Побудувати графік з модулем приклади. Графіки лінійної функції із модулями

Побудова графіків функцій, що містять знак модуля.

Сподіваюся, що ви уважно вивчили пункт 23 і розумієте, чим відрізняється функція виду від функції . Тепер розберемо ще кілька прикладів, які повинні вам допомогти при побудові графіків.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Маємо функцію виду, де.

1. Побудуємо спочатку графік підмодульної функції, тобто функції. Для цього виділимо цілу частину цього дробу. Нагадую, що це можна зробити двома способами: розділивши чисельник на знаменник «у стовпчик» або розписавши чисельник так, щоб у ньому з'явився вираз, кратний знаменнику. Виконаємо виділення цілої частини другим способом.

Отже, підмодульна функція має вигляд . Значить, її графіком є ​​гіпербола виду, зміщена на 1 одиницю вправо та 3 одиниці вгору.

Збудуємо цей графік.

2. Щоб отримати графік шуканої функції , необхідно частину побудованого графіка функції , що лежить вище осі Ох, залишити без змін, а частина графіка, що лежить нижче за осі Ох, відобразити симетрично у верхню півплощину. Виконаємо ці перетворення.

Графік збудований.

Абсцис точки перетину графіка з віссю Ох можна обчислити, вирішивши рівняння

y = 0, тобто. Отримуємо, що .

Тепер за графіком можна визначати всі властивості функції, знаходити найменше та найбільше значення функції на проміжку, вирішувати задачі з параметром.

Наприклад, можна відповісти на таке запитання. «При яких значеннях параметра арівняння має одне рішення?»

Проведемо прямі y =aпри різних значеннях параметра а. (Тонкі червоні прямі на наступному малюнку)

Видно, що якщо a<0 , то графік побудованої функції і пряма немає загальних точок, отже, рівняння немає жодного рішення.

Якщо 0< a<3 або a>3, то пряма y =aта побудований графік мають дві загальні точки, тобто рівняння має два рішення.

Якщо ж а = 0або а = 3, то рівняння має рівно одне рішення, тому що при цих значеннях апряма та графік функції мають рівно одну загальну точку.

приклад 2.Побудувати графік функції

Рішення

Побудуємо спочатку графік функції за невід'ємних значень х. Якщо, то й тоді наша функція набуває вигляду, а потрібна функція – це функція виду.

Графіком функції є гілка параболи «спрямована» вліво, зміщена на 4 одиниці праворуч. (Т. до. ми можемо уявити ).

Побудуємо графік цієї функції

і будемо розглядати тільки ту його частину, яка розташована правіше від осі Оy. Решта зітрьом.

Зверніть увагу, що ми вирахували значення ординати точки графіка, що лежить на осі ординат. Для цього достатньо обчислити значення функції за х = 0. У нашому випадку при х = 0отримали y = 2.

Тепер побудуємо графік функції при х< 0 . Для цього збудуємо лінію, симетричну тій, що ми вже збудували, щодо осі Оу.

Таким чином, ми побудували графік шуканої функції.

Приклад 3. Побудувати графік функції

Це завдання вже зовсім непросте. Бачимо, що тут є обидва види функцій з модулем: і , і . Будуватимемо по порядку:

Спочатку збудуємо графік функції без усіх модулів: Потім додамо модуль у кожного аргументу. Отримаємо функцію виду, тобто. Для побудови такого графіка необхідно застосувати симетрію щодо осі Оy. Додамо ще й зовнішній модуль. Отримаємо, нарешті, потрібну функцію . Т. до. ця функція отримана з попередньої застосуванням зовнішнього модуля, то маємо функцію виду , отже, необхідно застосувати симетрію щодо Ох.

Тепер докладніше.

Це дрібно-лінійна функція, для побудови графіка потрібно виділити цілу частину, ніж ми й займемося.

Значить, графіком цієї функції є гіпербола виду, зміщена на 2 вправо та 4 вниз.

Обчислимо координати точок перетину з осями координат.

y = 0 при х = 0, отже графік пройде через початок координат.

2. Тепер побудуємо графік функції.

Для цього у вихідному графіку спочатку зітремо ту його частину, яка розташовується ліворуч від осі Оy:

, а потім відобразимо її симетрично щодо осі Оy. Зверніть увагу, асимптоти також симетрично відображаються!

Тепер побудуємо остаточний графік функції: . Для цього частину попереднього графіка, що лежить вище осі Ох, залишимо без зміни, а те, що знаходиться нижче за осю Ох, симетрично відобразимо у верхню півплощину. Знову-таки не забувайте, що асимптоти відображаються разом із графіком!

Графік збудований.

Приклад 4. Застосовуючи різні перетворення графіків, побудуйте графік функції

Щось зовсім накручене і складне! Купа модулів! А квадрат ікса модуля немає!!! Це неможливо збудувати!

Так чи приблизно так може розмірковувати середньостатистичний учень 8 класу, незнайомий із технікою побудови графіків.

Але ж не ми! Тому що ми знаємо різні способи перетворення графіків функцій і ще знаємо різні властивості модуля.

Отже, почнемо по порядку.

Перша проблема – відсутність модуля у ікса у квадраті. Не біда. Знаємо, що . Добре. Отже, наша функція може бути записана у вигляді . Це вже краще, тому що схоже на .

Далі. Функція має зовнішній модуль, тому, схоже, доведеться користуватися правилами побудови графіка функції . Подивимося тоді, що являє собою підмодульний вираз. Це функція виду . Якби не -2, то функція знову містила зовнішній модуль і ми знаємо, як побудувати графік функції за допомогою симетрії. Ага! Але якщо ми його побудуємо, то, змістивши його на 2 одиниці вниз, отримаємо шукане!

Отже, щось починає вимальовуватись. Спробуємо скласти алгоритм побудови графіка.

1.

5. І наостанок, . Все те, що лежить нижче за осю Ох, відобразимо симетрично у верхню напівплощину.

Ура! Графік готовий!

Успіхів вам у нелегкій справі побудови графіків!

Транскрипт

1 Крайова науково-практична конференція навчально-дослідницьких робіт учнів 6-11 класів «Прикладні та фундаментальні питання математики» Методичні аспекти вивчення математики Побудова графіків функцій, що містять модуль Габова Анжела Юріївна, 10 клас, МОБУ «Гімназія 3» м. Кудимкар Іванівна, вчитель математики МОБУ «Гімназія 3» м. Кудимкар Перм, 2016

2 Зміст: Вступ...3 стор. I. Основна частина... 6 стор. 1.1Історична довідка.. 6 стор. 2.Основні визначення та властивості функцій стор. 2.1 Квадратична функція..7 стор. 2.2 Лінійна функція. .8 стор. 2.3 Дробно-раціональна функція 8 стор. 3. Алгоритми побудови графіків з модулем 9 стор. 3.1 Визначення модуля.. 9 стор. 3.2 Алгоритм побудови графіка лінійної функції з модулем...9 стор. у формулі «вкладені модулі». побудови графіка дробово-раціональної функції з модулем. 15стор. 4. Зміни графіка квадратичної функції залежно від знаку абсолютної величини..17стр. ІІ. Заключение...26 стор. III. Список литературы и источников...27 стор. IV. Додаток....28стор. 2

3 Введение Побудова графіків функцій - одна з найцікавіших тем у шкільній математиці. Найбільший математик нашого часу Ізраїль Мойсейович Гельфанд писав: «Процес побудови графіків є способом перетворення формул та описів на геометричні образи. Ця побудова графіків є засобом побачити формули та функції та простежити, яким чином ці функції змінюються. Наприклад, якщо написано у = x 2, ви відразу бачите параболу; якщо у = x 2-4 ви бачите параболу, опущену на чотири одиниці; якщо ж у =-(x 2 4), то ви бачите попередню параболу, перевернуту вниз. Таке вміння бачити відразу формулу, та її геометричну інтерпретацію є важливим як вивчення математики, але й інших предметів. Це вміння, яке залишається з вами на все життя, подібно до вміння їздити на велосипеді, друкувати на машинці або водити машину». Ази рішення рівнянь з модулями були отримані в 6-му 7-му класах. Я вибрала саме цю тему, бо вважаю, що вона потребує глибшого та досконалішого дослідження. Я хочу отримати ширші знання про модуль числа, різні способи побудови графіків, що містять знак абсолютної величини. Коли «стандартні» рівняння прямих, парабол, гіпербол включають знак модуля, їх графіки стають незвичайними і навіть красивими. Щоб навчитися будувати такі графіки, треба мати прийоми побудови базових постатей, і навіть твердо знати і усвідомлювати визначення модуля числа. У шкільному курсі математики графіки з модулем розглядаються недостатньо поглиблено, саме тому мені захотілося розширити свої знання на цю тему, провести власні дослідження. Не знаючи визначення модуля, неможливо побудувати навіть найпростішого графіка, що містить абсолютну величину. Характерною особливістю графіків функцій, що містять вирази зі знаком модуля, 3

4 є наявність зламів у тих точках, у яких вираз, що стоїть під знаком модуля, змінює знак. Мета роботи: розглянути побудову графіка лінійної, квадратичної та дробово-раціональної функцій, що містять змінну під знаком модуля. Завдання: 1) Вивчити літературу про властивості абсолютної величини лінійної, квадратичної та дробораціональної функцій. 2) Дослідити зміни графіків функцій залежно від знаку абсолютної величини. 3) Навчитися коштувати графіки рівнянь. Об'єкт дослідження: графіки лінійної, квадратичної та дрібно раціональних функцій. Предмет дослідження: зміни графіка лінійної, квадратичної та дробово-раціональної функцій залежно від розташування знака абсолютної величини. Практична значущість моєї роботи полягає: 1) у використанні набутих знань з даної теми, а також поглиблення їх та застосування до інших функцій та рівнянь; 2) у використанні навичок дослідницької роботи у подальшій навчальній діяльності. Актуальність: Завдання на побудову графіків традиційно – це одна з найважчих тем математики. Перед нами випускниками стоїть проблема вдало здати ДІА та ЄДІ. Проблема дослідження: побудова графіків функцій, що містять знак модуля, із другої частини ГІА. Гіпотеза дослідження: застосування розробленої на основі загальних способів побудови графіків функцій, що містять знак модуля, методики вирішення завдань другої частини ГІА дозволить учням вирішувати ці завдання.

5 на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод рішення, застосовувати різні методи вирішення та успішніше здати ГІА. Методи дослідження, використовувані у роботі: 1.Аналіз математичної літератури та ресурсів мережі Інтернет на цю тему. 2. Репродуктивне відтворення вивченого матеріалу. 3.Пізнавально-пошукова діяльність. 4.Аналіз та порівняння даних у пошуку розв'язання задач. 5. Постановка гіпотез та їх перевірка. 6.Порівняння та узагальнення математичних фактів. 7. Аналіз одержаних результатів. Під час написання цієї роботи використовувалися такі джерела: Інтернет ресурси, тести ОДЕ, математична література. 5

6 I. Основна частина 1.1 Історична довідка. У першій половині ХVII століття починає складатися уявлення про функцію як про залежність однієї змінної величини від іншої. Так, французькі математики П'єр Ферма () та Рене Декарт () уявляли собі функцію як залежність ординати точки кривої від її абсциси. А англійський учений Ісаак Ньютон () розумів функцію як координату рухомої точки, що змінюється в залежності від часу. Термін "функція" (від латинського function виконання, вчинення) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц(). У нього функція пов'язувалась з геометричним чином (графіком функції). Надалі швейцарський математик Йоганн Бернуллі() та член Петербурзької Академії наук знаменитий математик XVIII століття Леонард Ейлер() розглядали функцію як аналітичний вираз. Ейлер має і загальне розуміння функції як залежності однієї змінної величини від іншої. Слово "модуль" походить від латинського слова "modulus", що в перекладі означає "захід". Це багатозначне слово (омонім), яке має безліч значень і застосовується не тільки в математиці, а й в архітектурі, фізиці, техніці, програмуванні та інших наукових науках. В архітектурі - це вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даної архітектурної споруди та служить для вираження кратних співвідношень його складових елементів. У техніці - це термін, що застосовується в різних галузях техніки, що не має універсального значення і служить для позначення різних коефіцієнтів та величин, наприклад, модуль зачеплення, модуль пружності тощо. 6

7 Модуль об'ємного стиснення(у фізиці)-відношення нормальної напруги у матеріалі до відносного подовження. 2.Основні визначення та характеристики функцій Функція одне з найважливіших математичних понять. Функцією називають таку залежність змінної y від змінної x, за якої кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної у. Методи завдання функції: 1) аналітичний метод (функція задається за допомогою математичної формули); 2) табличний метод (функція задається з допомогою таблиці); 3) описовий спосіб (функція задається словесним описом); 4) графічний метод (функція задається з допомогою графіка). Графіком функції називають безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких рівні значення аргументу, а ординати відповідним значенням функції. 2.1 Квадратична функція Функція, яка визначається формулою у=ах 2 +вх+с, де х і у змінні, а параметри а, в і з будь-які дійсні числа, причому а = 0, називається квадратичною. Графік функції у=ах 2 +вх+з парабола; віссю симетрії параболи у=ах 2 +вх+с є пряма, при а>0 «гілки» параболи спрямовані вгору, при а<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (для функцій однієї змінної). Основна властивість лінійних функцій: збільшення функції пропорційно до збільшення аргументу. Тобто функція є узагальненням прямої пропорційності. Графіком лінійної функції є пряма лінія, з чим пов'язана її назва. Це стосується речової функції однієї речової змінної. 1) При, пряма утворює гострий кут з позитивним напрямом осі абсцис. 2) При, пряма утворює тупий кут з позитивним напрямом осі абсцис. 3) є показником ординати точки перетину прямої з віссю ординат. 4)Прі, пряма проходить через початок координат. , 2.3Дробно-раціональна функція це дріб, чисельником і знаменником якої є багаточлени. Вона має вигляд де, багаточлени від будь-якої кількості змінних. Окремим випадком є ​​раціональні функції одного змінного: де і багаточлени. 1) Будь-який вираз, який можна отримати зі змінних за допомогою чотирьох арифметичних дій, є раціональною функцією. 8

9 2) Безліч раціональних функцій замкнено щодо арифметичних дій та операції композиції. 3) Будь-яка раціональна функція може бути представлена ​​у вигляді суми найпростіших дробів - це застосовується при аналітичному інтегруванні. якщо ж негативне. а = 3.2 Алгоритм побудови графіка лінійної функції з модулем Щоб побудувати графіки функцій y= x потрібно знати, при позитивних x маємо x =x. Значить, для позитивних значень аргументу графік y = x збігається з графіком y = x, тобто ця частина графіка є променем, що виходить із початку координат під кутом 45 градусів до осі абсцис. При x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Для побудови беремо точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Тепер побудуємо графік y = x-1. якщо А точка графіка у = x з координатами (a; a), то точкою графіка y = x-1 з тим самим значенням ординати Y буде точка A1 (a + 1; a). Цю точку другого графіка можна отримати з точки А(a; a) першого графіка зсувом паралельно осі Ox вправо. Значить, і весь графік функції y = x-1 виходить з графіка функції y = x зрушенням паралельно осі Ox вправо на 1. Побудуємо графіки: y = x-1 Для побудови беремо точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі» Розглянемо алгоритм побудови конкретному прикладі Побудувати графік функції: 10

11 у = i-2-ix + 5ii 1. Будуємо графік функції. 2. Графік нижньої напівплощини відображаємо вгору симетрично щодо осі ОХ і отримуємо графік функції. 11

12 3. Графік функції відображаємо вниз симетрично щодо осі ОХ та отримуємо графік функції. 4. Графік функції відображаємо вниз симетрично щодо осі ОХ та отримуємо графік функції 5. Відображаємо графік функції щодо осі ОХ та отримуємо графік. 12

13 6. У результаті графік функції виглядає так 3.4. Алгоритм побудови графіків функцій виду y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції? Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків: Графіком функції виду y = a 1 x x 1 + a 2 x x a x x n + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому і правому нескінченних ланках. 13

14 Завдання. Побудувати графік функції y = x + x 1 + x + 1 і знайти найменше значення. Рішення: 1.Нулі підмодульних виразів: 0; -1; Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). (Нилі підмодульних виразів підставляємо в рівняння) 3Контрольна точка справа (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7), найменше значення функції дорівнює Алгоритм побудови графіка квадратичної функції з модулем Складання алгоритмів перетворення графіків функцій. 1. Побудова графіка функції y = f (x). За визначенням модуля ця функція розпадається на сукупність двох функцій. Отже, графік функції y=f(x) складається з двох графіків: y=f(x) у правій напівплощині, y=f(-x) у лівій напівплощині. Виходячи з цього можна сформулювати правило (алгоритм). Графік функції y= f(x) виходить із графіка функції y= f(x) наступним чином: при х 0 графік зберігається, а при х< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3.Щоб побудувати графік функції y=f(x), треба спочатку побудувати графік функції y=f(x) за х> 0, потім за х< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Щоб отримати цей графік, достатньо лише зрушити отриманий раніше графік на три одиниці вправо. Зауважимо, що, якби в знаменнику дробу стояло б вираз х+3, то ми зрушили б графік вліво: Тепер необхідно помножити на два всі ординати, щоб отримати графік функції Нарешті зрушуємо графік вгору на дві одиниці: Останнє, що нам залишилося зробити , це побудувати графік цієї функції, якщо вона укладена під знак модуля. Для цього відображаємо симетрично вгору всю частину графіка, ординати якої негативні (ту частину, що лежить нижче за осі х): Рис.4 16

17 4.Зміни графіка квадратичної функції залежно від розташування знака абсолютної величини. Побудуйте графік функції у = х 2 - х -3 1) Оскільки х = х при х 0, необхідний графік збігається з параболою у = 0,25 х 2 - х - 3. Якщо х<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. б) Тому добудовую для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Мал. 4 Графік функції у = f(х) збігається з графіком функції у = f(х) на множині невід'ємних значень аргументу і симетричний йому щодо осі ОУ на множині негативних значень аргументу. Доказ: Якщо х 0, то f(х) = f(х), тобто. на множині невід'ємних значень аргументу графіки функції у = f(х) і у = f(х) збігаються. Оскільки у = f (х) - парна функція, її графік симетричний щодо ОУ. Таким чином, графік функції у = f(х) можна одержати з графіка функції у = f(х) наступним чином: 1. побудувати графік функції у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Якщо х 2 - х -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 і симетрично відбитою частиною у = f(х) при у<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то f(х) = f(х), значить у цій частині графік функції у = f(х) збігається з графіком самої функції у = f(х). Якщо ж f(х)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Рис.5 Висновок: Для побудови графіка функції у = f (х) 1. Побудувати графік функції у = f (х); 2. На ділянках, де графік розташований у нижній напівплощині, тобто де f(х)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Дослідницька робота з побудови графіків функції у = f (х) Застосовуючи визначення абсолютної величини і раніше розглянуті приклади, побудуємо графіків функції: у = 2 х - 3 у = х 2-5 х у = х 2-2 і зробив висновки. Щоб побудувати графік функції у = f (х) треба: 1. Будувати графік функції у = f(х) для х>0. 2. Будувати другу частину графіка, т. е. побудований графік симетрично відбивати щодо ОУ, т.к. дана функція парна. 3. Ділянки графіка, що вийшов, розташовані в нижній напівплощині, перетворювати на верхню напівплощину симетрично осі ОХ. Побудувати графік функції у = 2 x - 3 (1-й спосіб визначення модуля) 1. Будуємо у = 2 x - 3, для 2 x - 3 > 0, x >1,5 тобто. х< -1,5 и х>1,5 а) у = 2х - 3, для х> 0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Будуємо пряму, симетричну побудованої щодо осі ОУ. 3) Ділянки графіка, розташовані в нижній напівплощині, відображаю симетрично щодо осі ОХ. Порівнюючи обидва графіки, бачимо, що вони однакові. 21

22 Приклади задач Приклад 1. Розглянемо графік функції у = х 2 6х +5. Оскільки х зводиться в квадрат, то незалежно від знака числа х після зведення в квадрат він буде позитивним. Звідси випливає, що графік функції у = х 2-6х +5 буде ідентичний графіку функції у = х 2-6х +5, тобто. графік функції, що не містить знака абсолютної величини (Рис.2). Рис.2 Приклад 2. Розглянемо графік функції у = х 2 6 х +5. Скориставшись визначенням модуля числа, замінимо формулу у = х 2 6 х +5 Тепер ми маємо справу з добре знайомим нам шматковим завданням залежності. Будувати графік будемо так: 1) побудуємо параболу у = х 2-6х +5 і обведемо ту її частину, яка 22

23 відповідає невід'ємним значенням x, тобто. частину, розташовану правіше осі Оу. 2) у тій самій координатній площині побудуємо параболу у = х 2 +6х +5 і обведемо ту її частину, що відповідає негативним значенням х, тобто. частину, розташовану ліворуч від осі Оу. Обведені частини параболу разом утворюють графік функції у = х 2-6 ​​х +5 (Рис.3). Рис.3 Приклад 3. Розглянемо графік функції у = х 2-6 ​​х +5. Т.к. графік рівняння у = х 2 6х +5 такий самий, як і графік функції без знака модуля (розглянуто в прикладі 2) слід, що графік функції у = х 2 6 х +5 ідентичний графіку функції у = х 2 6 х +5 , Розглянутому в прикладі 2 (Рис.3). Приклад 4. Побудуємо графік функції у = х 2 6х +5. Для цього збудуємо графік функції у = х 2-6х. Щоб отримати з неї графік функції у = х 2-6х, потрібно кожну точку параболи з негативною ординатою замінити крапкою з тією самою абсцисою, але з протилежною (позитивною) ординатою. Іншими словами, частину параболи, розташовану нижче за осі х, потрібно замінити лінією їй симетричною щодо осі х. Т.к. нам потрібно побудувати графік функції у = х 2-6х +5, то графік розглянутої нами функції у = х 2-6х потрібно просто підняти по осі у на 5 одиниць нагору (Рис.4). 23

24 Рис.4 Приклад 5. Побудуємо графік функції у = х 2-6х +5. Для цього скористаємося добре нам відомою шматковою функцією. Знайдемо нулі функції у = 6х +5 6х + 5 = 0 при. Розглянемо два випадки: 1) Якщо, то рівняння набуде вигляду = х 2 6х -5. Побудуємо цю параболу та обведемо ту її частину, де. 2) Якщо, то рівняння набуває вигляду = х 2 + 6х +5. Стоїмо цю параболу і обведемо ту її частину, яка розташована лівіше від точки з координатами (Рис.5). 24

25 Рис.5 Приклад6. Побудуємо графік функції у = х 2 6 х +5. І тому ми побудуємо графік функції у =х 2-6 ​​x +5. Побудову цього графіка ми проводили в прикладі 3. Оскільки наша функція повністю знаходиться під знаком модуля, то для того, щоб побудувати графік функції у = х 2 6 х +5, потрібно кожну точку графіка функції у = х 2 6 х + 5 з негативною ординатою замінити точкою з тією самою абсцисою, але з протилежною (позитивною) ординатою, тобто. частину параболи, розташовану нижче за осю Ох, потрібно замінити лінією їй симетричною щодо осі Ох (Рис.6). Рис.6 25

26 II.Висновок «Математичні відомості можуть застосовуватися вміло і з користю тільки в тому випадку, якщо вони засвоєні творчо, так що учень бачить сам, як можна було б прийти до них самостійно». О.М. Колмогори. Дані завдання становлять великий інтерес учнів дев'ятих класів, оскільки дуже часто зустрічаються у тестах ОГЭ. Вміння будувати дані графіки функцій дозволить успішніше скласти іспит. французькі математики П'єр Ферма () та Рене Декарт () уявляли собі функцію як залежність ординати точки кривої від її абсциси. А англійський учений Ісаак Ньютон () розумів функцію як координату рухомої точки, що змінюється в залежності від часу. 26

27 III. Список літератури та джерел 1. Галицький М. Л., Гольдман А. М., Звавіч Л. І. Збірник завдань з алгебредля 8 9 класів: Навч. посібник для учнів шк. і класів з поглибл. вивч. математики 2 е вид. М.: Просвітництво, Дорофєєв Г. В. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 9 кл.:м34 Навч. для загальноосвітніх навч. завідний 2-ге вид., стереотип. М.: Дрофа, Соломонік В.С.Збірник питань та завдань з математики М.: «Вища школа», ЯщенкоІ.В. ДІА. Математика: типові екзаменаційні варіанти: Про варіанти.м.: «Національна освіта», с. 5. Ященко І.В. ОДЕ. Математика: типові екзаменаційні варіанти: Про варіанти.м.: «Національна освіта», с. 6. Ященко І.В. ОДЕ. Математика: типові екзаменаційні варіанти: Про варіанти.м.: «Національна освіта», с

28 Додаток 28

29 Приклад 1. Побудувати графік функції y = x 2 8 x Рішення. Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому ця функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 8x + 12 для x 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1). Приклад 2. Наступний графік виду y = x 2 8x Це означає, що графік функції одержують таким чином: будують графік функції y = x 2 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, яка лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (рис. 2). Приклад 3. Для побудови графіка функції y = x 2 8 x + 12 проводять комбінацію перетворень: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Відповідь: рисунок 3. Приклад 4 Вираз, що стоїть під знаком модуля змінює знак у точці х = 2/3. При х<2/3 функция запишется так: 29

30 При х>2/3 функція запишеться так: Тобто точка х=2/3 ділить нашу координатну площину на дві області, в одній з яких (правіше) ми будуємо функцію, а в іншій (ліворуч) графік функції Будуємо: Приклад 5 Наступний графік також ламана, але має дві точки зламу, оскільки містить два вирази під знаками модуля: Подивимося, у яких точках підмодульні вирази змінюють знак: Розставимо знаки для підмодульних виразів на координатній прямій: 30

31 Розкриваємо модулі на першому інтервалі: На другому інтервалі: На третьому інтервалі: Таким чином, на інтервалі (- ; 1.5] маємо графік, записаний першим рівнянням, на інтервалі графік, записаний другим рівнянням, та на інтервалі )