При загасаючих коливаннях коефіцієнт загасання. Коефіцієнт згасання коливань

Насправді вільні коливання відбуваються за умов дії сил опору. Дисипативні сили ведуть до зменшення амплітуди коливань. Коливання, амплітуда яких з часом стає меншою внаслідок втрат енергії, називаються загасаючими.

Загасаючі механічні коливання

ВИЗНАЧЕННЯ

Фізичну величину, що характеризує швидкість загасання коливань, називають коефіцієнтом згасання. Коефіцієнт згасання можуть означати по-різному: і т.д. За умови пропорційності сил тертя швидкості руху тіла:

де - є узагальненим коефіцієнтом тертя, коефіцієнт загасання вважають рівним:

де - маса тіла, що здійснює коливання.

Диференціальне рівняння коливань за наявності загасання матиме вигляд:

- циклічна частота вільних коливань системи за відсутності тертя.

Рівняння загасаючих коливань:

де - Частота загасаючих коливань, - Амплітуда загасаючих коливань. - Постійна величина, яка залежить від вибору початку відліку часу.

Коефіцієнт згасання можна визначити як величину обернену часу () за яку амплітуд (A) зменшується в e раз:

де – час релаксації. Тобто можна записати:

Період загасаючих коливань дорівнює:

при несуттєвому опорі середовища, якщо виконується нерівність: період коливань можна обчислювати за допомогою формули:

У разі збільшення коефіцієнта згасання період коливань зростає. Слід зазначити, що поняття період загасаючих коливань не збігається з поняттям коливань, що не згасають, оскільки система за наявності згасання ніколи не повертається у вихідний стан. Період загасаючих коливань - це мінімальний проміжок часу протягом якого система двічі проходить положення рівноваги в одному напрямку.

Зі збільшенням коефіцієнта згасання коливань частота коливань зменшується. Якщо , то частота загасаючих коливань дорівнюватиме нулю, при цьому період збільшується до нескінченності. Такі коливання втрачають періодичність і називаються аперіодичними. При рівності коефіцієнта згасання своєї частоті коливань параметри системи називають критичними.

Коефіцієнт згасання коливань пов'язаний з логарифмічним декрементом згасання () виразом:

Затухаючі електричні коливання

Будь-який електричний контур, що існує в реальній дійсності, має активний опір, отже, енергія, запасена в ньому з часом витрачається на цьому опорі, оскільки відбувається його нагрівання.

При цьому коефіцієнт загасання електричного контуру обчислюють як:

де R - опір, L-індуктивність контуру.

Частота в електромагнітному контурі представлена ​​формулою:

Для RLC контуру критичним опором () при якому коливання стають аперіодичними є опір, що дорівнює:

знаходять при

Одиниці виміру коефіцієнта згасання коливань

Основною одиницею вимірювання коефіцієнта згасання в системі СІ є:

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання	Який коефіцієнт загасання, якщо амплітуда коливань маятника протягом t=10 c. зменшується у 4 рази?
Рішення	Запишемо рівняння загасаючих коливань маятника: За одним із визначень коефіцієнта згасання: Проведемо обчислення:
Відповідь

ПРИКЛАД 2

Завдання	Коливальний контур складається з котушки індуктивності L, конденсатора C та опору R (рис.1). Через скільки повних коливань (N) амплітуда струму в контурі зменшиться в e -раз?
Рішення	Введемо такі позначення: - Початкове значення амплітуди сили струму, - Амплітуда сили струму через N коливань, тоді можна записати:

1.21. 3АТУХАЮЧІ, ЗМІШЕНІ КОЛИВАННЯ

Диференціальне рівняння загасаючих коливань та його розв'язання. Коефіцієнт згасання. Логарифмічний груденьРемент згасання.Добротність коливанняної системи.Аперіодичний процес. Диференціальне рівняння вимушених коливань та його вирішення.Амплітуда та фаза вимушених коливань. Процес встановлення коливань. Випадок резонансу.Автоколивання.

Згасанням коливань називається поступове зменшення амплітуди коливань з часом, обумовлене втратою енергії коливальною системою.

Власні коливання без загасання – це ідеалізація. Причини згасання можуть бути різні. У механічній системі до загасання коливань наводить наявність тертя. Коли витрачається вся енергія, запасена в коливальній системі, коливання припиняться. Тому амплітуда загасаючих коливань зменшується, доки стане рівної нулю.

Загасні коливання, як і власні, в системах, різних за своєю природою, можна розглядати з єдиної точки зору - загальних ознак. Однак такі характеристики, як амплітуда і період, вимагають перевизначення, а інші – доповнення та уточнення порівняно з такими самими ознаками для власних коливань. Загальні ознаки та поняття загасаючих коливань такі:

Диференціальне рівняння має бути отримане з урахуванням зменшення в процесі коливань коливальної енергії.

Рівняння коливань – розв'язання диференціального рівняння.

Амплітуда загасаючих коливань залежить від часу.

Частота та період залежать від ступеня згасання коливань.

Фаза і початкова фаза мають той самий сенс, що й для невгамовних коливань.

Механічні загасаючі коливання.

Механічна система : пружинний маятник з урахуванням сил тертя.

Сили, що діють на маятник :

Пружна сила., де k - Коефіцієнт жорсткості пружини, х - зсув маятника від положення рівноваги.

Сила опору. Розглянемо силу опору, пропорційну швидкості v руху (така залежність й у великого класу сил опору): . Знак "мінус" показує, що напрямок сили опору протилежний напрямку швидкості руху тіла. Коефіцієнт опору r чисельно дорівнює силі опору, що виникає при одиничній швидкості руху тіла:

Закон руху пружинного маятника - це другий закон Ньютона:

m a = Fупр. + Fсопр.

Враховуючи, що і , Запишемо другий закон Ньютона у вигляді:

. (21.1)

Розділивши всі члени рівняння на m, перенісши їх у праву частину, отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань:

Позначимо, де β – коефіцієнт згасання , , де ω 0 - Частота незатухаючих вільних коливань без втрат енергії в коливальній системі.

У нових позначеннях диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

. (21.2)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку.

Це лінійне диференціальне рівняння вирішується заміною змінних. Представимо функцію х, яка залежить від часу t, у вигляді:

.

Знайдемо першу та другу похідну цієї функції від часу, враховуючи, що функція z також є функцією часу:

, .

Підставимо вирази у диференціальне рівняння:

Наведемо такі члени в рівнянні і скоротимо кожен член на , отримаємо рівняння:

.

Позначимо величину .

Рішенням рівняння є функції , .

Повертаючись до змінної х, отримаємо формули рівнянь загасаючих коливань:

Таким чином рівняння загасаючих коливаньє рішення диференціального рівняння (21.2):

Частота загасаючих коливань :

(Фізичний сенс має тільки речовий корінь, тому).

Період загасаючих коливань :

(21.5)

Сенс, який вкладався в поняття періоду для коливань, що не згасають, не підходить для загасаючих коливань, оскільки коливальна система ніколи не повертається у вихідний стан через втрат коливальної енергії. За наявності тертя коливання йдуть повільніше: .

Періодом загасаючих коливань називається мінімальний проміжок часу, протягом якого система проходить двічі положення рівноваги щодо одного напрямі.

Для механічної системи пружинного маятника маємо:

, .

Амплітуда загасаючих коливань :

Для пружинного маятника.

Амплітуда загасаючих коливань – величина не постійна, а змінюється згодом тим швидше, що більше коефіцієнт β. Тому визначення для амплітуди, дане раніше для вільних коливань, що загасають, для загасаючих коливань треба змінити.

При невеликих згасаннях амплітудою загасаючих коливань називається найбільше відхилення від положення рівноваги у період.

Графіки залежності усунення від часу та амплітуди від часу представлені на Рисунках 21.1 та 21.2.

Рисунок 21.1 – Залежність усунення від часу для загасаючих коливань.

Рисунок 21.2 – Залежності амплітуди від часу для загасаючих коливань

Характеристики загасаючих коливань.

1. Коефіцієнт згасання β .

Зміна амплітуди загасаючих коливань відбувається за експоненційним законом:

Нехай за час амплітуда коливань зменшиться в “e” раз (“е” – основа натурального логарифму, е ≈ 2,718). Тоді, з одного боку, , а з іншого боку, розписавши амплітуди А зат. (t) та А закл. (t+τ), маємо . З цих співвідношень випливає βτ = 1, звідси.

Проміжок часу τ , За який амплітуда зменшується в “е” разів, називається часом релаксації.

Коефіцієнт згасання β – величина, обернено пропорційна часу релаксації.

2. Логарифмічний декремент згасання δ - фізична величина, чисельно рівна натуральному логарифму відношення двох послідовних амплітуд, що віддаляться за часом на період.

Якщо згасання невелике, тобто. величина β мала, то амплітуда трохи змінюється за період, і логарифмічний декремент можна визначити так:

,

де А зат. (t) та А закл. (t + NT) - амплітуди коливань в момент часу е і через N періодів, тобто в момент часу (t + NT).

3. Добротність Q коливальної системи – безрозмірна фізична величина, що дорівнює добутку величини (2π) νа відношення енергії W(t) системи в довільний момент часу до втрат енергії за один період загасаючих коливань:

.

Оскільки енергія пропорційна квадрату амплітуди, то

При малих значеннях логарифмічного декременту δ добротність коливальної системи дорівнює

,

де N e - Число коливань, за яке амплітуда зменшується в "е" раз.

Так, добротність пружинного маятника -. Чим більша добротність коливальної системи, тим менше загасання, тим довше триватиме періодичний процес у такій системі. Добротність коливальної системи -безрозмірна величина, що характеризує дисипацію енергії у часі.

4. При збільшенні коефіцієнта β частота загасаючих коливань зменшується, а період збільшується. При ω 0 = β частота загасаючих коливань стає рівною нулю запот. = 0, а Т закл. = ∞. При цьому коливання втрачають періодичний характер і називаються аперіодичними.

При ω 0 = β параметри системи, відповідальні за зменшення коливальної енергії, приймають значення, звані критичними . Для пружинного маятника умова ω 0 = β запишеться так: звідки знайдемо величину критичного коефіцієнта опору:

.

Рис. 21.3. Залежність амплітуди аперіодичних коливань від часу

Вимушені коливання.

Усі реальні коливання є загасаючими. Щоб реальні коливання відбувалися досить довго, потрібно періодично поповнювати енергію коливальної системи, діючи на неї зовнішньою силою, що періодично змінюється.

Розглянемо явище коливань, якщо зовнішня (Вимушуюча) сила змінюється залежно від часу за гармонійним законом. При цьому в системах виникнуть коливання, характер яких тією чи іншою мірою повторить характер сили, що змушує. Такі коливання називаються вимушеними .

Загальні ознаки вимушених механічних вагань.

1. Розглянемо вимушені механічні коливання пружинного маятника, на який діє зовнішня (змушує ) періодична сила . Сили, що діють на маятник, одного разу виведений зі становища рівноваги, розвиваються в самій коливальній системі. Це сила пружності та сила опору.

Закон руху (другий закон Ньютона) запишеться так:

(21.6)

Розділимо обидві частини рівняння на m, врахуємо, що , і отримаємо диференціальне рівняння вимушених коливань:

Позначимо ( β – коефіцієнт згасання ), (ω 0 - Частота незатухають вільних коливань), сила, що діє на одиницю маси. У цих позначеннях диференціальне рівняння вимушених коливань набуде вигляду:

(21.7)

Це диференціальне рівняння другого порядку з правою частиною, відмінною від нуля. Рішення такого рівняння є сумою двох рішень

.

– загальне рішення однорідного диференціального рівняння, тобто. диференціального рівняння без правої частини, коли вона дорівнює нулю. Таке рішення нам відомо – це рівняння загасаючих коливань, записане з точністю до постійної, значення якої визначається початковими умовами коливальної системи:

Ми раніше обговорювали, що рішення може бути записано через функції синуса.

Якщо розглядати процес коливань маятника через досить великий проміжок часу Δt після включення сили, що змушує (Малюнок 21.2), то загасаючі коливання в системі практично припиняться. І тоді рішенням диференціального рівняння із правою частиною буде рішення.

Рішення - це окреме рішення неоднорідного диференціального рівняння, тобто. рівняння із правою частиною. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що при правій частині, що змінюється за гармонічним законом, рішення буде гармонічною функцією (sin або cos) із частотою зміни, що відповідає частоті Ω зміни правої частини:

де А ампл. – амплітуда вимушених коливань, φ 0 – зрушення фаз , тобто. різницю фаз між фазою змушує сили і фазою вимушених коливань. І амплітуда А ампл. , Зсув фаз φ 0 залежать від параметрів системи (β, ω 0) і від частоти змушує сили Ω.

Період вимушених коливань дорівнює (21.9)

Графік вимушених коливань на малюнку 4.1.

Рис.21.3. Графік вимушених коливань

Вимушені коливання, що встановилися, є так само гармонічними.

Залежність амплітуди вимушених коливань і зсуву фаз від частоти зовнішнього впливу. Резонанс.

1. Повернемося до механічної системи пружинного маятника, на який діє зовнішня сила, що змінюється за гармонійним законом. Для такої системи диференціальне рівняння та його рішення відповідно мають вигляд:

, .

Проаналізуємо залежність амплітуди коливань і зсуву фаз від частоти зовнішньої сили, що примушує, для цього знайдемо першу і другу похідну від х і підставимо в диференціальне рівняння.

Скористаємося методом векторної діаграми. З рівняння видно, що сума трьох коливань у лівій частині рівняння (Малюнок 4.1) повинна дорівнювати коливанню в правій частині. Векторна діаграма виконана довільного моменту часу t. З неї можна визначити.

Малюнок 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Враховуючи значення , ,, отримаємо формули для 0 і А ампл. механічної системи:

,

.

2. Досліджуємо залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушальної сили і величини сили опору в механічній системі, що коливається, за цими даними побудуємо графік . Результати дослідження відображені в Рисунку 21.5, за ними видно, що при певній частоті сили, що змушує. амплітуда коливань різко зростає. І це зростання тим більше, що менше коефіцієнт загасання β. При амплітуда коливань стає нескінченно великою.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при частоті сили, що змушує, що дорівнює називається резонансом.

(21.12)

Криві на Малюнку 21.5 відображають залежність і називаються амплітудними резонансними кривими .

Рисунок 21.5 – Графіки залежності амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує.

Амплітуда резогансних коливань набуде вигляду:

Вимушені коливання – це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес негайних коливань у таких системах – автоколиваннями.

В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи – коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 21.6 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 21.7.). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер (якорек) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник – балансиром – маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною.

Малюнок 21.7. Часовий механізм із маятником.

Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир. Джерелом енергії – піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод.

Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.

Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.

Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.

Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі, є електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.

Таблиця формул: коливання та хвилі

Фізичні закони, формули, змінні	Формули коливання та хвилі
Рівняння гармонійних коливань: де х - зміщення (відхилення) величини, що коливається від положення рівноваги; А – амплітуда; ω - кругова (циклічна) частота; α - початкова фаза; (ωt+α) - фаза.
Зв'язок між періодом та круговою частотою:
Частота:
Зв'язок кругової частоти з частотою:
Періоди власних коливань 1) пружинного маятника: де k – жорсткість пружини; 2) математичного маятника: де l - довжина маятника, g – прискорення вільного падіння; 3) коливального контуру: де L - індуктивність контуру, С – ємність конденсатора.
Частота своїх коливань:
Складання коливань однакової частоти та напряму: 1) амплітуда результуючого коливання де А 1 і А 2 - амплітуди складових коливань, α 1 і α 2 - початкові фази складових коливань; 2) початкова фаза результуючого коливання
Рівняння загасаючих коливань: е = 2,71... - основа натуральних логарифмів.
Амплітуда загасаючих коливань: де А 0 - Амплітуда в початковий момент часу; β - коефіцієнт загасання;
Коефіцієнт згасання: вагаючого тіла де r - коефіцієнт опору середовища, m – маса тіла; коливального контуру де R - активний опір, L – індуктивність контуру.
Частота загасаючих коливань ω:
Період загасаючих коливань Т:
Логарифмічний декремент згасання:
Зв'язок логарифмічного декременту і коефіцієнта загасання β:

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливання називаються вільнимиякщо вони здійснюються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшій відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання- коливання, при яких величина, що коливається, змінюється в часі за законом синуса або косинуса.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань має вигляд

де - величина, що коливається, - циклічна частота.

- Вирішення цього рівняння. Тут – амплітуда, – початкова фаза.

Фаза коливань.

Амплітуда - максимальне значення коливається величини.

Період коливань – проміжок часу, через який відбувається повторення руху тіла. Фаза коливання за період отримує збільшення. . , - Число коливань.

Частота коливань – кількість повних коливань, які відбуваються за одиницю часу. . . Вимірюється у герцах (Гц).

Циклічна частота – кількість коливань, які відбуваються протягом секунд. . Одиниця виміру .

Фаза коливань – величина, що стоїть під знаком косинуса і характеризує стан коливальної системи будь-якої миті часу.

Початкова фаза – фаза коливань у початковий час. Фаза та початкова фаза вимірюються в радіанах ().

Вільні загасаючі коливання– коливання, амплітуда яких через втрати енергії реальною коливальною системою з часом зменшується. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення на теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат та випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Диференційне рівняння вільних загасаючих коливань має вигляд

, (1)

Рішення рівняння (1) у разі малого згасання (d 2<< ) имеет вид

Проміжок часу , протягом якого амплітуда зменшується в eраз, називається часом релаксації.

Згасання порушує періодичність коливань, тому затухаючі коливання є періодичними. Однак, якщо загасання мало, то можна умовно користуватися поняттям періоду як проміжок часу між двома наступними один за одним максимумами (або мінімумами) величини, що коливається. Тоді період загасаючих коливань обчислюють за формулою

.

Якщо A(t) та A(t+T)– амплітуди двох послідовних коливань, що відповідають моментам часу, що відрізняються на період, то відношення

називається декрементом згасання, а його логарифм

– логарифмічним декрементом згасання.

Величина N e– це кількість коливань, що відбуваються за час зменшення амплітуди в еразів. Логарифмічний декремент згасання - постійна величина для цієї коливальної системи.

Для характеристики коливальної системи використовують поняття добротності Q, яка при малих значеннях логарифмічного декременту дорівнює

.

Усі реальні гармонійні коливання відбуваються за впливу сил опору, подолання яких тіло витрачає частину своєї енергії, у результаті амплітуда коливання зменшується згодом, тобто. коливання носять загасаючий характер.

Представимо графік загасаючого коливання:

Висновок диференціального рівняння загасаючого коливання.На тіло, крім сили сили пружності діє сила опору:

де r - Коефіцієнт опору.

Згідно з другим законом Ньютона можна записати:

.

Розділимо на масу m, отримаємо:

.

Введемо позначення: ,

де - коефіцієнт загасання.

Отримали диференціальне рівняння загасаючого коливання:

.

Рішення рівняння істотно залежить від знака різниці,

де ω - кругова частота загасаючих коливань, ω 0 - кругова частота своїх коливань системи (без згасання).

При ω>0 рішення диференціального рівняння буде наступним:

.

Амплітуда загасаючого коливання будь-якої миті часу t визначається рівністю:

де А 0 - Початкова амплітуда, вказана на графіку (див. рис 3).

Період Т загасаючих коливань визначається за такою формулою:

.

Швидкість згасання (швидкість зменшення амплітуди) визначається величиною коефіцієнта згасання β : чим більше β тим швидше зменшується амплітуда.

Для характеристики швидкості загасання запровадили поняття декременту згасання.

Декрементом згасання називається відношення двох сусідніх амплітуд, розділених періодом:

Насправді ступінь згасання характеризується логарифмічним декрементом згасання λ , рівним:

Виведемо формулу, яка зв'язує логарифмічний декремент згасання λ з коефіцієнтом згасання β та періодом коливання Т .

Отже:

Виведемо розмірність коефіцієнта згасання

.

Вимушені коливання. Вимушеними коливанняминазиваються коливання, що виникають у системі при вплив на неї зовнішньої сили, що змінюється за періодичним законом.

Нехай на систему діє сила:

де F 0 - максимальне значення,

ω - Кругова частота коливань зовнішньої сили.

На систему діють сила сила опору та сила пружності.

З урахуванням усіх чотирьох сил на підставі другого закону Ньютона запишемо:

.

Розділимо обидві частини рівності на m , Отримаємо:

.

Введемо позначення:

Здобули диференціальне рівняння вимушеного коливання:

.

Представимо графік вимушених коливань:

На початку амплітуда коливань зростає, а потім стає постійною А .

Для вимушених коливань, що встановилися:

(Див. рис. 4)

Резонанс.Якщо ω 0 і β для системи задані, то амплітуда А вимушених коливань має максимальне значення при певній певній частоті сили, що змушує, званої резонансної . Досягнення максимальної амплітуди вимушених коливань для заданих ω 0 і β називається резонансом .

Резонансна кругова частота визначається формулою:

а резонансна амплітуда:

.

Якщо відсутня опір (β=0) , то амплітуда необмежено зростає.

Представимо на графіках залежність амплітуди вимушених коливань від кругової частоти сили, що змушує ω при різних значеннях коефіцієнта згасання:

На вигляд резонансної кривої резонанс може бути гострим при β→0 , тупим – при β→1 . (Див. рис. 5).

За механізмом порушення резонанс класифікується на:

Механічний; акустичний; електромагнітний; парамагнітний; ядерномагнітний.

Виникнення резонансних явищ в організмі може бути корисним і шкідливим. Наприклад, на акустичному резонансі засноване сприйняття звуку, інфразвук може спричинити розрив тканин внутрішніх органів.

Автоколивання.При загасаючих коливаннях енергія системи витрачається подолання опору середовища. Якщо заповнювати цю втрату енергії, то коливання стануть незагасаючими. Поповнювати цю втрачену системою енергію можна за рахунок джерела енергії ззовні, а можна зробити так, щоб система, що коливається, сама б керувала зовнішнім впливом.

Незагасні коливання, що виникають у системі за рахунок джерела енергії, що не має коливальних властивостей, називаються автоколиваннями , А самі системи - автоколивальними .

Класичним прикладом автоколивань є годинник: заведена пружина; піднята гиря - джерело енергії; анкер - регулятор надходження енергії від джерела; маятник чи баланс – коливальна система.

Амплітуда та частота автоколивань залежать від властивостей самої автоколивальної системи.