Застосуємо скорочення дробів 23. Скорочення дробів: правила та приклади

У Минулого разуми склали план, за яким можна навчитися швидко скорочувати дроби. Тепер розглянемо конкретні прикладискорочення дробів.

Приклади.

Перевіряємо, а чи не ділиться більше на менше (числитель на знаменник або знаменник на чисельник)? Так, у всіх трьох цих прикладах більше ділиться на менше. Таким чином, кожний дріб скорочуємо на менший з чисел (на чисельник або на знаменник). Маємо:

Перевіряємо, чи не ділиться більше на менше? Ні, не ділиться.

Тоді переходимо до перевірки наступного пункту: а чи не закінчується запис і чисельника, і знаменника одним, двома чи кількома нулями? У першому прикладі запис чисельника та знаменника закінчується нулем, у другому – двома нулями, у третьому – трьома нулями. Отже, перший дроб скорочуємо на 10, другий — на 100, третій — на 1000:

Отримали нескоротні дроби.

Більше на менше не ділиться, запис чисел нулями не закінчується.

Тепер перевіряємо, а чи не стоять чисельник та знаменник в одному стовпці у таблиці множення? 36 і 81 обидва діляться на 9, 28 і 63 - на 7, а 32 і 40 - на 8 (вони діляться ще й на 4, але якщо є можливість вибору, завжди скорочуватимемо на більше). Таким чином, приходимо до відповідей:

Усі отримані числа є нескоротними дробами.

Більше на менше не ділиться. А ось запис і чисельника, і знаменника закінчується банкрутом. Значить, скорочуємо дріб на 10:

Цей дріб ще можна скоротити. Перевіряємо за таблицею множення: і 48, і 72 поділяються на 8. Скорочуємо дріб на 8:

Отриманий дріб ще можемо скоротити на 3:

Цей дріб — нескоротний.

Більше чисел на менше не ділиться. Запис чисельника та знаменника закінчується на нуль.Отже, скорочуємо дріб на 10.

Отримані в чисельнику та знаменнику числа перевіряємо на і . Так як сума цифр і 27, і 531 діляться на 3 і на 9, то цей дріб можна скоротити як на 3, так і на 9. Вибираємо більше і скорочуємо на 9. Отриманий результат - нескоротний дріб.

Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від розподілу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).

Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає у звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У нашому випадку залишок дорівнює 1.

Залишок завжди менший за дільник.

Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.

Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.

Частку від поділу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.

Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.

Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».

Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Вірні такі правила:

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю поділити на n рівних частин(часткою) і взяти m таких частин.

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.

Щоб знайти частину від цілого, треба число, що відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.

Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.

Два останні перетворення називають скороченням дробу.

Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільному знаменнику .

Правильні та неправильні дроби. Змішані числа

Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо поділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глуздпідказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менше знаменника, називають правильними дробами.

Як ви знаєте, будь-яку звичайний дріб, і правильну, і неправильну, можна як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що у цього дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.

Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо застосовувати його тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.

Події з дробами. Додавання дробів.

З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.

Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід призвести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та поєднане властивості додавання.

Додавання змішаних дробів

Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиною змішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дрібною частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».

При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.

Віднімання дробів (дрібних чисел)

Віднімання дробових чисел, Як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при складанні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)

Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.

За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Розмноження дробів

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.

За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.

Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.

Розподіл дробів

Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).

Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.

Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).

За допомогою букв взаємно зворотні дроби можна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)

Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.

Правило поділу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.

Використовуючи літери, правило розподілу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Якщо ділене або дільник є натуральним числомабо змішаним дробом, то, для того щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо подати у вигляді неправильного дробу.

У цій статті ми докладно розберемо, як проводиться скорочення дробів. Спочатку обговоримо, що називають скороченням дробу. Після цього поговоримо про приведення скоротливого дробу до нескоротного виду. Далі отримаємо правило скорочення дробів і нарешті розглянемо приклади застосування цього правила.

Навігація на сторінці.

Що означає скоротити дріб?

Ми знаємо, що прості дроби поділяються на скорочені і нескоротні дроби . За назвами можна здогадатися, що скоротити дроби можна скоротити, а нескоротні - не можна.

Що означає скоротити дріб? Скоротити дріб- Це означає розділити її чисельник і знаменник на їх позитивний і відмінний від одиниці. Зрозуміло, що в результаті скорочення дробу виходить новий дріб з меншим чисельником і знаменником, причому в силу основної властивості дробу отриманий дріб дорівнює вихідному.

Наприклад, проведемо скорочення звичайного дробу 8/24 , розділивши його чисельник та знаменник на 2 . Іншими словами, скоротимо дріб 8/24 на 2 . Оскільки 8:2=4 і 24:2=12 , то результаті такого скорочення виходить дріб 4/12 , яка дорівнює вихідної дробу 8/24 (дивіться рівні і нерівні дроби). У результаті маємо.

Приведення звичайних дробів до нескоротного виду

Зазвичай кінцевою метою скорочення дробу є одержання нескоротного дробу, який дорівнює вихідному скорочуваному дробу. Ця мета може бути досягнута, якщо провести скорочення вихідного скоротливого дробу на його чисельник і знаменник. В результаті такого скорочення завжди виходить нескоротний дріб. Дійсно, дріб є нескоротною, оскільки відомо, що і - . Тут же скажемо, що найбільший спільний дільникчисельника та знаменника дробу є найбільшим числом, на яку можна скоротити цей дріб.

Отже, приведення звичайного дробу до нескоротного видуполягає в розподілі чисельника та знаменника вихідного скоротливого дробу на їх НОД.

Розберемо приклад, навіщо повернемося до дробу 8/24 і скоротимо його найбільший загальний дільник чисел 8 і 24 , який дорівнює 8 . Так як 8:8 = 1 і 24:8 = 3, то ми приходимо до нескоротного дробу 1/3. Отже, .

Зауважимо, що під фразою «скоротіть дріб» часто мають на увазі приведення вихідного дробу саме до нескоротного виду. Іншими словами, скороченням дробу дуже часто називають розподіл чисельника і знаменника на їхній найбільший спільний дільник (а не на будь-який їхній спільний дільник).

Як скоротити дріб? Правило та приклади скорочення дробів

Залишилося лише розібрати правило скорочення дробів, яке пояснює, як скоротити цей дріб.

Правило скорочення дробівскладається з двох кроків:

• по-перше, знаходиться НОД чисельника та знаменника дробу;
• по-друге, проводиться розподіл чисельника та знаменника дробу на їх НОД, що дає нескоротний дріб, рівний вихідному.

Розберемо приклад скорочення дробуза озвученим правилом.

приклад.

Скоротіть дріб 182/195.

Рішення.

Виконаємо обидва кроки, вказані правилом скорочення дробу.

Спочатку знаходимо НОД(182, 195). Найбільш зручно скористатися алгоритмом Евкліда (дивіться): 195 = 182 · 1 +13, 182 = 13 · 14, тобто, НОД (182, 195) = 13 .

Тепер ділимо чисельник і знаменник дробу 182/195 на 13 , при цьому отримуємо нескоротний дріб 14/15, який дорівнює вихідному дробу. На цьому скорочення дробу закінчено.

Коротко рішення можна записати так: .

Відповідь:

На цьому із скороченням дробів можна й закінчити. Але для повноти картини розглянемо ще два способи скорочення дробів, які зазвичай застосовують у легких випадках.

Іноді чисельник і знаменник дробу, що скорочується, нескладно. Скоротити дріб у цьому випадку дуже просто: потрібно лише прибрати всі загальні множники з чисельника та знаменника.

Слід зазначити, що це метод безпосередньо випливає з правила скорочення дробів, оскільки добуток всіх загальних простих множників чисельника і знаменника і їх найбільшому загальному дільнику.

Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Скоротіть дріб 360/2 940 .

Рішення.

Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 і 2 940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 . Таким чином, .

Тепер позбавляємося загальних множників у чисельнику та знаменнику, для зручності, їх просто закреслюємо: .

Нарешті, перемножуємо множники, що залишилися: , і скорочення дробу закінчено.

Ось короткий записрішення: .

Відповідь:

Розглянемо ще один спосіб скорочення дробу, який полягає у послідовному скороченні. Тут на кожному кроці проводиться скорочення дробу на деякий спільний дільник чисельника та знаменника, який або очевидний, або легко визначається за допомогою

Працюючи з дробами, багато учнів допускають одні й самі помилки. А все тому, що вони забувають елементарні правила арифметики. Сьогодні ми повторимо ці правила на конкретних завданнях, які я даю на заняттях.

Ось завдання, яке я пропоную кожному, хто готується до ЄДІ з математики:

Завдання. Морська свиняїсть 150 г корму на день. Але вона виросла і стала їсти на 20% більше. Скільки грамів корму тепер їсть свиня?

Не правильне рішення. Це завдання на відсотки, що зводиться до рівняння:

Багато (дуже багато) скорочують число 100 у чисельнику і знаменнику дробу:

Ось такої помилки припустилася моя учениця прямо в день написання цієї статті. Червоним відзначені числа, скорочені.

Зайве говорити, що відповідь вийшла неправильною. Судіть самі: свиня їла 150 грам, а стала їсти 3150 грам. Збільшення не так на 20%, а 21 раз, тобто. на 2000%.

Щоб не допускати таких непорозумінь, пам'ятайте основне правило:

Скорочувати можна лише множники. Складники скорочувати не можна!

Таким чином, правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:

Червоним відзначені цифри, які скорочуються у чисельнику та знаменнику. Як бачите, у чисельнику стоїть твір, знаменнику звичайне число. Тому скорочення цілком законне.

Робота з пропорціями

Ще одне проблемне місце - пропорції. Особливо коли змінна стоїть з обох боків. Наприклад:

Завдання. Розв'яжіть рівняння:

Неправильне рішення - у деяких буквально руки сверблять скоротити все на m :

Змінні змінні показані червоним. Виходить вираз 1/4 = 1/5 - повне марення, ці числа ніколи не рівні.

А тепер – правильне рішення. Фактично, це звичайне лінійне рівняння . Вирішується або перенесенням всіх елементів в один бік, або за основною якістю пропорції:

Чимало читачів заперечать: «Де помилка в першому рішенні?» Що ж, розбираймося. Згадаймо правило роботи з рівняннями:

Будь-яке рівняння можна ділити та множити на будь-яке число, відмінне від нуля.

Просікли фішку? Можна ділити тільки числа, відмінні від нуля. Зокрема, можна ділити на змінну m тільки якщо m! = 0. А що робити, якщо все-таки m = 0? Підставимо та перевіримо:

Набули правильну числову рівність, тобто. m = 0 – корінь рівняння. Для інших m != 0 отримуємо вираз виду 1/4 = 1/5, що, звісно, ​​не так. Таким чином, немає коренів, відмінних від нуля.

Висновки: збираємо всі разом

Отже, для вирішення дробово-раціональних рівняньпам'ятайте три правила:

1. Скорочувати можна лише множники. Доданки – не можна. Тому вчіться розкладати чисельник і знаменник на множники;
2. Основна властивість пропорції: твір крайніх елементівдорівнює добутку середніх;
3. Рівняння можна множити і ділити тільки числа k , відмінні від нуля. Випадок k = 0 треба перевіряти окремо.

Пам'ятайте ці правила і не допускайте помилок.

Поділі чисельника та знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.

Щоб скоротити звичайний дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на те саме натуральне число.

Це число є найбільшим спільним дільником чисельника та знаменника даного дробу.

Можливі наступні форми запису рішенняприкладів скорочення звичайних дробів.

Студент має право вибрати будь-яку форму запису.

приклади. Спростити дроби.

Скоротимо дріб на 3 (ділимо чисельник на 3;

ділимо знаменник на 3).

Скорочуємо дріб на 7.

Виконуємо зазначені дії в чисельнику та знаменнику дробу.

Отриманий дріб скорочуємо на 5.

Скоротимо цей дріб 4) на 5·7³- Найбільший загальний дільник (НДД) чисельника та знаменника, який складається із загальних множників чисельника та знаменника, взятих у ступені з найменшим показником.

Розкладемо чисельник і знаменник цього дробу на прості множники.

Отримуємо: 756=2²·3³·7і 1176 = 2? · 3 · 7 ².

Визначаємо НОД (найбільший спільний дільник) чисельника та знаменника дробу 5) .

Це добуток загальних множників, взятих із найменшими показниками.

НОД(756; 1176) = 2²·3·7.

Ділимо чисельник і знаменник даного дробу з їхньої НОД, т. е. на 2²·3·7отримуємо нескоротний дріб 9/14 .

А можна було записати розкладання чисельника та знаменника у вигляді добутку простих множників, не застосовуючи поняття ступеня, а потім провести скорочення дробу, закреслюючи однакові множники у чисельнику та знаменнику. Коли однакових множниківне залишиться — перемножуємо множники, що залишилися, окремо в чисельнику і окремо в знаменнику і виписуємо дроб, що вийшов. 9/14 .

І, нарешті, можна було скорочувати цей дріб 5) поступово, застосовуючи ознаки поділу чисел і до чисельника і знаменника дробу. Розмірковуємо так: числа 756 і 1176 закінчуються парною цифрою, отже, обоє поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Чисельник і знаменник нового дробу - числа 378 і 588 також поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Помічаємо, що число 294 - парне, а 189 - непарне, і скорочення на 2 вже неможливо. Перевіримо ознаку ділимості чисел 189 і 294 на 3 .

(1+8+9)=18 ділиться на 3 і (2+9+4)=15 ділиться на 3, отже, і числа 189 і 294 поділяються на 3 . Скорочуємо дріб на 3 . Далі, 63 ділиться на 3, а 98 - Ні. Перебираємо інші звичайні множники. Обидва числа поділяються на 7 . Скорочуємо дріб на 7 і отримуємо нескоротний дріб 9/14 .