С.П. БОБКІВ, Д.О. БУТОВ

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

Навчальний посібник

Федеральне агентство з освіти

Державний освітній заклад вищої професійної освіти

Іванівський державний хіміко-технологічний університет

Міжнародний університет бізнесу та нових технологій (інститут)

С.П. БОБКІВ, Д.О. БУТОВ

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

для студентів вищих навчальних закладів.

Бобков С.П. Моделювання систем: навч. посібник/С.П. Бобків,

Д.О. Бутєв; Іван. держ. хім.-технол. ун-т. - Іваново, 2008. - 156 с. - ISBN

Мета навчального посібника – дати студентам загальне уявлення про сучасні методи моделювання технічних та техніко-економічних систем та об'єктів.

У посібнику розглядаються загальні питання та сучасна методо-

логія моделювання, безперервні та дискретні детерміновані мо-

ділі об'єктів та систем, стохастичні моделі з дискретним та безперервним часом. Велику увагу приділено методам імітаційного моделювання систем з імовірнісними характеристиками. Наведено огляд інших підходів до моделювання складних систем, таких як інформаційно-ентропійний, використання нейронних мереж та мереж Петрі.

Навчальний посібник призначений для студентів, які навчаються за спеціальностями підготовки 080801 «Прикладна інформатика» та 230201

«Інформаційні системи та технології». Крім того, посібник може бути корисним для студентів інших спеціальностей та напрямків.

Табл.7. Іл.92. Бібліогр.: 10 назв.

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради Іванов-

ського державного хіміко-технологічного університету.

Рецензенти:

кафедра прикладної математики Іванівського державного енергетичного університету; доктор фізико-математичних наук В.А.Соколов (Ярославський державний університет).

ISBN 5-9616-0268-6 © ГОУ ВПО Іванівський державний хіміко-технологічний університет», 2008

1.5. Концепція математичної схеми моделювання. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Загальна методика створення математичних моделей. . . . . . . . . . . 13

1.7. Основні поняття системного підходу до створення

математичні моделі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. ДЕТЕРМІНОВАНІ МОДЕЛІ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Математичні моделі технічних об'єктів. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Компонентні функціональні рівняння об'єктів. . . . . 20

2.1.2. Фазові змінні та їх аналогії. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Топологічні рівняння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Приклад створення моделей технічних об'єктів. . . . . . . 25

2.1.5. Моделі технологічних апаратів . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Кінцеві автомати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Концепція кінцевого автомата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Способи опису та класи кінцевих автоматів. . . . . . . . 32

2.2.3. Інші види кінцевих автоматів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Елементи теорії випадкових марківських процесів. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Концепція випадкового процесу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Дискретні ланцюги Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Стаціонарний розподіл імовірностей. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Безперервні марківські ланцюги. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Рівняння О.М. Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Потоки подій. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Основи теорії масового обслуговування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Узагальнена структурна схема СМО. Параметри

та характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Розімкнуті СМО з очікуванням та терплячими заявками. 58

3.2.3. Граничні варіанти розімкнутої СМО. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.Загальний випадок розімкнутої СМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Замкнені СМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Мережі масового обслуговування

із найпростішими потоками подій. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Імовірнісні автомати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Визначення методу імітаційного моделювання. . . . . . . . . .
4.2. Основні поняття імітаційного моделювання. . . . . . . . . . . .
4.3. Основні етапи імітаційного моделювання. . . . . . . . . . . . . .
4.4. Час у імітаційних моделях. Псевдопаралелізм. . . . . . . . . .
4.5. Узагальнені алгоритми імітаційного моделювання. . . . . . .
4.6. Моделювання випадкових факторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Моделювання базових випадкових величин. . . . . . . . . . . .
4.6.2. Моделювання безперервних випадкових величин
із довільним розподілом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Моделювання дискретних випадкових величин. . . . . . . . .
4.6.4. Моделювання випадкових подій та їх потоків. . . . . . .
4.7 Моделювання випадкових процесів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Дискретні ланцюги Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Безперервні ланцюги Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Обробка та аналіз результатів імітаційного моделювання.
4.8.1. Оцінка імовірнісних параметрів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Оцінка кореляційних властивостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3. Розрахунок середніх за часом параметрів СМО. . . . . . . . . . . .
4.9. Планування експериментів із імітаційними моделями. . . . .
4.10. Загальні проблеми імітаційного моделювання. . . . . . . . . . . .
5. ОГЛЯД АЛЬТЕРНАТИВНИХ ПІДХОДІВ ДО МОДЕЛЮВАННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Мережі Петрі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Визначення мережі Петрі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. функціонування мережі Петрі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Аналіз мереж Петрі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Нейронні сіті. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Концепція нейронної мережі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Штучний нейрон. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Основні види активаційних функцій штучних
нейронів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Види найпростіших нейронних мереж. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Рекурентні та самоорганізовані нейронні мережі. . .
5.2.6. Загальні зауваження щодо використання нейронних мереж. . . .
5.3. Інформаційно-ентропійний підхід до моделювання систем
СПИСОК РЕКОМЕНДУЄМОЇ ЛІТЕРАТУРИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .

ВСТУП

Моделювання є універсальним методом отримання та використання знань про навколишній світ. Моделювання завжди використовується людиною в цілеспрямованій діяльності, особливо в дослідницькій. У сучасних умовах посилюється роль і значення математичного моделювання, яке з розвитком засобів обчислювальної техніки часто почали називати комп'ютерним.

Математичні (комп'ютерні) моделі, в силу своєї логічності та суворого формального характеру, дозволяють виявити основні фактори, що визначають властивості систем, що вивчаються, і досліджувати їх реакції на зовнішні впливи та зміни параметрів. Часто математичні моделі простіше та зручніше використовувати, ніж натуральні (фізичні). Вони дозволяють проводити обчислювальні експерименти, реальна постановка яких утруднена або неможлива.

Вивчення основних принципів математичного моделювання є невід'ємною частиною підготовки фахівців у технічних галузях діяльності. Дисципліни, пов'язані з вивченням основних аспектів моделювання об'єктів і систем, обов'язково входять у відповідні навчальні плани, будучи компонентами федеральних освітніх стандартів.

Метою даного навчального посібника є послідовний виклад сучасних методів моделювання. Посібник призначений головним чином для студентів, які навчаються за спеціальностями та напрямками «Інформаційні системи» та «Прикладна інформатика (за галузями»). - нних систем, а й включити до тексту розгляд технічних і техніко-економічних систем та об'єктів.

Матеріал посібника побудований в такий спосіб. У першому розділі розглядаються загальні питання та сучасна методологія моделювання, використання системного підходу під час створення математичних моделей. Другий розділ присвячено розгляду безперервних та дискретних детермінованих моделей об'єктів та систем. Пропонується використання методу аналогій при синтезі та аналізі моделей технічних об'єктів різної фізичної природи. У третьому розділі вивчаються стохастичні моделі з дискретним та безперервним часом. Велику увагу у посібнику приділено методам імітаційного моделювання систем з імовірнісними характеристиками, що становить зміст четвертого розділу. У п'ятому розділі дається огляд інших підходів до моделювання складних систем, таких як інформаційно-ентропійний, використання нейронних мереж та мереж Петрі.

ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Математична модель технічного об'єкта - сукупність математичних об'єктів і відносин з-поміж них, яка адекватно відбиває властивості досліджуваного об'єкта, цікаві для дослідника (инженера).

Модель може бути представлена ​​у різний спосіб.

Форми представлення моделі:

інваріантна – запис співвідношень моделі за допомогою традиційної математичної мови безвідносно до методу розв'язання рівнянь моделі;

аналітична – запис моделі у вигляді результату аналітичного рішення вихідних рівнянь моделі;

алгоритмічна - запис співвідношень моделі та обраного чисельного методу розв'язання у формі алгоритму.

схемна (графічна) - представлення моделі деякою графічною мовою (наприклад, мова графів, еквівалентні схеми, діаграми тощо);

фізична

аналогова

Найбільш універсальним є математичний опис процесів – математичне моделювання.

У поняття математичного моделювання включають процес вирішення завдання на ЕОМ.

Узагальнена математична модель

Математична модель описує залежність між вихідними даними та шуканими величинами.

Елементами узагальненої математичної моделі є (рис. 1): множина вхідних даних (змінні) X, Y;

X - сукупність змінних, що варіюються; Y – незалежні змінні (константи);

математичний оператор L, що визначає операції над цими даними; під яким розуміється повна система математичних операцій, що описують чисельні чи логічні співвідношення між множинами вхідних та вихідних даних (змінні);

множина вихідних даних (змінних) G(X,Y); є сукупність критеріальних функцій, що включає (при необхідності) цільову функцію.

Математична модель є математичним аналогом проектованого об'єкта. Ступінь адекватності її об'єкту визначається постановкою та коректністю розв'язків задачі проектування.

Множина параметрів, що варіюються (змінних) X утворює простір параметрів, що варіюються, Rx (простір пошуку), яке є метричним з розмірністю n, що дорівнює кількості варіюються параметрів.

Безліч незалежних змінних Y утворюють метричний простір вхідних даних Ry. У тому випадку, коли кожен компонент простору Ry визначається діапазоном можливих значень, безліч незалежних змінних відображається деяким обмеженим підпростором простору Ry.

Безліч незалежних змінних Y визначає середовище функціонування об'єкта, тобто. зовнішні умови, в яких працюватиме проектований об'єкт

Це можуть бути:

• - технічні параметри об'єкта, які не підлягають зміні у процесі проектування;
• - фізичні обурення середовища, з яким взаємодіє об'єкт проектування;
• - тактичні параметри, які має досягати об'єкта проектування.

Вихідні дані узагальненої моделі утворюють метричний простір критеріальних показників RG.

Схема використання математичної моделі у системі автоматизованого проектування показано на рис.2.

Вимоги до математичної моделі

Основними вимогами до математичних моделей є вимоги адекватності, універсальності та економічності.

Адекватність. Модель вважається адекватною, якщо відбиває задані властивості з прийнятною точністю. Точність визначається як ступінь збігу значень вихідних параметрів моделі та об'єкта.

Точність моделі різна у різних умовах функціонування об'єкта. Ці умови характеризуються зовнішніми параметрами. У просторі зовнішніх параметрів виділити область адекватності моделі, де похибка менша за задану гранично допустиму похибку. Визначення області адекватності моделей - складна процедура, яка потребує великих обчислювальних витрат, які швидко зростають із збільшенням розмірності простору зовнішніх параметрів. Це завдання за обсягом може значно перевершувати задачу параметричної оптимізації самої моделі, тому для об'єктів, що знову проектуються, може не вирішуватися.

Універсальність - визначається в основному числом і складом зовнішніх і вихідних параметрів, що враховуються в моделі.

Економічність моделі характеризується витратами обчислювальних ресурсів для її реалізації – витратами машинного часу та пам'яті.

Суперечливість вимог до моделі володіти широкою областю адекватності, високого ступеня універсальності та високої економічності обумовлює використання ряду моделей для об'єктів одного й того самого типу.

Методи отримання моделей

Отримання моделей у загальному випадку – процедура неформалізована. Основні рішення, що стосуються вибору виду математичних співвідношень, характеру змінних і параметрів, що використовуються, приймає проектувальник. У той же час такі операції, як розрахунок чисельних значень параметрів моделі, визначення областей адекватності та інші, алгоритмізовані та вирішуються на ЕОМ. Тому моделювання елементів проектованої системи зазвичай виконується фахівцями конкретних технічних областей з допомогою традиційних експериментальних досліджень.

Методи отримання функціональних моделей елементів ділять на теоретичні та експериментальні.

Теоретичні методи засновані на вивченні фізичних закономірностей процесів, що протікають в об'єкті, визначенні відповідного цим закономірностям математичного опису, обґрунтуванні та прийнятті спрощуючих припущень, виконанні необхідних викладок та приведенні результату до прийнятої форми подання моделі.

Експериментальні методи засновані на використанні зовнішніх проявів властивостей об'єкта, що фіксуються під час експлуатації однотипних об'єктів або під час цілеспрямованих експериментів.

Незважаючи на евристичний характер багатьох операцій, моделювання має ряд положень і прийомів, загальних для отримання моделей різних об'єктів. Досить загальний характер мають

методика макро моделювання,

математичні методи планування експериментів,

алгоритми операцій, що формуються, розрахунку чисельних значень параметрів та визначення областей адекватності.

Використання математичних моделей

Обчислювальна потужність сучасних комп'ютерів у поєднанні з наданням користувачеві всіх ресурсів системи, можливістю діалогового режиму при вирішенні задачі та аналізі результатів дозволяють звести до мінімуму час вирішення задачі.

При складанні математичної моделі від дослідника потрібно:

вивчити властивості досліджуваного об'єкта;

вміння відокремити основні характеристики об'єкта від другорядних;

оцінити прийняті припущення.

Модель описує залежність між вихідними даними та шуканими величинами. Послідовність дій, які треба виконати, щоб від вихідних даних перейти до шуканих величин називають алгоритмом.

Алгоритм розв'язання задачі на ЕОМ пов'язаний із вибором чисельного методу. Залежно від форми подання математичної моделі (алгебраїчна чи диференціальна форма) використовуються різноманітні чисельні методи.

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці методи, як зазначено вище, є комплексом економіко-математичних дисциплін, які є сплавом економіки, математики та кібернетики.

Тому класифікація економіко-математичних методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до їхнього складу. Хоча загальноприйнята класифікація цих дисциплін поки що не вироблена, з певним ступенем наближення у складі економіко-математичних методів можна виділити такі розділи:

• * економічна кібернетика: системний аналіз економіки, теорія економічної інформації та теорія керуючих систем;
• * математична статистика: економічні програми цієї дисципліни - вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, факторний аналіз, теорія індексів та ін;
• * математична економія та вивчає самі питання з кількісної боку эконометрия: теорія економічного зростання, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та споживання, регіональний і просторовий аналіз, глобальне моделювання та інших.;
• * Способи прийняття раціональних рішень, зокрема дослідження операцій на економіці. Це найбільш об'ємний розділ, що включає наступні дисципліни та методи: оптимальне (математичне) програмування, у тому числі методи гілок і кордонів, мережеві методи планування та управління, програмно-цільові методи планування та управління, теорію та методи управління запасами, теорію масового обслуговування , теорію ігор, теорію та методи прийняття рішень, теорію розкладів. В оптимальне (математичне) програмування входять у свою чергу лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, дискретне (цілочисленне) програмування, дробово-лінійне програмування, параметричне програмування, сепарабельне програмування, стохастичне програмування, геометричне програмування;
• * методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано планованої економіки, так і для ринкової (конкурентної) економіки. До перших можна віднести теорію оптимального функціонування економіки, оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі матеріально-технічного постачання та ін. і т.д.

Багато методів, розроблених для централізовано планованої економіки, можуть виявитися корисними і при економіко-математичному моделюванні в умовах ринкової економіки;

* Методи експериментального вивчення економічних явищ. До них відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне моделювання), ділові ігри. Сюди можна віднести і методи експертних оцінок, розроблені з метою оцінки явищ, які піддаються безпосередньому виміру.

Перейдемо тепер до питань класифікації економіко-математичних моделей, тобто математичних моделей соціально-економічних систем і процесів.

Єдиної системи класифікації таких моделей нині також немає, проте зазвичай виділяють понад десять основних ознак їх класифікації, чи класифікаційних рубрик. Розглянемо деякі із цих рубрик.

За загальним цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-аналітичні, використовувані щодо загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, і прикладні, що застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань аналізу, прогнозування та управління. Різні типи прикладних економіко-математичних моделей таки розглядаються в даному навчальному посібнику.

За рівнем агрегування об'єктів моделювання моделі поділяються на макроекономічні та мікроекономічні. Хоча з-поміж них немає чіткого розмежування, до перших їх відносять моделі, відбивають функціонування економіки як єдиного цілого, тоді як мікроекономічні моделі пов'язані, зазвичай, з такими ланками економіки, як підприємства міста і фірми.

За конкретним призначенням, тобто за метою створення та застосування, виділяють балансові моделі, що виражають вимогу відповідності наявності ресурсів та їх використання; трендові моделі, в яких розвиток економічної системи, що моделюється, відображається через тренд (тривалу тенденцію) її основних показників; оптимізаційні моделі, призначені для вибору найкращого варіанта з певної кількості варіантів виробництва, розподілу чи споживання; імітаційні моделі, призначені для використання в процесі машинної імітації систем, що вивчаються або процесів та ін.

За типом інформації, що використовується в моделі, економіко-математичні моделі діляться на аналітичні, побудовані на апріорній інформації, та ідентифіковані, побудовані на апостеріорній інформації.

За врахуванням фактору часу моделі поділяються на статичні, в яких всі залежності віднесені до одного моменту часу, і динамічні, що описують економічні системи у розвитку.

За врахуванням фактора невизначеності моделі розпадаються на детерміновані, якщо в них результати на виході однозначно визначаються керуючими впливами, і стохастичні (імовірнісні), якщо при заданні на вході моделі певної сукупності значень на її виході можуть виходити різні результати залежно від дії випадкового фактора.

Економіко-математичні моделі можуть класифікуватися також за характеристикою математичних об'єктів, включених у модель, іншими словами, на кшталт математичного апарату, що використовується в моделі. За цією ознакою можуть бути виділені матричні моделі, моделі лінійного та нелінійного програмування, кореляційно-регресійні моделі,

Основні поняття математичного моделювання моделі теорії масового обслуговування, моделі планування та управління мережами, моделі теорії ігор і т.д.

Нарешті, за типом підходу до соціально-економічних систем, що вивчаються, виділяють дескриптивні та нормативні моделі. При дескриптивному (описовому) підході виходять моделі, призначені для опису і пояснення явищ, що фактично спостерігаються, або для прогнозу цих явищ; як приклад дескриптивних моделей можна навести названі раніше балансові та трендові моделі. При нормативному підході цікавляться не тим, яким чином влаштована та розвивається економічна система, а як вона має бути влаштована та як має діяти у сенсі певних критеріїв. Зокрема, усі оптимізаційні моделі належать до типу нормативних; іншим прикладом можуть бути нормативні моделі рівня життя.

Розглянемо як приклад економіко-математичну модель міжгалузевого балансу (ЕММ МОБ). З урахуванням вищенаведених класифікаційних рубрик це прикладна, макроекономічна, аналітична, дескриптивна, детермінована, балансова, матрична модель; при цьому існують як статичні методи, так і динамічні

Лінійне програмування - це окремий розділ оптимального програмування. У свою чергу оптимальне (математичне) програмування – розділ прикладної математики, що вивчає завдання умовної оптимізації. В економіці такі завдання виникають при практичній реалізації принципу оптимальності у плануванні та управлінні.

Необхідною умовою використання оптимального підходу до планування та управління (принципу оптимальності) є гнучкість, альтернативність виробничо-господарських ситуацій, за умов яких доводиться приймати планово-управлінські рішення. Саме такі ситуації, як правило, і становлять повсякденну практику суб'єкта господарювання (вибір виробничої програми, прикріплення до постачальників, маршрутизація, розкрій матеріалів, приготування сумішей і т.д.).

Суть принципу оптимальності полягає у прагненні обрати таке планово-управлінське рішення X = (xi, Х2 хп), де Ху, (у = 1. я) - його компоненти, яке найкраще враховувало б внутрішні можливості та зовнішні умови виробничої діяльності суб'єкта господарювання .

Слова «найкраще» тут означають вибір деякого критерію оптимальності, тобто. деякого економічного показника, що дозволяє порівнювати ефективність тих чи інших планово-управлінських рішень. Традиційні критерії оптимальності: «максимум прибутку», «мінімум витрат», «максимум рентабельності» та ін. .е. вибір X здійснюється з деякої галузі можливих (допустимих) рішень D; цю область називають також областю визначення завдання. загальне завдання оптимального (математичного) програмування, інакше - математична модель завдання оптимального програмування, основу побудови (розробки) якої лежать принципи оптимальності і системності.

Вектор X (набір змінних керуючих Xj, j = 1, п) називається допустимим рішенням, або планом завдання оптимального програмування, якщо він задовольняє системі обмежень. А той план X (припустиме рішення), який доставляє максимум або мінімум цільової функції f(xi, *2, ..., хп), називається оптимальним планом (оптимальною поведінкою або просто рішенням) завдання оптимального програмування.

Таким чином, вибір оптимальної управлінської поведінки в конкретній виробничій ситуації пов'язаний з проведенням з позицій системності та оптимальності економіко-математичного моделювання та розв'язанням задачі оптимального програмування. Завдання оптимального програмування найбільш загальному вигляді класифікують за такими ознаками.

• 1. За характером взаємозв'язку між змінними -
• а) лінійні,
• б) нелінійні.

У разі а) всі функціональні зв'язки в системі обмежень та функція мети - лінійні функції; наявність нелінійності хоча в одному зі згаданих елементів призводить до б).

• 2. За характером зміни змінних -
• а) безперервні,
• б) дискретні.

У разі а) значення кожної з змінних, що управляють, можуть заповнювати суцільно деяку область дійсних чисел; у випадку б) усі або хоча б одна змінна можуть набувати лише цілих чисел.

• 3. За врахуванням фактора часу --
• а) статичні,
• б) динамічні.

У задачах а) моделювання та прийняття рішень здійснюються у припущенні про незалежність від часу елементів моделі протягом періоду часу, на який приймається планово-управлінське рішення. У разі б) таке припущення досить аргументовано прийнято не може бути і необхідно враховувати фактор часу.

• 4. За наявності інформації про змінні -
• а) завдання за умов повної визначеності (детерміновані),
• б) завдання в умовах неповної інформації,
• в) завдання за умов невизначеності.

У задачах б) окремі елементи є імовірнісними величинами, проте відомі чи додатковими статистичними дослідженнями можуть бути встановлені їхні закони розподілу. У разі в) можна зробити припущення про можливі наслідки випадкових елементів, але немає можливості зробити висновок про ймовірності наслідків.

• 5. За кількістю критеріїв оцінки альтернатив -
• а) прості, однокритеріальні завдання,
• б) складні, багатокритеріальні завдання.

У задачах а) економічно прийнятне використання одного критерію оптимальності або вдається спеціальними процедурами (наприклад, «зважуванням пріоритетів»)

ЛЕКЦІЯ 4

Визначення та призначення математичного моделювання

Під моделлю(від латинського modulus - міра, зразок, норма) будемо розуміти такий матеріально або подумки об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт-оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові його риси. Процес побудови та використання моделі називається моделюванням.

Суть математичного моделювання (ММ) полягає в заміні досліджуваного об'єкта (процесу) адекватною математичною моделлю та подальшому дослідженні властивостей цієї моделі за допомогою або аналітичних методів, або обчислювальних експериментів.

Іноді корисніше замість давати суворі визначення, описувати те чи інше поняття на конкретному прикладі. Тому проілюструємо наведені вище визначення ММ на прикладі задачі розрахунку питомого імпульсу. На початку 60-х перед вченими ставилося завдання розробки ракетного палива з найбільшим питомим імпульсом. Принцип руху ракети полягає в наступному: рідке паливо та окислювач із баків ракети подаються в двигун, де відбувається їх згоряння, а продукти згоряння вилітають в атмосферу. Із закону збереження імпульсу випливає, що в цьому ракета рухатиметься зі швидкістю.

Питома імпульс палива – це отриманий імпульс, поділений на масу палива. Проведення експериментів було дуже дорогим і призводило до систематичного псування обладнання. Виявилося, що легше і дешевше розрахувати термодинамічні функції ідеальних газів, обчислити з їх допомогою склад газів, що вилітають, і температуру плазми, а потім і питомий імпульс. Тобто провести ММ процесу горіння палива.

Поняття математичного моделювання (ММ) сьогодні одне з найпоширеніших у науковій літературі. Переважна більшість сучасних дипломних та дисертаційних робіт пов'язана з розробкою та використанням відповідних математичних моделей. Комп'ютерне ММ сьогодні є складовою багатьох галузей людської діяльності (наука, техніка, економіка, соціологія тощо). Це одна з причин сьогоднішнього дефіциту фахівців у галузі інформаційних технологій.

Бурхливе зростання математичного моделювання зумовлене стрімким удосконаленням обчислювальної техніки. Якщо ще 20 років тому проведенням чисельних розрахунків займалося лише невелика кількість програмістів, то тепер обсяг пам'яті та швидкодія сучасних комп'ютерів, що дозволяють вирішувати завдання математичного моделювання доступних усім фахівцям, включаючи студентів ВНЗ.

У будь-якій дисципліні спочатку дається якісний опис явищ. А потім уже – кількісне, сформульоване у вигляді законів, що встановлюють зв'язки між різними величинами (напруженість поля, інтенсивність розсіювання, заряд електрона…) у формі математичних рівнянь. Тому можна сказати, що в кожній дисципліні стільки науки, скільки в ній є математики, і цей факт дозволяє успішно вирішувати багато завдань методами математичного моделювання.

Цей курс призначений для студентів, що спеціалізуються в галузі прикладної математики, які виконують дипломні роботи під керівництвом провідних вчених, які працюють у різних галузях. Тому цей курс необхідний не лише як навчальний матеріал, а й як підготовка до дипломної роботи. Для вивчення даного курсу нам будуть потрібні такі розділи математики:

1. Рівняння математичної фізики (кантова механіка, газо- та гідродинаміка)

2. Лінійна алгебра (теорія пружності)

3. Скалярні та векторні поля (теорія поля)

4. Теорія ймовірностей (квантова механіка, статистична фізика, фізична кінетика)

5. Спеціальні функції.

6. Тензорний аналіз (теорія пружності)

7. Математичний аналіз

ММ в природознавстві, техніці та економіці

Розглянемо спочатку різні розділи природознавства, техніки, економіки, у яких використовуються математичні моделі.

Природознавство

Фізика, яка встановлює основні закони природознавства, давно розділилася на теоретичну та експериментальну. Виведенням рівнянь, що описують фізичні явища, займається теоретична фізика. Таким чином, теоретична фізика також може вважатися одним із напрямків математичного моделювання. (Згадаймо, що назва першої книги з фізики – «Математичні засади натуральної філософії» І. Ньютона можна перекласти сучасною мовою як «Математичні моделі природознавства».) На підставі отриманих законів проводяться інженерні розрахунки, які проводяться в різних інститутах, фірмах, КБ. Ці організації розробляють технології виготовлення сучасної продукції, які є наукомісткими. Отже, поняття наукомісткі технології включає розрахунки за допомогою відповідних математичних моделей.

Один із найбільш великих розділів фізики – класична механіка(іноді цей розділ називається теоретичною чи аналітичною механікою). Даний розділ теоретичної фізики вивчає рух та взаємодію тіл. Розрахунки за допомогою формул теоретичної механіки необхідні при вивченні обертання тіл (розрахунок моментів інерції, гіростатів – пристроїв, що зберігають у нерухомості осі обертання), аналізі руху тіла в безповітряному просторі, та ін. Один з розділів теоретичної механіки називається теорією стійкості і лежить в основі багатьох математичних моделей, що описують рух літаків, кораблів, ракет. Розділи практичної механіки – курси «Теорія машин та механізмів», «Деталі машин», вивчається студентами багатьох технічних вузів (включаючи МДІУ).

Теорія пружності- Частина розділу механіки суцільних середовищ, що передбачає, що матеріал пружного тіла однорідний і безперервно розподілений по всьому об'єму тіла, так що найменший елемент, вирізаний з тіла, має ті ж фізичні властивості, що і все тіло. Додаток теорії пружності – курс «опір матеріалів», що вивчається студентами всіх технічних вузів (включаючи МДІУ). Цей розділ необхідний всім розрахунків міцності. Тут і розрахунок міцності корпусів кораблів, літаків, ракет, розрахунок міцності сталевих та залізобетонних конструкцій будівель та багато іншого.

Газо- та гідродинаміка, як і теорія пружності – частина розділу механіки суцільних середовищ, розглядає закони руху рідини та газу. Рівняння газо - і гідродинаміки необхідні під час аналізу руху тіл у рідкому і газоподібному середовищі (супутники, підводні човни, ракети, снаряди, автомобілі), під час розрахунків закінчення газу із сопел двигунів ракет, літаків. Практичний додаток гідродинаміки - гідравліка (гальмо, кермо, ...)

Попередні розділи механіки розглядали рух тіл у макросвіті, і фізичні закони макросвіту не застосовуються в мікросвіті, в якому рухаються частинки речовини - протони, нейтрони, електрони. Тут діють зовсім інші принципи, і для опису мікросвіту необхідна квантова механіка. Основне рівняння, що описує поведінку мікрочастинок - рівняння Шредінгера: . Тут – оператор Гамільтона (гамільтоніан). Для одновимірного рівняння руху частинки -потенційна енергія. Розв'язання цього рівняння - набір власних значень енергії і власних функций..gif" width="55" height="24 src=">- щільність ймовірності. Квантовомеханічні розрахунки необхідні розробки нових матеріалів (мікросхеми), створення лазерів, розробки методів спектрального аналізу, та інших.

Велика кількість завдань вирішує кінетика, що описує рух та взаємодію частинок. Тут і дифузія, теплообмін, теорія плазми – четвертий стан речовини.

Статистична фізикарозглядає ансамблі частинок, дозволяє сказати про параметри ансамблю, з властивостей окремих частинок. Якщо ансамбль складається з молекул газу, то виведені методами статистичної фізики властивості ансамблю є добре відомими із середньої школи рівняння газового стану: http://www.pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif height="17 src=">.gif" width="16" - молекулярна вага газу. К – стала Рідберга. Статистичними методами розраховуються властивості розчинів, кристалів, електронів у металах. ММ статистичної фізики – теоретична основа термодинаміки, що лежить в основі розрахунку двигунів, теплових мереж та станцій.

Теорія полявизначає методами ММ одну з основних форм матерії - поле. При цьому основний інтерес становлять електромагнітні поля. Рівняння електромагнітного поля (електродинаміки) були виведені Максвеллом: , , . Тут і щільність заряду, щільність струму. Рівняння електродинаміки лежать в основі розрахунків розповсюдження електромагнітних хвиль. , необхідні описи поширення радіохвиль (радіо, телебачення, стільниковий зв'язок), пояснення роботи радіолокаційних станцій.

Хімію можна у двох аспектах, виділяючи описову хімію – відкриття хімічних чинників та його опис – і теоретичну хімію – розробку теорій, дозволяють узагальнити встановлені чинники і у вигляді певної системи (Л. Полинг). Теоретична хімія називається також фізичною хімією і є, по суті, розділом фізики, що вивчає речовини та їх взаємодії. Тому все, що було сказано щодо фізики, повною мірою стосується і хімії. Розділами фізичної хімії будуть термохімія, що вивчатиме теплові ефекти реакцій, хімічна кінетика (швидкості реакцій), квантова хімія (будова молекул). У цьому завдання хімії бувають надзвичайно складними. Так, наприклад, для вирішення завдань квантової хімії – науки про будову атомів та молекул, використовуються програми, які можна порівняти за обсягом із програмами ППО країни. Наприклад, щоб описати молекулу UCl4, що складається з 5 ядер атомів і +17*4) електронів, потрібно записати рівняння руху – рівняння у приватних похідних.

Біологія

У біологію математика прийшла по-справжньому лише у другій половині 20 століття. Перші спроби математично описати біологічні процеси належать до моделей популяційної динаміки. Населенням називається співтовариство особин одного виду, які займають деяку область простору Землі. Ця область математичної біології, вивчає зміна чисельності популяції у різних умовах (наявність конкуруючих видів, хижаків, хвороб тощо. п.) й у подальшому служила математичним полігоном, у якому " відпрацьовувалися " математичні моделі у різних галузях біології. У тому числі моделі еволюції, мікробіології, імунології та інших галузей, пов'язаних із клітинними популяціями.
Найперша відома модель, сформульована в біологічній постановці, - знаменитий ряд Фібоначчі (кожне наступне число є сумою двох попередніх), який наводить у своїй праці Леонардо з Пізи в 13 столітті. Це ряд чисел, що описує кількість пар кроликів, які народжуються щомісяця, якщо кролики починають розмножуватися з другого місяця і щомісяця дають потомство як пари кроликів. Ряд представляє послідовність чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Іншим прикладом вивчення процесів іонного трансмембранного перенесення на штучної бислойной мембрані. Тут для того, щоб вивчити закони утворення пори, через яку іон проходить крізь мембрану всередину клітини, необхідно створити модельну систему, яку можна вивчати експериментально, і для якої можна використовувати добре розроблений наукою фізичний опис.

Класичним прикладом ММ є також популяція дрозофіли. Ще зручнішою моделлю є віруси, які можна розмножувати у пробірці. Методами моделювання в біології служать методи динамічної теорії систем, а засобами - диференціальні та різницеві рівняння, методи якісної теорії диференціальних рівнянь, імітаційне моделювання.
Цілі моделювання в біології:
3. З'ясування механізмів взаємодії елементів системи
4. Ідентифікація та верифікація параметрів моделі за експериментальними даними.
5. Оцінка сталості системи (моделі).

6. Прогноз поведінки системи при різних зовнішніх впливах, різних способах управління та ін.
7. Оптимальне керування системою відповідно до обраного критерію оптимальності.

Техніка

Удосконаленням техніки займається велика кількість фахівців, які у своїй роботі спираються на результати наукових досліджень. Тому ММ у техніці самі, як і ММ природознавства, про які йшлося вище.

Економіка та соціальні процеси

Вважають, що математичне моделювання як метод аналізу макроекономічних процесів було вперше застосовано лейб-медиком короля Людовіка XV доктором Франсуа Кене, який 1758 р. опублікував роботу «Економічна таблиця». У цій роботі було зроблено першу спробу кількісно описати національну економіку. А 1838 р. у книзі О. Курно"Дослідження математичних принципів теорії багатства" кількісні методи були вперше використані для аналізу конкуренції на ринку товару при різних ринкових ситуаціях.

Широко відома також теорія Мальтуса про народонаселення, в якій він запропонував ідею: зростання населення далеко не завжди бажане, і зростання це йде швидше, ніж зростають можливості забезпечення населення продовольством. Математична модель такого процесу досить проста: Нехай - приріст чисельності населення за час чисельність дорівнювала . і - Коефіцієнти, що враховують народжуваність і смертність (чол/рік).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Інструментальні та математичні методи " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">математичні методи аналізу (наприклад, в останні десятиліття в гуманітарних науках з'явилися математичні теорії розвитку культури, побудовано та досліджено математичні моделі мобілізації, циклічного розвитку соціокультурних процесів, модель взаємодії народу та уряду, модель гонки озброєнь та ін.).

У найзагальніших рисах процес ММ соціально-економічних процесів умовно можна поділити на чотири етапи:

формулювання системи гіпотез та розробка концептуальної моделі; розробка математичної моделі; аналіз результатів модельних розрахунків, який включає їх порівняння з практикою; формулювання нових гіпотез та уточнення моделі у разі невідповідності результатів розрахунків та практичних даних.

Зазначимо, що зазвичай процес математичного моделювання носить циклічний характер, оскільки навіть при дослідженні порівняно простих процесів рідко вдається з першого кроку побудувати адекватну математичну модель і підібрати точні її параметри.

В даний час економіка розглядається як складна система, що розвивається, для кількісного опису якої застосовуються динамічні математичні моделі різного ступеня складності. Один із напрямів дослідження макроекономічної динаміки пов'язаний з побудовою та аналізом щодо простих нелінійних імітаційних моделей, що відображають взаємодію різних підсистем – ринку праці, ринку товарів, фінансової системи, природного середовища та ін.

Успішно розвивається теорія катастроф. Ця теорія розглядає питання про умови, за яких зміна параметрів нелінійної системи викликає переміщення точки у фазовому просторі, що характеризує стан системи, з області тяжіння до початкового положення рівноваги в область тяжіння до іншого положення рівноваги. Останнє дуже важливо як для аналізу технічних систем, але й розуміння стійкості соціально-економічних процесів. У зв'язку з цим цікаві висновки значення дослідження нелінійних моделей для управління. У книзі «Теорія катастроф», опублікованій 1990 р., він, зокрема, пише: «…нинішня перебудова багато в чому пояснюється тим, що почали діяти хоча б деякі механізми зворотного зв'язку (страх особистого знищення)».

(Параметри моделі)

При побудові моделей реальних об'єктів та явищ часто доводиться стикатися з нестачею інформації. Для досліджуваного об'єкта розподіл властивостей, параметри впливу та початковий стан відомі з тим чи іншим ступенем невизначеності. При побудові моделі можливі такі варіанти опису невизначених параметрів:

Класифікація математичних моделей

(Методи реалізації)

Методи реалізації ММ можна класифікувати відповідно до таблиці, наведеної нижче.

Методи реалізації ММ Дуже часто аналітичне рішення для моделі подається у вигляді функцій. Для отримання значень цих функцій при конкретних значеннях вхідних параметрів використовують їх розкладання в ряди (наприклад, Тейлора) і значення функції при кожному значенні аргументу визначається приблизно. Моделі, які використовують такий прийом, називаються наближеними. При чисельному підходісукупність математичних співвідношень моделі замінюється кінцевим аналогом. Це найчастіше досягається дискретизацією вихідних співвідношень, тобто. переходом від функцій безперервного аргументу до функцій дискретного аргументу (сіточні методи). Знайдене після розрахунків на комп'ютері рішення приймається за наближене рішення вихідної задачі. Більшість існуючих систем є дуже складними, і їм неможливо створити реальну модель, описану аналітично. Такі системи слід вивчати за допомогою імітаційного моделювання. Один із основних прийомів імітаційного моделювання пов'язаний із застосуванням датчика випадкових чисел. Оскільки безліч завдань вирішується способами ММ, то методи реалізації ММ вивчаються над одному навчальному курсі. Тут і рівняння у приватних похідних, чисельні методи розв'язання цих рівнянь, обчислювальна математика, комп'ютерне моделювання тощо. ПОЛІНГ, ЛАЙНУС КАРЛ (Pauling, Linus Carl) (), американський хімік і фізик, удостоєний в 1954 Нобелівської премії з хімії за дослідження природи хімічного зв'язку та визначення структури білків. Народився 28 лютого 1901 року в Портленді (шт. Орегон). Розробив квантовомеханічний метод вивчення будови молекул (поряд з американським фізиком Дж. Слейєром) - метод валентних зв'язків, а також теорію резонансу, що дозволяє пояснити будову вуглецевмісних сполук, насамперед сполук ароматичного ряду. У період культу особистості СРСР вчені, котрі займалися квантовою хімією піддавалися гонінням і звинувачувалися в «полінгізмі». Мальтус, Томас Роберт (Malthus, Thomas Robert) (), англійський економіст. Народився в Рукері поблизу Доркінга в Сурреї 15 або 17 лютого 1766 року. У 1798 анонімно опублікував працю Досвід про закон населення.У 1819 році Мальтус був обраний членом Королівського товариства.

Модель (від лат. modulus – міра) та моделювання є загальнонауковими поняттями. Моделювання з загальнонаукової погляду постає як спосіб пізнання з допомогою побудови спеціальних об'єктів, систем – моделей досліджуваних об'єктів, явищ чи процесів. У цьому той чи інший об'єкт називають моделлю тоді, що він використовується отримання інформації щодо іншого об'єкта – прототипу модели.

Метод моделювання використовується практично у всіх без винятку науках та на всіх етапах наукового дослідження. Евристична сила цього методу визначається тим, що за допомогою методу моделювання вдається звести вивчення складного до простого, невидимого та невідчутного та видимого та відчутного тощо.

При дослідженні якогось об'єкта (процесу або явища) за допомогою методу моделювання, як модель можна вибрати ті властивості, які нас зараз цікавлять. Наукове дослідження будь-якого об'єкта завжди є відносно. У конкретному дослідженні не можна розглянути об'єкт у всьому його різноманітті. Отже, один і той же об'єкт може мати багато різних моделей і про жодну з них не можна сказати, що вона єдина, справжня модель даного об'єкта.

Прийнято розрізняти чотири основні властивостімоделей:

· Спрощеність порівняно з об'єктом, що вивчається;

· Здатність відображати або відтворювати об'єкт дослідження;

· Можливість заміщати об'єкт дослідження на певних етапах його пізнання;

· можливість отримувати нову інформацію про об'єкт, що вивчається.

Дослідження різних явищ чи процесів математичними методами здійснюється з допомогою математичної моделі. Математична модельє формалізоване опис мовою математики досліджуваного об'єкта. Таким формалізованим описом може бути система лінійних, нелінійних чи диференціальних рівнянь, система нерівностей, певний інтеграл, багаточлен з невідомими коефіцієнтами тощо. буд.

Перш ніж створити математичну модель об'єкта (процесу чи явища) його довго вивчають різними методами: спостереженням, спеціально організованими експериментами, теоретичним аналізом тощо. Потім об'єкт спрощується, з усього різноманіття властивих властивостей виділяються найбільш суттєві. При необхідності робляться припущення про зв'язки з навколишнім світом.

Як зазначалося раніше, будь-яка модель не тотожна самому явищу, вона лише дає деяке наближення до дійсності. Але в моделі перераховані всі припущення, які покладені на її основу. Ці припущення можуть бути грубими і тим не менше давати цілком задовільне наближення до реальності. Для того самого явища може бути побудовано кілька моделей, зокрема і математичних. Наприклад, описати рух планет Сонячної системи можна за допомогою:

8 моделі Кеплера, що складається з трьох законів, включаючи математичні формули (рівняння еліпса);

8 моделі Ньютона, яка складається з однієї формули, але вона більш загальна і точна.

В оптиці розглядалося кілька моделей світла: корпускулярна, хвильова та електромагнітна. Їх було виведено численні закономірності кількісного характеру. Кожна з цих моделей вимагала свого математичного підходу та відповідних математичних засобів. Корпускулярна оптика користувалася засобами евклідової геометрії та дійшла висновку законів відображення та заломлення світла. Хвильова модель теорії світла зажадала нових математичних ідей і чисто обчислювальним шляхом було відкрито нові факти, що стосуються явищ дифракції та інтерференції світла, які раніше не спостерігалися. Геометрична оптика, пов'язана з корпускулярною моделлю, тут виявилася безсилою.

Побудована модель має бути такою, щоб вона могла заміщати у дослідженнях об'єкт (процес чи явище), повинна мати з ним подібні риси. Подібність досягається або за рахунок подібності структури (ізоморфізм), або аналогії у поведінці чи функціонуванні (ізофункціональність). Спираючись на подібність структури або функції моделі та оригіналу в сучасній техніці перевіряють, розраховують та проектують найскладніші системи, машини та споруди.

Як зазначалося вище, для одного й того самого об'єкта, процесу або явища може бути побудовано багато різних моделей. Деякі з них (не обов'язково усі) можуть виявитися ізоморфними. Наприклад, в аналітичній геометрії крива на площині використовується як модель відповідного рівняння з двома змінними. У цьому випадку модель (крива) і прототип (рівняння) є ізоморфними системами (точок, що лежать на кривій, і відповідних пар чисел, що задовольняють рівнянню),

У книзі «Математика ставить експеримент» академік М.М.Моїсеєв пише, що будь-яка математична модель може виникнути трьома шляхами:

· В результаті прямого вивчення та осмислення об'єкта (процесу або явища) (феноменологічна) (приклад - рівняння, що описують динаміку атмосфери, океану),

· В результаті деякого процесу дедукції, коли нова модель виходить як окремий випадок більш загальної моделі (асимптоматична) (приклад - рівняння гідро-термодинаміки атмосфери),

· Внаслідок деякого процесу індукції, коли нова модель є природним узагальненням «елементарних» моделей (модель ансамблів або узагальнена модель).

Процес розробки математичних моделей складається з наступних етапів:

· Формулювання проблеми;

· Визначення мети моделювання;

· Організація та проведення дослідження предметної області (дослідження властивостей об'єкта моделювання);

· Розробка моделі;

· Перевірка її точності та відповідності реальності;

· Практичне використання, тобто. перенесення отриманих з допомогою моделі знань досліджуваний об'єкт чи процес.

Особливого значення моделювання як спосіб пізнання законів та явищ природи набуває у вивченні об'єктів, недоступних повною мірою прямому спостереженню чи експериментуванню. До них відносяться і соціальні системи, єдино можливим способом вивчення яких часто слугує моделювання.

Загальних методів побудови математичних моделей немає. У кожному даному випадку необхідно виходити з наявних даних, цільової спрямованості, враховувати завдання дослідження, і навіть порівнювати точність і подробиці моделі. Вона має відбивати найважливіші риси явища, суттєві чинники, яких переважно залежить успіх моделювання.

При розробці моделей необхідно дотримуватись таких основних методологічних принципів моделювання соціальних явищ:

· Принципу проблемності, що передбачає рух не від готових "універсальних" математичних моделей до проблем, а від реальних, актуальних проблем - до пошуку, розробки спеціальних моделей;

· Принципу системності, що розглядає всі взаємозв'язки моделюється явища в термінах елементів системи та її середовища;

· Принципу варіативності при формалізації процесів управління, пов'язаного зі специфічними відмінностями законів розвитку природи та суспільства. Для його пояснення необхідно розкрити докорінну відмінність моделей суспільних процесів від моделей, що описують явища природи.

Лекція №1

Вступ. Поняття математичних моделей та методів

Розділ 1. Вступ

2. Методи побудови математичних моделей. Концепція системного підходу. 1

3. Основні поняття математичного моделювання економічних систем.

4. Методи аналітичного, імітаційного та натурного моделювання. 5

Контрольні питання.

1. Зміст, цілі та завдання дисципліни «Методи моделювання»

Ця дисципліна присвячена вивченню методів моделювання та практичному застосуванню отриманих знань. Метою дисципліни є навчання студентів загальним питанням теорії моделювання, методів побудови математичних моделей та формального опису процесів та об'єктів, застосування математичних моделей для проведення обчислювальних експериментів та вирішення оптимізаційних завдань з використанням сучасних обчислювальних засобів.

До завдань дисципліни входить:

Ознайомити студентів з основними поняттями теорії математичного моделювання, теорії систем, теорії подоби, теорії планування експерименту та обробки експериментальних даних, що використовуються для побудови математичних моделей,

Дати студентам навички у сфері постановки задачі моделювання, математичного опису об'єктів /процесів/, чисельних методів реалізації математичних моделей на ЕОМ та розв'язання оптимізаційних завдань.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен освоїти методи математичного моделювання процесів та об'єктів від постановки завдання до реалізації математичних моделей на ЕОМ та оформлення результатів дослідження моделей.

Курс дисципліни розрахований на 12 лекцій та 12 практичних робіт. Через війну вивчення дисципліни студент має освоїти методи математичного моделювання від постановки завдання до реалізації математичних моделей на ЕОМ

2. Методи побудови математичних моделей. Поняття про системний підхід

5. Розв'язання задачі.

Послідовне використання методів дослідження операцій та їх реалізація на сучасній інформаційно-обчислювальній техніці дозволяє подолати суб'єктивізм, виключити так звані вольові рішення, засновані не на строгому та точному обліку об'єктивних обставин, а на випадкових емоціях та особистої зацікавленості керівників різних рівнів, які до того ж не можуть узгодити свої вольові рішення.

Системний аналіз дозволяє врахувати і використовувати в управлінні всю наявну інформацію про об'єкт, що керується, узгодити прийняті рішення з точки зору об'єктивного, а не суб'єктивного, критерію ефективності. Заощаджувати на обчисленнях при управлінні те саме, що економити на прицілюванні при пострілах. Однак ЕОМ не тільки дозволяє врахувати всю інформацію, а й позбавляє управлінця від непотрібної йому інформації, а всю потрібну пускає в обхід людини, представляючи їй лише узагальнену інформацію, квінтесенцію. Системний підхід економіки ефективний і сам собою, без використання ЕОМ, як засіб дослідження, у своїй він змінює раніше відкритих економічних законів, лише вчить, як їх краще использовать.

4. Методи аналітичного, імітаційного та натурного моделювання

Моделювання являє собою потужний метод наукового пізнання, при використанні якого об'єкт, що досліджується, замінюється більш простим об'єктом, званим моделлю. Основними різновидами процесу моделювання можна вважати два його види – математичне та фізичне моделювання. При фізичному (натурному) моделюванні досліджувана система замінюється відповідною їй іншою матеріальною системою, яка відтворює властивості системи, що вивчається, зі збереженням їх фізичної природи. Прикладом цього виду моделювання може бути пілотна мережа, за допомогою якої вивчається важлива можливість побудови мережі на основі тих чи інших комп'ютерів, комунікаційних пристроїв, операційних систем та додатків.

Можливості фізичного моделювання досить обмежені. Воно дозволяє вирішувати окремі завдання при заданні невеликої кількості поєднань досліджуваних параметрів системи. Дійсно, при натурному моделюванні обчислювальної мережі практично неможливо перевірити її роботу для варіантів з використанням різних типів комунікаційних пристроїв - маршрутизаторів, комутаторів і т.п. чималими матеріальними витратами.

Але навіть у тих випадках, коли при оптимізації мережі змінюються не типи пристроїв і операційних систем, а лише їх параметри, проведення експериментів у реальному масштабі часу для величезної кількості всіляких поєднань цих параметрів практично неможливо за доступний для огляду час. Навіть проста зміна максимального розміру пакета в якомусь протоколі потребує переконфігурування операційної системи в сотнях комп'ютерів мережі, що вимагає від адміністратора мережі проведення дуже великої роботи.

Тому при оптимізації мереж у багатьох випадках кращим виявляється використання математичного моделювання. Математична модель являє собою сукупність співвідношень (формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов), що визначають процес зміни стану системи в залежності від її параметрів, вхідних сигналів, початкових умов та часу.

Особливим класом математичних моделей є імітаційні моделі. Такі моделі є комп'ютерною програмою, яка крок за кроком відтворює події, що відбуваються в реальній системі. Стосовно обчислювальних мереж їх імітаційні моделі відтворюють процеси генерації повідомлень додатками, розбиття повідомлень на пакети і кадри певних протоколів, затримки, пов'язані з обробкою повідомлень, пакетів і кадрів всередині операційної системи, процес отримання доступу комп'ютером до мережного середовища, що розділяється, процес обробки і т. д. При імітаційному моделюванні мережі не потрібно купувати дороге обладнання - його роботи імітується програмами, що досить точно відтворюють всі основні особливості та параметри такого обладнання.

Перевагою імітаційних моделей є можливість заміни процесу зміни подій у досліджуваній системі у реальному масштабі часу на прискорений процес зміни подій у темпі роботи програми. В результаті за кілька хвилин можна відтворити роботу мережі протягом декількох днів, що дає можливість оцінити роботу мережі в широкому діапазоні параметрів, що варіюються.

Результатом роботи імітаційної моделі є зібрані в ході спостереження за протікаючими подіями статистичні дані про найбільш важливі характеристики мережі: часи реакції, коефіцієнти використання каналів і вузлів, ймовірність втрат пакетів і т.п.

Існують спеціальні мови імітаційного моделювання, які полегшують процес створення програмної моделі, порівняно з використанням універсальних мов програмування. Прикладами мов імітаційного моделювання можуть бути такі мови, як SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Існують також системи імітаційного моделювання, які орієнтуються на вузький клас систем, що вивчаються, і дозволяють будувати моделі без програмування.

Контрольні питання

Сформулюйте визначення процесу моделювання. Що таке модель? Властивості моделювання. Сформулюйте основні етапи побудови моделі класичним методом. Сформулюйте основні етапи побудови моделі за системного підходу. Назвіть функції моделей. Які етапи процесу вирішення економічних завдань? Основні різновиди процесу моделювання.