Математика - наука, що будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися.

Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей».

Що таке послідовності і де їхня межа?

Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. До того ж вона може бути тільки одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу до магазину, це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інший порядок.

Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це значення на числової прямий, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так:

х 1, х 2, х 3, … х n …

Звідси визначення послідовності – функція натурального аргументу. Простішими словами - це ряд членів деякої множини.

Як будується числова послідовність?

Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n…

Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються із цифр, причому кожен наступний член ряду, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад:

х 1 - перший член послідовності;

х 2 - другий член послідовності;

х 3 - третій член;

х n - енний член.

У практичних методах послідовність задається загальною формулою, де є деяка змінна. Наприклад:

Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так:

Варто не забувати, що при загальному записі послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д.

Арифметична прогресія як частина послідовностей

Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це низка чисел, у якому різниця між сусідніми членами стала.

Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового ряду d = 4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду»

Рішення: а 1 = 15 (за умовою) - перший член прогресії (числового ряду).

а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії.

а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член.

а 4 = 23 + 4 = 27 - четвертий член.

Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511.

Види послідовностей

Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікаві види числового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n . Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 і т. д. На подібному прикладі стає ясно, що числа в послідовностях можуть легко повторюватися.

Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)!

Тоді послідовність буде виглядати так:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д.

Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1

а 3 = - 1/8 тощо.

Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток.

Визначення межі послідовності

Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції:

1. Усі межі позначаються скорочено lim.
2. Запис межі складається зі скорочення lim, будь-якої змінної, що прагне до певного числа, нуля або нескінченності, а також самої функції.

Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, отже, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так:

Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо:

А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять.

З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань.

Загальне позначення межі послідовностей

Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до більш складної теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі.

Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей?

∀ - квантор загальності, що замінює фрази "для всіх", "для всього" і т.п.

∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел.

Довга вертикальна паличка, наступна за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо.

Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос.

Невизначеність та визначеність межі

Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, хай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції:

Якщо підставляти різні значення «ікс» (щоразу збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але в знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб:

Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків.

Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 .

Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1.

Розділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 .

Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски:

Виходить наступне вираз:

Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не дорівнюватиме 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна.

Що таке околиця?

Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, щонайменше складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи підходить він? Адже всі люди помиляються.

Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями.

Припустимо, що є певна точка а, її околиця в обидві сторони на числової прямої дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно.

Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою?

Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε.

З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь.

Теореми

Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази:

1. Єдиність межі послідовності. Межа в будь-якій послідовності може бути тільки одна або не бути зовсім. Той самий приклад із чергою, в якої може бути лише один кінець.
2. Якщо ряд чисел має межу, то послідовність цих чисел обмежена.
3. Межа суми (різниці, твори) послідовностей дорівнює сумі (різниці, твору) їх меж.
4. Межа приватного від поділу двох послідовностей дорівнює приватній межі тоді і лише тоді, коли знаменник не звертається в нуль.

Доказ послідовностей

Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу.

Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю.

За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування певного номера та довести наявність межі послідовності.

На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі.

Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його в квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що і потрібно було довести.

Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання.

А може, його нема?

Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, що послідовність, що складається лише з двох цифр, що циклічно повторюються, не може мати межі.

Та ж історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають під час обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Однак слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межу послідовностей знайти допоможе повторно перевіряти своє рішення.

Монотонна послідовність

Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю».

Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (незменшуюча послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність).

Але легше розуміти таке на прикладах.

Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність.

А якщо взяти x n = 1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність.

Межа схожої та обмеженої послідовності

Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу.

Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна.

Межа послідовності, що сходить, - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися у певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається.

Межа монотонної послідовності

Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі.

Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, яка не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної).

Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться.

Межа послідовності, що сходить, у багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль).

Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться.

Сума, різниця, добуток двох послідовностей, що сходяться - також послідовність, що сходить. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено!

Різні дії з межами

Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції.

По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж.

По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для поділу: межа приватного двох послідовностей дорівнює частці їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо.

Властивості величин послідовностей

Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному:

1. Сума будь-якої кількості скільки завгодно малих величин буде також малою величиною.
2. Сума будь-якої кількості великих величин буде нескінченно великою величиною.
3. Твір як завгодно малих величин нескінченно мало.
4. Добуток скільки завгодно великих чисел — величина нескінченно більша.
5. Якщо вихідна послідовність прагне нескінченно великому числу, то величина, їй зворотна, буде нескінченно малою і прагнути нуля.

Насправді обчислити межу послідовності – не таке складне завдання, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та посидючості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин.

Наводяться формулювання основних теорем та властивостей числових послідовностей, що мають межу. Міститься визначення послідовності та її межі. Розглянуто арифметичні дії з послідовностями, властивості, пов'язані з нерівностями, критерії збіжності, властивості нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей.

Зміст

Властивості кінцевих меж послідовностей

Основні властивості

Точка a є межею послідовності тоді і лише тоді, коли поза будь-якою околиці цієї точки знаходиться кінцева кількість елементівпослідовності або порожня множина.

Якщо число a не є межею послідовності, то існує така околиця точки a, за межами якої знаходиться нескінченна кількість елементів послідовності.

Теорема єдиності межі числової послідовності. Якщо послідовність має межу, він єдиний.

Якщо послідовність має кінцеву межу, вона обмежена.

Якщо кожен елемент послідовності дорівнює одному й тому ж числу C : , то ця послідовність має межу, рівну числу C .

Якщо у послідовності додати, відкинути або змінити перші m елементів, то це не вплине на її збіжність.

Докази основних властивостейнаведено на сторінці
Основні властивості кінцевих меж послідовностей >>>.

Арифметичні дії з межами

Нехай існують кінцеві межі та послідовностей і . І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .
Що стосується приватного передбачається, що всіх n .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостейнаведено на сторінці
Арифметичні властивості кінцевих меж послідовностей >>>.

Властивості, пов'язані з нерівностями

Якщо елементи послідовності, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то межа a цієї послідовності задовольняє нерівності .

Якщо елементи послідовності, починаючи з деякого номера, належать замкнутому інтервалу (сегменту) , то межа a також належить цьому інтервалу: .

Якщо і елементи послідовностей, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то .

Якщо і, починаючи з деякого номера, то .
Зокрема, якщо, починаючи з деякого номера, то
якщо то ;
якщо то .

Якщо і , то .

Нехай і. Якщо a < b , то знайдеться таке натуральне число N , що всім n > Nвиконується нерівність.

Докази властивостей, пов'язаних із нерівностяминаведено на сторінці
Властивості меж послідовностей, пов'язані з нерівностями >>>.

Нескінченно велика та нескінченно мала послідовності

Нескінченна мала послідовність

Нескінченно мала послідовність - це послідовність, межа якої дорівнює нулю:
.

Сума та різницякінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовностіна нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Добуток кінцевого числанескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Для того, щоб послідовність мала межу a необхідно і достатньо, щоб , де - нескінченно мала послідовність.

Докази властивостей нескінченно малих послідовностейнаведено на сторінці
Нескінченно малі послідовності - визначення та властивості >>>.

Нескінченно велика послідовність

Нескінченно велика послідовність - це послідовність, що має нескінченно велику межу. Тобто якщо для будь-якого позитивного числа існує таке натуральне число N, що залежить від того, що для всіх натуральних виконується нерівність
.
У цьому випадку пишуть
.
Або при .
Кажуть, що прагне нескінченності.

Якщо, починаючи з деякого номера N, то
.
Якщо ж, то
.

Якщо послідовність є нескінченно великою, то, починаючи з деякого номера N визначена послідовність , яка є нескінченно малою. Якщо є нескінченно малою послідовністю з відмінними від нуля елементами, послідовність є нескінченно великий.

Якщо послідовність нескінченно більша, а послідовність обмежена, то
.

Якщо абсолютні значення елементів послідовності обмежені знизу позитивним числом (), а - нескінченно мала з нерівними елементами нулю, то
.

Більш детально визначення нескінченно великої послідовності з прикладаминаводиться на сторінці
Визначення нескінченно великої послідовності >>>.
Докази властивостей нескінченно великих послідовностейнаведено на сторінці
Властивості нескінченно великих послідовностей >>>.

Критерії збіжності послідовностей

Монотонні послідовності

Строго зростаюча послідовність - це послідовність, всім елементів якої виконуються нерівності:
.

Аналогічними нерівностями визначаються інші монотонні послідовності.

Строго спадна послідовність:
.
Неубутня послідовність:
.
Незростаюча послідовність:
.

Звідси випливає, що послідовність, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна послідовність також є незростаючою.

Монотонна послідовність - це незнижена або зростаюча послідовність.

Монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку значенням . Незменшуюча послідовність обмежена знизу: . Незростаюча послідовність обмежена зверху: .

Теорема Вейєрштраса. Для того щоб незнижуюча (незростаюча) послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою зверху (знизу). Тут M – деяке число.

Оскільки будь-яка незнижена (незростаюча) послідовність обмежена знизу (згори), теорему Вейєрштрасса можна перефразувати таким чином:

Для того щоб монотонна послідовність мала кінцеву межу, потрібно і достатньо, щоб вона була обмеженою: .

Монотонна необмежена послідовністьмає нескінченну межу, рівну для неубутній і для зростаючої послідовності.

Доказ теореми Вейєрштрасанаведено на сторінці
Теорема Вейєрштрасса про межу монотонної послідовності >>>.

Критерій Коші збіжності послідовності

Умова Коші
Послідовність задовольняє умові Кошіякщо для будь - якого існує таке натуральне число , що для всіх натуральних чисел n і m , що задовольняють умові , виконується нерівність
.

Фундаментальна послідовність - це послідовність, що задовольняє умові Коші.

Критерій Коші збіжності послідовності. Для того щоб послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші.

Доказ критерію збіжності Кошінаведено на сторінці
Критерій Коші збіжності послідовності >>>.

Підпослідовності

Теорема Больцано - Вейєрштраса. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити схожу підпослідовність. А з будь-якої необмеженої послідовності - нескінченно велику підпослідовність, що сходить до або до .

Доказ теореми Больцано - Вейєрштрасанаведено на сторінці
Теорема Больцано - Вейєрштрасса >>>.

Визначення, теореми та властивості підпослідовностей та часткових меж розглянуто на сторінці
Підпослідовності та часткові межі послідовностей >>>.

Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математичний аналіз. Частина 1. Москва, 1997.
В.А. Ільїн, Е.Г. Позняк. Основи математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2005.

Див. також:

Xn елементами чи членами послідовності, n – члена послідовності. Якщо функція f(n) задана аналітично, тобто формулою, xn=f(n) називають формулою члена послідовності.

Число а називається межею послідовності (xn), якщо для будь-якого ε>0 існує номер n=n(ε), починаючи з якого виконується нерівність | xn-a |

Приклад 2. Довести, що в прикладі 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть загальний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Всі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться в старшому ступені. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>

Перший спосіб обчислення межі послідовності ґрунтується на її визначенні. Правда слід запам'ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що якесь число а є (або не є) межею. -1) / (n ^ 2-n-2)) має межу а = 3. Рішення. Проводьте доказ шляхом застосування ухвали у зворотному порядку. Тобто справа наліво. Попередньо перевірте - чи немає можливості спростити формулу для xn.хn = (3n 2 + 4n + 2) / (n 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Розгляньте нерівність |(3n+1)/(n+2)-3|0 можна знайти будь-яке натуральне число nε, більше -2+ 5/ε.

Приклад 2. Довести, що в прикладі 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть загальний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >0). Запишіть нерівність загального визначення, що укладає |

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Всі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться в старшому ступені. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>k (n прагне до нескінченності). Після цього напишіть відповідь: 0, якщо pq.

Вкажемо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності та нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)). Приклад 3. Знайти суму виду 1+1/2! +1/3! +…+1/n! + ... = S. Рішення. Будь-яке число а 0 = 1. Покладіть 1=exp(0) і розгляньте функціональну послідовність (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Числова послідовність.
Як?

На цьому уроці ми дізнаємося багато цікавого з життя учасників великої спільноти під назвою Вконтакте числові послідовності. Тема, що розглядається, відноситься не тільки до курсу математичного аналізу, але і зачіпає основи дискретної математики. Крім того, матеріал буде потрібний для освоєння інших розділів вежі, зокрема, в ході вивчення числових рядіві функціональних рядів. Можна банально сказати, що це важливо, можна підбадьорливо сказати, що це просто, можна сказати ще багато чергових фраз, проте сьогодні перший, незвичайно лінивий навчальний тиждень, тому мене моторошно ламає складати перший абзац =) Вже в серцях зберіг файл і зібрався спати, як раптом… голову осяяла ідея щиросердного зізнання, яке неймовірно полегшило душу і підштовхнуло до подальшого стукоту пальцями по клавіатурі.

Відвернемось від літніх спогадів, і зазирнемо в цей захоплюючий і позитивний світ нової соціальної мережі:

Поняття числової послідовності

Спочатку замислимося над самим словом: а що таке послідовність? Послідовність – це колись щось розташоване за чимось. Наприклад, послідовність дій, послідовність пір року. Або колись хтось розташований за кимось. Наприклад, послідовність людей у ​​черзі, послідовність слонів на стежці до водопою.

Негайно прояснимо характерні ознаки послідовності. По перше, члени послідовностірозташовуються суворо у певному порядку. Так, якщо двох людей у ​​черзі поміняти місцями, то це вже буде іншапослідовність. По-друге, кожному члену послідовностіможна присвоїти порядковий номер:

З числами все аналогічно. Нехай кожномунатурального значення за деяким правиломпоставлено у відповідність дійсне число. Тоді кажуть, що задана числова послідовність .

Так, у математичних завданнях, на відміну від життєвих ситуацій, послідовність майже завжди містить нескінченно багаточисел.

При цьому:
називають першим членомпослідовності;
– другим членомпослідовності;
– третім членомпослідовності;
…
– еннимабо спільним членомпослідовності;
…

Насправді послідовність зазвичай задається формулою загального члена, наприклад:
- Послідовність позитивних парних чисел:

Таким чином, запис однозначно визначає всі члени послідовності – це і є правило (формула), за яким натуральним значенням у відповідність ставляться числа. Тому послідовність часто коротко позначають загальним членом, причому замість «ікс» можуть використовуватись інші латинські літери, наприклад:

Послідовність позитивних непарних чисел:

Ще одна поширена послідовність:

Як, напевно, багато хто помітив, змінна «ен» грає роль своєрідного лічильника.

Насправді з числовими послідовностями ми мали справу ще середніх класах школи. Згадаймо арифметичну прогресію. Визначення переписувати не буду, торкнемося самої суті на конкретному прикладі. Нехай перший член, а - крокарифметичній прогресії. Тоді:
- Другий член даної прогресії;
– третій член цієї прогресії;
- Четвертий;
- П'ятий;
…
І, очевидно, енний член задається рекурентноїформулою

Примітка : у рекурентній формулі кожен наступний член виражається через попередній член або навіть через безліч попередніх членів.

Отримана формула малопридатна практично – щоб дістатися, скажімо, до , потрібно перебрати всі попередні члени. І в математиці виведено більш зручний вираз енного члена арифметичної прогресії: . У нашому випадку:

Підставте у формулу натуральні номери та перевірте правильність побудованої вище числової послідовності.

Аналогічні викладки можна провести для геометричній прогресії, енний член якої задається формулою , де перший член , а - знаменникпрогресії. У завданнях по матану перший член часто дорівнює одиниці.

прогресія задає послідовність ;
прогресія задає послідовність;
прогресія задає послідовність ;
прогресія задає послідовність .

Сподіваюся, всі знають, що –1 непарною мірою дорівнює –1, а парної – одиниці.

Прогресію називають нескінченно спадаючоюякщо (останні два випадки).

Давайте додамо до свого списку двох нових друзів, один з яких щойно постукав у матрицю монітора:

Послідовність на математичному жаргоні називають «мигалкою»:

Таким чином, члени послідовності можуть повторюватися. Так, у розглянутому прикладі послідовність складається з двох чисел, що нескінченно чергуються.

Чи буває так, що послідовність складається з однакових чисел? Звісно. Наприклад, задає нескінченну кількість "трійок". Для естетів є випадок, коли у формулі все ж таки формально фігурує «ен»:

Запросимо на танець нехитру подругу:

Що відбувається, коли «ен» збільшується до безкінечності? Очевидно, що члени послідовності будуть нескінченно близьконаближатися до нуля. Це і є межа даної послідовності, яка записується наступним чином:

Якщо межа послідовності дорівнює нулю, її називають нескінченно малою.

Теоретично математичного аналізу дається строго визначення межі послідовностічерез так звану епсілон-околиця. Цьому визначенню буде присвячена наступна стаття, а поки що розберемо його зміст:

Зобразимо на числовій прямій члени послідовності та симетричну щодо нуля (межі)


Тепер затисніть синю околицю ребрами долонь і починайте її зменшувати, стягуючи до межі (червоної точки). Число є межею послідовності, якщо для будь-якої заздалегідь обраної околиці (як завгодно малої)усередині неї виявиться нескінченно багаточленів послідовності, а ПОЗА нею – лише кінцевечисло членів (або взагалі жодного). Тобто епсілон-околиця може бути мікроскопічною, та й того меншою, але «нескінченний хвіст» послідовності рано чи пізно зобов'язаний повністюзайти в дану околицю.

Послідовність теж нескінченно мала: з тією різницею, що її члени не стрибають туди-сюди, а підбираються до краю виключно праворуч.

Природно, межа може дорівнювати і будь-якому іншому кінцевому числу, елементарний приклад:

Тут дріб прагне нуля, і, межа дорівнює «двійці».

Якщо у послідовності існує кінцева межа, то вона називається схожій(зокрема, нескінченно малоюза ). В іншому випадку - розходитьсяПри цьому можливі два варіанти: або межі зовсім не існує, або він нескінченний. В останньому випадку послідовність називають нескінченно великий. Пронесемося галопом за прикладами першого параграфа:

Послідовності є нескінченно великими, оскільки їхні члени впевненим ходом просуваються до «плюс нескінченності»:

Арифметична прогресія з першим членом і кроком теж нескінченно велика:

До речі, розходиться і будь-яка арифметична прогресія, за винятком випадку з нульовим кроком – коли до конкретного числа нескінченно додається . Межа такої послідовності існує і збігається з першим членом.

У послідовностей схожа доля:

Будь-яка нескінченно спадна геометрична прогресія, як ясно вже з назви, нескінченно мала:

Якщо знаменник геометричної прогресії, то послідовність нескінченно велика:

Якщо ж , наприклад, , то межі взагалі немає, оскільки члени невтомно стрибають то до «плюс нескінченності», то «мінус нескінченності». А здоровий глузд і теореми матана підказують, що якщо щось кудись і прагне, то це єдине заповітне місце.

Після невеликого викриття стає зрозуміло, що у нестримних метаннях винна «мигалка», яка, до речі, розходиться і сама собою.
Справді, для послідовності легко підібрати околицю, яка, скажімо, затискає лише число –1. В результаті нескінченна кількість членів послідовності («плюс одиниць») залишаться поза цією околицею. Але за визначенням, «нескінченний хвіст» послідовності з певного моменту (натурального номера) має повністюзаходити в БУДЬ-околицю своєї межі. Висновок: межі немає.

Факторіал є нескінченно великийпослідовністю:

Причому, росте він як на дріжджах, так, є числом, у якого понад 100 цифр (розрядів)! Чому саме 70? На ньому просить пощади мій інженерний мікрокалькулятор.

З контрольним пострілом дещо складніше, і ми якраз підійшли до практичної частини лекції, в якій розберемо бойові приклади:

А ось зараз необхідно вміти вирішувати межі функцій як мінімум на рівні двох базових уроків: Межі. Приклади рішеньі Чудові межі. Тому що багато методів вирішення будуть схожі. Але насамперед проаналізуємо принципові відмінності межі послідовності від межі функції:

У межі послідовності «динамічна» змінна «ен» може прагнути тільки до «плюс нескінченності»– у бік збільшення натуральних номерів .
У межі функції «ікс» може бути спрямований будь-куди – до «плюс/мінус нескінченності» або до довільного дійсного числа.

Послідовність дискретна(перервна), тобто складається з окремих ізольованих членів. Раз, два, три, чотири, п'ять, вийшов зайчик погуляти. Для аргументу функції характерна безперервність, тобто «ікс» плавно, без пригод прагне того чи іншого значення. І, відповідно, значення функції так само безперервно наближатимуться до своєї межі.

По причині дискретностіу межах послідовностей зустрічаються свої фірмові речі, такі як факторіали, «мигалки», прогресії тощо. І зараз я постараюся розібрати межі, властиві саме для послідовностей.

Почнемо з прогресій:

Приклад 1

Знайти межу послідовності

Рішення: щось схоже на нескінченно спадаючу геометричну прогресію, але чи вона це? Для ясності розпишемо кілька перших членів:

Оскільки , то йдеться про сумічленів нескінченно спадної геометричної прогресії, яка розраховується за формулою .

Оформляємо рішення:

Використовуємо формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії: . У разі: – перший член, – знаменник прогресії.

Приклад 2

Написати перші чотири члени послідовності та знайти її межу

Це приклад самостійного рішення. Для усунення невизначеності в чисельнику потрібно застосувати формулу суми перших членів арифметичної прогресії:
, де - перший, а - енний член прогресії.

Оскільки в межах послідовностей «ен» завжди прагне «плюс нескінченності», то не дивно, що невизначеність – одна з найпопулярніших.
І багато прикладів вирішуються так само, як межі функцій!

А може бути щось складніше на кшталт ? Ознайомтеся із Прикладом №3 статті Методи розв'язання меж.

З формального погляду різниця буде лише в одній літері – там «ікс», а тут «ен».
Прийом той самий – чисельник і знаменник треба розділити на «ен» у старшому ступені.

Також у межах послідовностей досить поширена невизначеність. Як вирішувати межі начебто можна дізнатися із Прикладів №11-13 тієї ж статті.

Щоб розібратися з межею, зверніться до Прикладу №7 уроку Чудові межі(друга чудова межа справедлива і для дискретного випадку). Рішення знову буде як під копірку з різницею в єдиній букві.

Наступні чотири приклади (№№3-6) теж «дволики», але практично чомусь більше характерні меж послідовностей, ніж меж функцій:

Приклад 3

Знайти межу послідовності

Рішення: спочатку повне рішення, потім покрокові коментарі:

(1) У чисельнику двічі використовуємо формулу .

(2) Наводимо подібні доданки в чисельнику.

(3) Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на («ен» у старшому ступені).

Як бачите, нічого складного.

Приклад 4

Знайти межу послідовності

Це приклад для самостійного рішення, формули скороченого множенняв допомогу.

У межах з показовимипослідовностями застосовується схожий метод поділу чисельника та знаменника:

Приклад 5

Знайти межу послідовності

Рішенняоформимо за тією ж схемою:

Аналогічна теорема справедлива, до речі, і функцій: твір обмеженої функції на нескінченно малу функцію – є нескінченно мала функція.

Приклад 9

Знайти межу послідовності

Межа числової послідовності- Межа послідовності елементів числового простору. Числове простір — це метричний простір, відстань у якому визначається як модуль різниці між елементами. Тому число називається межею послідовності, якщо для будь-якого існує номер , який залежить від такої, що для будь-якого виконується нерівність .

Поняття межі послідовності речових чисел формулюється дуже просто, а разі комплексних чисел існування межі послідовності рівносильне існуванню меж відповідних послідовностей речових і уявних частин комплексних чисел.

Межа (числова послідовність) — одне з основних понять математичного аналізу. Кожне речове число може бути представлено як межу послідовності наближень до потрібного значення. Система числення надає таку послідовність уточнень. Цілі іраціональні числа описуються періодичними послідовностями наближень, тоді як ірраціональні числа описуються неперіодичними послідовностями наближень.

У чисельних методах, де використовується уявлення чисел із кінцевим числом знаків, особливу роль відіграє вибір системи наближень. Критерієм якості системи наближень є швидкість збіжності. У цьому відношенні виявляються ефективними уявлення чисел у вигляді ланцюгових дробів.

Визначення

Число називається межею числової послідовностіякщо послідовність є нескінченно малою, тобто всі її елементи, починаючи з деякого, по модулю менше будь-якого заздалегідь взятого позитивного числа.

У разі, якщо у числової послідовності існує межа у вигляді речовинного числа, її називають схожій до цього числа. В іншому випадку, послідовність називають розходиться . Якщо до того ж вона необмежена, її межа вважають рівним нескінченності.

Крім того, якщо всі елементи необмеженої послідовності, починаючи з деякого номера, мають позитивний знак, то кажуть, що межа такої послідовності дорівнює плюс нескінченності .

Якщо ж елементи необмеженої послідовності, починаючи з деякого номера, мають негативний знак, то кажуть, що межа такої послідовності дорівнює мінус нескінченності .

Це визначення має непереборний недолік: воно пояснює, що таке межа, але не дає ні способу його обчислення, ні інформації про його існування. Все це виводиться з доведених нижче властивостей межі.