Побудувати нариси поверхні циліндрична поверхня обертання. Конічна поверхня

Теорема.

Відстань від точки до прямої, заданою точкою та напрямним вектором може бути знайдено за формулою

А відстань між двома схрещуючими прямимизнаходиться за формулою

Поверхнею обертанняназивається поверхня, яка разом з кожною своєю точкою містить все коло, отримане обертанням цієї точки навколо деякої фіксованої прямої . Пряма , навколо якої проводиться обертання, називається віссю обертання. Обертання крапки навколо осі відбувається в площині, перпендикулярній осі. У перерізі поверхні обертання площинами, перпендикулярними до осі обертання, виходять кола, які називаються паралелями. Площини, що проходять через вісь обертання, перетинають поверхню обертання лініями, званими меридіанами.

Теорема.У прямокутній системі координат рівняння

є рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням навколо осі лінії, заданої рівняннями

Циліндричною поверхнеюабо циліндромназивається поверхня, яка разом з кожною точкою містить всю пряму, що проходить через точку паралельно даному ненульовому вектору. Прямі, паралельні вектору і циліндричній поверхні, що належать, називаються утворюючимицієї поверхні.

Циліндрична поверхня може бути утворена в такий спосіб. Нехай – деяка лінія, а – ненульовий вектор. Поверхня, утворена всіма прямими, кожна з яких проходить через деяку точку лінії паралельно вектору, буде циліндричною. У цьому випадку лінія називається спрямовуючоюце поверхні.

Якщо прямокутна система координат обрана так, що утворюють циліндричної поверхні другого порядку були паралельні осі, а напрямна в системі мала канонічне рівняння, циліндричні поверхні визначаються наступним чином.

- еліптичний циліндр;

- гіперболічний циліндр;

- параболічний циліндр;

-циліндр, що розпався на пару площин, що перетинаються по осі;

- циліндр, що розпався на пару паралельних площин;

- циліндр, що представляє собою пару площин, що злилися.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннямивідповідних циліндричних поверхонь другого порядку.

Якщо в канонічному рівнянні еліптичного циліндра, то напрямної циліндра служить коло, що лежить у площині. У цьому випадку поверхня є циліндром обертання.

Конічною поверхнеюабо конусомз вершиною в точці називається поверхня, яка має ту властивість, що разом з кожною своєю точкою, відмінною від точки, ця поверхня містить пряму.

Прямі проходять через вершину конуса і лежать на ньому, називаються утворюючимицього конуса.

Розглянемо в просторі лінію та точку, що не лежить на лінії. Поверхня, утворена усіма прямими, кожна з яких проходить через точку і через деяку точку лінії є конічною поверхнею з вершиною .

У цьому випадку лінія називається спрямовуючою.

Розглянемо конічну поверхню з вершиною на початку прямокутної системи координат, спрямовуюча якої служить еліпс:

Знайдемо рівняння цієї поверхні. Нехай точка, відмінна від точки, належить конусу. Тоді пряма перетне напрямну в деякій точці. Так як і вектори і колінеарні, то знайдеться таке речове число , Що , або в координатах:

Звідси знаходимо

Підставивши отримані вирази у першу з рівностей, після нескладних перетворень знайдемо:

Отже, координати будь-якої точки конуса задовольняють цього рівняння. Неважко переконатися також, що якщо точка не належить конусу, її координати не задовольняють цьому рівнянню.

Таким чином, ми отримали рівняння другого ступеня, тому конус називається конусом другого порядку.А саме рівняння називається канонічним рівнянням конічної поверхні другого порядку.

У випадку, коли направляюча конічна поверхня другого порядку є колом, тобто коли , рівняння набуває вигляду

Поверхня, яка визначається цим рівнянням у прямокутній системі координат, називається круговою конічною поверхнеюабо круговим конусом.

Практичні заняття:

Тема 1:

Тема 2:

Тема 3:

Тема 4:

Тема 5:

Тема 6:

Тема 7:

Тема 8:

Тема 9:

Тема 10:

Тема 11

Тема 12

Тема 13

Тема 14

Тема 15

Самостійна робота студентів:

Тема 1:Бінарні операції на множині. Концепція групи, кільця та поля. приклади. Поле комплексних чисел. № 101 - 113, 17 - 18 б. ; № 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.

Тема 2:Операції над комплексними числами. Алгебраїчна та тригонометрична форма комплексного числа. № 118 - 119, 136 - 140, 19 -20 б., № 2.22 - 2.23, 2.26 - 2.28, 2.46-2.50, 20 - 23 б.

Тема 3:Перестановки та підстановки. Група підстановок. Циклічні підстановки. № 219 -221, 223, № 410/28 - 29, 55 -56 б. № 3.2 - 3.6, 3.38 / 26 - 27, 33 б

Тема 4:Матриці та дії над ними. Визначники другого та третього порядку. № 235 - 240, 243 - 245, 231-232 / 31-32 б., № 3.24-3.27, 3.30 (1,2) / 29-30б.

Тема 5:Визначники та його властивості. Мінори та алгебраїчні доповнення. Визначники n-го порядку № 231-232, 266-267, 273-280, № 374, 31, 35-37, 48 б., № 442/61 б. , № 3.30-3.31 / 30-31 б., № 4.24-4.28 / 44-45 б.

Тема 6:Зворотна матриця та методи її обчислення. Матричні рівняння. № 400, 410-411 / 55-56 б. , № 3.38-3.40 / 33-34 б.

Тема 7:Системи лінійних рівнянь. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Метод Гауса. Правило Крамер. № 443 - 447 / 62 - 64 б. , № 4.18-4.19, 4.64 / 41 - 43, 51 б.

Тема 8:Багаточлени від однієї змінної НОД багаточленів. Коріння багаточленів. Формули Вієта. Основна теорема алгебри та її слідство. № 400 - 402 / 53 - 54 б. , № 443-447, 449 / 62 - 64 б. № 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64/36-37, 41-43, 51 б.

Тема 9:Вектор. Векторний простір базис. № 650, 167, 173/89, 22 - 23 б. , № 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 - 11.77, 11.81 - 11.86 / 123 - 125 б.

Тема 10:Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489( 1,3).

Тема 11Пряма лінія на площині. Різні види рівнянь на площині. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування двох прямих. 279(а, в), 282(а, в), 289(а, в), 294(а), 552, 553.

Тема 12Криві другого порядку. Еліпс, гіпербола, парабола. Виведення канонічних рівнянь. 376, 379, 392, 403, 477(а, в), 479, 486, 507(а), 515, 558(1,3), 559(1,3), 564(1, 3), 567, 584 (1), 585(1), 598, 600(1).

Тема 13Площина у просторі. Різні види рівняння площини. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування двох площин. 756, 758(а, в), 764(а, в), 765(а, в), 767(а, в), 794(а, в), 796(а, в), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Тема 14Пряма лінія у просторі. Різні види рівняння. Взаємне розташування двох прямих. 1058(а), 1059(а, в), 1060(а), 1066(а), 1068(а), 1113(а), 1116(а), 1122(а) , 624(1, 3), 625 (1,3), 630(1), 632, 645(1).

Тема 15Поверхні 2-го порядку. Поверхні обертання. Циліндричні поверхні. Конічні поверхні. 1252, 1254(а, в), 1256, 769, 770(1), 771, 775(1).

Рис. 3.15

Поверхні обертання мають дуже широке застосування у всіх галузях техніки. Поверхнею обертання називають поверхню, що виходить від обертання деякої твірної лінії. 1 навколо нерухомої прямої i- Осі обертання поверхні (рис.3.15). На кресленні поверхня обертання задається своїм нарисом. Нарисом поверхні називаються лінії, які обмежують області її проекцій. При обертанні кожна точка утворює описує коло, площина якого перпендикулярна до осі. Відповідно, лінія перетину поверхні обертання площиною, перпендикулярної осі, є коло. Такі кола називають паралелями (рис. 3.15). Паралель найбільшого радіусу називають екватором, найменшого – горлом. Площина, що проходить через вісь поверхні обертання, називають меридіональною, лінію її перетину з поверхнею обертання - меридіаном. Меридіан, що лежить у площині, паралельній площині проекцій, називають головним меридіаном. У практиці виконання креслень найчастіше зустрічаються такі поверхні обертання: циліндрична, конічна, сферична, торова.

Рис. 3.16

Циліндричну поверхню обертання. Як спрямовуюча аслід взяти коло, а як прямий b- вісь i(Рис.3.16). Тоді отримаємо, що твірна l, паралельна осі iобертається навколо останньої. Якщо вісь обертання перпендикулярна горизонтальній площині проекцій, то на П 1 циліндрична поверхня проектується в коло, а на П 3 - прямокутник. Головним меридіаном циліндричної поверхні є дві паралельні прямі.

Рис 3.17

Конічну поверхню обертанняотримаємо, обертаючи прямолінійну утворювальну lнавколо осі i. При цьому твірна lперетинає вісь iу точці S, що називається вершиною конуса (рис.3.17). Головним меридіаном конічної поверхні є дві прямі, що перетинаються. Якщо як утворює взяти відрізок прямий, а вісь конуса перпендикулярною П 1 , то на П 1 конічна поверхня проектується в коло, а на П 2 - у трикутник.

Сферична поверхняутворюється за рахунок обертання кола навколо осі, що проходить через центр кола і лежить у її площині (рис.3.18). Екватор та меридіани сферичної поверхні є рівними між собою колами. Тому при ортогональному проектуванні на будь-яку площину сферична поверхня проектується в кола.

Рис. 3.18При обертанні кола навколо осі, що лежить у площині цього кола, але не проходить через її центр, утворюється поверхня, звана торова (рис.3.19).

Рис. 3.19

11. Позиційні завдання. Приналежність крапки, лінії поверхні. Під позиційнимимаються на увазі задачі, вирішення яких дозволяє отримати відповідь про належність елемента (точки) або підмножини (лінії) множині (поверхні). До позиційних належать також завдання визначення загальних елементів, що належать різним геометричним фігурам. p align="justify"> Перша група завдань може бути об'єднана під загальною назвою завдання на приналежність. До них, зокрема, відносяться завдання на визначення: 1) приналежності точки лінії; 2) приналежності точки поверхні; 3) приналежності лінії поверхні. До другої групи відносяться завдання на перетин. Ця група містить також три типи завдань: 1) на перетин лінії з лінією; 2) на перетин поверхні з поверхнею; 3) на перетин лінії з поверхнею. Приналежність точки поверхні . Основне положення при вирішенні завдань для цього варіанта приладдя : точка належить поверхні, якщо вона належить до будь-якої лінії цієї поверхні. У цьому випадку лінії треба вибирати найпростішими, щоб легше було побудувати проекції такої лінії, потім використовувати ту обставину, що проекції точки, що лежать на поверхні, повинні належати однойменним проекціям лінії цієї поверхні . Приклад розв'язання цього завдання показаний малюнку. Тут є два шляхи вирішення, оскільки можна провести дві найпростіші лінії, що належать конічній поверхні. У першому випадку - проводиться пряма лінія - утворює конічної поверхні S1 так, щоб вона проходила через якусь задану проекцію точки С. Тим самим припускаємо, що точка належить утворюючої S1 конічної поверхні, а отже - самої конічної поверхні. У цьому випадку однойменні проекції точки С повинні лежати на відповідних проекціях цієї утворюючої. Інша найпростіша лінія - коло з діаметром 1-2 (радіус цього кола - відраховується від осі конуса до нарисової утворюючої). Цей факт відомий ще зі шкільного курсу геометрії: при перетині кругового конуса площиною, паралельною до його основи, або перпендикулярною до його осі, у перерізі виходитиме коло. Другий спосіб рішення дозволяє знайти недостатню проекцію точки С, заданої своєю фронтальною проекцією, що належить поверхні конуса і збігається на кресленні з віссю обертання конуса, без побудови третьої проекції. Завжди слід мати на увазі, видима або не видима точка, що лежить на поверхні конуса (у разі, якщо вона не видно, відповідна проекція точки буде поміщена у дужки). Очевидно, що в нашому завданні точка С належить поверхні, оскільки проекції точки належать однойменним проекціям ліній, використаних для розв'язання як за першого, так і другого способу розв'язання. Належність лінії поверхні. Основне становище: лінія належить поверхні, якщо всі точки лінії належать заданій поверхні. Це означає, що в даному випадку приладдя має бути кілька разів вирішене завдання щодо належності точки поверхні. Торема МонжаЯкщо дві поверхні другого порядку описані близько третьої або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, що з'єднує точки перетину кола дотику.

12. ПЕРЕЧЕННЯ КОНУСА ОБЕРТАННЯ ПРОЄЦЮЮЧИМИ ПЛОЩИНАМИ . При перетині поверхоньтіл проецірующими площинами, одна проекція перерізу збігається з проекцією площини, що проєціює. Конус може мати у перерізі п'ять різних фігур. Трикутник- якщо січна площина перетинає конус через вершину по двох утворюючих. Окружність- якщо площина перетинає конус паралельно до основи (перпендикулярно до осі). Еліпс- якщо площина перетинає всі, що утворюють під деяким кутом. Параболу- якщо площина паралельна до однієї з утворюючих конуса. Гіперболу- якщо площина паралельна до осі або двом утворюючим конуса. Перетин поверхні площиноює плоскою фігурою, обмеженою замкненою лінією, всі точки якої належать як січній площині, так і поверхні. При перетині площиною багатогранника у перерізі виходить багатокутник з вершинами, розташованими на ребрах багатогранника. приклад. Побудувати проекції лінії перетину L поверхні прямого кругового конуса ω площиною β. Рішення. У перерізі утворюється парабола, вершина якої спроектується в точку А (А', А''). Точки A, D, E лінії перетину є екстремальними. На рис. побудова шуканої лінії перетину здійснено за допомогою горизонтальних площин рівня αi, які перетинають поверхню конуса ω по паралелях рi , а площина β - по відрізках фронтально проектують прямих. Лінія перетину L цілком видно на площинах.

№13.Соосні поверхні. Спосіб концентричних сфер.

При побудові лінії перетину поверхонь особливості перетину співвісних поверхонь обертання дозволяють як допоміжні поверхні-посередники використовувати сфери, співвісні з даними поверхнями. До співвісних поверхонь обертання належать поверхні, що мають загальну вісь обертання. На рис. 134 зображені співвісні циліндр і сфера (рис. 134 а), співвісні конус і сфера (рис. 134 б) і співвісні циліндр і конус (рис. 134 в)

Співвісні поверхні обертання завжди перетинаються колами, площини яких перпендикулярні осі обертання. Цих загальних для обох поверхонь кіл стільки, скільки існує точок перетину нарисових ліній поверхонь. Поверхні на рис. 134 перетинаються по колам, створюваним точками 1 і 2 перетину головних меридіанів. Допоміжна сфера-посередник перетинає кожну із заданих поверхонь по колу, у перетині яких виходять точки, що належать й іншій поверхні, а отже, і лінії перетину. Якщо осі поверхонь перетинаються, то допоміжні сфери проводять з центру-точки перетину осей. Лінію перетину поверхонь у разі будують способом допоміжних концентричних сфер. При побудові лінії перетину поверхонь для використання способу допоміжних концентричних сфер необхідно виконання наступних умов:1) перетин поверхонь обертання;2) осі поверхонь - прямі, що перетинаються, - паралельні одній з площин проекцій, тобто є загальна площина симетрії;3) не можна використовувати спосіб допоміжних сіючих площин, тому що вони не дають графічно простих ліній на поверхнях. Зазвичай спосіб допоміжних сфер використовується у поєднанні зі способом допоміжних площин, що січуть. На рис. 135 побудована лінія перетину двох конічних поверхонь обертання з осями обертання, що перетинаються у фронтальній площині рівня Ф (Ф1). Значить, головні меридіани цих поверхонь перетинаються і дають у своєму перетині точки видимості лінії перетину щодо площини П2 або найвищу А і найнижчу точки. У перетині горизонтального меридіана h і паралелі h", що лежать в одній допоміжній січній площині Г(Г2), визначені точки видимості С і D лінії перетину щодо площини П1. Ф, будуть перетинати обидві поверхні по гіперболах, а площини, паралельні Г, будуть давати в перетині поверхонь кола і гіперболи. Осі поверхонь обертання перетинаються в точці О (О1; О2), яка є центром допоміжних сфер, радіус сфери змінюється в межах Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); Е2Е1 || А2А1; Е2Е1 ^ h21 = E1; F2F ^ h1 = F1 Проміжна сфера радіуса R перетинає поверхні по колам h4 і h5, у перетині яких знаходяться точки Мі N:h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 | А2А1, М2М1 ^ h41 = М1; N2N1 ^ h41 = N1 З'єднуючи однойменні проекції побудованих точок з урахуванням їхньої видимості, отримуємо проекції лінії перетину поверхонь.

№14. побудова лінії перетину поверхонь, якщо хоча б одна з них проекція. Характерні точки лінії перетину.

Перш ніж розпочати побудову лінії перетину поверхонь, необхідно уважно вивчити умову завдання, тобто. які поверхні перетинаються. Якщо одне з поверхонь є проецирующей, рішення завдання спрощується, т.к. на одній із проекцій лінія перетину збігається з проекцією поверхні. І завдання зводиться до знаходження другої лінії проекції. При розв'язанні задачі слід відзначити насамперед «характерні» точки чи «особливі». Це:

· Крапки на крайніх утворюючих

· Точки, що ділять лінію на видиму та невидиму частину

· Верхні та нижні точки та ін. Далі слід розумно вибрати спосіб, яким будемо користуватися при побудові лінії перетину поверхонь. Ми будемо користуватися двома способами: 1. допоміжних сіючих площин. 2. допоміжних січучих сфер. До проекційних поверхонь відносяться: 1) циліндр, якщо його вісь перпендикулярна до площини проекцій; 2) призма, якщо ребра призми перпендикулярні до площини проекцій. Поверхня, що проектує, проектується в лінію на площину проекцій. Усі точки і лінії, що належать бічній поверхні проецірующего циліндра або проецірующей призмі, проектуються в лінію на ту площину, якою вісь циліндра або ребро призми перпендикулярно. Лінія перетину поверхонь належить обом поверхням одночасно і, якщо одна з цих поверхонь проецірующая, то для побудови лінії перетину можна використовувати наступне правило: якщо одна з поверхонь, що перетинаються, проецірующая, то одна проекція лінії перетину є на кресленні в готовому вигляді і збігається з проекцією проецірующей поверхні (Окружність, в яку проектується циліндр або багатокутник, в який проектується призма). Друга проекція лінії перетину будується виходячи з умови належності точок цієї лінії іншої поверхні, що не проеціює.

Розглянуті особливості характерних точок дозволяють легко перевірити правильність побудови лінії перетину поверхонь, якщо вона побудована довільно вибраними точками. У разі десяти точок достатньо проведення плавних проекцій лінії перетину. При необхідності може бути побудована будь-яка кількість проміжних точок. Побудовані точки з'єднують плавною лінією з урахуванням особливостей їхнього положення та видимості. Сформулюємо загальне правило побудови лінії перетину поверхонь: обирають вид допоміжних поверхонь; будують лінії перетину допоміжних поверхонь із заданими поверхнями; знаходять точки перетину побудованих ліній та з'єднують їх між собою. Допоміжні січучі площини вибираємо таким чином, щоб у перетині із заданими поверхнями виходили геометрично прості лінії (прямі або кола). Вибираємо допоміжні посічені площини. Найчастіше, як допоміжні сіючі площини вибирають проецірующие площини, зокрема, площини рівня. При цьому необхідно враховувати лінії перетину, що отримуються на поверхні, в результаті припинення поверхні площиною. Так конус є найбільш складною поверхнею за кількістю одержуваних на ньому ліній. Тільки площини, що проходять через вершину конуса або перпендикулярні осі конуса, перетинають його відповідно по прямій лінії та колу (геометрично найпростіші лінії). Площина, що проходить паралельно однієї утворює перетинає його по параболі, площина паралельна осі конуса перетинає його по гіперболі, а площина, що перетинає всі утворюють і похилі до осі конуса, перетинає його еліпсом. На сфері, при перетині її площиною, завжди виходить коло, а якщо перетинати її площиною рівня, то це коло проектується на площині проекції відповідно до прямої лінії та кола. Отже, як допоміжні площини вибираємо горизонтальні площини рівня, які перетинають і конус, і сферу по колам (найпростіші лінії). Деякі особливі випадки перетину поверхоньУ деяких випадках розташування, форма або співвідношення розмірів криволінійних поверхонь такі, що зображення лінії їх припинення ніяких складних побудов не потрібно. До них відносяться перетин циліндрів з паралельними утворюючими, конусів із загальною вершиною, співвісних поверхонь обертання, поверхонь обертання, описаних навколо однієї сфери.

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Рис 3.17

Рис. 3.19

11. Позиційні завдання. Приналежність крапки, лінії поверхні.Під позиційнимимаються на увазі задачі, вирішення яких дозволяє отримати відповідь про належність елемента (точки) або підмножини (лінії) множині (поверхні). До позиційних належать також завдання визначення загальних елементів, що належать різним геометричним фігурам. p align="justify"> Перша група завдань може бути об'єднана під загальною назвою завдання на приналежність. До них, зокрема, відносяться завдання на визначення: 1) приналежності точки лінії; 2) приналежності точки поверхні; 3) приналежності лінії поверхні. До другої групи відносяться завдання на перетин. Ця група містить також три типи завдань: 1) на перетин лінії з лінією; 2) на перетин поверхні з поверхнею; 3) на перетин лінії з поверхнею. Приналежність точки поверхні . Основне положення при вирішенні завдань для цього варіанта приладдя : точка належить поверхні, якщо вона належить до будь-якої лінії цієї поверхні. У цьому випадку лінії треба вибирати найпростішими, щоб легше було побудувати проекції такої лінії, потім використовувати ту обставину, що проекції точки, що лежать на поверхні, повинні належати однойменним проекціям лінії цієї поверхні . Приклад розв'язання цього завдання показаний малюнку. Тут є два шляхи вирішення, оскільки можна провести дві найпростіші лінії, що належать конічній поверхні. У першому випадку - проводиться пряма лінія - утворює конічної поверхні S1 так, щоб вона проходила через якусь задану проекцію точки С. Тим самим припускаємо, що точка належить утворюючої S1 конічної поверхні, а отже - самої конічної поверхні. У цьому випадку однойменні проекції точки С повинні лежати на відповідних проекціях цієї утворюючої. Інша найпростіша лінія - коло з діаметром 1-2 (радіус цього кола - відраховується від осі конуса до нарисової утворюючої). Цей факт відомий ще зі шкільного курсу геометрії: при перетині кругового конуса площиною, паралельною до його основи, або перпендикулярною до його осі, у перерізі виходитиме коло. Другий спосіб рішення дозволяє знайти недостатню проекцію точки С, заданої своєю фронтальною проекцією, що належить поверхні конуса і збігається на кресленні з віссю обертання конуса, без побудови третьої проекції. Завжди слід мати на увазі, видима або не видима точка, що лежить на поверхні конуса (у разі, якщо вона не видно, відповідна проекція точки буде поміщена у дужки). Очевидно, що в нашому завданні точка С належить поверхні, оскільки проекції точки належать однойменним проекціям ліній, використаних для розв'язання як за першого, так і другого способу розв'язання. Належність лінії поверхні. Основне становище: лінія належить поверхні, якщо всі точки лінії належать заданій поверхні. Це означає, що в даному випадку приладдя має бути кілька разів вирішене завдання щодо належності точки поверхні. Торема МонжаЯкщо дві поверхні другого порядку описані близько третьої або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, що з'єднує точки перетину кола дотику.

12. ПЕРЕЧЕННЯ КОНУСА ОБЕРТАННЯ ПРОЄЦЮЮЧИМИ ПЛОЩИНАМИ.При перетині поверхоньтіл проецірующими площинами, одна проекція перерізу збігається з проекцією площини, що проєціює. Конус може мати у перерізі п'ять різних фігур. Трикутник- якщо січна площина перетинає конус через вершину по двох утворюючих. Окружність- якщо площина перетинає конус паралельно до основи (перпендикулярно до осі). Еліпс- якщо площина перетинає всі, що утворюють під деяким кутом. Параболу- якщо площина паралельна до однієї з утворюючих конуса. Гіперболу- якщо площина паралельна до осі або двом утворюючим конуса. Перетин поверхні площиноює плоскою фігурою, обмеженою замкненою лінією, всі точки якої належать як січній площині, так і поверхні. При перетині площиною багатогранника у перерізі виходить багатокутник з вершинами, розташованими на ребрах багатогранника. приклад. Побудувати проекції лінії перетину L поверхні прямого кругового конуса ω площиною β. Рішення. У перерізі утворюється парабола, вершина якої спроектується в точку А (А', А''). Точки A, D, E лінії перетину є екстремальними. На рис. побудова шуканої лінії перетину здійснено за допомогою горизонтальних площин рівня αi, які перетинають поверхню конуса ω по паралелях рi , а площина β - по відрізках фронтально проектують прямих. Лінія перетину L цілком видно на площинах.

№13.Соосні поверхні. Спосіб концентричних сфер.

№14. побудова лінії перетину поверхонь, якщо хоча б одна з них проекція. Характерні точки лінії перетину.

· Крапки на крайніх утворюючих

· Точки, що ділять лінію на видиму та невидиму частину

Поверхні обертання і тіла, що обмежуються ними, мають широке застосування в багатьох областях техніки: балон електронно-променевої трубки (рис. 8.11,а), центр токарного верстата (рис. 8.11,б), об'ємний надвисокочастотний резонатор електромагнітних коливань (рис. 8.11,в), посуд Дьюара для зберігання рідкого повітря (рис. 8.11,г), колектор електронів потужного електронно-променевого приладу (рис. 8.11, буд) тощо.

Залежно від виду утворюючої поверхні обертання можуть бути лінійчастими, нелінійчастими або складатися з таких поверхонь.

Поверхнею обертання називають поверхню, що виходить від обертання деякої утворюючої лінії навколо нерухомої прямої осі поверхні.

На кресленнях вісь зображують штрихпунктирною лінією. Утворююча лінія може у випадку мати як криволінійні, і прямолінійні ділянки. Поверхня обертання на кресленні можна задати твірною і положенням осі. На малюнку 8.12 зображено поверхню обертання, яка утворена обертанням утворюючої AьCD (її фронтальна проекція a"b"c"d") навколо осі OO 1 (фронтальна проекціяпро "o 1" , перпендикулярної площинін. При обертанні кожна точка утворює описує коло, площина якого перпендикулярна до осі. Відповідно лінія перетину поверхні обертання будь-якою площиною, перпендикулярною до осі, є колом. Такі кола називаютьпаралелями. На вигляді зверху (рис. 8.12) показані проекції кіл, що описуються точкамиА, В, С та D, проходять через проекціїа, b, с, d. Найбільшу паралель із двох сусідніх із нею паралелей по обидва боки від неї називаютьекватором, аналогічно найменшу -горлом.

Площина, що проходить через вісь поверхні обертання, називаютьмеридіональної, лінію її перетину з поверхнею обертання -меридіаном. Якщо вісь поверхні паралельна площині проекцій, то меридіан, що лежить у площині, паралельній цій площині проекцій, називаютьголовним меридіаном.На цю поверхню проекцій головний меридіан проектується без спотворень. Так, якщо вісь поверхні обертання паралельна площині V, то головний меридіан проектується на площину V без спотворень, наприклад, проекція a"f"b"c"d". Якщо вісь поверхні обертання перпендикулярна до площиниН, то горизонтальна проекція поверхні має нарис у вигляді кола.

Найбільш зручними для виконання зображень поверхонь обертання є випадки, коли їх осі перпендикулярні до площини.Н до площини V або до площини W.

Деякі поверхні обертанняє окремими випадками поверхонь, розглянутих у 8.1, наприклад циліндр обертання, конус обертання. Для циліндра та конуса обертання меридіанами є прямі лінії. Вони паралельні осі і рівновіддалені від неї для циліндра або перетинають вісь в одній і тій же її точці під тим самим кутом до осі для конуса. Циліндр і конус обертання - поверхні, нескінченні у бік їх утворюють; тому на зображеннях їх обмежують будь-якими лініями, наприклад лініями перетину цих поверхонь з площинами проекцій або з паралелей. Зі стереометрії відомо, що прямий круговий циліндр і прямий круговий конус обмежені поверхнею обертання та площинами, перпендикулярними до осі поверхні. Меридіан такого циліндра – прямокутник, конуса – трикутник.

Така поверхня обертання як сфера є обмеженою і може бути зображена на кресленні повністю. Екватор і меридіани сфери - рівні між собою кола. При ортогональному проектуванні на всі три площини проекцій контури сфери проектуються в коло.

Тор. При обертанні кола (або його дуги) навколо осі, що лежить у площині цього кола, але не проходить через її центр, виходить поверхня з назвою тор. На малюнку 8.13 наведено: відкритий тор, або кругове кільце, - рисунок 8.13,а, закритий тор - малюнок 8.13,б, тор, що самоперетинається, - малюнок 8.13,в, м. Тор (рис. 8.13, г) називають також лимонним. На малюнку 8.13 вони зображені у положенні, коли вісь тора перпендикулярна до площини проекційн. У відкритий та закритий тори можуть бути вписані сфери. Тор можна розглядати як поверхню, що оминає однакові сфери, центри яких знаходяться на колі.

У побудовах на кресленнях широко використовують дві системи кругових перерізів тора: у площинах, перпендикулярних до осі, і в площинах, що проходять через вісь тора. При цьому в плоско-

стях, перпендикулярних до осі тора, у свою чергу є два сімейства кіл - ліній перетину площин із зовнішньою поверхнею тора і ліній перетину площин з внутрішньою поверхнею тора. У лимонного тора (рис. 8.13, г) є тільки перше сімейство кіл.

Крім того, тор має ще й третю систему кругових перерізів, які лежать у площинах, що проходять через центр тора і стосуються його внутрішньої поверхні. На малюнку 8.14 показані кругові перерізи з центрамипро 1р та про 2р на додатковій площині проекційР, утворені фронтально-проекційною площиною Q (Q v), проходить через центр тора з проекціямипро "про і дотичної до внутрішньої поверхні тора в точках з проекціями 1", 1, 2" 2. Проекції точок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 та 10полегшують читання креслення. Діаметр d цих кругових перерізів дорівнює довжині великих осей еліпсів, які проектуються кругові перерізи на горизонтальній площині проекцій: d = 2R.

Крапки на поверхні обертання.Положення точки на поверхні обертання визначають за належністю точки лінії каркасу поверхні, тобто за допомогою кола, що проходить через цю точку на поверхні обертання. У разі лінійних поверхонь для цієї мети можливе застосування і прямолінійних утворюючих.

Застосування паралелі та прямолінійної утворює для побудови проекцій точок, що належать даній поверхні обертання, показано на малюнку 8.12. Якщо

дана проекція т", то проводять фронтальну проекцію f"f1" паралелі, а потім радіусом R проводять коло - горизонтальну проекцію паралелі - і на ній знаходять проекціют. Якби була задана горизонтальна проекціят, то слід було б провести радіусом R=om коло, по точці f побудувати f" і провести f"f1" - фронтальну проекцію паралелі - і на ній у проекційному зв'язку відзначити точкут". Якщо дана проекціяп" на лінійчастій (конічній) ділянці поверхні обертання, то проводять фронтальну проекцію d"s" нарисової утворюючої та через проекцію n" - фронтальну проекцію s"до" утворює на поверхні конуса. Потім на горизонтальній проекції sk цією утворюючою будують проекцію n. Якби була задана горизонтальна проекція n, слід було б провести через неї горизонтальну проекцію sk утворює, за проекцієюдо" та s" (побудова її було розглянуто вище) побудувати фронтальну проекцію s"до" і на ній у проекційному зв'язку відзначити проекцію n"

На малюнку 8.15 показано побудову проекцій точкиДо, що належить поверхні тора. Слід зазначити, що побудова виконана для видимих горизонтальних проекцій.до та фронтальної проекціїдо".

На малюнку 8.16 показано побудову за заданою фронтальною проекцієют" точки на поверхні сфери її горизонтальноїт та профільної т" проекцій. Проекціят побудована за допомогою кола - паралелі, що проходить через проекціют". Її радіус - про-1. Проекція т "" побудована за допомогою кола, площина якого паралельна профільній площині проекцій, що проходить через проекціют". Її радіус про "2".

Побудова проекцій ліній на поверхні обертання може бути виконано також за допомогою кіл - паралелей, що проходять через точки, що належать цій лінії.

На малюнку 8.17 показано побудову горизонтальної проекції aь лінії, заданої фронтальною проекцією a"b" на поверхні обертання, що складається із частин поверхонь сфери, тора, конічної. Для більш точного креслення горизонтальної проекції лінії продовжимо її фронтальну проекцію вгору та вниз та відзначимо проекції 6" та 5" крайніх точок. Горизонтальні проекції 6, 1, 3, 4, 5 побудовані з допомогою ліній зв'язку. Проекції b, 2, 7, 8, а побудовані за допомогою паралелей, фронтальні проекції яких проходять через проекції b"2", 7", 8", а" цих точок. Кількість та розташування проміжних точок вибирають виходячи з форми лінії та необхідної точності побудови. Горизонтальна проекція лінії складається з ділянок: b-1 - частини еліпса,

Поверхні обертання - Поверхні, утворені обертанням довільної утворює навколо нерухомої осі (рис. 51, а). Напрямною поверхнею обертання є коло постійного (циліндр) або змінного радіуса (конус, сфера). Нормальне – перпендикулярне осі обертання перетин будь-якої поверхні обертання, являє собою коло з центром її осі.

Рис. 51. Поверхня обертання: а – основні лінії лежить на поверхні обертання; б – уявлення поверхні обертання як мережі

Напрямні називають також паралелями поверхні обертання. Площини паралелей перпендикулярні до осі поверхні. Найбільшу з паралелей називають екватором поверхні, найменшу горлом. Площини, що проходять через вісь поверхні обертання, називають меридіональними, а лінії, якими вони перетинають поверхню – меридіанами. Поверхню обертання можна уявити паралелями чи меридіанами поверхні, і навіть мережею, що з паралелей і меридіанів (рис. 51, б).

Поверхню обертання називають закритою, якщо меридіональний переріз поверхні є замкненою кривою лінією, що перетинає вісь поверхні у двох точках.

При обертанні навколо осі плоскої або просторової кривої алгебри n-го порядку утворюється алгебраїчна поверхня обертання, в загальному випадку, 2n-го порядку. Якщо крива другого порядку обертається навколо осі, вона утворює поверхню другого порядку.

Залежно від виду твірної розрізняють:

Торові поверхні - Поверхні, утворені обертанням кола або дуги кола:

Рис. 52. Торові поверхні: а – сфера; b – відкритий тор (кільце); c – закритий тор; d – глобоїд

Сфераутворюється обертанням кола навколо осі, що проходить через її центр (рис. 52 а).
Торутворюється обертанням кола навколо осі, що лежить у площині цього кола і не проходить через її центр (тор є поверхнею четвертого порядку). Розрізняють відкритий тор, утворений обертанням кола навколо осі, яка не перетинає утворюючу (рис. 52, б) і закритий тор, Утворений обертанням кола навколо осі, яка перетинає утворює коло або стосується її (рис. 52, в).
Глобоїдутворюється обертанням кола досить великого радіусу навколо осі, яка не перетинає твірну (рис. 52, г).

Еліпсоїд обертання утворюється обертанням еліпса навколо його осі. Якщо за вісь обертання прийнято велику вісь еліпса, еліпсоїд обертання називають витягнутим (рис. 53. а), якщо мала – стисненим або сфероїдом (рис. 53, б). Земна куля, наприклад, за формою близька до сфероїду

Рис. 53. Поверхні обертання: а – витягнутий еліпсоїд; б - сфероїд

Параболоїд обертання утворюється обертанням параболи навколо її осі (рис. 54). Параболоїди обертання використовуються в якості поверхні, що відбиває в прожекторах і фарах автомобілів для отримання паралельного світлового пучка.

Рис. 54. Параболоїд обертання

Гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи. Розрізняють однопорожнинний гіперболоїд(рис. 55, а), утворений обертанням гіперболи навколо її уявної осі, та двопорожнинний гіперболоїд(рис. 55 б), утворений обертанням гіперболи навколо її дійсної осі.