Представлені властивості та графіки статечних функцій при різних значеннях показника ступеня. Основні формули, області визначення та безлічі значень, парність, монотонність, зростання та спадання, екстремуми, опуклість, перегини, точки перетину з осями координат, межі, приватні значення.

Формули зі статечною функцією

На області визначення статечної функції y = x p мають місце такі формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Властивості статечних функцій та їх графіки

Ступінна функція з показником рівним нулю, p = 0

Якщо показник статечної функції y = x p дорівнює нулю, p = 0, то статечна функція визначена для всіх x ≠ 0 і є постійною рівною одиниці:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Ступінна функція з натуральним непарним показником, p = n = 1, 3, 5, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з натуральним непарним показником ступеня n = 1, 3, 5, .... Такий показник також можна записати у вигляді: n = 2k + 1 де k = 0, 1, 2, 3, ... - ціле не негативне. Нижче наведено властивості та графіки таких функцій.

Графік статечної функції y = x n з натуральним непарним показником за різних значень показника ступеня n = 1, 3, 5, ... .

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: -∞ < y < ∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
при 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки перегинів: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
при x = -1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = 1 , функція є зворотною до самої себе: x = y
при n ≠ 1 зворотною функцією є корінь ступеня n :

Ступінна функція з натуральним парним показником, p = n = 2, 4, 6, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з натуральним парним показником ступеня n = 2, 4, 6, .... Такий показник можна записати у вигляді: n = 2k , де k = 1, 2, 3, ... - натуральне. Властивості та графіки таких функцій наведені нижче.

Графік статечної функції y = x n з натуральним парним показником за різних значень показника ступеня n = 2, 4, 6, ... .

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: 0 ≤ y< ∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x ≤ 0 монотонно зменшується
при x ≥ 0 монотонно зростає
Екстремуми:мінімум, x = 0, y = 0
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = 2 квадратний корінь:
при n ≠ 2, корінь ступеня n:

Ступінна функція з цілим негативним показником, p = n = -1, -2, -3, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з цілим негативним показником ступеня n = -1, -2, -3, .... Якщо покласти n = -k де k = 1, 2, 3, ... - натуральне, то її можна представити у вигляді:

Графік статечної функції y = x n з цілим негативним показником за різних значень показника ступеня n = -1, -2, -3, ... .

Непарний показник, n = -1, -3, -5, ...

Нижче представлені властивості функції y = x n з непарним негативним показником n = -1, -3, -5, ....

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y ≠ 0
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вверх
при x > 0: опукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = -1
при n< -2 ,

Чітний показник, n = -2, -4, -6, ...

Нижче представлені властивості функції y = x n з парним негативним показником n = -2, -4, -6, ....

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y > 0
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно возрастает
при x > 0: монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак: y > 0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = -2
при n< -2 ,

Ступенева функція з раціональним (дрібним) показником

Розглянемо статечну функцію y = x p з раціональним (дрібним) показником ступеня, де n – ціле, m > 1 – натуральне. Причому n, m немає спільних дільників.

Знаменник дробового показника – непарний

Нехай знаменник дрібного показника ступеня непарний: m = 3, 5, 7, ... . У цьому випадку статечна функція x p визначена як для позитивних, так і для негативних значень аргументу x . Розглянемо властивості таких статечних функцій, коли p знаходиться в певних межах.

Показник p негативний, p< 0

Нехай раціональний показник ступеня (з непарним знаменником m = 3, 5, 7, ...) менше за нуль: .

Графіки статечних функцій з раціональним негативним показником при різних значеннях показника ступеня, де m = 3, 5, 7, ... - непарне.

Непарний чисельник, n = -1, -3, -5, ...

Наводимо властивості статечної функції y = x p з раціональним негативним показником , де n = -1, -3, -5, ... - непарне негативне ціле, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y ≠ 0
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вверх
при x > 0: опукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = -2, -4, -6, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним негативним показником , де n = -2, -4, -6, ... - парне негативне ціле, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y > 0
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно возрастает
при x > 0: монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак: y > 0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:

Показник p позитивний, менше одиниці, 0< p < 1

Графік статечної функції з раціональним показником (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Непарний чисельник, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область визначення: -∞ < x < +∞
Безліч значень: -∞ < y < +∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вниз
при x > 0: опукла вгору
Точки перегинів: x = 0, y = 0
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = 2, 4, 6, ...

Представлені властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, що знаходиться в межах 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область визначення: -∞ < x < +∞
Безліч значень: 0 ≤ y< +∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно убывает
при x > 0: монотонно зростає
Екстремуми:мінімум при x = 0, y = 0
Випуклість:опукла вгору при x ≠ 0
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Знак:при x ≠ 0, y > 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Показник p більше одиниці, p > 1

Графік статечної функції з раціональним показником (p > 1) при різних значеннях показника ступеня, де m = 3, 5, 7, ... - непарне.

Непарний чисельник, n = 5, 7, 9, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, більшим за одиницю: . Де n = 5, 7, 9, ... - непарне натуральне, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: -∞ < y < ∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
при 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки перегинів: x = 0, y = 0
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = 4, 6, 8, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, більшим за одиницю: . Де n = 4, 6, 8, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7… – непарне натуральне.

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: 0 ≤ y< ∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 монотонно убывает
при x>0 монотонно зростає
Екстремуми:мінімум при x = 0, y = 0
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Знаменник дробового показника – парний

Нехай знаменник дробового показника ступеня парний: m = 2, 4, 6, .... У цьому випадку статечна функція x p не визначена для негативних значень аргументу. Її властивості збігаються з властивостями статечної функції з ірраціональним показником (див. наступний розділ).

Ступенева функція з ірраціональним показником

Розглянемо статечну функцію y = x p з ірраціональним показником ступеня p. Властивості таких функцій відрізняються від розглянутих тим, що вони не визначені для негативних значень аргументу x . Для позитивних значень аргументу властивості залежать тільки від величини показника ступеня p і не залежать від того, чи є р цілим, раціональним або ірраціональним.

y = x p при різних значеннях показника p.

Ступінна функція з негативним показником p< 0

Область визначення: x > 0
Безліч значень: y > 0
Монотонність:монотонно зменшується
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Межі: ;
Приватне значення:За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ступенева функція з позитивним показником p > 0

Показник менше одиниці 0< p < 1

Область визначення: x ≥ 0
Безліч значень: y ≥ 0
Монотонність:монотонно зростає
Випуклість:випукла вгору
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
Приватні значення:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показник більший за одиницю p > 1

Область визначення: x ≥ 0
Безліч значень: y ≥ 0
Монотонність:монотонно зростає
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
Приватні значення:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Розділ містить довідковий матеріал за основними елементарними функціями та їх властивостями. Наводиться класифікація елементарних функцій. Нижче дано посилання підрозділи, у яких розглядаються властивості конкретних функцій - графіки, формули, похідні, первісні (інтеграли), розкладання до лав, висловлювання через комплексні змінні.

Сторінки з довідковим матеріалом щодо елементарних функцій

Класифікація елементарних функцій

Алгебраїчна функція- це функція, яка задовольняє рівняння:
,
де - многочлен від залежної змінної y незалежної змінної x . Його можна записати у вигляді:
,
де – багаточлени.

Алгебраїчні функції поділяються на багаточлени (цілі раціональні функції), раціональні функції та ірраціональні функції.

Ціла раціональна функція, яка також називається багаточленомабо поліномом, Виходить зі змінної x і кінцевого числа чисел за допомогою арифметичних дій складання (віднімання) і множення. Після розкриття дужок багаточлен наводиться до канонічного вигляду:
.

Дробно-раціональна функція, або просто раціональна функція, Виходить зі змінної x і кінцевого числа чисел за допомогою арифметичних дій складання (віднімання), множення та поділу. Раціональну функцію можна привести до вигляду
,
де і – багаточлени.

Ірраціональна функція- це алгебраїчна функція, яка не є раціональною. Як правило, під ірраціональною функцією розуміють коріння та їх композиції з раціональними функціями. Корінь ступеня n визначається як рішення рівняння
.
Він позначається так:
.

Трансцендентними функціяминазиваються неалгебраїчні функції. Це показові, тригонометричні, гіперболічні та зворотні до них функції.

Огляд основних функцій

Усі елементарні функції можна як кінцевого числа операцій складання, віднімання, множення і поділу, вироблених над виразом виду:
z t.
Зворотні функції можуть також виражатися через логарифми. Нижче наведено основні елементарні функції.

Ступінна функція:
y(x) = x p ,
де p – показник ступеня. Вона залежить від підстави ступеня x.
Зворотною до статечної функції є статечна функція:
.
При цілому невід'ємне значення показника p вона є многочленом. При цілому значенні p – раціональною функцією. При раціональному значенні – ірраціональною функцією.

Трансцендентні функції

Показова функція:
y(x) = a x ,
де a - основа ступеня. Вона залежить від показника ступеня x.
Зворотна функція - логарифм на основі a :
x = log a y.

Експонента, е в ступені х:
y(x) = e x ,
Це показова функція, похідна якої дорівнює самій функції:
.
Підставою ступеня експоненти є число e:
≈ 2,718281828459045... .
Зворотна функція - натуральний логарифм - логарифм на основі числа e:
x = ln y ≡ log e y.

Тригонометричні функції:
Синус:;
Косинус:;
Тангенс:;
Котангенс:;
Тут i - уявна одиниця, i 2 = -1.

Зворотні тригонометричні функції:
Арксінус: x = arcsin y, ;
Арккосинус: x = arccos y, ;
Арктангенс: x = arctg y, ;
Арккотангенс: x = arcctg y, .

Для розуміючи цієї теми, розглянемо функцію, зображену на графіці // Покажемо, як графік функції дозволяє визначити її властивості.

Розбираємо властивості функції на прикладі

Областю визначення функції явл. проміжок [3,5; 5,5].

Областю значень функції явл. проміжок [1; 3].

1. При x = -3, x = - 1, x = 1,5, х = 4,5 значення функції дорівнює нулю.

Значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції.

//Тобто. для цієї функції числа -3; -1; 1,5; 4,5 є нулями.

2. На проміжках [4,5; 3) і (1; 1,5) і (4,5;5,5] графік функції f розташований над віссю абсцис, а на проміжках (-3; -1) та (1,5; 4,5) під віссю абсцис, це пояснюється так -на проміжках [ 4,5; 3) та (1; 1,5) і (4,5;5,5] функція набуває позитивних значень, а на проміжках (-3; -1) і ( 1,5;4,5) негативні.

Кожен із зазначених проміжків (там де функція набуває значення одного й того ж знака) називають проміжком знаковості функції f.//тобто. наприклад, якщо взяти проміжок (0; 3), то він не є проміжком знакості цієї функції.

У математиці прийнято під час пошуку проміжків знаковості функції вказувати проміжки максимальної довжини. //Тобто. проміжок (2; 3) є проміжком знакостійностіфункції f, але у відповідь слід увімкнути проміжок [4,5; 3), що містить проміжок (2; 3).

3. Якщо переміщатися по осі абсцис від 4,5 до 2, можна помітити, що графік функції йде вниз, тобто значення функції зменшуються. //У математиці прийнято говорити, що у проміжку [ 4,5; 2] функція зменшується.

Зі збільшенням x від 2 до 0 графік функції йде нагору, тобто. Значення функції збільшуються. //У математиці прийнято говорити, що у проміжку [ 2; 0] функція зростає.

Функцію f називають , якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2 з цього проміжку таких, що x2 > x1, виконується нерівність f(x2) > f(x1). // або функцію називають зростаючою на деякому проміжкуякщо для будь-яких значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.//Тобто. що більше х, то більше в.

Функцію f називають спадаючою на деякому проміжкуякщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2 з цього проміжку таких, що x2 > x1, виконується нерівність f(x2)зменшується на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. //Тобто. що більше х, то менше у.

Якщо функція зростає по всій області визначення, її називають зростаючою.

Якщо функція зменшується по всій області визначення, її називають спадаючою.

приклад 1.графік зростаючої та спадної функцій відповідно.

приклад 2.

Визначити явл. чи лінійна функція f(x) = 3x + 5 зростаючою чи спадною?

Доведення. Відтворюємося визначеннями. Нехай х1 та x2 довільні значення аргументу, причому x1< x2., например х1=1, х2=7

Функції та їх властивості

Функція – одне з найважливіших математичних понять.функцією називають таку залежність змінної у від змінної х, за якої кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у.

Змінну хназивають незалежної змінної або аргументом.Змінну уназивають залежною змінною. Говорять також, щозмінна у є функцією від змінної х. Значення залежної змінної називаютьзначеннями функції.

Якщо залежність змінноїу від змінноїх є функцією, то коротко це записують так:y= f( x ). (Читають:у одноf відх .) Символомf( x) позначають значення функції, що відповідає значенню аргументу, що дорівнюєх .

Усі значення незалежної змінної утворюютьобласть визначення функції . Усі значення, які набуває залежна змінна, утворюютьобласть значень функції .

Якщо функція задана формулою та її область визначення не зазначена, то вважають, що область визначення функції складається з усіх значень аргументу, у яких формула має сенс.

Способи завдання функції:

1.аналітичний метод (функція задається з допомогою математичної формули;

2. табличний спосіб (функція задається за допомогою таблиці)

3.описовий спосіб (функція задається словесним описом)

4. графічний метод (функція задається з допомогою графіка).

Графіком функції називають безліч всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції.

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ

1. Нулі функції

Нуль функції - таке значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.

2. Проміжки знаковості функції

Проміжки знакостійності функції – такі безлічі значень аргументу, у яких значення функції лише позитивні чи лише негативні.

3. Зростання (зменшення) функції.

Зростаюча в деякому проміжку функція - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Функція у = f ( x ) називається зростаючою на інтервалі (А; b ), якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цього інтервалу таких, щоx 1 < x 2 , справедлива нерівністьf ( x 1 )< f ( x 2 ).

Знижена в деякому проміжку функція - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

Функція у = f ( x ) називається спадаючоюна інтервалі (А; b ) , якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цього інтервалу таких, що x 1 < x 2 , справедлива нерівністьf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Парність (непарність) функції

Парна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якогох в галузі визначення виконується рівністьf (- x ) = f ( x ) . Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Наприклад, у = х 2 - парна функція.

Непарна функція- функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f (- x ) = - f (x ). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Наприклад: у = х 3 - непарна функція .

Функція загального вигляду не є парною або непарною (у = х 2 +х ).

Властивості деяких функцій та їх графіки

1. Лінійною функцією називається функція виду , де k і b - Числа.

Область визначення лінійної функції – безлічR дійсних чисел.

Графік лінійної функціїу = kx + b ( k ≠ 0) є пряма через точку (0;b ) і паралельна прямийу = kx .

Пряма, не паралельна осіОу, є графіком лінійної функції.

Властивості лінійної функції.

1. При k > 0 функція у = kx + b

2. При k < 0 функція у = kx + b спадна в області визначення.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) є вся числова пряма, тобто. безлічR дійсних чисел.

При k = 0 безліч значень функціїу = kx + b складається з одного числаb .

3. При b = 0 і k = 0 функція не є ні парною, ні непарною.

При k = 0 лінійна функція має вигляду = b і при b ≠ 0 вона є парною.

При k = 0 і b = 0 лінійна функція має вигляду = 0 і виявляєте одночасно парною та непарною.

Графік лінійної функціїу = b є пряма, яка проходить через точку (0; b ) та паралельна осіОх.Зауважимо, що при b = 0 графік функціїу = b збігаєтеся віссю Ох .

5. При k > 0 маємо, що у> 0, якщо і у< 0, якщо . При k < 0 маємо, що у > 0, якщоі у< 0, если .

2. Функція y = x 2

Rдійсних чисел.

Надаючи змінноїх кілька значень з області визначення функції та обчислюючи відповідні значенняуза формулою y = x 2 , Зображаємо графік функції.

Графік функції y = x 2 називається параболою.

Властивості функції у = х 2 .

1. Якщо х= 0, то у = 0, тобто. парабола має з осями координат загальну точку (0; 0) – початок координат.

2. Якщо х ≠ 0 , то у > 0, тобто. всі точки параболи, крім початку координат, лежать над віссю абсцис.

3. Безліч значень функціїу = х 2 є проміжок функціяу = х 2 зменшується.

х

3.Фунуція

Область визначення цієї функції - проміжок функціїy = | x | зменшується.

7. Найменше значення функція набуває в точціх,воно одно 0. Найбільшого значення немає.

6. Функція

Область визначення функції: .

Область значень функції: .

Графік – гіпербола.

1. Нулі функції.

у ≠ 0, нулів немає.

2. Проміжки знакостійності,

Якщо k > 0, то у> 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Якщо k < 0, то у < 0 при х > 0; у> 0 при х < 0.

3. Проміжки зростання та спадання.

Якщо k > 0, то функція зменшується при .

Якщо k < 0, то функция возрастает при .

4. Парність (непарність) функції.

Функція непарна.

Квадратний тричлен

Рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де a , bі з - Деякі числа, причомуа≠ 0, називається квадратним.

У квадратному рівнянніax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт аназивається першим коефіцієнтом, b - другим коефіцієнтам, з - вільним членом.

Формула коренів квадратного рівняння має вигляд:

.

Вираз називається дискримінантом квадратного рівняння і позначається черезD .

Якщо D = 0, то існує лише одне число, що задовольняє рівняння ax 2 + bx + c = 0. Однак домовилися говорити, що в цьому випадку квадратне рівняння має два рівні дійсні корені, а саме число називають дворазовим коренем.

Якщо D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Якщо D > 0, то квадратне рівняння має два різних дійсних кореня.

Нехай дано квадратне рівнянняax 2 + bx + c = 0. Так як а≠ 0, то, розділивши обидві частини даного рівняння наа, отримаємо рівняння . Вважаючи і , приходимо до рівняння , в якому перший коефіцієнт дорівнює 1. Таке рівняння називаєтьсянаведеним.

Формула коренів наведеного квадратного рівняння має вигляд:

.

Рівняння виду

а x 2 + bx = 0, ax 2 + з = 0, а x 2 = 0

називаються неповними квадратними рівняннями. Неповні квадратні рівняння розв'язуються розкладанням лівої частини рівняння на множники.

Теорема Вієта .

Сума коренів квадратного рівняння дорівнює взятому з протилежним знаком відношенню другого коефіцієнта першого, а добуток коренів - відношенню вільного члена першого коефіцієнта, тобто.

Зворотна теорема.

Якщо сума якихось двох чиселх 1 і х 2 дорівнює , А їх твір одно, то ці числа є корінням квадратного рівнянняах 2 + b х + с = 0.

Функція виду ах 2 + b х + сназивається квадратним тричленом. Коріння цієї функції є корінням відповідного квадратного рівнянняах 2 + b х + с = 0.

Якщо дискримінант квадратного тричлена більший за нуль, то цей тричлен можна представити у вигляді:

ах 2 + b х + с = а (х-х 1 )(х-х 2 )

де х 1 і х 2 - коріння тричлена

Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, цей тричлен можна у вигляді:

ах 2 + b х + с = а (х-х 1 ) 2

де х 1 - Корінь тричлена.

Наприклад, 3х 2 - 12х + 12 = 3 (х - 2) 2 .

Рівняння виду ах 4 + b х 2 + з= 0 називається біквадратним. За допомогою заміни змінної за формулоюх 2 = y воно наводиться до квадратного рівнянняа y 2 + by + с = 0.

Квадратична функція

Квадратичною функцією називається функція, яку можна записати формулою видуy = ax 2 + bx + c , де x - незалежна змінна,a , b і c - Деякі числа, причомуa ≠ 0.

Властивості функції та вид її графіка визначаються в основному значеннями коефіцієнтаa та дискримінанта.

Властивості квадратичної функції

Область визначення:R;

Область значень:

при а > 0 [- D/(4 a); ∞)

при а < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Парність, непарність:

при b = 0 функція парна

при b ≠ 0 функція не є ні парною, ні непарною

при D> 0 два нулі: ,

при D= 0 один нуль:

при D < 0 нулей нет

Проміжки знакостійності:

якщо, а > 0, D> 0, то

якщо, а > 0, D= 0, то

eякщо а > 0, D < 0, то

якщо а< 0, D> 0, то

якщо а< 0, D= 0, то

якщо а< 0, D < 0, то

- Проміжки монотонності

при а > 0

при а< 0

Графіком квадратичної функції єпарабола - крива, симетрична щодо прямої , що проходить через вершину параболи (вершиною параболи називається точка перетину параболи з віссю симетрії).

Щоб побудувати графік квадратичної функції, потрібно:

1) знайти координати вершини параболи та відзначити її в координатній площині;

2) побудувати ще кілька точок, що належать параболі;

3) з'єднати зазначені точки плавною лінією.

Координати вершини параболи визначаються за формулами:

; .

Перетворення графіків функції

1. Розтягування графікау = х 2 вздовж осіу в|а| раз (при|а| < 1 - це стиск в 1/|а| разів).

Якщо, а< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х (Гілки параболи будуть спрямовані вниз).

Результат: графік функціїу = ах 2 .

2. Паралельне перенесення графіка функціїу = ах 2 вздовж осіх на| m | (вправо при

m > 0 і вліво прит< 0).

Результат: графік функціїу = а(х - т) 2 .

3. Паралельне перенесення графіка функції вздовж осіу на| n | (вгору прип > 0 і вниз прип< 0).

Результат: графік функціїу = а(х - т) 2 + п.

Квадратичні нерівності

Нерівності видуах 2 + b х + с > 0 таах 2 + bх + с< 0, дех - змінна,a , b із - Деякі числа, причому,а≠ 0 називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Рішення нерівності другого ступеня з однією змінною можна розглядати як знаходження проміжків, у яких відповідна квадратична функція набуває позитивних або негативних значень.

Для вирішення нерівностей видуах 2 + bх + с > 0 таах 2 + bх + с< 0 надходять таким чином:

1) знаходять дискримінант квадратного тричлена та з'ясовують, чи має тричлен коріння;

2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осіх і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору приа > 0 або вниз приа< 0; якщо тричлен не має коріння, то схематично зображують параболу, розташовану у верхній напівплощині приа > 0 або в нижній приа < 0;

3) знаходять на осіх проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осіх (якщо вирішують нерівністьах 2 + bх + с > 0) або нижче осіх (якщо вирішують нерівністьах 2 + bх + с < 0).

Приклад:

Вирішимо нерівність .

Розглянемо функцію

Її графіком є ​​парабола, гілки якої спрямовані вниз (т.к. ).

З'ясуємо, як розташований графік щодо осіх. Вирішимо для цього рівняння . Отримаємо, щох = 4. Рівняння має єдине коріння. Значить, парабола стосується осіх.

Зобразивши схематично параболу, знайдемо, що функція набуває негативних значень за будь-якогох, крім 4.

Відповідь можна записати так:х - будь-яке число, що не дорівнює 4.

Розв'язання нерівностей методом інтервалів

схема рішення

1. Знайти нулі функції, що стоїть у лівій частині нерівності.

2. Відзначити положення нулів на числовій осі та визначити їхню кратність (якщоk i парне, то нуль парної кратності, якщоk i непарне - то непарне).

3. Знайти знаки функції у проміжках між її нулями, починаючи з крайнього правого проміжку: у цьому проміжку функція у лівій частині нерівності завжди позитивна для наведеного виду нерівностей. При переході праворуч наліво через нуль функції від одного проміжку до сусіднього слід враховувати:

якщо нуль непарний кратності, знак функції змінюється,

якщо нуль парний кратність, знак функції зберігається.

4. Записати відповідь.

Приклад:

(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

Знайдено нулі функції. Вони рівні:х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.

Зазначимо на координатній прямій нулі функціїf ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).

Знайдемо знаки цієї функції у кожному з проміжків (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) та

З малюнка видно, що безліччю розв'язків нерівності є об'єднання проміжків (-∞; -6) та (-1; 4).

Відповідь: (-∞ ; -6) та (-1; 4).

Розглянутий спосіб розв'язання нерівностей називаютьметодом інтервалів.