Застосування інтегрального обчислення у професійній діяльності. Конспект уроку "застосування інтеграла"

"Омська державна медична академія"

Міністерства охорони здоров'я та соціального розвитку Російської Федерації

на тему: застосування певного інтегралу

у медицині

виконала студент 1 курсу

відділення Лікувальна справа

група 102Ф

Глушнєва Н.А.

Вступ

Видатний італійський фізик і астроном, один із засновників точного природознавства, Галілео Галілей (1564-1642) говорив, що "Книга природи написана мовою математики". Майже через двісті років родоначальник німецької класичної філософії Кант (1742-1804) стверджував, що "У всякій науці стільки істини, скільки в ній математики". Зрештою, ще через майже сто п'ятдесят років, практично вже в наш час, німецький математик і логік Давид Гільберт (1862-1943) констатував: "Математика - основа найточнішого природознавства".

Леонардо Да Вінчі казав: «Хай не читає мене в основах моїх той, хто не математик». Намагаючись знайти математичне обґрунтування законів природи, вважаючи математику могутнім засобом пізнання, він застосовує її навіть у такій науці, як анатомія.

Математика всім потрібна. І медикам також. Хоча б для того, щоби грамотно прочитати звичайну кардіограму. Без знання азів математики не можна бути докою в комп'ютерній техніці, використовувати можливості комп'ютерної томографії... Адже сучасна медицина не може обходитися без найскладнішої техніки.

На сьогодні неможливо вивчення гемодинаміки-руху крові по судинах без застосування інтегралу.

Протягом тривалого часу катетеризація правих відділів серця була єдиним методом дослідження, що дозволяв оцінювати стан правих відділів серця, отримувати характеристики внутрішньосерцевого кровотоку, визначати тиск у правих відділах серця та легеневої артерії.
Основна перевага ехокардіографічного дослідження (ЕхоКГ) полягає в тому, що неінвазивно в реальному режимі часу можна оцінити розміри та рух серцевих структур, отримати характеристики внутрішньосерцевої гемодинаміки, визначити тиск у камерах серця та легеневої артерії. Доведено хорошу сумісність результатів ЕхоКГ-дослідження з даними, отриманими при катетеризації серця.
ЕхоКГ-дослідження дозволяє не тільки виявити наявність легеневої гіпертензії, але й виключити низку захворювань, що є причиною вторинної легеневої гіпертензії: вади мітрального клапана, вроджені вади серця, дилатаційна кардіоміопатія, хронічний міокардит.

Однак ближче до практики. Для початку знайдемо лінійну швидкість кровотоку

Зміна лінійної швидкості кровотоку у різних судинах

Це шлях, який проходить в одиницю часу частинкою крові в судині. Лінійна швидкість у судинах різного типу різна (див. малюнок) і залежить від об'ємної швидкості кровотоку та площі поперечного перерізу судин. У практичній медицині лінійну швидкість кровотоку вимірюють за допомогою ультразвукового та індикаторного методів, частіше визначають час повного кругообігу крові, який дорівнює 21-23 с.

Для його визначення в ліктьову вену вводять індикатор (еритроцити, мічені радіоактивним ізотопом, розчин метиленового синього та ін) і відзначають час його першої появи у венозній крові цієї судини в іншій кінцівці.

Для початку згадаємо, що інтеграл-це математичний об'єкт, який виник історично на основі потреби вирішення різних прикладних завдань фізики та техніки. Це і фізичні додатки певного інтеграла: обчислення шляху матеріальної точки, що рухається прямолінійною або криволінійною траєкторією за швидкістю її руху.

Ті фізичні величини, що визначаються з допомогою інтегралу - зазвичай називаються інтегральними, а ті величини, якими виражаються інтегральні величини - диференціальними. Наприклад, швидкість тіла у точці – це диференціальна характеристика тіла, а маса тіла – інтегральна.

Диференціальні характеристики визначаються значенням у точці і зазвичай різні у різних точках простору.

Інтегральні характеристики завжди виражають властивості об'єктів, які стосуються цілої області простору. Наприклад, маса характеризує тіло цілком як деякий об'єкт, що займає область простору. Шлях, пройдений тілом - це теж інтегральна характеристика, оскільки вона характеризує цілу траєкторію, що складається з безлічі точок, а швидкість різна в кожній точці траєкторії і характеризує кожну точку окремо.

Виникає питання - як же обчислити інтегральну швидкість для цілої судини (артерії або вени), знаючи лінійну швидкість кровотоку. Дуже просто: потрібно

• розбити всю область простору на окремі досить малі частини (наприклад, взаємно перпендикулярними площинами). У цьому випадку ми отримаємо всередині тіла безліч дрібних кубиків, усередині яких диференціальну характеристику умовно вважаємо незмінною, незмінною.
• помножити значення диференціальної характеристики всередині кожного кубика значення обсягу цього кубика і підсумувати такі твори. На цьому етапі ми отримуємо інтегральну суму. Інтегральна сума не дорівнює інтегралу в точності, але може бути його наближеним значенням.
• перейти до межі інтегральної суми, коли об'єм кубиків розбиття тіла прагне нуля. На цьому етапі ми отримуємо точне значення інтегралу лінійної швидкості.

Нижче наведені розрахунки ударного об'єму (ударний об'єм серця (син.: систолічний об'єм крові, систолічний об'єм серця, ударний об'єм крові) - об'єм крові (в мл), що викидається шлуночком серця за одну систолу) - однією з основних величин в ЕХОкг, що розраховуються при допомоги інтеграла лінійної швидкості кровотоку.

а - Схеми розрахунку ударного обсягу, а - з використанням рівняння безперервності потоку; б - з використанням рівняння безперервності потоку за наявності значної мітральної регургітації.

VTI = V cp ЕТ,

де CSA - площа поперечного перерізу, VTI - інтеграл лінійної швидкості потоку, V cp - середня швидкість потоку у виносному тракті лівого шлуночка, ЕТ - час викиду.

У тому випадку, коли є гемодинамічно значуща мітральна регургітація (більше 2-го ступеня), тотальний ударний об'єм лівого шлуночка розраховується за формулою:

TSV = FSV + RSV,

[Інтеграл лінійної швидкості (FVI, або VTI)] = [Час кровотоку (ET)] х [Середня швидкість кровотоку (Vmean)];

Серцевий викид може бути визначений інтегралом лінійної швидкості аортального і легеневого потоку.

На завершення хочу додати, що моя робота розрахована не на математика, від і до того, що розбирається в інтегруванні, а на будь-яку людину, яка виявила інтерес до застосування інтеграла в медицині. Тому я намагалася зробити її максимально доступною для сприйняття та цікавою навіть дитині.

Список літератури:

1. Хвороби серця та судин http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Гемодинаміка http://ua.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC% D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Знак інтеграла http://ua.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Медичний консиліум http://www.consilium-medicum. com/article/7144
5. Основні рівняння - Серце http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Практичний посібник з ультразвукової діагностики http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

Девіз уроку: “Математика – мова, якою говорять усі точні науки” Н.І. Лобачевський

Мета уроку: узагальнити знання учнів на тему "Інтеграл", "Застосування інтеграла"; розширити кругозір, знання про можливе застосування інтеграла до обчислення різних величин; закріпити навички використовувати інтеграл на вирішення прикладних завдань; прищеплювати пізнавальний інтерес до математики, розвивати культуру спілкування та культуру математичної мови; вміти вчитися виступати перед учнями та вчителями.

Тип уроку: повторювально-узагальнюючий.

Вигляд уроку: урок – захист проекту “Застосування інтегралу”.

Обладнання: магнітна дошка, плакати "Застосування інтеграла", картки з формулами та завданнями для самостійної роботи.

План уроку:

1. Захист проекту:

1. з історії інтегрального обчислення;
2. властивості інтегралу;
3. застосування інтегралу у математиці;
4. застосування інтегралу у фізиці;

2. Рішення вправ.

Хід уроку

Вчитель: Потужним засобом дослідження з математики, фізики, механіки та інших дисциплін є певний інтеграл – одне з основних понять математичного аналізу. Геометричний зміст інтеграла – площа криволінійної трапеції. Фізичний зміст інтеграла - 1) маса неоднорідного стрижня з щільністю, 2) переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю за проміжок часу.

Вчитель: Хлопці нашого класу провели велику роботу, вони підібрали завдання, де застосовується певний інтеграл. Їм слово.

2 учень: Властивості інтеграла

3 учень: Застосування інтеграла (на магнітній дошці таблиця).

4 учень: Розглядаємо застосування інтегралу в математиці для обчислення площі фігур.

Площа будь-якої плоскої фігури, що розглядається в прямокутній системі координат, може бути складена з площ криволінійних трапецій, що прилягають до осі Охта осі Оу.Площа криволінійної трапеції, обмеженою кривою у = f(х),віссю Охта двома прямими х = аі х = b,де а х b, f(х) 0обчислюється за формулою див. Рис.Якщо криволінійна трапеція прилягає до осі Оу, то її площа обчислюється за формулою , Див. Рис.При обчисленні площ фігур можуть представитися такі випадки: а) Фігура розташована над віссю Ох і обмежена віссю Ох, кривою у = f (х) і двома прямими х = а і х = b. (Див. Рис.) Площа цієї фігури знаходиться за формулою 1 або 2. б) Фігура розташована під віссю Ох і обмежена віссю Ох, кривою у=f(х) та двома прямими х=а та х=b (див. Рис.). Площа знаходиться за формулою . в) Фігура розташована над і під віссю Ох і обмежена віссю Ох, кривою у=f(х) та двома прямими х=а та х=b( Рис.). г) Площа обмежена двома кривими, що перетинаються, у=f(х) і у = (х) ( Рис.)

5 учень: Розв'яжемо задачу

х-2у+4=0 і х+у-5+0 та у=0

7 учень: Інтеграл, що широко застосовується у фізиці. Слово фізикам.

1. ВИЧИСЛЕННЯ ШЛЯХУ, ПРОЙДЕНОГО ТОЧКОЮ

Шлях, пройдений точкою при нерівномірному русі по прямій зі змінною швидкістю за проміжок часу від обчислюється за формулою .

Приклади:

1. Швидкість руху точки м/с. Знайти шлях, пройдений точкою за 4 секунду.

Рішення: згідно з умовою, . Отже,

2. Два тіла почали рухатися одночасно з однієї точки в одному напрямку прямою. Перше тіло рухається зі швидкістю м/с, друге - зі швидкістю v = (4t+5)м/с. На якій відстані вони будуть через 5 с?

Рішення: очевидно, що потрібна величина є різниця відстаней, пройдених першим і другим тілом за 5 с:

3. Тіло кинуто з поверхні землі вертикально вгору зі швидкістю = (39,2-9,8^) м/с. Знайти найбільшу висоту підйому тіла.

Рішення: тіло досягне найбільшої висоти підйому у такий час t, коли v = 0, тобто. 39,2- 9,8t = 0, звідки I= 4 с. За формулою (1) на ходимо

2. ВИЧИСЛЕННЯ РОБОТИ СИЛИ

Робота, зроблена змінною силою f(х) при переміщенні по осі Охматеріальної точки від х = адо х = b,знаходиться за формулою При вирішенні завдань на обчислення роботи сили часто використовується закон Гука: F = kx, (3)де F - Сила Н; х-Абсолютне подовження пружини, м, викликане силою F, а k-Коефіцієнт пропорційності, Н/м.

Приклад:

1. Пружина у спокійному стані має довжину 0,2 м. Сила в 50 Н розтягує пружину на 0,01 м. Яку роботу треба здійснити, щоб розтягнути її від 0,22 до 0,32 м?

Рішення: використовуючи рівність (3), маємо 50 = 0,01 k, тобто k = 5000 Н/м. Знаходимо межі інтегрування: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b = 0,32- 0,2 = 0,12 (м). Тепер за формулою (2) отримаємо

3. ВИЧИСЛЕННЯ РОБОТИ, ВИРОБНИЧОЇ ПІД ПІДНЯТТЯ ВАНТАЖУ

Завдання. Циліндрична цистерна з радіусом основи 0,5 м та висотою 2 м заповнена водою. Обчислити роботу, яку потрібно зробити, щоб викачати воду з цистерни.

Рішення: виділимо на глибині х горизонтальний шар заввишки dх ( Рис.). Робота А, яку треба зробити, щоб підняти шар води вагою Р на висоту х дорівнює Рх.

Зміна глибини х на малу величину dх викликає зміну об'єму V на величину dV = пr 2 dх та зміна ваги Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при цьому робота А, що здійснюється, зміниться на величину dА = 9807пr 2 хdх. Проінтегрувавши цю рівність за зміни x від 0 до Н, отримаємо

4. ВИЧИСЛЕННЯ СИЛИ ТИСКУ РІДИНИ

Значення сили Ртиску рідини на горизонтальний майданчик залежить від глибини занурення хцього майданчика, тобто від відстані майданчика до поверхні рідини.

Сила тиску (Н) на горизонтальний майданчик обчислюється за формулою Р = 9807S x,

де - Щільність рідини, кг/м 3 ; S - площа майданчика, м2; х -глибина занурення майданчика, м

Якщо площадка, яка зазнає тиску рідини, не горизонтальна, то тиск на неї по-різному на різних глибинах, отже, сила тиску на майданчик є функція глибини її занурення Р(х).

5. ДОВЖИНА ДУГИ

Нехай плоска крива АВ(Рис.)задана рівнянням у = f (x) (axb),причому f(x)і f? (x)- безперервні функції у проміжку [а,b]. Тоді диференціал dlдовжини дуги АВвиражається формулою або , а довжина дуги АВобчислюється за формулою (4)

де а та b-значення незалежної змінної ху точках А та В. Якщо крива задана рівнянням х =(у)(з уd),то довжина дуги АВ обчислюється за формулою (5) де зі дзначення незалежної змінної уу точках Ата Ст.

6. ЦЕНТР МАС

При знаходженні центру мас користуються такими правилами:

1) Координата х ? центру мас системи матеріальних точок А 1, А 2, ..., А n з масами m 1, m 2, ..., m n, розташованих на прямій в точках з координатами х 1, х 2, ..., х n , знаходяться за формулою

(*); 2) При обчисленні координати центру мас можна будь-яку частину фігури замінити на матеріальну точку, помістивши її в центр мас цієї частини, і приписати їй масу, рівну масі частини фігури, що розглядається. приклад. Нехай уздовж стрижня-відрізка [а;b] осі Ох – розподілена маса щільністю (х), де (х) – безперервна функція. Покажемо, що а) сумарна маса М стрижня дорівнює; б) координата центру мас х " дорівнює .

Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин крапками а = х 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (Рис.). На кожному з n цих відрізків щільність можна вважати при великих n постійно і приблизно рівною (х k - 1) на k-му відрізку (з безперервності (х). Тоді маса k-ого відрізка приблизно дорівнює а маса всього стрижня дорівнює

Вважаючи кожен із n маленьких відрізків матеріальною точкою маси m k , поміщеної у точці , отримаємо за такою формулою (*), що координата центру мас наближено перебуває так

Тепер залишилося помітити, що при n -> чисельник прагне інтегралу , а знаменник (який виражає масу всього стрижня) - інтегралу

Для знаходження координат центру мас системи матеріальних точок на площині чи просторі також користуються формулою(*)

Вчитель: У вас на столах таблиця та завдання, використовуючи таблицю знайдіть: а) кількість електрики; б) масу стрижня за його густиною.

Величини

Обчислення похідної

Обчислення інтегралу Варіант 1 Варіант 2 Підсумок уроку: Завершили тему “Інтеграл”, навчилися обчислювати первісні, інтеграли, площі фігур, розглянули застосування інтеграла на практиці, ці завдання можуть зустрітися на ЄДІ, гадаю, з ними ви впораєтеся.

Інтегральне обчислення виникло у зв'язку з вирішенням завдань визначення площ та обсягів. За 2000 років до н. жителі Єгипту та Вавилону вже вміли визначати приблизно площу кола і знали правило для обчислення обсягу усіченої піраміди. Теоретичне обґрунтування правил обчислення площ та обсягів уперше з'явилися у давніх греків. Філософ-матеріаліст Демокріт в V віці до н.е. розглядає тіла, які складаються з великої кількості малих частинок. Тобто конус є безліч дуже тонких циліндричних дисків різних радіусів. Величезну роль історії інтегрального обчислення зіграла завдання квадратуру кола(квадратура кола – побудова квадрата, площа якого дорівнює площі даного кола). Точну квадратуру кількох криволінійних постатей знайшов Гіппократ (середина V століття).

Першим відомим методом для обчислення інтегралу є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н.е.). Він намагався знайти площі та обсяги, розриваючи їх на безліч частин, для яких площа чи обсяг вже відомий. Цей метод був підхоплений та розвинений Архімедом, використовувався для розрахунку площ парабол та наближеного розрахунку площі кола.У своєму творі "Квадратура параболи" Архімед користується методом вичерпування для обчислення площі сектора параболи. Тобто. Архімед вперше складає суми, які нашого часу називають інтегральними сумами. Перші значні спроби розвитку інтеграційних методів Архімеда, що увінчалися успіхом, були зроблені в XVII столітті, коли, з одного боку, було досягнуто значних успіхів у галузі алгебри, з другого боку – дедалі інтенсивніше розвивалися економіка, техніка, природознавство, а там були потрібні великі і глибокі методи вивчення і обчислення величин.

При обчисленні площі криволінійної трапеціїНьютон і Лейбніц приходять до поняттяпервісної (або примітивної) функції для даної похідної функціїf(х),деЗмогло бути будь-яким. Тадо званої сьогодні формулаНьютона-Лейбніца дозволяє зводити досить складне обчислення певних інтегралів, тобто. знаходження меж інтегральних сум, до порівняно простий операції відшукання первісних.Лейбницю належить символ диференціалуа п пізніше з'явився і символ інтегралаСимвол певного інтегралуувів Ж. Фур'є, а термін «інтеграл» (від латинського integer - цілий) було запропоновано І. Бернуллі.

Роботи з дослідження основ диференціального та інтегрального обчислень починаються у XIX столітті працями О. Коші та Б. Больцано. Тоді ж у розвиток інтегрального обчислення зробили значний внесок російські вчені-математики М.В. Остроградський, В.Я. Буняковський, В.Я. Чебишів. Це був час, коли сучасний математичний аналіз лише створювався. Це була, мабуть, єдина за своєю інтенсивністю епоха математичної творчості, а Ейлер об'єднав великий, але розрізнений матеріал нового аналізу цілу науку.

З часом, людина набувала все більшої влади над природою, але мрія про політ до зірок залишалася такою ж нездійсненною. Письменники-фантасти згадували ракети реалізації космічного польоту. Однак ці ракети були технічно невиправданою мрією. Честь відкрити людям дорогу до зірок випала частку нашого співвітчизника К. Е. Ціолковського. Над завданнями створення штучного супутника Землі, розрахунків траєкторії виходу їх у орбіту працювала ціла плеяда вчених, на чолі з С.П. Корольовим.

Особливо цікавими є завдання, які є прообразом завдань на розрахунки траєкторій виходу космічних апаратів на задану орбіту, на знаходження висоти та швидкості підйому або спуску тіла та деякі інші завдання з використанням інтегрального обчислення.

Завдання 1. Швидкість прямолінійного руху тіла задана

рівнянням. Знайти рівняння шляху S, якщо за час t = 2сек тіло пройшло 20м.

Рішення: звідки Інтегруємо: звідки Використовуючи дані, знайдемо С = 4. Тобто. рівняння руху тіла має вигляд .

При польоті в космос, треба врахувати всі фактори навколишнього середовища, і щоб потрапити куди потрібно, потрібно розрахувати траєкторію руху, використовуючи вихідні дані. Все це потрібно зробити перед тим, як відбудеться політ.2016 року виповнюється 55 років від дня польоту на орбіту першого космонавта Юрія Олексійовича Гагаріна. При розрахунках доводилося вирішувати такі завдання.

Завдання 2. Необхідно запустити ракету вагою Р = 2 · 10 4 Н (Т)з поверхні Землі на висотуh= 1500 км.Обчислити роботу необхідну її запуску.

Рішення.f – сила тяжіння тіла Землею є функція від його відстані хдо центру Землі: , де На поверхні Землі де сила тяжіння дорівнює вазі тіла Р, а х = R- радіус Землі, тому При підйомі ракети з поверхні Землі на висоту hзмінна хзмінюється відx = Rдо x= R+ h. Шукану роботу знаходимо за формулою: Тоді отримуємо: робота для запуску ракети дорівнює

Завдання 3. Сила в 10 Нрозтягує пружину на 2 см. Яку роботу вона

чи здійснює при цьому?

Рішення . За законом Гука, сила F , що розтягує пружину, пропорційна розтягуванню пружини, тобто.F =кх.З умови завдання

до= 10/0,02(Н/м),то F= 500х. Робота: .

Завдання 4. З шахти глибиноюl= 100 мтреба підняти рівномірно кліти вагою Р 1 = 10 4 Н, що висить на канаті, намотаний на барабан. Обчислити повну роботу А повно, необхідну для підняття кліті, якщо вага одного погонного метра каната Р 2= 20Н.

Рішення . Робота з підняття кліті: а підняття каната пропорційна вазі каната, тобто. Отже, повна робота повна:

Завдання 5. Ресора прогинається під дією сили 1,5 · 10 4 Нна 1см. Яку роботу треба витратити на деформацію ресори на 3 см? (Деформуюча сила пропорційна прогину ресори.)

Рішення . F=кх,де х- прогин ресори. При х = 0,01ммаємо: . Тоді робота для деформації дорівнює:

Складний і небезпечний підйом у космічний простір, але не менших труднощів таїть повернення на Землю, коли апарат космічного корабля повинен приземлитися зі швидкістю не більше 2 м/с. Тільки в цьому випадку апарат, прилади в ньому, а головне члени екіпажу, не зазнають різкого жорсткого удару. Костянтин Едуардович Ціолковський вирішив використати гальмування космічного корабля повітряною оболонкою Землі. Рухаючись із швидкістю 8 м/с, космічний апарат не падає на Землю. Перша стадія спуску – включення на короткий час гальмівного двигуна. Швидкість зменшується на 0,2 км/с і відразу починається спуск. Розглянемо приклад розв'язання задачі на складання закону руху за заданих умов.

Завдання 6. Знайти закон руху вільно падаючого тіла при постійному прискоренні g, якщо в момент руху тіло перебувало у спокої.

Рішення:Відомо, що прискорення прямолінійно рухомого тіла є другою похідною шляху S за часом t , або похідна від швидкості за часом t: але, отже, звідки. Інтегруємо: , і З умови: , звідки знайдемо і швидкість руху: . Знайдемо закон руху тіла: , або . Інтегруємо: , . За початковими умовами: звідки знайдемо Маємо рівняння руху падаючого тіла: - це знайома формула фізики.

Завдання 7. Тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю

Знайти рівняння руху цього тіла (опір повітря знехтувати).

Рішення:Приймемо: напрямок по вертикалі вгору – за позитивне, а прискорення сили тяжіння, як спрямоване вниз, – за негативне. Маємо: , звідки . Інтегруємо: то . Т.к. і то З 1: і рівняння швидкості: Знаходимо закон руху тіла: т.к. і тоді звідки .Інтегруємо: або При і знайдемо , і маємо рівняння руху тіла: або .

Наступний приклад показує розрахунок траєкторії скидання відпрацьованих секцій, непотрібних приладів, матеріалів. У цьому випадку їх відправляють на Землю, розрахувавши орбіту так, щоб при проходженні через атмосферні шари вони згоріли, а залишки, що не згоріли, впали на Землю (найчастіше - в океан), не завдавши при цьому шкоди.

Завдання 8. Скласти рівняння кривої, що проходить через точку М (2; -3) і має дотичну з кутовим коефіцієнтом .

Рішення:За умови завдання дано: або Інтегруючи, маємо: При х = 2і у = -3, С = - 5, а траєкторія руху має вигляд: .

Будівельникам іноді доводиться вирішувати завдання з обчислення площ незвичайних фігур, котрим немає загальновідомих формул. І тут знову рятують інтеграли.

Завдання 9. Обчислити площу фігури, обмежену лініями: і

Рішення: Виконаємо побудову креслення (рис. 1), для чого вирішимо систему рівнянь. Знайдемо точки перетину ліній: А(-2;4) та В(4;16). Шукана площа є різницею площ з межами інтегрування, а = х 1 = -2і в = х 2 = 4.Тоді маємо площу:

.

Космонавти та вчені, працюючи на орбітальній станції, для чистоти експерименту вирішують та досліджують багато питань астрономії, фізики, хімії, медицини, біології тощо. Супроводимо наступне завдання літературним прикладом. У відомому фантастичному романі Герберта Уеллса «Війна світів» описується напад марсіан на планету Земля, які вирішили розширити свої перенаселені території рахунок захоплення наших, т.к. Кліматичні умови Землі були відповідними. Почалося захоплення території та знищення землян, які отримали допомогу звідти, звідки зовсім не очікували. Наші «рідні» бактерії, з якими ми вже навчилися боротися, потрапивши в організм марсіан з повітрям, їжею, водою, знайшли в ньому сприятливе середовище для свого розвитку та розмноження, швиденько адаптувалися і, знищивши марсіан, позбавили Землю загарбників. Розглянемо розв'язання задачі, що дає уявлення про це.

Завдання 10.Швидкість розмноження деяких бактерій пропорційна кількості бактерій, наявних в даний час t. Кількість бактерій потроїлася протягом 5год. Знайти залежність кількості бактерій від часу.

Рішення:Нехай x (t ) є кількість бактерій у момент часу t, а початковий момент тоді швидкість їх розмноження. За умовою маємо: або слід. Знайдемо З: і функція Відомо, що. або звідки коефіцієнт пропорційності дорівнює: а функція має вигляд: .

У знаменитому романі О.М. Толстого «Гіперболоїд інженера Гаріна» хотілося б відчути, відчути, що це таке – гіперболоїд? Які у нього розміри, форма, поверхня, об'єм? Наступне завдання – про це.

Завдання 11.Гіпербола, обмежена лініями: у = 0, х = aх = 2аобертається навколо осі ОХ. Знайти обсяг отриманого гіперболоїда (рис.2).

Рішення.Використовуємо формулу для обчислення об'єму тіл обертання навколо осі ОХ за допомогою певного інтеграла:

Вчені-уфологи займаються вивченням фактів, які наводять «очевидці», розповідаючи про те, що бачили космічний корабель, що летить, у вигляді величезного світиться диска («тарілки»), приблизно такої форми як на малюнку 3. Розглянемо розв'язання задачі з визначення обсягу такої «тарілки ».

Завдання 12. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ площі, обмеженою лініями у = х 2 - 9і у = 0.

Рішення: При виконанні креслення параболоїда (рис.3) маємо межі інтегрування від х = -3до х = 3. Замінимо межі інтегрування з симетричності фігури щодо осі ОУ на х = 0і х = 3, а результат удвох. Отже, об'єм диска дорівнює:

Економічний зміст певного інтегралу виражає обсяг виробленої продукції за відомої функції f(t ) - продуктивність праці в момент t . Тоді обсяг продукції за проміжок обчислюється за формулою Розглянемо приклад для підприємства.

Завдання 13. Знайти обсяг продукції, виробленої за 4 роки, якщо функція Кобба-Дугласа має вигляд

Рішення. Обсяг виробленої підприємством продукції дорівнює:

Підсумовуючи можна дійти невтішного висновку, що застосування інтегралу розкриває великі можливості. При вивченні геометрії розглядають обчислення площ плоских фігур обмежених відрізками прямих (трикутників, паралелограмів, трапецій, багатокутників) та обсягів тіл, отриманих при їх обертанні. Певний інтеграл дозволяє обчислювати площі складних фігур, обмежених будь-якими кривими лініями, а також знаходити об'єми тіл, які отримують при обертанні криволінійних трапецій навколо осі.

Також хочеться відзначити, що застосування певного інтегралу не обмежується лише обчисленням різних геометричних величин, але використовується і при вирішенні завдань з різних галузей фізики, аеродинаміки, астрономії, хімії та медицини, космонавтики, а також економічних завдань.

Список літератури:

1. Апанасов, П.Т. Збірник задач з математики: навч. посібник/П.Т. Апанасов, М.І. Орлів. - М: Вища школа, 1987. - 303 с.
2. Беденко, Н.К. Уроки з алгебри та початків аналізу: методичний посібник/Н.К. Беденко, Л.О. Денищева. – М.: Вища школа, 1988. – 239 с.
3. Богомолов, Н.В. Практичні заняття з вищої математики: навч. посібник/Н.В. Богомолов. - М: Вища школа, 1973. - 348 с.
4. Вища математика для економістів: підручник/під ред. Н.Ш. Кремер. - 3-тє вид. - М.: ЮНІТІ-ДАНА, 2008. - 479 с.
5. Запорожець, Г.І. Керівництво до вирішення завдань з математичного аналізу: навч. посібник/Г.І. Запорожець.- М.: Вища школа, 1966. - 460 с.

Перегляд вмісту документа
"МР комбінованого заняття для викладача "Основи інтегрального обчислення. Певний інтеграл"."

ДЕРЖАВНЕ АВТОНОМНЕ ОСВІТНЕ

УСТАНОВА СЕРЕДНЬОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ

НОВОСИБІРСЬКОЇ ОБЛАСТІ

«БАРАБІНСЬКИЙ МЕДИЧНИЙ КОЛЕДЖ»

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА

комбінованого заняття для викладача

ДИСЦИПЛІНА "МАТЕМАТИКА"

Розділ 1.Математичний аналіз

Тема1.6. Основи інтегрального обчислення. Визначений інтеграл

Спеціальність

060101 Лікувальна справа

Курс– перший

Методичний лист

Формування вимог ГОС щодо теми

« Основи інтегрального обчислення. Визначений інтеграл"

повинен знати:

значення математики у професійній діяльності та при освоєнні професійної освітньої програми;

основні математичні методи розв'язання прикладних завдань;

основи інтегрального та диференціального обчислення.

В результаті вивчення теми учень повинен уміти:

вирішувати прикладні завдання у сфері професійної діяльності;

Цілі заняття:

Освітні цілі:повторити та закріпити навички обчислення невизначеного та певного інтегралу, розглянути методи обчислення певних інтегралів, закріпити навичку знаходження певного інтегралу

Виховні цілі: сприяти формуванню культури спілкування, уваги, інтересу до предмета, сприяти розумінню студентом сутності та соціальної значущості своєї майбутньої професії, прояву до неї сталого інтересу.

Розвиваючі цілі:

сприяти

формуванню умінь застосовувати прийоми порівняння, узагальнення, виділення головного;

розвитку математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті.

Вид заняття: комбіноване заняття

Тривалість заняття: 90 хвилин

Міжпредметні зв'язки:фізика, геометрія та всі предмети, де використовується математичний апарат

Література:

Гілярова М.Г. Математика для медичних коледжів - Ростов н / Д: Фенікс, 2011. - 410, с. – (Медицина)

Математика: навч. посібник/В.С. Міхєєв [та ін]; за ред. Н.М. Дьоміна. - Ростов н / Д: Фенікс, 2009. - 896 с. – (Середня професійна освіта).

Оснащення заняття:

Роздатковий матеріал

Хід заняття

№ п/п	Етап уроку	Час (мін)	Методичні вказівки
	Організаційна частина		Перевірка відвідуваності та зовнішнього вигляду студентів. Повідомлення теми, мети та плану заняття.
	Мотивація		Поняття інтеграла одна із основних у математиці. До кінця 17 ст. Ньютоном і Лейбніцем було створено апарат диференціального та інтегрального обчислення, що становить основу математичного аналізу. Вивчення цієї теми завершує шкільний курс математичного аналізу, знайомить учнів з новим інструментом пізнання світу, а розгляд у школі застосування інтегрального числення до найважливіших розділів фізики показує учням значення та силу вищої математики. Необхідність повноцінного вивчення найважливіших елементів інтегрального обчислення пов'язана з величезною значимістю та важливістю цього матеріалу під час освоєння професійної освітньої програми. Надалі вам знадобляться знання певного інтеграла при знаходженні рішення рівнянь визначальних швидкість радіоактивного розпаду, розмноження бактерій, скороченні м'язів, розчиненні лікарської речовини в таблетці та багатьох інших завдань диференціального обчислення застосовуваних у медичній практиці.
	Актуалізація опорних знань		Необхідно перевірити обчислювальні навички та знання таблиці інтегралів (Додаток 1)
	Викладення нового матеріалу		План викладу (Додаток 2) Визначений інтеграл Властивості певного інтегралу Формула Ньютона-Лейбніца Обчислення певних інтегралів різними методами Застосування певного інтеграла до обчислення різних величин. Обчислення площі плоскої фігури
	Практична частина Виконання вправ для закріплення матеріалу теми		(Додаток 3) Первинне закріплення здобутих знань та вмінь Осмислення отриманих знань та вмінь
	Підбиття підсумків заняття		Виставлення оцінок, коментуючи помилки, зроблені під час роботи
	Домашнє завдання		Підготувати теоретичний матеріал до практичного заняття та виконати завдання розділу «Самоконтроль» (Додаток 4)

Додаток 1

Актуалізація опорних знань

Математичний диктант

1 варіант

I.

II.

2 варіант

I.Обчислити невизначені інтеграли

II. Назвати метод обчислення інтегралів

Додаток 2

Інформаційно-довідковий матеріал

Визначений інтеграл

Поняття інтеграла пов'язані з зворотним завданням диференціювання функції. Поняття певного інтеграла зручно розглядати на розв'язанні задачі про обчислення площі криволінійної трапеції.

Для знаходження площі фігури, обмеженої з двох сторін перпендикулярами, відновленими у точках аі b, зверху безперервної кривої у =f(х)і знизу віссю Ох, розіб'ємо відрізок [а,b] на невеликі відрізки:

a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b.

Відновимо перпендикуляри з цих точок до перетину з кривою у =f(х). Тоді площа всієї фігури приблизно дорівнює сумі елементарних прямокутників, що мають основу, рівну  х i = х i -х i -1 , а висоту, що дорівнює значенню функції f(х)усередині кожного прямокутника. Чим менша величина  х i, тим точніше визначатиметься площа фігури S . Отже:

Визначення.Якщо існує межа інтегральної суми, яка не залежить від способу розбиття відрізка [а,b] та вибору точок, то цю межу називають певним інтегралом від функціїf(х) на відрізку [а,b] та позначають:

деf(x) - підінтегральна функція, х - змінна інтегрування, а іb- межі інтегрування (читається: певний інтеграл відaдo bеф від ікс де ікс).

Таким чином, геометричний змістпевного інтегралу пов'язаний з визначенням площі криволінійної трапеції, обмеженою зверху функцією у =f(х), знизу віссю Ох, а з боків - перпендикулярами, відновленими в точках аі b.

Процес обчислення певного інтегралу називають інтегрування.Числа а іb називають відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування.

Властивості певного інтегралу

Якщо межі інтегрування дорівнюють, то певний інтеграл дорівнює нулю:



Якщо переставити межі інтегрування, знак інтеграла зміниться на протилежний:



Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу:



Певний інтеграл від суми кінцевого числа безперервних функційf 1 (x), f 2 (x)... f n (x), заданих на відрізку [а,b], дорівнює сумі певних інтегралів від доданків:

Відрізок інтегрування можна розбивати на частини:



Якщо функція завжди позитивна або завжди негативна на відрізку [а,b], то певний інтеграл є числом того ж знака, що і функція:

Формула Ньютона-Лейбніца

Формула Ньютона-Лейбніца встановлює зв'язок між певним та невизначеним інтегралами.

Теорема.Розмір певного інтеграла від функціїf(х) на відрізку [а,b] дорівнює приросту будь-якої з первісних для цієї функції на даному відрізку:

З цієї теореми випливає, що певний інтеграл є числом, у той час як невизначеним є сукупність первісних функцій. Таким чином, згідно з формулою для знаходження певного інтеграла необхідно:

1. Знайти невизначений інтеграл від цієї функції, поклавши З = 0.

2. Підставити у вираз первісної замість аргументу хспочатку верхня межа b, потім нижня межа а,і відняти з першого результату другий.

Обчислення певних інтегралів різними методами

p align="justify"> При обчисленні певних інтегралів використовують методи, розглянуті для знаходження невизначених інтегралів.

Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод ґрунтується на використанні табличних інтегралів та основних властивостей певного інтегралу.

ПРИКЛАДИ:

1) Знайти

Рішення:

2) Знайти

Рішення:

3) Знайти

Рішення:

Метод заміни змінної інтегрування

ПРИКЛАД:

Рішення.Для знаходження інтеграла скористаємося методом заміни змінної. Вводимо нову змінну

u=3 x ‑ 1 тоді du = 3 dx, dx = . При введенні нової змінної необхідно здійснити заміну меж інтегрування, оскільки нова змінна матиме інші межі зміни. Вони перебувають за формулою заміни змінної. Так верхня межа дорівнюватиме і b = 32 ‑ 1 = 5 , нижній ‑ і а =31 ‑ 1 = 2 . Замінивши змінну та межі інтегрування, отримаємо:

Метод інтегрування частинами

Цей метод заснований на використанні формули інтегрування частинами для певного інтеграла:

ПРИКЛАД:

1) Знайти

Рішення:

Нехай u = ln x, dv = xdxтоді

Застосування певного інтеграла до обчислення різних величин.

Обчислення площі плоскої фігури

Раніше було показано, що певний інтеграл можна використовувати для обчислення площі фігури, укладеної між графіком функції у =f(x), віссю Охта двома прямими х = а і х =b.

Якщо функція у =f(x) перебуває нижче лінії абсцис, тобто. f(x)

Якщо функція у =f(x) кілька разів перетинає вісь Ох, то необхідно окремо знайти площі для ділянок, коли f(x) 0, і скласти їх з абсолютними величинами площ, коли функція f(x)

ПРИКЛАД 1.Знайти площу фігури, обмеженою функцією у = sinхі віссю Охна ділянці 0  х 2.

Рішення.Площа фігури дорівнюватиме сумі площ:

S = S 1 + | S 2 |,

де S 1 -; площа при у0 ; S 2 - площа при у 0.

S = 2 + 2 = 4 кв.

ПРИКЛАД 2.Знайти площу фігури, укладеної між кривою у = х 2 , віссю Охта прямими х = 0, х = 2.

Рішення.Побудуємо графіки функцій у= х 2 і х = 2.

Заштрихована площа і буде шуканою площею фігури. Так як f(x) 0,то

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Якщо крива у =f(х)на відрізку [а,b] має безперервну похідну, то довжина дуги цієї кривої знаходиться за формулою:

ПРИКЛАД

Знайти довжину дуги кривої y 2 = x 3 на відрізку (y0)

Рішення

Рівняння кривої y = x 3/2 тоді y' = 1,5 x 1/2 .

Зробивши заміну 1+отримаємо:

Повернемося до початкової змінної:

Обчислення об'єму тіла обертання

Якщо криволінійна трапеція, обмежена кривою у =f(x) та прямими х = аі х=b, обертається навколо осі Ох, Обсяг обертання обчислюється за формулою:

ПРИКЛАД

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Охнапівхвильової синусоїди
y= sin x, при 0≤ х≤.

Рішення

Відповідно до формули маємо:

Для обчислення цього інтеграла зробимо такі перетворення:

Додаток 3

Первинне закріплення вивченого матеріалу

1. Обчислення певних інтегралів

2. Додатки певного інтегралу

Площа фігури

Обчисліть площу фігури, обмеженою лініями:

Шлях, пройдений тілом (точкою) при прямолінійному русі за проміжок часу відt 1 доt 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (tв с,vм/с).Знайдіть шлях, пройдений тілом за 10с від початку руху.

Швидкість руху точки змінюється згідно із законом v =6 t 2 +4 (tв с,vм/с).Знайдіть шлях, пройдений точкою за 5с від початку руху.

Швидкість руху точки v =12 t -3 t 2 (tв с,vм/с).Знайдіть шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

Два тіла почали рухатися одночасно з однієї точки в одному напрямку прямою. Перше тіло рухається зі швидкістю v =6 t 2 +2 t(м/с),друге
v =4 t+5 (м/с).На якій відстані вони будуть через 5с?

Додаток 4

Самоконтроль на тему

«Певний інтеграл та його застосування»

1 варіант 1. Обчисліть інтеграли 2. y = - x 2 + x + 6 і y = 0 3. Швидкість руху точки змінюється згідно із законом v =9 t 2 -8 t (tв с,vм/с).Знайдіть шлях, пройдений тілом за четверту секунду від початку руху.

2 варіант 1. Обчисліть інтеграли 2. Обчисліть площу фігури обмеженою лініями y = - x 2 + 2 x + 3 і y = 0 3. Швидкість руху точки змінюється згідно із законом v = 8 t - 3 t 2 (tв с,vм/с).Знайдіть шлях, пройдений тілом за п'ять секунд від початку руху.

I. У фізиці

Робота сили

(A = FScos, cos 1)

Якщо на частку діє сила F, кінетична енергія не залишається постійною. У цьому випадку згідно

приріст кінетичної енергії частки за час dt дорівнює скалярному добутку Fds, де ds - переміщення частки за час dt. Величина

називається роботою, що здійснюється силою F.

Нехай точка рухається осі ОХ під дією сили, проекція якої на вісь ОХ є функція f(x) (f-безперервна функція). Під дією сили точка перемістилася з точки S1(a) до S2(b). Розіб'ємо відрізок на n відрізків, однакової довжини

Робота сили дорівнюватиме сумі робіт сили на отриманих відрізках. Т.к. f(x) - безперервна, то при малому робота сили на цьому відрізку дорівнює

Аналогічно на другому відрізку f(x1)(x2-x1), на n-му відрізку -

f(xn-1)(b-xn-1).

Отже робота на рівні:

An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

Приблизна рівність перетворюється на точне при n

А = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (за визначенням)

Нехай пружина жорсткості С та довжини l стиснута на половину своєї довжини. Визначити величину потенційної енергії Ер дорівнює роботі A, що чиниться силою -F(s) пружність пружини при її стисканні, то

Eп = A = - (-F(s)) dx

З курсу механіки відомо, що

Звідси знаходимо

Еп = - (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Відповідь: Cl2/8.

Яку роботу треба здійснити, щоб розтягнути пружину на 4 см, якщо відомо, що від навантаження 1 Н вона розтягується на 1 см.

Відповідно до закону Гука, сила X Н, що розтягує пружину на x, дорівнює

Коефіцієнт пропорційності k знайдемо з умови: якщо x=0,01 м, то X=1 Н, отже, k=1/0,01=100 і X=100x. Тоді

Відповідь: A = 0,08 Дж

За допомогою підйомного крана витягують залізобетонну надовбу з дна річки глибиною 5 м. Яка робота при цьому здійсниться, якщо надолба має форму правильного тетраедра з ребром 1 м? Щільність залізобетону 2500 кг/м3, густина води 1000 кг/м3.

Висота тетраедра

обсяг тетраедра

Вага надолби у воді з урахуванням дії архімедової сили дорівнює

Тепер знайдемо роботу Ai під час вилучення надолби з води. Нехай вершина тетраедра вийшла на висоту 5+y, тоді обсяг малого тетраедра, що вийшов із води, дорівнює, а вага тетраедра:

Отже,

Звідси A = A0 + A1 = 7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж

Відповідь: A = 9,31 (Дж).

Яку силу тиску зазнає прямокутна пластинка довгою a і шириною b (a>b), якщо вона нахилена до горизонтальної поверхні рідини під кутом б та її велика сторона знаходиться на глибині h?

Координати центру мас

Центр мас - точка, через яку проходить рівнодіюча сил тяжіння при будь-якому просторовому розташуванні тіла.

Нехай матеріальна однорідна пластина має форму криволінійної трапеції (x;y |axb; 0yf(x)) і функція

безперервна на , а площа цієї криволінійної трапеції дорівнює S, тоді координати центру мас пластини знаходять за формулами:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Знайти центр мас однорідного півкола радіусу R.

Зобразимо півколо у системі координат OXY.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Відповідь: M(0; 4R/3).

Знайти координати центру тяжкості фігури, обмеженою дугою еліпса x=acost, y=bsint, розташованої I чверті, і осями координат.

У I чверті при зростанні x від 0 до a величина t зменшується від р/2 до 0, тому

Скориставшись формулою площі еліпса S = раб, отримаємо

Шлях, пройдений матеріальною точкою

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно зі швидкістю =(t) та за час

T = t2-t1 (t2> t1)

пройшла шлях S, то

У геометрії

Обсяг – кількісна характеристика просторового тіла. За одиницю виміру обсягу приймають куб з ребром 1мм(1дм, 1м тощо).

Кількість кубів одиничного обсягу розміщених у цьому тілі - об'єм тіла.

Аксіоми об'єму:

Обсяг – це невід'ємна величина.

Обсяг тіла дорівнює сумі обсягів тіл, що його складають.

Знайдемо формулу для обчислення обсягу:

виберемо вісь ОХ за напрямом розташування цього тіла;

визначимо межі розташування тіла щодо ОХ;

введемо допоміжну функцію S(x), що задає таку відповідність: кожному x з відрізка поставимо у відповідність площу перерізу даної фігури площиною, що проходить через задану точку x перпендикулярно осі ОХ.

розіб'ємо відрізок на n рівних частин і через кожну точку розбиття проведемо площину перпендикулярну до осі ОХ, при цьому наше тіло розіб'ється на частини. По аксіомі

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

а об'єм частини, укладеної між двома сусідніми площинами, дорівнює об'єму циліндра Vц=SоснH.

Маємо суму творів значень функцій у точках розбиття на крок розбиття, тобто. інтегральну суму. За визначенням певного інтеграла, межа цієї суми при n називається інтегралом

де S(x) - переріз площини, що проходить через вибрану точку перпендикулярно до осі ОХ.

Для знаходження обсягу треба:

• 1) Вибрати зручним способом вісь ОХ.
• 2) Визначити межі розташування цього тіла щодо осі.
• 3) Побудувати перетин даного тіла площиною перпендикулярно до осі ОХ і проходить через відповідну точку.
• 4) Виразити через відомі величини функцію, що виражає площу даного перерізу.
• 5) Скласти інтеграл.
• 6) Обчисливши інтеграл, визначити обсяг.

Знайти обсяг тривісного еліпса

Плоскі перерізи еліпсоїда, паралельне площині xOz і віддалене від неї на відстані y=h, представляє еліпс