі та ітераційні), у чому різниця.

4. Два етапи чисельного рішеннянелінійного рівняння. Які завдання ставляться на першому та другому етапах.

5. Перший етап розв'язання нелінійного рівняння. Як вибирається нульове наближення (нульова ітерація)

6. Побудова ітераційної послідовності. Поняття збіжності ітераційної послідовності. Знаходження наближеного значення кореня нелінійного рівняння із точністю ε.

7. Геометрична інтерпретація чисельних методів розв'язання нелінійного рівняння: половинного поділу, Ньютона (дотичних), хорд.

Розділ 3.

Мучившись у школі над розв'язанням рівнянь на уроках математики, багато учнів часто впевнені, що витрачають час абсолютно марно, а тим часом така навичка знадобиться в житті не тільки тим, хто вирішить піти стопами Декарта, Ейлера чи Лобачевського.

На практиці, наприклад у медицині чи економіці, часто зустрічаються ситуації, коли фахівцю потрібно з'ясувати, коли концентрація активної речовинитого чи іншого препарату досягне необхідного рівня в крові пацієнта або потрібно вирахувати час, необхідний конкретному бізнесу для того, щоб він став рентабельним.

Найчастіше мова йдепро розв'язання нелінійних рівнянь різного типу. Зробити це максимально швидко, особливо з використанням ЕОМ, дозволяють чисельні методи. Вони добре вивчені та давно довели свою ефективність. До них належить і метод дотичних Ньютона, яким присвячена ця стаття.

Постановка задачі

У даному випадкує функція g, яка задана на відрізку (a, b) та приймає на ньому певні значення, тобто кожному x, що належить (a, b) можна порівняти конкретне число g(x).

Потрібно встановити всі корені рівняння з проміжку між точками a і b (включаючи кінці), для яких функція обнулюється. Вочевидь, що це точки перетину y = g(x) з ОХ.

У деяких випадках зручніше замінити g(x)=0 на аналогічне виду g 1 (x) = g 2 (x). У такому разі як коріння виступають абсциси (значення x) точок перетину графіків g 1 (x) і g 2 (x).

Вирішення нелінійного рівняння важливе і для завдань оптимізації, для яких умова локального екстремуму- звернення до 0 похідної функції. Іншими словами, таке завдання може звестися до пошуку коренів рівняння p(x) = 0, де p(x) тотожна g"(x).

Методи вирішення

Для деяких видів нелінійних рівнянь, наприклад, квадратних або простих тригонометричних, знайти коріння можна досить простими способами. Зокрема кожен школяр знає формули, використовуючи які можна без проблем знаходити значення аргументу точок, де обнулюється квадратний тричлен.

Способи вилучення коренів нелінійних рівнянь прийнято поділяти на аналітичні (прямі) та ітераційні. У першому випадку шукане рішення має вигляд формули, використовуючи яку за кілька арифметичних операцій можна знайти значення шуканих коренів. Подібні методи розроблені для показових, тригонометричних, логарифмічних та найпростіших алгебраїчних рівнянь. Для інших доводиться використовувати спеціальні чисельні методи. Їх легко реалізувати за допомогою ЕОМ, які дозволяють знайти коріння з необхідною точністю.

До них належить і так званий чисельний метод дотичних. Останній був запропонований великим вченим ІсаакомНьютоном у наприкінці XVIIстоліття. У наступні століття метод неодноразово вдосконалювався.

Локалізація

Чисельні способи вирішення складних рівнянь, що не мають аналітичних рішень, прийнято здійснювати у 2 етапи. Спочатку потрібно їх локалізувати. Ця операція полягає у знаходження таких відрізків на ОХ, на яких існує один корінь рівняння, що розв'язується.

Розглянемо відрізок. Якщо g(x) на ньому не має розривів і приймає в кінцевих точках значення різних знаків, то між a і b або в них самих розташований принаймні 1 корінь рівняння g(x) = 0. Щоб він був єдиним, потрібно, щоб g(x) була монотонною. Як відомо, такою властивістю вона матиме за умови знакопостійності g'(x).

Інакше кажучи, якщо на g(x) немає розривів і монотонно зростає чи убуває, та її значення кінцевих точках мають не однакові знаки, то існує 1 і лише 1 корінь g(x).

При цьому слід знати, що цей критерій не діятиме для коренів рівнянь, що є кратними.

Рішення рівняння поділом навпіл

Перш ніж розглядати складніші чисельні дотичні і його різновиди) варто познайомитися з найбільш простим способомвиявлення коренів. Він називається дихотомією і відноситься до інтуїтивного знаходження коренів заснований на теоремі про те, що якщо для g(x), безперервної на виконується умова різнознаковості, то на аналізованому відрізку є хоча б 1 корінь g(x) = 0.

Для виявлення потрібно поділити відрізок навпіл і позначити середню точку як x 2 . Тоді можливі два варіанти: g(x 0) * g(x 2) або g(x 2) * g(x 1) рівні або менше 0. Вибираємо той, для якого правильне одне з цих нерівностей. Повторюємо процедуру, описану вище, поки довжина стане меншою від певної, заздалегідь обраної величини, що визначає точність визначення кореня рівняння на .

До переваг методу відноситься його надійність і простота, а недолік - необхідність спочатку виявити точки, в яких g(x) приймає різні знаки, Тому його не можна застосовувати для коренів, що мають парну кратність. Крім того, він не узагальнюється на випадок системи рівнянь або якщо йдеться про комплексне коріння.

Приклад 1

Нехай ми хочемо вирішити рівняння g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Щоб довго не шукати відповідний відрізок, будуємо графік, використовуючи, наприклад, відому програму "Ексель". Ми бачимо, що як відрізок для локалізації кореня краще брати значення проміжку . Ми можемо бути впевнені, що хоча б один корінь рівняння на ньому є.

g"(x) = 10x 4 + 1, тобто це монотонно зростаюча функція, тому на вибраному відрізку є тільки 1 корінь.

Підставляємо кінцеві точки рівняння. Маємо 0 та 1 відповідно. На першому кроці за рішення беремо крапку 0,5. Тоді g(0,5) = -0,4375. Отже, наступний відрізок для поділу навпіл буде. Його серединна точка – 0,75. У ній значення функції дорівнює 0,226. Беремо до розгляду відрізок та її середину, що у точці 0,625. Обчислюємо значення g(x) 0,625. Воно одно -0,11, тобто негативне. Маючи цей результат, вибираємо відрізок . Отримуємо x = 0,6875. Тоді g(x) = -0,00532. Якщо точність рішення 0,01, можемо вважати, що шуканий результат дорівнює 0,6875.

Теоретична база

Цей спосіб знаходження коренів методом дотичних Ньютона користується популярністю через його дуже швидку збіжність.

Він заснований на тому доведеному факті, що якщо x n — наближення до кореня f(x)=0, такому, що f" C 1 то наступна апроксимація буде в точці, де обнулюється рівняння дотичної до f(x), тобто.

Підставляємо x = x n+1 та обнулюємо y.

Тоді дотичних виглядає так:

Приклад 2

Спробуємо використовувати класичний метод дотичних Ньютона і знайти рішення якогось нелінійного рівняння, яке складно чи неможливо відшукати аналітично.

Нехай потрібно виявити коріння x 3 + 4x - 3 = 0 з деякою точністю, наприклад 0,001. Як відомо, графік будь-якої функції як многочлена непарної ступеня повинен хоча б раз перетинати вісь ОХ, т. е. сумніватися існування коренів годі й говорити.

Перш ніж розв'язати наш приклад методом дотичних, будуємо графік f(x) = x 3 + 4x - 3 крапково. Це дуже легко зробити, наприклад, використовуючи табличний процесор "Ексель". З отриманого графіка буде видно, що відбувається його перетин з віссю ОХ і функція y = x 3 + 4x - 3 монотонно зростає. Ми можемо бути впевнені, що на рівняння x 3 + 4x – 3 = 0 має рішення і воно єдине.

Алгоритм

Будь-яке рішення рівнянь методом дотичних починається з обчислення f"(x). Маємо:

Тоді друга похідна матиме вигляд x*6.

Використовуючи ці вирази, можемо записати формулу виявлення коренів рівняння за методом дотичних як:

Далі потрібно вибрати початкове наближення, т. е. зайнятися визначенням, яку точку вважати стартової (про. x 0) для ітераційного процесу. Розглядаємо кінці відрізка. Нам підійде той, котрому вірна умова різнознаковості функції та її другий похідної в x 0 . Як бачимо, при підстановці х 0 = 0 воно порушено, а ось х 0 = 1 цілком підходить.

то якщо нас цікавить рішення методом дотичних з точністю e, то значення x n вважатимуться задовольняючим вимогам завдання, за умови виконання нерівності|f(x n) / f'(x n)|< e.

На першому етапі дотичних маємо:

x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1-0,2857 = 0,71429;
оскільки умова не виконується, йдемо далі;
отримуємо нове значення для x 2 яке дорівнює 0,674;
помічаємо, що відношення значення функції до її похідної x 2 менше 0,0063, припиняємо процес.

Метод дотичних до Excel

Вирішити попередній приклад можна набагато легше і швидше, якщо не робити розрахунки вручну (на калькуляторі), а використовувати можливості табличного процесоравід компанії "Майкрософт".

Для цього в "Ексель" потрібно створити нову сторінкуі заповнити її осередки наступними формулами:

в C7 записуємо «= СТУПЕНЬ (B7; 3) + 4 * B7 - 3»;
в D7 вписуємо "= 4 + 3 * СТУПЕНЬ (B7; 2)";
в E7 записуємо «= (СТУПЕНЬ (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * СТУПЕНЬ (B7; 2) + 4)»;
у D7 вписуємо вираз «=В7 - Е7»;
у B8 вписуємо формулу-умову «= ЯКЩО(Е7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

У конкретній задачі вже в осередку B10 з'явиться напис «Завершення ітерацій», і за вирішення завдання потрібно буде взяти число, записане в осередку, розташованому на один рядок вище. Для нього можна виділити і окремий стовпець, що «розтягується», ввівши там формулу-умову, згідно з якою там буде записаний результат, якщо вміст у тій чи іншій комірці стовпця B набуде вигляду «Завершення ітерацій».

Реалізація у Pascal

Спробуємо отримати рішення нелінійного рівняння y = х 4 - 4 - 2 * х методом дотичних у Паскалі.

Використовуємо допоміжну функцію, яка допоможе здійснити наближене обчислення f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta. Як умову для завершення ітераційного процесу оберемо виконання нерівності | x 0 - x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Програма примітна тим, що вимагає ручного обчислення похідної.

Метод хорд

Розглянемо ще один спосіб виявлення коренів нелінійних рівнянь. Процес ітерацій полягає в тому, що як послідовні наближення до шуканого кореня для f(x)=0 приймають значення точок перетину хорди з абсцисами кінцевих точок a і b з ОХ, що позначаються, як х 1 , ..., х n . Маємо:

Для точки, де хорда перетинається з віссю ОХ, вираз запишеться, як:

Нехай друга похідна позитивна при х £ (Протилежний випадок зведеться до аналізованого, якщо записати-f(x) = 0). У такому разі графік у = f(x) - крива, опукла внизу і розташована нижче хорди AB. Можуть бути 2 випадки: коли функція має позитивне значення в точці a або вона негативне в точці b.

У першому випадку як нерухоме вибираємо кінець a, а за x 0 беремо точку b. Тоді послідовні наближення за формулою, наведеною вище, утворюють послідовність, яка монотонно зменшується.

У другому випадку нерухомим є кінець b при x0 = a. Значення х, отримані кожному етапі ітерації, утворюють послідовність, яка монотонно зростає.

Таким чином, можемо констатувати, що:

нерухомим у методі хорд є той кінець відрізка, де не збігаються знаки функції та її другий похідний;
наближення для кореня x - x m - лежать від нього в тій стороні, де у f (х) знак, що не збігається зі знаком f "" (х).

Ітерації можна продовжувати, доки не виконається умови близькості коренів на цьому та попередньому ітераційному кроці за модулем abs(x m - x m - 1)< e.

Модифікований спосіб

Комбінований метод хорд і дотичних дозволяє встановлювати коріння рівняння, наближаючись до них з різних боків. Таке значення, у якому графік f(x) перетинає OX, дозволяє уточнити рішення набагато швидше, ніж у кожному з методів окремо.

Припустимо, необхідно знайти коріння f(x)=0, якщо вони є на . Можна застосувати будь-який з описаних вище способів. Однак краще спробувати їхню комбінацію, завдяки чому значно підвищиться точність кореня.

Розглядаємо випадок з початковим наближенням, що відповідає умові різнознаковості першої та другої похідної у конкретній точці х.

У таких умовах рішення нелінійних рівнянь методом дотичних дозволяє знайти корінь з надлишком, якщо x 0 =b, а спосіб з використанням хорд при нерухомому кінці b призводить до знаходження наближеного кореня з недоліком.

Використовуються формули:

Тепер корінь х потрібно шукати в інтервалі. На наступному етапі необхідно застосувати комбінований спосіб вже до цього відрізку. Діючи так далі, отримаємо формули виду:

Якщо ж має місце різнознаковість першої та другої похідних, то, міркуючи аналогічним чином, для уточнення кореня отримаємо наступні рекурентні формули:

Як умова використовується оцінна нерівність | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Якщо вищенаведена нерівність правильна, то як корінь нелінійного рівняння на заданому відрізку беруть точку, яка знаходиться посередині між знайденими рішеннями на конкретному ітераційному кроці.

Комбінований метод легко реалізується серед TURBO PASCAL. За великого бажання можна спробувати здійснити всі обчислення табличним методом у програмі "Ексель".

В останньому випадку виділяють по кілька стовпців для вирішення задачі з використанням хорд та окремо для способу, запропонованого Ісааком Ньютоном.

При цьому кожен рядок використовується для запису обчислень на конкретному етапі ітерації за двома методами. Потім, у лівій частині області рішення, на активній робочій сторінці виділяється стовпець, в якому вписується результат обчислень модуля різниці значень чергового ітераційного кроку по кожному з методів. Ще один можна використовувати для внесення результатів обчислень за формулою розрахунку логічної конструкції «ЯКЩО», яка використовується для з'ясування, чи виконується умова чи ні.

Тепер ви знаєте, як розв'язувати складні рівняння. Метод дотичних, як ви вже бачили, реалізується досить просто як у Паскалі, так і в "Екселі". Тому ви завжди зможете встановити коріння рівняння, яке складно чи неможливо вирішити за допомогою формул.

На відміну від методу хорд, у методі дотичних замість хорди на кожному кроці проводиться дотична до кривої. y=F(x)при x=x nі шукається точка перетину дотичної з віссю абсцис:

Формула для (n+1) наближення має вигляд:

Якщо F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, в іншому випадку x 0 =b.

Ітераційний процес триває доти, доки не буде виявлено, що:

Приклад:

Нехай дане завдання наступного характеру:Уточнити коріння рівняння cos(2x)+x-5=0методом дотичних із точністю до 0,00001.

Спочатку необхідно визначитися з тим, чому одно x0: або a або b. Для цього необхідно виконати такі дії:

Знайти похідну першого порядку від функції f(x)=cos(2x)+x-5. Вона буде виглядати так: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Знайти похідну другого порядку від функції f(x)=cos(2x)+x-5. Вона буде виглядати так: f2(x)=-4cos(2x).

У результаті виходить таке:

Оскільки x0=b, необхідно виконати такі действия:

Заповнити осередки наступним чином (звернути увагу на назви та номери стовпців під час заповнення - вони повинні бути такими ж, як на малюнку):

У комірку A6 ввести формулу = D5.

Виділити діапазон осередків B5:E5 та методом протягування заповнити діапазон осередків B6:E6.

Виділити діапазон осередків A6:E5 та методом протягування заповнити діапазон нижчерозташованих осередків до отримання в одній із осередків стовпця E результату (діапазон осередків A6:E9).

У результаті отримуємо таке:

4. Комбінований метод хорд та дотичних

Для того щоб досягти найточнішої похибки, потрібно одночасно використовувати методи хорд та дотичних. "За формулою хорд знаходять x n+1, а за формулою дотичних - z n+1. Процес знаходження наближеного кореня припиняється, як тільки:

Як наближений корінь беруть значення, що дорівнює (11) :"[2 ]

Нехай потрібно уточнити коріння рівняння cos(2x)+x-5=0 комбінованим методом із точністю до 0,00001.

Для вирішення такого завдання, використовуючи Excel, необхідно виконати такі дії:

Так як у комбінованому методі необхідно використовувати одну з формул хорд і формулу дотичних, то для спрощення слід запровадити такі позначення:

Для формул хорд позначити:

Змінна c відіграватиме роль a або b залежно від ситуації.

Інші позначення аналогічні наведеним у формулах хорд, лише з огляду на вище введені змінні.

Для формули дотичних позначити:

Інші позначення аналогічні наведеним у формулі дотичних, лише з огляду на вище введені змінні.

Знайти похідну першого порядку від функції f(x)=cos(2x)+x-5. Вона буде виглядати так: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Знайти похідну другого порядку від функції f(x)=cos(2x)+x-5. Вона буде виглядати так: f2(x)=-4cos(2x).

У результаті виходить таке:

У комірку G1 ввести e, а G2 ввести число 0,00001.

У комірку H1 ввести c, а H2 ввести число 6, так як c = b (див. комірку F2).

У комірку I1 ввести f(c), а I2 ввести формулу =COS(2*H2)+H2-5.

Заповнити осередки послідовно наступним чином (звернути увагу на назви та номери стовпців під час заповнення - вони повинні бути такими ж, як на малюнку):

У комірку A6 ввести формулу = E5.

У комірку F6 ввести формулу = I5.

Виділити діапазон осередків B5:E5 та маркером автозаповнення заповнити діапазон осередків B6:E6.

Виділити діапазон осередків G5:K5 та маркером автозаповнення заповнити діапазон осередків G6:K6.

Виділити діапазон осередків A6:K6 і методом протягування заповнити всі нижче осередки до отримання відповіді в одному з осередків стовпця K (діапазон осередків A6:K9).

У результаті отримуємо таке:

Відповідь: Корінь рівняння cos (2x) + x-5 = 0 дорівнює 5,32976.

Дано рівняння F(x)=0. Це - загальний вигляднелінійного рівняння з одним невідомим. Як правило, алгоритм знаходження кореня складається з двох етапів:

1. Знаходження наближеного значення кореня або відрізка на осі абсцис, що його містить.

2. Уточнення наближеного значення кореня до певної точності.

На першому етапі застосовується кроковий метод відділення коріння, на другому - один із методів уточнення (метод половинного поділу, метод Ньютона, метод Хорд або метод простої ітерації).

Кроковий метод

Як приклад розглянемо рівняння x 2 - 11x + 30 = 0. Інтервал пошуку , крок h = 0,3. Вирішимо його, використовуючи спеціальні можливостіпакет Excel. Послідовність дій (див. рис. 1):

1. Оформити заголовок у рядку 1 « Чисельні методирозв'язання нелінійних рівнянь».

2. Оформити заголовок у рядку 3 «Кроковий метод».

3. У комірки A6 і C6 і B6 записати дані із завдання.

4. У комірки B9 і C9 записати заголовки рядів - відповідно x і F(x).

5. У комірки B10 та B11 ввести перші два значення аргументу - 3 та 3.3.

6. Виділити осередки B5-B6 та протягнути ряд даних до кінцевого значення (3,3), переконавшись у правильному вибудовуванні арифметичної прогресії.

7. У комірку C10 ввести формулу"=B10 * B10-11 * B10 +30".

8. Скопіювати формулу інші елементи ряду, використовуючи прийом протягування. В інтервалі C10:C18 отримано низку результатів обчислення функції F(x). Видно, що функція один раз змінює знак. Корінь рівняння розташований в інтервалі.

9. Для побудови графіка залежності F(x) використовуємо Вставка - Діаграма (тип «Точкова», маркери з'єднуються гладкими кривими).

Метод розподілу відрізка навпіл

Як приклад розглянемо рівняння x 2 - 11x + 30 = 0. Інтервал пошуку з точністю ε=0.01. Вирішимо його, використовуючи спеціальні можливості пакета Excel.

1. Ввести в комірку B21 заголовок «Метод поділу відрізків навпіл».

2. Ввести в комірку A23, C23, E23 дані завдання.

3. В області B25:H25 оформити заголовок таблиці (ряд B - ліва межа відрізка «a», ряд C - середина відрізка «x», ряд D - права межа відрізка «b», ряд E - значення функції на лівій межі відрізка «F( a)», ряд F – значення функції на середині відрізка «F(x)», ряд G – добуток «F(a)*F(x)», ряд H – перевірка досягнення точності «ê F(x)ê<е».

4. Ввести початкові значення кінців відрізка: в комірку B26 «4.8», комірку D26 «5.1».

5. Ввести у комірку C26 формулу «=(B26+D26)/2».

6. Ввести в комірку E26 формулу"=B26 * B26-11 * B26 +30".

7. Ввести в комірку F26 формулу"=C26 * C26-11 * C26 +30".

8. Ввести в комірку G26 формулу = E26 * F26.

9. Ввести в комірку H26 формулу «ЯКЩО(ABS(F26)<0.01; ² корінь² )».

1 0. Виділити область B21:H21 та протягнути її по вертикалі аж до появи у ряді H повідомлення «корінь» (осередок H29, H30).

Метод дотичних (Ньютона)

1. Ввести в комірку J23 заголовок «Метод дотичної (Ньютона)».

2. Ввести в комірку L23 текст "е=", а в комірку M23 значення точності "0.00001".

3. В області K25:N25 оформити заголовок таблиці (ряд K - значення аргументу x, ряд L - значення функції F (x), ряд M - похідна функції F¢ (x)», ряд N - перевірка досягнення точності « F (x)<е».

4. У комірку K26 ввести початкове значення аргументу"-2".

5. Ввести в комірку L26 формулу "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5".

6. Ввести в комірку M26 формулу "=3*K26*K26+4*K26+3".

7. Ввести в комірку N26 формулу «ЯКЩО(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Ввести в комірку K27 формулу"=K26-L26/M26".

9. Виділити область L27:N27 і протягнути її по вертикалі аж до появи ряду N повідомлення «корінь» (осередок N30).

Метод хорд

Як приклад розглянемо рівняння x3+2x2+3x+5=0. Точність ε=0.01. Вирішимо його, використовуючи спеціальні можливості пакета Excel.

1. Ввести в комірку B32 заголовок «Метод хорд».

2. Ввести в комірку C34 текст "е=", а в комірку E34 значення точності "0.00001".

3. В області B36:D36 оформити заголовок таблиці (ряд B – значення аргументу «x», ряд C – значення функції «F(x)», ряд D – перевірка досягнення точності «ê F(x)ê<е».

4. У комірку B37 та B38 ввести початкове значення аргументу«-2» в. «-1»

5. Ввести в комірку С37 формулу "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5".

6. Ввести в комірку D37 формулу«=ЯКЩО(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Ввести в комірку B39 формулу"=B38-C38 * (B38-B37) / (C38-C37)".

8. Виділити область C39:D39 і протягнути її по вертикалі аж до появи ряду D повідомлення «корінь» (комірка D43).

Метод простої ітерації

Як приклад розглянемо рівняння x 2 - 11x + 30 = 0. Інтервал пошуку з точністю e = 0,05.

1. Ввести в комірку K32 заголовок «Метод простої ітерації»

2. Ввести в комірку N34 текст "е=", а в комірку O34 значення точності "0,05".

3. Вибрати функцію j (x), яка задовольняє умову збіжності. У нашому випадку такою функцією є функція S(x)=(x*x+30)/11.

4. В області K38:N38 оформити заголовок таблиці (ряд K – значення аргументу «x», ряд L – значення функції «F(x)», ряд M – значення допоміжної функції «S(x)», ряд N – перевірка досягнення точності «ê F(x)ê<е».

5. У комірку K39 ввести початкове значення аргументу "4.8".

6. Ввести в комірку L39 формулу"=K39 * K39-11 * K39 +30".

7. Ввести у комірку M39 формулу «=(K39*K39+30)/11».

8. Ввести в комірку N39 формулу «ЯКЩО(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Ввести в комірку K40 формулу = M39.

1 0. Скопіювати комірки L39:N39 у комірки L40:N40.

1 1 . Виділити область L40:N40 і протягнути її по вертикалі аж до появи ряду N повідомлення «корінь» (осередок N53).

Рис.1 Розв'язання нелінійних рівнянь у середовищі Excel