Перетворення виразів алгебри. Тотожні перетворення виразів, їх види

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Заклад освіти

“Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини»

Математичний факультет

Кафедра МПМ

Тотожні перетворення виразів та методика навчання учнів їх виконання

Виконавець:

Студентка Стародубова О.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.

Гомель 2007

Вступ

1 Основні типи перетворень та етапи їх вивчення. Етапи освоєння застосування перетворень

Висновок

Література

Вступ

Найпростіші перетворення виразів і формул, що спираються на властивості арифметичних операцій, виробляються в початковій школі та 5 та 6 класах. Формування вмінь та навичок виконання перетворень відбувається в курсі алгебри. Це пов'язано як з різким збільшенням числа та різноманітності вчинених перетворень, так і з ускладненням діяльності з їх обґрунтування та з'ясування умов застосування, з виділенням та вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, рівносильного перетворення.

1. Основні типи перетворень та етапи їх вивчення. Етапи освоєння застосування перетворень

1. Початки алгебри

Використовується нерозчленована система перетворень, представлена правилами виконання над однією чи обома частинами формули. Мета – досягти швидкості у виконанні завдань на вирішення найпростіших рівнянь, спрощення формул, що задають функції, у раціональному проведенні обчислень з опорою на властивості дій.

Типові приклади:

Розв'язати рівняння:

а); б); в).

Тотожне перетворення (а); рівносильне та тотожне (б).

2. Формування навичок застосування конкретних видів перетворень

Висновки: формули скороченого множення; перетворення, пов'язані зі зведенням у ступінь; перетворення, пов'язані з різними класами елементарних функций.

Організація цілісної системи перетворень (синтез)

Мета – формування гнучкого та потужного апарату, придатного для використання у вирішенні різноманітних навчальних завдань. Перехід до цього етапу здійснюється при підсумковому повторенні курсу в ході осмислення вже відомого матеріалу засвоєного частинами, за окремими типами перетворень до раніше вивчених видів додають перетворення тригонометричних виразів. Всі ці перетворення можна назвати "алгебраїчними" до "аналітичних" перетворень можна віднести ті з них, в основі яких лежать правила диференціювання та інтегрування та перетворення виразів, що містять граничні переходи. Відмінність цього – у характері безлічі, яке пробігають змінні у тотожності (певні безлічі функцій).

Досліджувані тотожності поділяються на два класи:

I – тотожності скороченого множення, справедливі у комутативному кільці та тотожності

справедливого у полі.

II – тотожності, що пов'язують арифметичні операції та основні елементарні функції.

2 Особливості організації системи завдань щодо тотожних перетворень

Основний принцип організації системи завдань – пред'явлення від простого до складного.

Цикл вправ– з'єднання в послідовності вправ кількох аспектів вивчення та прийомів розташування матеріалу. При вивченні тотожних перетворень цикл вправ пов'язані з вивченням одного тотожності, навколо якого групуються інші тотожності, що з ним у зв'язку.До складу циклу поряд із виконавчими входять завдання, що вимагають розпізнавання застосовності розглянутого тотожності. Точество, що вивчається, застосовується для проведення обчислень на різних числових областях. Завдання у кожному циклі розбиті на дві групи. До першоювідносяться завдання, які виконуються при початковому знайомстві з тотожністю. Вони служать навчальним матеріалом для кількох уроків, що йдуть поспіль, об'єднаних однією темою.

Друга групавправ пов'язує тотожність, що вивчається, з різними додатками. Ця група не утворює композиційної єдності – вправи тут розкидані з різних тем.

Описані структури циклу належать до етапу формування навичок застосування конкретних перетворень.

На етапі синтезу цикли змінюються, відбувається об'єднання груп завдань у бік ускладнення та злиття циклів, що належать до різних тотожностей, що сприяє підвищенню ролі дій з розпізнавання застосовності тієї чи іншої тотожності.

приклад.

Цикл завдань для тотожності:

I група завдань:

а) подати у вигляді твору:

б) Перевірити вірність рівності:

в) Розкрити дужки у виразі:

г) Обчислити:

д) Розкласти на множники:

е) спростити вираз:

Учні щойно ознайомилися з формулюванням тотожності, його записом як тотожності, доказом.

Завдання а) пов'язане з фіксуванням структури тотожності, що вивчається, з встановленням зв'язку з числовими множинами (порівняння знакових структур тотожності і перетворюваного виразу; заміщення літери числом у тотожності). В останньому прикладі ще належить виконати приведення його до виду, що вивчається. У таких прикладах (д і ж) відбувається ускладнення, викликане прикладної роллю тотожності та ускладненням знакової структури.

Завдання типу б) спрямовані на формування навичок заміни на . Аналогічна роль завдання в).

Приклади типу г), у яких потрібно вибрати один із напрямів перетворення, завершує розвиток цієї ідеї.

Завдання I групи спрямовані на засвоєння структури тотожності, операції заміщення у найпростіших, принципово найважливіших випадках, і ставлення до оборотності перетворень, здійснюваних тотожністю. Дуже важливе значення також має збагачення мовних засобів, що показують різні аспекти тотожності. Уявлення про ці аспекти надають тексти завдань.

ІІ група завдань.

ж) Використовуючи тотожність при розкласти на множники многочлен.

з) Виключити ірраціональність у знаменнику дробу.

і) Довести, що якщо - непарне число, то ділиться на 4.

к) Функція задана аналітичним виразом

Позбутися знака модуля, розглянувши два випадки: , .

л) Розв'язати рівняння .

Ці завдання спрямовані на більш повне використання та облік специфіки саме цього тотожності, припускають сформованість навичок використання тотожності, що вивчається, для різниці квадратів. Мета – поглибити розуміння тотожності з допомогою розгляду різноманітних додатків їх у різних ситуаціях, у поєднані із використанням матеріалу, що належить до інших тем курсу математики.

або .

Особливості циклів завдань, пов'язаних із тотожністю для елементарних функцій:

1) вони вивчаються з урахуванням функціонального матеріалу;

2) з'являються пізніше тотожності першої групи та вивчаються з використанням вже сформованих навичок проведення тотожних перетворень.

У першу групу завдань циклу мають увійти завдання встановлення зв'язку цих нових числових областей з вихідною областю раціональних чисел.

приклад.

Обчислити:

;

Мета таких завдань – освоєння особливостей записів, що включають символи нових операцій та функцій, та у розвитку навичок математичної мови.

Значна частина використання тотожних перетворень, пов'язаних з елементарними функціями, посідає рішення ірраціональних і транцендетних рівнянь. Послідовність кроків:

а) знайти функцію φ, на яку дане рівняння f(x)=0 представимо у вигляді:

б) зробити підстановку y=φ(x) і розв'язати рівняння

в) розв'язати кожне із рівнянь φ(x)=y k , де y k - безліч коренів рівняння F(y)=0.

При використанні описаного способу часто крок б) виконується в неявному вигляді, без введення позначення φ(x). Крім того, учні часто воліють з різних шляхів, які ведуть до знаходження відповіді, вибирати ту, яка швидше і простіше призводить до рівня алгебри.

приклад. Розв'язати рівняння 4 x -3 * 2 = 0.

2) (2 2) x -3 * 2 x = 0 (крок а)

(2 x) 2 -3 * 2 x = 0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3 = 0. (крок б)

приклад. Вирішити рівняння:

а) 2 2x -3 * 2 x +2 = 0;

б) 2 2x -3 * 2 x -4 = 0;

в) 2 2x -3 * 2 x +1 = 0.

(Запропонувати для самостійного рішення.)

Класифікація завдань у циклах, які стосуються вирішення транцендетних рівнянь, що включають показову функцію:

1) рівняння, що зводяться до рівнянь виду а x = y 0 і мають просту, загальну за формою відповідь:

2) рівняння, що зводяться до рівнянь виду а x = а k , де k-ціле число, або а x = b, де b≤0.

3) рівняння, що зводяться до рівнянь виду а x = y 0 і потребують явного аналізу форми, в якій явно записано число y 0 .

Велику користь приносять завдання, у яких тотожні перетворення використовуються для побудови графіків при спрощенні формул, що задають функції.

а) Побудувати графік функції y =;

б) Розв'язати рівняння lgx+lg(x-3)=1

в) на якій множині формула lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) є тотожністю?

Використання тотожних перетворень у обчисленнях.(ж. Математика у шкільництві, №4, 1983, стр.45)

Завдання №1. Функція задана формулою y=0,3x2+4,64x-6. Знайдіть значення функції за x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36 +4,64) -6 = 1,2 * 5-6 = 0.

Завдання №2. Обчисліть довжину катета прямокутного трикутника, якщо довжина його гіпотенузи дорівнює 3,6см, а іншого катета-2,16см.

Завдання №3. Яка площа ділянки прямокутної форми, що має розміри а) 0,64 м та 6,25 м; б) 99,8 м та 2,6 м?

а) 0,64 * 6,25 = 0,8 2 * 2,5 2 = (0,8 * 2,5) 2;

б) 99,8 * 2,6 = (100-0,2) 2,6 = 100 * 2,6-0,2 * 2,6 = 260-0,52.

Ці приклади дозволяють виявити практичне застосування тотожних перетворень. Учня слід ознайомити з умовами здійсненності перетворення (див. схеми).

зображення многочлена, де круглі контури вписується будь-який многочлен.(схема 1)

умова здійсненності перетворення твору одночлена і наведено вираз, що допускає перетворення на різницю квадратів. (схема 2)

тут штрихування означають рівні одночлени і наведено вираз допускає перетворення на різницю квадратів. (схема 3)

вираз, що припускає винесення загального множника.

Сформувати вміння учнів щодо виявлення умов можна за допомогою таких прикладів:

Які з наступних виразів можуть бути перетворені винесенням загального множника за дужки:

3) 0,7а 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2+3x2+5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Більшість обчислень практично не задовольняють умовам здійсненності, тому учням необхідні навички приведення їх у виду, допускає обчислення перетворень. У цьому випадку доцільними є такі завдання:

щодо винесення загального множника за дужки:

цей вираз, якщо це можливо, перетворіть на вираз, який зображується схемою 4:

4) 2а * а 2 * а 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

При формуванні поняття «тотожне перетворення» слід пам'ятати, що це означає не тільки те, що дане та отримане вираз у результаті перетворення приймають рівні значення при будь-яких значеннях літер, що входять до нього, а й те, що при тотожному перетворенні ми переходимо від виразу, що визначає один спосіб обчислення, до виразу, що визначає інший спосіб обчислення того ж значення.

Можна схему 5 (правило перетворення твору одночлена та багаточлена) проілюструвати на прикладах

0,5a(b+c) або 3,8(0,7+).

Вправи вивчення винесення загального множника за дужки:

Обчисліть значення виразу:

а) 4,59 * 0,25 +1,27 * 0,25 +2,3-0,25;

б) a+bc при a=0,96; b = 4,8; c = 9,8.

в) a(a+c)-c(a+b) при a=1,4; b = 2,8; c = 5,2.

Проілюструємо на прикладах формування умінь і навичок у обчисленнях і тотожних перетвореннях. (Ж. Математика у школі, №5, 1984, стор.30)

1) вміння та навички швидше засвоюються і довше зберігаються, якщо їх формування відбувається на свідомій основі (дидактичний принцип свідомості).

1) Можна сформулювати правило додавання дробів з однаковими знаменниками або попередньо на конкретних прикладах розглянути суть додавання однакових часток.

2) При розкладанні на множники винесенням загального множника за дужки важливо побачити цей спільний множник і потім застосувати розподільчий закон. За виконання перших вправ корисно кожне доданок многочлене записати як твори, одне із множників якого- загальний всім доданків:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Особливо корисно так чинити, коли за дужки виноситься один із одночленів багаточлена:

ІІ. Перший етапформування навички - оволодіння вмінням (вправи виконуються з докладними поясненнями та записами)

(Першим вирішується питання про знак)

Другий етап– етап автоматизації вміння шляхом виключення деяких проміжних операцій

ІІІ. Міцність навичок досягається рішенням різноманітних як за змістом, і формою, прикладів.

Тема: "Винесення загального множника за дужки".

1. Запишіть замість багаточлена множник, що не вистачає:

2. Розкладіть на множники так, щоб перед дужками був множником одночлен із негативним коефіцієнтом:

3. Розкладіть на множники так, щоб багаточлен у дужках мав цілі коефіцієнти:

4. Розв'яжіть рівняння:

IV. Формування навичок найефективніше у разі усного виконання деяких проміжних обчислень чи перетворень.

(Усно);

V. Формовані навички та вміння повинні входити до раніше сформованої системи знань, умінь та навичок учнів.

Наприклад, при навчанні розкладання багаточленів на множники за допомогою формул скороченого множення пропонуються такі вправи:

Розкласти на множники:

VI. Необхідність раціонального виконання обчислень та перетворень.

в)спростити вираз:

Раціональність полягає у розкритті дужок, т.к.

VII. Перетворення виразів, що містять ступінь.

№1011 (Алг.9) Спростити вираз:

№1012 (Алг.9) Винести множник з-під знака кореня:

№1013 (Алг.9) Внести множник під знак кореня:

№1014 (Алг.9) Спростити вираз:

У всіх прикладах попередньо виконати або розкладання на множники, або винесення загального множника, або побачити відповідну формулу скорочення.

№1015 (Алг.9) Скоротити дріб:

Багато учнів мають деякі труднощі у перетворенні виразів, що містять коріння, зокрема при дослідженні рівності:

Тому, або докладно розписують вирази виду або або перейти до ступеня з оптимальним показником.

№1018 (Алг.9) Знайти значення виразу:

№1019 (Алг.9) Спростити вираз:

2.285 (Сканаві) Спростити вираз

а потім побудувати графік функції yдля

№2.299 (Сканаві) Перевірити справедливість рівності:

Перетворення виразів, що містять ступінь, є узагальнення отриманих навичок і умінь, при вивченні тотожних перетворень багаточленів.

№2.320 (Сканаві) Спростити вираз:

У курсі «Алгебра 7» наведено такі визначення.

Опр. Два вирази, відповідні значення яких є рівними при значеннях змінних, називаються тотожно рівними.

Опр. Рівність, вірно за будь-яких значеннях змінних зв. тотожністю.

№94(Алг.7) Чи є тотожністю рівність:

Опис опр-ня: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

№ (Алг.7) Серед виразів

знайдіть ті, які тотожно рівні.

Тема: «Тотожні перетворення виразів» (методика питання)

Перша тема «Алгебри-7»-«Вирази та його перетворення» допомагає закріпити обчислювальні навички, набуті у 5-6 класах, систематизувати і узагальнити відомості про перетворення виразів і рішень рівнянь.

Знаходження значень числових і буквених виразів дає можливість повторити з учнями правила з раціональними числами. Вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами є опорними для курсу алгебри.

При розгляді перетворень виразів формально – оперативні вміння залишаються тому ж рівні, що було досягнуто в 5-6 класах.

Однак тут учні піднімаються на новий щабель у оволодінні теорією. Вводяться поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення виразів», зміст яких постійно розкриватиметься і поглиблюватиметься щодо перетворень різних алгебраїчних выражений. Підкреслюється, що основу тотожних перетворень становлять властивості процесів над числами.

При вивченні теми «Многочлени» формуються формально-оперативні вміння тотожних перетворень виразів алгебри. Формули скороченого множення сприяють подальшому процесу формування умінь виконувати тотожні перетворення цілих виразів, вміння застосовувати формули як для скороченого множення, так і для розкладання багаточленів на множники використовується не тільки в перетворенні цілих виразів, але і в діях з дробами, корінням, степенями. .

У 8-му класі набуті навички тотожних перетворень відпрацьовуються на діях з алгебраїчними дробами, квадратним коренем і виразами, що містять ступеня з цілим показником.

Надалі прийоми тотожних перетворень відбиваються на висловлюваннях, що містять ступінь з раціональним показником.

Особливу групу тотожних перетворень складають тригонометричні вирази та логарифмічні вирази.

До обов'язкових результатів навчання за курс алгебри у 7-9 класах відносяться:

1) тотожні перетворення цілих виразів

a) розкриття дужок та укладання у дужки;

b) приведення таких членів;

c) складання, віднімання та множення багаточленів;

d) розкладання багаточленів на множники за допомогою винесення загального множника за дужки та формули скороченого множення;

e) розкладання квадратного тричлена на множники.

«Математика у школі» (Б.У.М.) стор.110

2) тотожні перетворення раціональних виразів: додавання, віднімання, множення та поділ дробів, а також застосовувати перелічені вміння при виконанні нескладних комбінованих перетворень [стор. 111]

3) учні повинні вміти виконувати перетворення нескладних виразів, що містять ступеня та коріння. (Стор. 111-112)

Було розглянуто основні типи завдань, уміння вирішувати яких дозволяють отримати учневі позитивну оцінку.

Однією з найважливіших сторін методики вивчення тотожних перетворень є розвиток учням цілей виконання тотожних перетворень.

1) - спрощення чисельного значення виразу

2) яке із перетворень слід виконати: (1) або (2) Розбір цих варіантів є мотивуванням (переважніше (1), тому що в (2) відбувається звуження області визначення)

3) Розв'язати рівняння:

Розкладання на множники під час вирішення рівнянь.

4) Обчислити:

Застосуємо формулу скороченого множення:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Знайти значення виразу:

Для знаходження значення домножимо кожен дріб на сполучений:

6) Побудувати графік функції:

Виділимо цілу частину: .

Попередження помилок при виконанні тотожних перетворень може бути отримано шляхом варіювання прикладів їх виконання. У цьому випадку відпрацьовуються «дрібні» прийоми, які як складові входять у більш об'ємний процес перетворення.

Наприклад:

Залежно від напрямів рівняння можна розглянути кілька завдань: справа ліворуч множення многочленів; зліва направо -розкладання на множники. Ліва частина кратна одному із співмножників у правій частині і т.д.

Крім варіювання прикладів, можна скористатися проведенням апології між тотожностями та числовими рівностями.

Наступний прийом – пояснення тотожностей.

На підвищення інтересу учнів можна віднести пошук різних методів розв'язання завдань.

Уроки з вивчення тотожних перетворень стануть цікавішими, якщо їх присвятити пошуку розв'язання задачі .

Наприклад: 1) скоротити дріб:

3) довести формулу «складного радикала»

Розглянемо:

Перетворимо праву частину рівності:

сума сполучених виразів. Їх можна було б примножити і розділити на сполучений, але така операція приведе нас до дробу, знаменник якого є різниця радикалів.

Зауважимо, що перший доданок у першій частині тотожності є число більше, ніж друге, тому можна звести обидві частини квадрат:

Практичне заняття №3.

Тема: Тотожні перетворення виразів (методика питання).

Література: ”Практикум з МПМ”, с. 87-93.

Ознакою високої культури обчислень та тотожних перетворень в учнів є міцні знання властивостей та алгоритмів операцій над точними та наближеними величинами та вміле їх застосування; раціональні прийоми обчислень та перетворень та їх перевірка; вміння обґрунтувати застосування прийомів та правил обчислень та перетворень, автоматизм навичок безпомилкового виконання обчислювальних операцій.

З якого класу необхідно розпочати з учнями роботу з вироблення перерахованих навичок?

Лінія тотожних перетворень виразів починається із застосування прийомів раціонального обчислення починається із застосування прийомів раціонального обчислення значень числових виразів. (5 клас)

Під час вивчення таких тем шкільного курсу математики треба приділяти їм особливу увагу!

Свідомого виконання учнями тотожних перетворень сприяє розуміння те що, що алгебраїчні висловлювання існують власними силами, а нерозривної зв'язку з деяким числовим безліччю, є узагальненими записами числових выражений. Аналогії між алгебраїчними та числовими виразами (і перетвореннями їх) законні в логічному відношенні, використання їх у навчанні сприяє попередженню помилок у учнів.

Тотожні перетворення не є якоюсь окремою темою шкільного курсу математики, вони вивчаються протягом усього курсу алгебри та почав математичного аналізу.

Програма з математики 1-5 класу є пропедевтичний матеріал вивчення тотожних перетворень висловів зі змінною.

У курсі алгебри 7 кл. вводяться визначення тотожності та тотожних перетворень.

Опр.Два вирази відповідні значення яких дорівнюють при будь-яких значеннях змінних, зв. тотожно рівними.

Опр. Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.

Цінність тотожності у тому, що дозволяє цей вираз замінити іншим, тотожно рівним йому.

Опр.Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетвореннямабо просто перетвореннямвирази.

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Основою тотожних перетворень вважатимуться рівносильні перетворення.

Опр. Дві пропозиції, кожна з яких є логічним наслідком іншої, зв. рівносильними.

Опр. Пропозиція зі змінними А зв. наслідком пропозиції зі змінними В, якщо область істинності є підмножина області істинності А.

Можна дати інше визначення рівносильних речень: дві речення зі змінними рівносильні, якщо їхні сфери істинності збігаються.

а) В: x-1 = 0 над R; А: (x-1) 2 над R = A-B, т.к. області істинності (рішення) збігаються (x=1)

б) А: х = 2 над R; У: х 2 =4 над R => область істинності А: х=2; область істинності: х=-2, х=2; т.к. область істинності А міститься у, то: х 2 =4 наслідок пропозиції х=2.

Основою тотожних перетворень є можливість уявлення однієї й тієї числа у різних формах. Наприклад,

таке уявлення допоможе щодо теми “основні властивості дробу”.

Навички у виконанні тотожних перетворень починають формуватися при вирішенні прикладів, аналогічних наступному: “Знайти числове значення виразу 2а 3 +3аb+b 2 при а=0,5, b=2/3”, які пропонуються учням у 5 класі та дозволяють здійснити пропедевтику Концепція функція.

Вивчаючи формули скороченого множення, слід приділяти увагу їх глибокому розумінню та міцному засвоєнню. Для цього можна скористатися наступною графічною ілюстрацією:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Питання: Як пояснити учням суть наведених формул за цими кресленнями?

Поширеною помилкою є змішання виразів "квадрат суми" та "сума квадратів". Вказівка вчителя те що, що ці висловлювання відрізняються порядком дії, не здається істотним, оскільки учні вважають, що це дії виробляються одними й тими самими числами і тому зміни порядку дій результат не змінюється.

Завдання: Складіть усні вправи для вироблення у навичок учнів безпомилкового використання названих формул. Як пояснити, чим схожі ці два вирази і чим вони відрізняються один від одного?

Велика різноманітність тотожних перетворень ускладнює орієнтацію учнів у тому, із метою вони виконуються. Нечітке знання мети виконання перетворень (у кожному даному випадку) негативно позначається з їхньої усвідомленні, служить джерелом масових помилок учнів. Це свідчить, що роз'яснення учням цілей виконанні різних тотожних перетворень є важливою складовою методики вивчення.

Приклади мотивувань тотожних перетворень:

1. спрощення знаходження числового значення виразу;

2. вибір перетворення рівняння, що не призводить до втрати кореня;

3. у разі перетворення можна назвати його область обчислень;

4. використання перетворень при обчисленні, наприклад, 992-1=(99-1)(99+1);

Для управління процесом рішення вчителю важливо мати вміння давати точну характеристику сутності допущеної учням помилки. Точна характеристика помилки є ключем до правильного вибору наступних дій, які роблять вчитель.

Приклади помилок учнів:

1. виконуючи множення: учень отримав -54abx 6 (7 кл.);

2. виконуючи зведення в ступінь (3х2) 3 учень отримав 3х6 (7 кл.);

3. перетворюючи (m+n) 2 в многочлен, учень отримав m 2 +n 2 (7 кл.);

4. скорочуючий дріб учень отримав (8 кл.);

5. виконуючи віднімання: , учень записує (8 кл.)

6. представляючи дріб у вигляді дробів, учень отримав: (8 кл.);

7. витягуючи арифметичний корінь учень отримав х-1 (9кл.);

8. розв'язуючи рівняння (9кл.);

9. Перетворюючи вираз, учень отримує: (9 кл.).

Висновок

Вивчення тотожних перетворень проводиться у зв'язку з числовими множинами, які вивчаються у тому чи іншому класі.

Спочатку слід просити учня пояснювати кожен крок перетворення, сформувати ті правила і закони, які застосовуються.

У тотожних перетвореннях виразів алгебри використовуються два правила: підстановки і заміни рівним. Найчастіше використовується підстановка, т.к. у ньому заснований рахунок за формулами, тобто. визначити значення виразу a*b при a=5 і b=-3. Найчастіше учні нехтують дужками і під час дії множення, вважаючи що знак множення мається на увазі. Наприклад, можливий такий запис: 5*-3.

Література

1. А.І. Азаров, С.А. Барвенов «Функціональний та графічний методи вирішення екзаменаційних завдань», Мн.. Аверсев, 2004

2. О.М. Пірютко «Типові помилки на централізованому тестуванні», Мн.. Аверсев, 2006

3. А.І. Азаров, С.А. Барвенов «Завдання-пастки на централізованому тестуванні», Мн.. Аверсев, 2006

4. А.І. Азаров, С.А. Барвенов «Методи вирішення тригонометричних завдань», Мн.. Аверсев, 2005

Числові та алгебраїчні вирази. Перетворення виразів.

Що таке вираз у математиці? Навіщо потрібні перетворення виразів?

Питання, як кажуть, цікаве... Справа в тому, що ці поняття – основа всієї математики. Вся математика складається з виразів та їх перетворень. Не дуже зрозуміло? Поясню.

Припустимо, перед вами злий приклад. Дуже великий та дуже складний. Допустимо, ви сильні в математиці і нічого не боїтеся! Чи зможете відразу дати відповідь?

Вам прийдеться вирішуватицей приклад. Послідовно, крок за кроком, цей приклад спрощувати. За певними правилами, звісно. Тобто. робити перетворення виразів. Наскільки успішно ви проведете ці перетворення, настільки ви сильні в математиці. Якщо ви не вмієте робити правильні перетворення, у математиці ви не зможете зробити ні-чого...

Щоб уникнути такого незатишного майбутнього (або сьогодення...), не заважає розібратися у цій темі.)

Для початку з'ясуємо, що таке вираз у математиці. Що таке числове виразі що таке алгебраїчний вираз.

Що таке вираз у математиці?

Вираз у математиці– це дуже широке поняття. Практично все те, з чим ми маємо справу з математики - це набір математичних виразів. Будь-які приклади, формули, дроби, рівняння тощо - це все складається з математичних виразів.

3+2 – це математичний вираз. з 2 - d 2- Це теж математичний вираз. І здорова дріб, і навіть одне число - це все математичні вирази. Рівняння, наприклад, ось таке:

5х + 2 = 12

складається з двох математичних виразів, поєднаних знаком рівності. Один вираз – ліворуч, інший – праворуч.

У загальному вигляді термін " математичний виразЗастосовуються, найчастіше, щоб не мукати. Запитають вас, що таке звичайна дріб, наприклад? І як відповісти?!

Перший варіант відповіді: "Це... м-м-м-м... така штука... у якій... А можна я краще напишу дріб? Вам яку?

Другий варіант відповіді: "Звичайний дріб - це (бадьоро і радісно!) математичний вираз , Що складається з чисельника та знаменника!"

Другий варіант якось солідніше буде, правда?)

Ось у цих цілях фраза " математичний вираз дуже хороша. І правильно, і солідно. Але для практичного застосування треба добре розбиратися в конкретних видах виразів у математиці .

Конкретний вид-це інша справа. Це зовсім інша справа!У кожного виду математичних виразів є свійнабір правил та прийомів, який необхідно використовувати під час вирішення. Для роботи з дробами – один набір. Для роботи з тригонометричними виразами – другий. Для роботи з логарифмами – третій. І так далі. Десь ці правила збігаються, десь різко відрізняються. Але не лякайтеся цих страшних слів. Логарифми, тригонометрію та інші загадкові речі ми освоюватимемо у відповідних розділах.

Тут ми освоїмо (або - повторимо, кому як...) два основні види математичних виразів. Числові вирази та алгебраїчні вирази.

Числові вирази.

Що таке числове вираз? Це дуже просте поняття. Сама назва натякає, що це вираз із числами. Саме так воно і є. Математичний вираз, складений із чисел, дужок та знаків арифметичних дій називається числовим виразом.

7-3 - числове вираження.

(8 +3,2) · 5,4 - теж числове вираження.

І ось цей монстр:

теж числове вираження, так...

Звичайне число, дріб, будь-який приклад на обчислення без іксів та інших букв - все це числові вирази.

Головна ознака числовоговисловлювання - у ньому немає букв. Жодних. Тільки числа та математичні значки (якщо треба). Все просто, правда?

І що можна робити з числовими виразами? Числові висловлювання, зазвичай, вважатимуться. І тому доводиться, буває, розкривати дужки, міняти знаки, скорочувати, міняти місцями доданки - тобто. робити перетворення виразів. Але про це трохи нижче.

Тут же ми розберемося з таким кумедним випадком, коли з числовим виразом нічого робити не треба.Ну ось зовсім нічого! Ця приємна операція - нічого не робити)- виконується, коли вираз не має сенсу.

Коли числове вираження немає сенсу?

Зрозуміло, якщо ми бачимо перед собою якусь абракадабру, типу

щось робити нічого і не будемо. Бо незрозуміло, що із цим робити. Безглуздя якесь. Хіба що, порахувати кількість плюсиків.

Але бувають зовні цілком пристойні вирази. Наприклад таке:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однак, цей вираз теж не має сенсу! З тієї простої причини, що у других дужках – якщо порахувати – виходить нуль. А на нуль ділити не можна! Це заборонена операція з математики. Отже, із цим виразом теж нічого робити не треба. За будь-якого завдання з таким виразом, відповідь буде завжди одна: "Вираз не має сенсу!"

Щоб дати таку відповідь, довелося, звичайно, порахувати, що у дужках буде. А іноді в скобочках такого наворочено... Ну, тут уже нічого не поробиш.

Заборонених операцій у математиці не так уже й багато. У цій темі – лише одна. Ділення на нуль. Додаткові заборони, що виникають у коренях та логарифмах, обговорюються у відповідних темах.

Отже, уявлення про те, що таке числове вираз– отримали. Концепція числове вираження немає сенсу– усвідомили. Їдемо далі.

Алгебраїчні вирази.

Якщо в числовому виразі з'являються літери – це вираз стає… Вираз стає… Так! Воно стає алгебраїчним виразом. Наприклад:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 м/н; x 2+4x-4; (а+b) 2; ...

Ще такі вирази називають буквене вирази.Або виразами із змінними.Це, практично, те саме. Вираз 5а +с, Наприклад - і буквене, і алгебраїчне, і вираз зі змінними.

Концепція алгебраїчний вираз -ширше, ніж числове. Воно включає в себеі всі числові вирази. Тобто. числове вираз - це теж вираз алгебри, тільки без букв. Будь-яка оселедець - риба, але не всяка риба - оселедець...)

Чому буквене- Зрозуміло. Ну, якщо літери є... Фраза вираз зі зміннимитеж не сильно спантеличує. Якщо розуміти, що під буквами ховаються цифри. Будь-які числа можуть ховатися під буквами ... І 5, і -18, і все, що завгодно. Тобто букву можна замінюватина різні числа. Тому літери і називаються змінними.

У виразі у+5наприклад, у- Змінна величина. Або говорять просто змінна", без слова "величина". На відміну від п'ятірки, яка – величина стала. Або просто - постійна.

Термін алгебраїчний виразозначає, що для роботи з цим виразом потрібно використовувати закони та правила алгебри. Якщо арифметикапрацює з конкретними числами, то алгебра- З усіма числами разом. Простий приклад пояснення.

В арифметиці можна записати, що

А от якщо ми таку рівність запишемо через вирази алгебри:

а + b = b + a

ми відразу вирішимо всіпитання. Для всіх чиселмахом. Для всієї нескінченної кількості. Тому що під літерами аі bмаються на увазі всічисла. І не тільки числа, а й інші математичні висловлювання. Ось так працює алгебра.

Коли вираз алгебри не має сенсу?

Про числове вираз все відомо. Там на нуль ділити не можна. А з літерами, хіба можна дізнатися, на що ділимо?

Візьмемо для прикладу такий вираз зі змінними:

2: (а - 5)

Чи має воно сенс? Та хто ж його знає? а- будь-яке число...

Будь-яке будь-яке... Але є одне значення а, при якому цей вираз точноне має сенсу! І що за число? Так! Це 5! Якщо змінну азамінити (кажуть - "підставити") на число 5, у дужках нуль вийде. На яку ділити не можна. Ось і виходить, що наш вираз не має сенсу, якщо а = 5. Але при інших значеннях асенс є? Інші числа підставити можна?

Звісно. Просто в таких випадках кажуть, що вираз

2: (а - 5)

має сенс для будь-яких значень а, крім а = 5 .

Весь набір чисел, які можна, можливопідставляти в заданий вираз, називається областю допустимих значеньцього виразу.

Як бачите, нічого хитрого нема. Дивимося на вираз зі змінними, та розуміємо: за якого значення змінної виходить заборонена операція (розподіл на нуль)?

А потім обов'язково дивимось на запитання завдання. Чого питають?

не має сенсу, наше заборонене значення буде відповіддю.

Якщо запитують, за якого значення змінної вираз має сенс(відчуйте різницю!), відповіддю будуть всі інші числакрім забороненого.

Навіщо нам сенс висловлювання? Є він, немає його... Яка різниця? Справа в тому, що це поняття стає дуже важливим у старших класах. Вкрай важливим! Це основа таких солідних понять, як область допустимих значень чи область визначення функції. Без цього ви взагалі не зможете вирішувати серйозні рівняння чи нерівності. Ось так.

Перетворення виразів. Тотожні перетворення.

Ми познайомилися з числовими та алгебраїчними виразами. Зрозуміли, що означає фраза "вираз немає сенсу". Тепер треба розібратися, що таке перетворення виразів.Відповідь проста, до неподобства.) Це будь-яка дія з виразом. І все. Ви ці перетворення робили з першого класу.

Візьмемо крутий числовий вираз 3+5. Як його можна перетворити? Так, дуже просто! Порахувати:

Ось цей розрахунок і буде перетворення виразу. Можна записати те саме вираз по-іншому:

Тут ми взагалі нічого не рахували. Просто записали вираз у іншому вигляді.Це також буде перетворенням висловлювання. Можна записати ось так:

І це теж – перетворення вираження. Таких перетворень можна наробити скільки захочеш.

Будь-якедія над виразом, будь-яказапис його в іншому вигляді називається перетворенням виразу. І всі справи. Все дуже просто. Але є тут одне дуже важливе правило.Таке важливе, що його сміливо можна назвати головним правиломвсієї математики. Порушення цього правила неминучепризводить до помилок. Вникаємо?)

Припустимо, ми перетворили наш вираз абияк, ось так:

Перетворення? Звісно. Ми ж записали вираз у іншому вигляді, що тут не так?

Все не так.) Справа в тому, що перетворення "як потрапило"математику не цікавлять взагалі.) Вся математика побудована на перетвореннях, у яких змінюється зовнішній вигляд, але суть висловлювання не змінюється.Три плюс п'ять можна записати в будь-якому вигляді, але це має бути вісім.

Перетворення, не мінливі суті вираженняназиваються тотожними.

Саме тотожні перетворенняі дозволяють нам, крок за кроком, перетворювати складний приклад на простий вираз, зберігаючи суть прикладу.Якщо в ланцюжку перетворень ми помилимося, зробимо не тотожне перетворення, далі ми вирішуватимемо вже іншийприклад. З іншими відповідями, які не мають відношення до правильних.)

Ось і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.

Приклад із числовими виразами 3+5 я навів для наочності. У виразах алгебри тотожні перетворення даються формулами і правилами. Скажімо, в алгебрі є формула:

a(b+c) = ab + ac

Отже, ми у будь-якому прикладі можемо замість висловлювання a(b+c)сміливо написати вираз ab + ac. І навпаки. Це тотожне перетворення.Математика надає нам вибір із цих двох висловів. А яке з них писати - від конкретного прикладу залежить.

Ще приклад. Одне з найголовніших і необхідних перетворень - це основна властивість дробу. Докладніше можна за посиланням подивитися, а тут просто нагадаю правило: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, або нерівне нулю вираз, дріб не зміниться.Ось вам приклад тотожних перетворень за цією властивістю:

Як ви, напевно, здогадалися, цей ланцюжок можна продовжувати нескінченно...) Дуже важлива властивість. Саме воно дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади на білі та пухнасті.)

Формул, що задають тотожні перетворення - багато. Але найголовніших – цілком розумна кількість. Одне з базових перетворень – розкладання на множники. Воно використовується у всій математиці – від елементарної до вищої. З нього і почнемо. У наступному уроці.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор за найкориснішими ресурсами для

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: "спростіть вираз".Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:

"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.

Зараз я навчу тебе не боятися жодних таких завдань.

Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (лише!) звичайного числа (так-так, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробамиі розкладати багаточлени на множники.

Тому, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою теми «» та «».

Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.

Let"s go! (Поїхали!)

Базові операції спрощення виразів

Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший з них – це

1. Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел.

Подібні- це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною.

Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Навести подібні- означає скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети.

Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз?

Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .

А тепер спробуй такий вираз: .

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети.

Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл.

стільця стільця стільців стільців стільців стільців

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами.

Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він дорівнює.

Отже, правило приведення таких:

Приклади:

Наведіть такі:

Відповіді:

2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів.

Після того як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібний розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору.

Особливо це важливо у дробах:адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене.

Для цього розв'яжи кілька прикладів (потрібно розкласти на множники)

Приклади:

Рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне й те саме число (або на один і той самий вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник та знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

Приклади:

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так:

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.

Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: .

Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна й одразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Приклади:

Рішення:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

Відповіді:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.
ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
Додавання та віднімання дробів:
;
Розмноження та розподіл дробів:
;

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного виразу призводить до тотожно рівного йому виразу.

Наприклад, у виразі 3+x число 3 можна замінити сумою 1+2 , при цьому вийде вираз (1+2)+x , який тотожно дорівнює вихідному виразу. Інший приклад: у виразі 1+a 5 ступінь a 5 можна замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a 4 . Це дасть нам вираз 1+a·a 4 .

Дане перетворення, безперечно, штучно, і зазвичай є підготовкою до будь-яких подальших перетворень. Наприклад, у сумі 4×3 +2×2, враховуючи властивості ступеня, доданок 4×3 можна подати у вигляді твору 2×2×2×2. Після такого перетворення вихідний вираз набуде вигляду 2 x 2 x 2 x 2 x 2 . Очевидно, складові в отриманій сумі мають загальний множник 2 x 2 таким чином, ми можемо виконати наступне перетворення - винесення за дужки. Після нього ми прийдемо до виразу: 2 · x 2 · (2 · x + 1).

Додаток та віднімання одного і того ж числа

Іншим штучним перетворенням висловлювання є додаток і одночасне віднімання однієї й тієї числа чи висловлювання. Таке перетворення є тотожним, оскільки воно, по суті, еквівалентне додавання нуля, а додавання нуля не змінює значення.

Розглянемо приклад. Візьмемо вираз x 2 +2 · x. Якщо до нього додати одиницю і відібрати одиницю, це дозволить надалі виконати ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1.

Список літератури.

Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.

Основні властивості складання та множення чисел.

Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків значення суми не змінюється. Для будь-яких чисел a і b правильна рівність

Сполучна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього. Для будь-яких чисел a, b і c вірна рівність

Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників значення твору не змінюється. Для будь-яких чисел а, b і c вірна рівність

Сполучна властивість множення: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього.

Для будь-яких чисел а, b і c вірна рівність

Розподільча властивість: щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожен доданок і скласти отримані результати. Для будь-яких чисел a, b і c вірна рівність

З переміщувального та поєднувального властивостей додавання випливає: у будь-якій сумі можна як завгодно переставляти доданки і довільним чином об'єднувати їх у групи.

Приклад 1 Обчислимо суму 1,23 +13,5 +4,27.

Для цього зручно поєднати перший доданок з третім. Отримаємо:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

З переміщувального та поєднувального властивостей множення випливає: у будь-якому творі можна як завгодно переставляти множники і довільним чином об'єднувати їх у групи.

Приклад 2 Знайдемо значення твору 1,8 0,25 64 0,5.

Об'єднавши перший множник із четвертим, а другий із третім, матимемо:

1,8 · 0,25 · 64 · 0,5 = (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) = 0,9 · 16 = 14,4.

Розподільна властивість справедлива і в тому випадку, коли число множиться на суму трьох і більше доданків.

Наприклад, для будь-яких чисел a, b, c і d вірна рівність

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Ми знаємо, що віднімання можна замінити додаванням, додавши до зменшуваного число, протилежне віднімається:

Це дозволяє числове вираз виду a-b вважати сумою чисел a та -b, числове вираз виду a+b-c-d вважати сумою чисел a, b, -c, -d тощо. Розглянуті властивості дій справедливі і для таких сум.

Знайдемо значення виразу 3,27-6,5-2,5+1,73.

Цей вираз є сумою чисел 3,27, -6,5, -2,5 та 1,73. Застосувавши властивості додавання, отримаємо: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Приклад 4 Обчислимо добуток 36 · ().

Множник можна розглядати як суму чисел та -. Використовуючи розподільну властивість множення, отримаємо:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Тотожності

Визначення. Два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Визначення. Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.

Знайдемо значення виразів 3(x+y) та 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Ми отримали той самий результат. З розподільчої властивості випливає, що взагалі при будь-яких змінних значеннях відповідні значення виразів 3(x+y) і 3x+3y рівні.

Розглянемо тепер вирази 2x+y та 2xy. При x=1, y=2 вони набувають рівних значень:

Однак можна вказати такі значення x та y, при яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо x = 3, y = 4, то

Вирази 3(x+y) та 3x+3y є тотожно рівними, а вирази 2x+y та 2xy не є тотожно рівними.

Рівність 3(x+y)=x+3y, правильне за будь-яких значеннях x і y, є тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності.

Так, тотожностями є рівності, що виражають основні властивості дій над числами:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можна навести й інші приклади тотожності:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тотожні перетворення виразів

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Щоб знайти значення виразу xy-xz при заданих значеннях x, y, z треба виконати три дії. Наприклад, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 отримуємо:

xy-xz = 2,3 · 0,8-2,3 · 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Цей результат можна отримати, виконавши лише дві дії, якщо скористатися виразом x(y-z), тотожно рівним виразу xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 · 0,6 = 1,38.

Ми спростили обчислення, замінивши вираз xy-xz тотожно рівним виразом x(y-z).

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вже доводилося виконувати, наприклад, приведення подібних доданків, розкриття дужок. Нагадаємо правила виконання цих перетворень:

щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і результат помножити на загальну літерну частину;

якщо перед дужками стоїть знак "плюс", то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки;

якщо перед дужками стоїть знак "мінус", то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданку, укладеного у дужки.

Приклад 1 Наведемо такі складові в сумі 5x+2x-3x.

Скористаємося правилом приведення подібних доданків:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Це перетворення ґрунтується на розподільчій властивості множення.

Приклад 2 Розкриємо дужки у виразі 2a+(b-3c).

Застосувавши правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак "плюс":

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведене перетворення ґрунтується на комбінаційній властивості додавання.

Приклад 3 Розкриємо дужки у виразі a-(4b-c).

Скористаємося правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак "мінус":

a-(4b-c)=a-4b+c.

Виконане перетворення засноване на розподільчій властивості множення та сполучній властивості додавання. Покажемо це. Представимо у цьому виразі другий доданок -(4b-c) як твори (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Застосувавши зазначені властивості дій, отримаємо:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.