Принцип Даламбер для механічної системи приклади. Як сформулювати принцип даламбера

При русі матеріальної точки її прискорення у кожен час таке, що прикладені до точки задані (активні) сили, реакції зв'язків і фіктивна Даламберова сила Ф = - та утворюють врівноважену систему сил.

Доведення.Розглянемо рух невільної матеріальної точки масою тв інерційній системі відліку. Відповідно до основного закону динаміки та принципу звільнення від зв'язків маємо:

де F - рівнодіюча заданих (активних) сил; N - рівнодіюча реакцій всіх накладених на точку зв'язків.

Неважко перетворити (13.1) на вигляд:

Вектор Ф = - таназивають Даламберової силою інерції, силою інерції чи просто Даламберової силою.Далі використовуватимемо лише останній термін.

Рівняння (13.3), що виражає принцип Даламбер в символьній формі, називають рівнянням кінетостатикиматеріальної точки.

Легко отримати узагальнення принципу Даламбер для механічної системи (системи пматеріальних точок).

Для будь-якої до-ї точки механічної системи виконується рівність (13.3):

де ? до -рівнодіюча заданих (активних) сил, що діють на до-ю точку; N до -рівнодіюча реакцій зв'язків, накладених на до-юточку; Ф до = - та до- Даламберова сила до-ї точки.

Очевидно, якщо умови врівноваженості (13.4) виконуються для кожної трійки сил F*, N* : , Ф* (до = 1,. .., п), то і вся система 3 псил

є врівноваженою.

Отже, при русі механічної системи в кожний момент часу прикладені до неї активні сили, реакції зв'язків і сили Дамберів точок системи утворюють врівноважену систему сил.

Сили системи (13.5) вже не є схожими, тому, як відомо зі статики (п. 3.4), необхідні та достатні умови її врівноваженості мають такий вигляд:

Рівняння (13.6) називають рівняннями кінетостатики механічної системи. Для розрахунків використовують проекції цих векторних рівнянь на осі, що проходять через моментну точку. О.

Зауваження 1. Оскільки сума всіх внутрішніх сил системи, а також сума їх моментів щодо будь-якої точки дорівнюють нулю, то в рівняннях (13.6) достатньо враховувати лише реакції зовнішніхзв'язків.

Рівняння кінетостатики (13.6) зазвичай використовують для визначення реакцій зв'язків механічної системи, коли рух системи задано, а тому прискорення точок системи та залежні від них Даламберові сили відомі.

приклад 1.Знайти реакції опор Аі Увалу при його рівномірному обертанні з частотою 5000 об/хв.

З валом жорстко пов'язані точкові маси гп= 0,1 кг, т 2 =Вага: 0,2 кг. Відомі розміри АС - CD - DB = 0,4 м, h= 0,01 м. Масу валу вважати дуже малою.

Рішення.Щоб скористатися принципом Даламбера для механічної системи, що складається з двох точкових мас, вкажемо на схемі (рис. 13.2) задані сили (сили тяжіння) Gi, G 2 реакції зв'язків N4, N# і Даламберові сили Ф|, Ф 2 .

Напрями Даламбсрових сил протилежні прискоренням точкових мас ть т 2уякі рівномірно описують кола радіусу hнавколо осі АВвалу.

Знаходимо величини сил тяжіння та Даламбсрових сил:

Тут кутова швидкість валу зі- 5000* л/30 = 523,6 с Проеціюючи рівняння кінетостатики (13.6) на декартові осі Ах, Ay, Az, Отримаємо умови врівноваженості плоскої системи паралельних сил Gi, G 2 , 1Чд, N tf , Фь Ф 2:

З рівняння моментів знаходимо N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 Н, а з рівняння проекції на

вісь Ay: Na = -N B + G, + G 2 + Ф, -Ф 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 = 0,06 Н.

Рівняння кінетостатики (13.6) можна використовувати для отримання диференціальних рівнянь руху системи, якщо скласти їх так, що реакції зв'язків виключаються і в результаті з'являється можливість отримати залежності прискорень від заданих сил.

Принцип Даламбер дозволяє звести процес складання рівнянь динаміки до складання рівнянь статики.

Цей принцип, який ми тут викладемо для вільної матеріальної точки і точки, що рухається по поверхні або по кривій, застосуємо до будь-якого завдання динаміки. Він дозволить нам підбити підсумок всієї теорії руху точки.

Розглянемо матеріальну точку М маси, що знаходиться під дією сил, рівнодіюча яких має проекції. Рівняння руху цієї точки можуть бути написані так:

Розглядатимемо поряд з векторами, що представляють прикладені до точки М сили, вектор з проекціями - Цей вектор, чисельно рівний добутку маси на прискорення і спрямований протилежно до прискорення, називається силою інерції, хоча це аж ніяк не буде силою, прикладеною до точки. Тоді рівняння виражають, що геометрична сума векторів дорівнює нулю, або, що в кожний момент часу існує рівновага між силою інерції і силами, дійсно прикладеними до точки.

Виведення рівнянь руху із принципу Даламбера. На підставі щойно сказаного, для знаходження рівнянь руху точки за будь-яких умов досить виразити, що має місце рівновага між усіма силами, прикладеними до точки, і силою інерції. Але це можна зробити за методами статики. Можна, наприклад, застосувати теорему про можливу роботу. Для цього потрібно розрізняти серед сил, прикладених до точки, сили задані та реакції зв'язків. Через ми окреслимо проекції заданих сил.

Щоб написати, що існує рівновага між силами, що діють на точку, та силою інерції, достатньо написати, що на

всіх можливих переміщеннях допускаються зв'язками, що існують в даний момент сума робіт заданих сил і сили інерції дорівнює нулю:

Слід розрізняти три випадки:

1°. Вільна точка. довільні. Якщо, як у п. 282, застосовується довільна система координат, то замінюючи варіаціями отримаємо:

де довільні.

Підставляючи в рівність (2) і прирівнюючи результат нулю при довільних отримаємо рівняння руху у формі, зазначеній у п. 282, з яких ми вивели рівняння Лагранжа для вільної точки.

2 °. Крапка на поверхні. Нехай

є рівняння поверхні, яка для спільності передбачається рухомою. Даючи змінному певне значення, бачимо, що мають задовольняти умові

що, як у п. 263, виразити координати точки поверхні у функціях двох параметрів, то отримаємо

і співвідношення (2) повинно мати місце, якими б не були. Таким шляхом вийдуть рівняння руху у формі (4) п. 263. 3°. Крапка на кривій. Нехай

Визначення 1

Принцип Даламбер є в теоретичній механіці одним з головних принципів динаміки. Відповідно до цього принципу, за умови приєднання сили інерції до сил, що активно діють на точки механічної системи, і реакцій накладених зв'язків, виходить врівноважена система.

Цей принцип отримав назву на честь французького вченого Ж. Даламбера, який вперше запропонував його формулювання у своєму творі «Динаміка».

Визначення принципу Даламбера

Зауваження 1

Принцип Даламбера звучить так: якщо до активної силі, що впливає на тіло, прикладається додаткова сила інерції, тіло перебуватиме в рівноважному стані. При цьому сумарне значення всіх сил, що діють в системі, доповнене вектором інерції, отримає нульове значення.

Відповідно до зазначеного принципу, щодо кожної i-тої точки системи, стає вірним рівність:

$F_i+N_i+J_i=0$, де:

• $F_i$ -сила, що активно впливає на цю точку,
• $N_i$ - реакція зв'язку, накладеного на точку;
• $J_i$ - сила інерції, що визначається формулою $J_i=-m_ia_i$ (вона спрямована протилежно до цього прискорення).

Фактично, окремо для кожної аналізованої матеріальної точки $ma$ переноситься праворуч наліво (другий закон Ньютона):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ у своїй називається силою інерції Даламбера.

Таке поняття, як сила інерції, запроваджено ще Ньютоном. Відповідно до міркувань вченого, за умови руху точки під впливом сили $F=ma$, тіло (чи система) стає джерелом цієї сили. При цьому, згідно із законом про рівність дії та протидії, точка, що прискорюється, впливатиме на прискорююче її тіло з силою $Ф=-ma$. Таку силу Ньютон дав назву системи інерції точки.

Сили $F$ і $Ф$ будуть рівними і протилежними, але прикладеними до різних тіл, що виключає їхнє складання. Безпосередньо на точку сила інерції впливу не робить, оскільки вона представляє фіктивну силу. При цьому точка залишалася б у стані спокою, якби, крім сили $F$, на точку впливала ще й сила $Ф$.

Зауваження 2

Принцип Даламбера дозволяє застосовувати при вирішенні завдань динаміки спрощеніші методи статики, що пояснює його широке застосування в інженерній практиці. На цьому принципі ґрунтується метод кінетостатики. Особливо він зручний у застосуванні з метою встановлення реакцій зв'язків у ситуації, коли відомий закон руху, що відбувається, або він отриманий при вирішенні відповідних рівнянь.

Різновидом принципу Даламбера виступає принцип Германа-Ейлера, що фактично являв собою форму цього принципу, але виявлену до появи публікації твору вченого в 1743 році. При цьому принцип Ейлера не розглядався його автором (на відміну від принципу Даламбера) як основа для загального методу вирішення задач руху механічних систем зі зв'язками. Принцип Даламбер вважається більш доцільним у застосуванні у разі необхідності визначення невідомих сил (для вирішення першого завдання динаміки).

Принцип Даламбера для матеріальної точки

Різноманітність типів розв'язуваних у механіці завдань потребує розробки ефективних методик складання рівнянь руху для механічних систем. Одним із подібних методів, що дозволяють за допомогою рівнянь описати рух довільних систем, вважається в теоретичній механіці принцип Даламбер.

Маючи другий закон динаміки, для невільної матеріальної точки запишемо формулу:

$m\bar(a)=bar(F)+bar(R)$,

де $R$ реакцію зв'язку.

Приймаючи значення:

$\bar(Ф)=-m\bar(a)$, де $Ф$- сила інерції, отримуємо:

$ bar (F) + bar (R) + bar (Ф) = 0 $

Ця формула є виразом принципу Даламбера для матеріальної точки, згідно з яким для точки, що рухається в будь-який момент часу, геометрична сума впливають на неї активних сил і сили інерції отримує нульове значення. Цей принцип дозволяє записувати рівняння статики для точки, що рухається.

Принцип Даламбер для механічної системи

Для механічної системи, що складається з $n$-точок, можна записати $n$-рівнянь виду:

$ bar (F_i) + bar (R_i) + bar (Ф_i) = 0 $

При підсумовуванні всіх цих рівнянь та запровадженні наступних позначень:

які є головними векторами зовнішніх сил, реакції зв'язків та сил інерції відповідно, отримуємо:

$ \ sum (F_i) + \ sum (R_i) + \ sum (Ф_i) = 0 $, тобто.

$ FE + R + Ф = 0 $

Умовою для рівноважного стану твердого тіла є нульове значення головних векторів і моменту діючих сил. Враховуючи це положення і теорему Варіньйона про момент, що дорівнює в результаті, запишемо таке співвідношення:

$ \ sum (riF_i) + \ sum (riR_i) + \ sum (riF_i) = 0 $

приймемо такі позначення:

$\sum(riF_i)=MOF$

$\sum(riR_i)=MOR$

$\sum(riФ_i)=MOФ$

основні моменти зовнішніх сил, реакції зв'язків та сил інерції відповідно.

У результаті отримуємо:

$ bar (F ^ E) + bar (R) + bar (Ф) = 0 $

$\bar(M_0^F)+\bar(M_0^R)+\bar(M_0^F)=0$

Ці дві формули є виразом принципу Даламбер для механічної системи. У будь-який момент часу для механічної системи, що рухається, геометрична сума головного вектора реакцій зв'язків, зовнішніх сил, і сил інерції отримує нульове значення. Також нульовою буде і геометрична сума головних моментів від сил інерції, зовнішніх сил та реакцій зв'язків.

Отримані формули є диференціальними рівняннями другого порядку через присутність у кожному їх прискорення в силах інерції (другий похідний закону руху точки).

Принцип Даламбер дозволяє вирішувати методами статики завдання динаміки. Для механічної системи можна записувати рівняння руху як рівнянь рівноваги. З таких рівнянь можна визначити невідомі сили, зокрема реакції зв'язків (перше завдання динаміки).

Перегляд:ця стаття прочитана 44027 разів

Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська

Короткий огляд

Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову

Загальні принципи динаміки

Принцип Германа – Ейлера – Даламбера

Сила інерції

Принцип Даламбера (принцип кінетостатики) одна із загальних принципів механіки, з допомогою якого рівнянням динаміки формою надається вид рівнянь статики. Принцип був запропонований Германом у 1716 році, узагальнений Ейлером у 1737 році.

Матеріальна точка Мрухається із прискоренням під дією прикладених сил. Третій закон динаміки відображає двосторонність механічних процесів природи. При взаємодії двох тіл додані до кожного з них сили дорівнюють модулю і спрямовані протилежно. Так як ці сили прикладені до різних тіл, вони не врівноважуються. Наприклад, при взаємодії деякого тіла Аі крапки М, яка має масу mточка отримує прискорення. Тіло Адіє на точку Міз силою F=-ma. За законом дії та протидії матеріальна точка Мдіє на тіло Аіз силою Ф=-F=-ma, Яка називається силою інерції.

Сила інерції чи сила Даламбера- Векторна величина, що має розмірність сили, по модулю дорівнює добутку маси точки на її прискорення, і спрямована протилежно до цього прискорення.

Принцип Даламбера для матеріальної точки

Якщо будь-якої миті часу до фактично діючих на матеріальну точку сил додати силу інерції, то отримана система сил буде врівноваженою.

Це означає, що для вирішення задачі динаміки за принципом Германа - Ейлера - Даламбер слід, крім прикладених до точки сил, умовно докласти до цієї точки силу інерції. додаток сили інерції до точки є умовним прийомом, що зводить завдання динаміки лише формою рішення до завдання статики.

Принцип Даламбер для системи матеріальних точок

Якщо в будь-який момент часу до кожної з точок системи, крім фактично зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на неї, докласти відповідні сили інерції, то отримана система сил перебуватиме в рівновазі і для неї можна буде застосувати всі рівняння статики.

Принцип Даламбер для невільної механічної системи

У будь-який момент часу для кожної точки невільної механічної системи, крім фактично діючих на неї сил, додати відповідні сили інерції, отримана система сил буде врівноваженою і для неї можна буде застосувати всі рівняння статики.

Тобто, у будь-який момент часу кожної точки невільної механічної системи геометрична сума головних векторів заданих сил, реакцій опор і сил інерції матеріальних точок системи дорівнює нулю.

У будь-який час для будь-якої точки невільної механічної системи геометрична сума головних моментів заданих сил, реакцій опор і сил інерції матеріальних точок системи щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює нулю.

Узагальнена форма рівнянь рівноваги за принципом Даламбер

Приведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого вигляду.

Випадки приведення системи сил інерції твердого тіла найпростішому виду.

Поступальний рух

При поступальному русі сили інерції твердого тіла наводяться до однієї рівнодіючої, що проходить через центр мас тіла, і рівної по модулю добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас і спрямованої протилежно цьому прискоренню.

Обертання навколо центру мас немає, тому момент сили інерції дорівнює нулю.

Обертальний рух тіла навколо осі, що проходить через центр мас тіла.

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас тіла, то сили інерції наводяться до однієї пари сил, що лежить у площині перпендикулярної осі обертання.

Оскільки центр мас не рухається, головний вектор сил інерції дорівнює нулю.

Плоскопаралельний рух

При плоскому русі тіла система сил інерції наводиться до сили, прикладеної у центрі мас тіла та парі сил. Напрямок моменту сили інерції протилежний кутовому прискоренню тіла.

Принцип можливих переміщень

Принцип можливих переміщень у вигляді визначає умови рівноваги будь-якої механічної системи, тобто дозволяє вирішувати завдання статики, як завдання динаміки.

Переміщення точок невільної механічної системи обмежено зв'язками. Положення точок системи визначається завданням незалежних координат.

Незалежні величини, завданням яких можна однозначно визначається положення всіх точок механічної системи, називаються узагальненими координатамицієї системи. Як правило, кількість узагальнених координат механічної системи дорівнює числу ступенів волі цієї системи. Наприклад, положення всіх точок кривошипно-шатунного механізму визначається завданням кута повороту кривошипу.

Можливі чи віртуальні переміщення

Можливі чи віртуальні переміщення системи- це уявні нескінченно малі переміщення точок системи, що допускаються в даний момент накладеними на систему зв'язками.

Криволінійні переміщення точок замінюють прямолінійними відрізками, відкладеними по дотичній до траєкторій точок.

Число незалежних між собою можливих переміщень системи називається числом ступенів свободицієї системи.

Можлива чи віртуальна робота

Можлива (або віртуальна) робота− це елементарна робота, яку сила, що діє на матеріальну точку, могла б здійснити на переміщенні, що збігається з можливим переміщенням цієї точки.

Принцип можливих переміщень для механічної системи

Для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума робот усіх активних сил за будь-якого можливого переміщення системи дорівнювала нулю.

Рівняння можливих робіт – математичний вираз необхідної та достатньої умов рівноваги будь-якої механічної системи.

Загальне рівняння динаміки

Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера – Лагранжа)

Принцип можливих переміщень, що дає загальний метод розв'язання задач статики, можна застосувати і до вирішення задач динаміки. На підставі принципу Германа-Ейлера-Даламбера для невільної механічної системи в будь-який момент часу геометрична сума рівнодіючої сил, що задаються, рівнодіючої реакцій зв'язків і сили інерції для кожної точки Mn механічної системи дорівнює нулю.

Якщо система отримує можливе переміщення, при якому кожна точка має можливе переміщення, то сума робіт цих сил на переміщенні повинна дорівнювати нулю.

Загальне рівняння динаміки для системи з ідеальними зв'язками

Припустимо, що всі зв'язки в аналізованій механічній системі двосторонні і ідеальні (сили тертя, якщо вони є, віднесені до сил, що задаються). Тоді сума робіт реакцій зв'язків на можливих переміщеннях системи дорівнює нулю.

При русі механічної системи з ідеальними зв'язками в будь-який момент часу сума елементарних робіт всіх активних (заданих) сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю.

Загальні рівняння динаміки дозволяють скласти диференціальні рівняння руху будь-якої механічної системи. Якщо механічна система складається з окремих твердих тіл, то сили інерції точок кожного тіла можна призвести до сили, прикладеної в деякій точці тіла, та пари сил. Сила дорівнює головному вектору сил інерції точок цього тіла, а момент пари дорівнює головному моменту цих сил щодо центру приведення. Щоб скористатися принципом можливих переміщень, до кожного тіла прикладають діючі на нього сили, що задаються, а також умовно прикладають силу і пару, складені силами інерції точок тіла. Потім системі повідомляють можливе переміщення і для всієї сукупності сил і наведених сил інерції складають загальне рівняння динаміки

Формат: PDF

Розмір: 600КВ

Мова: російська, українська

Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.

Приклад розв'язання задачі на вигин балки
У прикладі побудовані епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, проведено порівняльний аналіз різних поперечних перерізів балки.

Приклад розв'язання задачі на кручення валу
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується

Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень. Власна вага стрижня не враховується

Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи

Принцип Даламбер дозволяє сформулювати завдання динаміки механічних систем як завдання статики. У цьому динамічним диференціальним рівнянням руху надають вигляд рівнянь рівноваги. Такий метод називають методом кінетостатики .

Принцип Даламбер для матеріальної точки: « У кожний момент часу руху матеріальної точки, що фактично діють на неї активні сили, реакції зв'язків та умовно додана до точки сила інерції утворюють врівноважену систему сил»

Силої інерції точки називають векторну величину, що має розмірність сили, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення та спрямовану протилежно вектору прискорення

. (3.38)

Розглядаючи механічну систему як сукупність матеріальних точок, на кожну з яких діють, згідно з принципом Даламбера, урівноважені системи сил, маємо наслідки з цього принципу стосовно системи. Головний вектор і головний момент щодо будь-якого центру доданих до системи зовнішніх сил та сил інерції всіх її точок дорівнюють нулю:

(3.39)

Тут зовнішніми силами є активні сили та реакції зв'язків.

Головний вектор сил інерціїмеханічної системи дорівнює добутку маси системи на прискорення її центру мас і спрямований у бік, протилежний цьому прискоренню

. (3.40)

Головний момент сил інерціїсистеми щодо довільного центру Продорівнює взятій із зворотним знаком похідною за часом від кінетичного моменту її щодо того ж центру

. (3.41)

Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі Oz, знайдемо головний момент сил інерції щодо цієї осі

. (3.42)

3.8. Елементи аналітичної механіки

У розділі «Аналітична механіка» розглядають загальні засади та аналітичні методи вирішення завдань механіки матеріальних систем.

3.8.1.Можливі переміщення системи. Класифікація

деяких зв'язків

Можливими переміщеннями точок
Механічної системи називають будь-які уявні, нескінченно малі їх переміщення, що допускаються накладеними на систему зв'язками, у фіксований момент часу. За визначенням, числом ступенів свободи механічною системою називають число її незалежних можливих переміщень.

Зв'язки, накладені на систему, називають ідеальними якщо сума елементарних робіт їх реакцій на будь-якому з можливих переміщень точок системи дорівнює нулю

. (3. 43)

Зв'язки, для яких обмеження, що накладаються ними, зберігаються при будь-якому положенні системи, називають утримуючими . Зв'язки, що не змінюються в часі, до рівнянь яких явно не входить час, називають стаціонарними . Зв'язки, що обмежують лише переміщення точок системи, називають геометричними , а обмежуючі швидкості – кінематичними . Надалі розглядатимемо лише геометричні зв'язки та ті кінематичні, які можуть бути шляхом інтегрування зведені до геометричних.

3.8.2. Принцип можливих переміщень

Для рівноваги механічної системи з утримуючими ідеальними та стаціонарними зв'язками необхідно і достатньо, щоб

сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, на будь-яких можливих переміщеннях системи дорівнювала нулю

. (3.44)

У проекціях на осі координат:

. (3.45)

Принцип можливих переміщень дозволяє встановити у загальній формі умови рівноваги будь-якої механічної системи, не розглядаючи рівновагу її окремих частин. При цьому враховуються лише активні сили, що діють на систему. Невідомі реакції ідеальних зв'язків до цих умов не входять. Разом з тим цей принцип дозволяє визначати невідомі реакції ідеальних зв'язків шляхом відкидання цих зв'язків та введення їх реакцій до активних сил. При відкиданні зв'язків, реакції яких необхідно визначити, система набуває додатково відповідної кількості ступенів свободи.

Приклад 1 . Знайти залежність між силами і домкрата, якщо відомо, що при кожному повороті рукоятки АВ = l, гвинт Звисувається на величину h(Рис. 3.3).

Рішення

Можливі переміщення механізму – це поворот рукоятки  та переміщення вантажу  h. Умова рівності нулю елементарних робіт сил:

Pl– Qh = 0;

Тоді
. Оскільки h 0, то

3.8.3. Загальне варіаційне рівняння динаміки

Розглянемо рух системи, що складається з nточок. На неї діють активні сили та реакції зв'язків .(k = 1,…,n) Якщо до чинних сил додати сили інерції точок
, то, згідно з принципом Даламбера, отримана система сил буде перебувати в рівновазі і, отже, справедливий вираз, записаний на основі принципу можливих переміщень (3.44):

. (3.46)

Якщо всі зв'язки ідеальні, то 2 сума дорівнює нулю і в проекціях на осі координат рівність (3.46) виглядатиме таким чином:

Остання рівність є загальним варіаційним рівнянням динаміки в проекціях на осі координат, яке дозволяє скласти диференціальні рівняння руху механічної системи.

Загальне варіаційне рівняння динаміки – це математичний вираз принципу Даламбера-Лагранжа: « При русі системи, підпорядкованої стаціонарним, ідеальним, утримуючим зв'язкам, у кожний момент часу сума елементарних робіт всіх активних сил, прикладених до системи, і сил інерції будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю».

Приклад 2 . Для механічної системи (рис. 3.4), що складається з трьох тіл, визначити прискорення вантажу 1 і натяг троса 1-2, якщо: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; радіус інерції блоку 2 i = 1,5r 2 . Ковзанка 3 являє собою суцільний однорідний диск.

Рішення

Зобразимо сили, які виконують елементарну роботу на можливому переміщенні  sвантажу 1:

Запишемо можливі переміщення всіх тіл через можливе переміщення вантажу 1:

Виразимо лінійні та кутові прискорення всіх тіл через прискорення вантажу 1 (відносини такі ж, як і у разі можливих переміщень):

.

Загальне варіаційне рівняння для даної задачі має вигляд:

Підставляючи отримані раніше вирази для активних сил, сил інерції та можливих переміщень, після нескладних перетворень отримаємо

Оскільки  s 0, отже, дорівнює нулю вираз у дужках, що містить прискорення а 1 , звідки a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Для визначення натягу троса, що утримує вантаж, звільнимо вантаж від троса, замінивши дію його реакцією, що шукається. . Під дією заданих сил ,та доданої до вантажу сили інерції
він у рівновазі. Отже, до аналізованого вантажу (точці) застосуємо принцип Даламбера, тобто. запишемо, що
. Звідси
.

3.8.4. Рівняння Лагранжа 2-го роду

Узагальнені координати та узагальнені швидкості. Будь-які незалежні між собою параметри, що однозначно визначають положення механічної системи в просторі, називають узагальненими координатами . Ці координати, що позначаються q 1 ,....q i можуть мати будь-яку розмірність. Зокрема узагальнені координати можуть бути переміщеннями або кутами повороту.

Для систем, що розглядаються, число узагальнених координат дорівнює числу ступенів свободи. Положення кожної точки системи є однозначною функцією узагальнених координат

Таким чином, рух системи в узагальнених координатах визначається такими залежностями:

Перші похідні від узагальнених координат називають узагальненими швидкостями :
.

Узагальнені сили.Вираз для елементарної роботи сили на можливому переміщенні
має вигляд:

.

Для елементарної роботи системи сил запишемо

Використовуючи отримані залежності, цей вираз можна записати у вигляді:

,

де узагальнена сила, що відповідає i-ї узагальненої координати,

. (3.49)

Таким чином, узагальненою силою, що відповідає i-й узагальненої координати, є коефіцієнт при варіації цієї координати у вираженні суми елементарних робіт активних сил на можливому переміщенні системи . Для обчислення узагальненої сили необхідно повідомити систему можливе переміщення, у якому змінюється лише узагальнена координата q i. Коефіцієнт при
і буде шуканою узагальненою силою.

Рівняння руху системи в узагальнених координатах. Нехай дана механічна система з sступенями свободи. Знаючи сили, що діють на неї, необхідно, скласти диференціальні рівняння руху в узагальнених координатах
. Застосуємо процедуру складання диференціальних рівнянь руху системи – рівнянь Лагранжа 2-го роду – за аналогією виведення цих рівнянь для вільної матеріальної точки. Виходячи з 2-го закону Ньютона, запишемо

Отримаємо аналог цих рівнянь, використовуючи запис для кінетичної енергії матеріальної точки,

Приватна похідна від кінетичної енергії щодо проекції швидкості на вісь
дорівнює проекції кількості руху цієї вісь, тобто.

Щоб отримати необхідні рівняння, обчислимо похідні за часом:

Отримана система рівнянь є рівняннями Лагранжа 2-го роду матеріальної точки.

Для механічної системи рівняння Лагранжа 2-го роду представимо у вигляді рівнянь, у яких замість проекцій активних сил P x , P y , P zвикористовують узагальнені сили Q 1 , Q 2 ,...,Q i і враховують у випадку залежність кінетичної енергії від узагальнених координат.

Рівняння Лагранжа 2-го роду для механічної системи мають вигляд:

. (3.50)

Їх можна використовувати для вивчення руху будь-якої механічної системи з геометричними, ідеальними та утримуючими зв'язками.

Приклад 3 . Для механічної системи (рис. 3.5), дані для якої наведені в попередньому прикладі, скласти диференціальне рівняння руху, використовуючи рівняння Лагранжа 2-го роду,

Рішення

Механічна система має одну міру свободи. За узагальнену координату приймемо лінійне переміщення вантажу q 1 = s; узагальнена швидкість - . З урахуванням цього запишемо рівняння Лагранжа 2-го роду

.

Складемо вираз для кінетичної енергії системи

.

Виразимо всі кутові та лінійні швидкості через узагальнену швидкість:

Тепер отримаємо

Обчислимо узагальнену силу, склавши вираз елементарної роботи на можливому переміщенні  sвсіх чинних сил. Без урахування сил тертя роботу в системі здійснює тільки сила тяжіння вантажу 1
Запишемо узагальнену силу при  sяк коефіцієнт в елементарній роботі Q 1 = 5mg. Далі знайдемо

Остаточно диференціальне рівняння руху системи матиме вигляд: