Принцип германа ейлера Даламбер для матеріальної точки. Принцип даламбер теоретичної механіки

Методи вирішення завдань механіки, які досі розглядалися, ґрунтуються на рівняннях, що випливають або безпосередньо із законів Ньютона, або ж із загальних теорем, які є наслідком цих законів. Однак цей шлях не єдиний. Виявляється, що рівняння руху чи умови рівноваги механічної системи можна отримати, поклавши основою замість законів Ньютона інші загальні становища, звані принципами механіки. У ряді випадків застосування цих принципів дозволяє, як побачимо, знайти ефективніші методи вирішення відповідних завдань. У цьому розділі буде розглянуто один із загальних принципів механіки, який називається принципом Даламбера.

Знайдемо спочатку вираз принципу однієї матеріальної точки. Нехай на матеріальну точку з масою діє система активних сил, рівнодіючу яких позначимо і реакція зв'язку N (якщо точка є невільною). Під дією всіх цих сил точка рухатиметься по відношенню до інерційної системи відліку з деяким прискоренням а.

Введемо на розгляд величину

має розмірність сили. Векторну величину, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямовану протилежно до цього прискорення, називають силою інерції точки.

Тоді виявляється, що рух точки має таку властивість: якщо в будь-який момент часу до активних сил, що діють на точку, і реакції зв'язку приєднати силу інерції, то отримана система сил буде врівноваженою, тобто.

Це становище висловлює принцип Даламбера для матеріальної точки. Неважко переконатися, що воно еквівалентне другому закону Ньютона і навпаки. Справді, другий закон Ньютона для розглянутої точки дає Переносячи тут величину та в праву частину рівності і враховуючи позначення (84), прийдемо до співвідношення (85). Навпаки, переносячи в рівнянні (85) величину в іншу частину рівності та враховуючи позначення (84), отримаємо вираз другого закону Ньютона.

Розглянемо тепер механічну систему, що складається з матеріальних точок. Виділимо якусь із точок системи з масою. Під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил (до яких входять і активні сили, і реакції зв'язків) точка рухатиметься по відношенню до інерційної системи відліку з деяким прискоренням Ввівши для цієї точки силу інерції отримаємо відповідно до рівності (85), що

тобто утворюють врівноважену систему сил. Повторюючи такі міркування для кожної з точок системи, прийдемо до наступного результату, що виражає принцип Даламбера для системи: якщо в будь-який момент часу до кожної з точок системи крім зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на неї, приєднати відповідні сили інерції, то отримана система сил буде врівноваженою і до неї можна застосовувати всі рівняння статики.

Математично принцип Даламбера для системи виражається векторними рівностями виду (85), які, очевидно, еквівалентні диференціальним рівнянням руху системи (13), отриманим у § 106. Отже, з принципу Даламбера, як і з рівнянь (13), можна отримати всі загальні теореми динаміки.

Значення принципу Даламбера у тому, що з безпосередньому його застосуванні до завдань динаміки рівняння руху системи складаються у вигляді добре відомих рівнянь рівноваги; це робить одноманітним підхід до вирішення завдань та часто спрощує відповідні розрахунки. Крім того, у поєднанні з принципом можливих переміщень, який буде розглянуто в наступному розділі, принцип Даламбер дозволяє отримати новий загальний метод вирішення задач динаміки (див. § 141).

Зі статики відомо, що геометрична сума сил, що перебувають у рівновазі, і сума їх моментів щодо будь-якого центру О дорівнюють нулю, причому, як показано в § 120, це справедливо для сил, що діють не тільки на тверде тіло а й на будь-яку змінну механічну систему .

Тоді на підставі принципу Даламбер має бути:

Введемо позначення:

Величини є головним вектором і головним моментом щодо центру Про системи сил інерції. В результаті, враховуючи, що геометрична сума внутрішніх сил та сума їх моментів дорівнюють нулю, отримаємо з рівностей (86):

Застосування рівнянь (88), які з принципу Даламбера, спрощує процес розв'язання завдань, оскільки ці рівняння містять внутрішніх сил. По суті рівняння (88) еквівалентні рівнянням, що виражають теореми про зміну кількості руху та головного моменту кількостей руху системи, і відрізняються від них лише формою.

Рівняннями (88) особливо зручно користуватися щодо руху твердого тіла чи системи твердих тіл. Для повного вивчення руху будь-якої системи цих рівнянь, що змінюється, буде недостатньо, так само як недостатньо рівнянь статики для вивчення рівноваги будь-якої механічної системи (див. § 120).

У проекціях на координатні осі рівності (88) дають рівняння, аналогічні відповідним рівнянням статики (див. § 16, 30). Щоб користуватися цими рівняннями при розв'язанні задач, треба знати вирази головного вектора та головного моменту сил інерцій.

На закінчення слід підкреслити, що при вивченні руху по відношенню до інерційної системи відліку, що тут і розглядається, сили інерції вводяться лише тоді, коли для вирішення завдань застосовується принцип Даламбера

Принцип Даламберазастосовується при вирішенні першого основного завдання динаміки невільної точки, коли відомі рух точки і діючі на неї активні сили, а відшукується реакція зв'язку, що виникає.

Запишемо основне рівняння динаміки невільної точки в інерційній системі відліку:

Перепишемо рівняння у вигляді:

.

Позначивши , отримаємо

, (11.27)

де вектор називається Даламберової силою інерції.

Формулювання принципу: У кожний момент руху невільної матеріальної точки активна сила та реакція зв'язку врівноважуються Даламберовою силою інерції..

p align="justify"> Проектуючи векторне рівняння (11.27) на будь-які координатні осі, ми отримаємо відповідні рівняння рівноваги, користуючись якими можна знаходити невідомі реакції.

Спроектуємо рівняння (11.27) на природні осі:

(11.28)

де називається відцентровою силою інерції, завжди спрямованої у негативний бік головної нормалі; .

Зауваження:

1). Насправді до точки крім сил і будь-яких інших фізичних сил не прикладено і три сили не становлять врівноважену систему сил. У цьому сенсі Даламберова сила інерції є фіктивною силою, що умовно прикладається до точки.

2). Принцип Даламбер слід розглядати як зручний методичний прийом, що дозволяє задачу динаміки звести до завдання статики.

приклад 1.Визначимо реакцію зв'язку, що діє на льотчика при виході літака, що рухається у вертикальній площині, з польоту, що пікірує (рис.11.5).

На льотчика діє сила тяжкості та реакція сидіння. Застосуємо принцип Даламбера, приєднавши до цих сил Даламберову силу інерції:

(11.29)

Запишемо рівняння (11.29) у проекціях на нормаль:

(11.30)

де r- радіус кола при виході літака на горизонтальний політ,

Максимальна швидкість літака зараз.

З рівняння (11.30)

(11.31)

приклад 2.Визначимо тепер ту саму реакцію, що діє на льотчика в момент виходу з режиму набору висоти (рис.11.6).

Відносний рух матеріальної точки

Якщо системи відліку рухаються щодо інерційної системи відліку не поступально, або нерівномірно або криволінійно рухаються початку їх координат, то такі системи відліку є неінерційними. У цих системах відліку аксіоми А 1 і А 2 не дотримуються, але з цього не випливає, що в динаміці досліджуються лише рухи, що відбуваються в інерційних системах відліку. Розглянемо рух матеріальної точки в неінерційній системі координат, якщо відомі сили, що діють на матеріальну точку, та задано рух неінерційної системи відліку щодо інерційної системи відліку. Надалі інерційна система відліку називатиметься нерухомою, а неінерційна – рухомою системою відліку. Нехай - рівнодіюча активних сил, що діють на точку, а - рівнодіюча реакція зв'язків; - нерухома система координат; - рухлива система координат.

Розглянемо рух матеріальної точки М(Мал. 11.7), не пов'язаної жорстко з рухомою системою координат, а що рухається по відношенню до неї. Цей рух точки у кінематиці називали відносним, рух точки щодо нерухомої системи координат – абсолютним, рух рухомої системи координат – переносним.

Основний закон динаміки для абсолютного руху точки Мматиме вигляд

(11.33)

де - Абсолютне прискорення точки.

На підставі теореми складання прискорень кінематики (теореми Коріоліса) абсолютне прискорення складається з відносного, переносного та коріолісового прискорень

. (11.34)

Підставляючи (11.34) у (11.33), отримаємо

і після перенесення та введення позначень

(11.35)

де; вектор називають переносною силою інерції; - коріолісовою силою інерції.

Рівність (11.35) виражає закон щодо руху точки. Отже, рух точки в неінерційній системі відліку можна розглядати як рух в інерційній системі, якщо до діючих на точку активних сил і реакцій зв'язків додати переносну і коріолісову сили інерції.

Усі методи вирішення завдань динаміки, які ми досі розглядали, ґрунтуються на рівняннях, що випливають або безпосередньо із законів Ньютона, або ж із загальних теорем, які є наслідками цих законів. Однак цей шлях не є єдиним. Виявляється, що рівняння руху чи умови рівноваги механічної системи можна отримати, поклавши основою замість законів Ньютона інші загальні становища, звані принципами механіки. У ряді випадків застосування цих принципів дозволяє, як побачимо, знайти ефективніші методи вирішення відповідних завдань. У цьому розділі буде розглянуто один із загальних принципів механіки, який називається принципом Даламбера.

Нехай ми маємо систему, що складаються з nматеріальних точок. Виділимо якусь із точок системи з масою. Під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил і (до яких входять і активні сили, і реакції зв'язку) точка отримує по відношенню до інерційної системи відліку деяке прискорення.

Введемо на розгляд величину

має розмірність сили. Векторну величину, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямовану протилежно до цього прискорення, називають силою інерції точки (іноді даламберової силою інерції).

Тоді виявляється, що рух точки має таку загальну властивість: якщо у кожний момент часу до фактично діючих на точку сил і додати силу інерції , то отримана система сил буде врівноваженою, тобто. буде

.

Цей вислів виражає принцип Даламбера для однієї матеріальної точки. Неважко переконатися, що воно еквівалентне другому закону Ньютона і навпаки. Справді, другий закон Ньютона для цієї точки дає . Переносячи тут член у праву частину рівності і прийдемо до останнього співвідношення.

Повторюючи виконані вищі міркування стосовно кожної з точок системи, прийдемо до наступного результату, що виражає принцип Даламбер для системи: якщо у будь-який момент часу до кожної з точок системи, крім фактично діючих на ній зовнішніх і внутрішніх сил, докласти відповідних сил інерції, то отримана система сил буде перебувати в рівновазі і до неї можна буде застосовувати всі рівняння статики.

Значення принципу Даламбера у тому, що з безпосередньому його застосуванні до завдань динаміки рівняння руху системи складаються у вигляді добре відомих рівнянь рівноваги; що робить одноманітний підхід до вирішення завдань і зазвичай набагато спрощує відповідні розрахунки. Крім того, у поєднанні з принципом можливих переміщень, який буде розглянуто в наступному розділі, принцип Даламбер дозволяє отримати новий загальний метод вирішення задач динаміки.

Застосовуючи принцип Даламбера, слід пам'ятати, що у точку механічної системи, рух якої вивчається, діють лише зовнішні й внутрішні сили і , що виникають у результаті взаємодії точок системи друг з одним і з тілами, які входять у систему; під дією цих сил точки системи і рухаються з відповідними прискореннями. Сили ж інерції, про які йдеться в принципі Даламбера, на точки, що рухаються, не діють (інакше, ці точки перебували б у спокої або рухалися без прискорень і тоді не було б і самих сил інерції). Введення сил інерції - це лише прийом, що дозволяє складати рівняння динаміки за допомогою простіших методів статики.

Зі статики відомо, що геометрична сума сил, що знаходяться в рівновазі, і сума їх моментів щодо будь-якого центру Прорівні нулю, причому за принципом затвердіння це справедливо для сил, що діють не тільки на тверде тіло, але і на будь-яку змінну систему. Тоді на підставі принципу Даламбер має бути.

Принцип Даламбер дозволяє сформулювати завдання динаміки механічних систем як завдання статики. У цьому динамічним диференціальним рівнянням руху надають вигляд рівнянь рівноваги. Такий метод називають методом кінетостатики .

Принцип Даламбер для матеріальної точки: « У кожний момент часу руху матеріальної точки, що фактично діють на неї активні сили, реакції зв'язків та умовно додана до точки сила інерції утворюють врівноважену систему сил»

Силої інерції точки називають векторну величину, що має розмірність сили, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення та спрямовану протилежно вектору прискорення

. (3.38)

Розглядаючи механічну систему як сукупність матеріальних точок, на кожну з яких діють, згідно з принципом Даламбера, урівноважені системи сил, маємо наслідки з цього принципу стосовно системи. Головний вектор і головний момент щодо будь-якого центру доданих до системи зовнішніх сил та сил інерції всіх її точок дорівнюють нулю:

(3.39)

Тут зовнішніми силами є активні сили та реакції зв'язків.

Головний вектор сил інерціїмеханічної системи дорівнює добутку маси системи на прискорення її центру мас і спрямований у бік, протилежний цьому прискоренню

. (3.40)

Головний момент сил інерціїсистеми щодо довільного центру Продорівнює взятій із зворотним знаком похідною за часом від кінетичного моменту її щодо того ж центру

. (3.41)

Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі Oz, знайдемо головний момент сил інерції щодо цієї осі

. (3.42)

3.8. Елементи аналітичної механіки

У розділі «Аналітична механіка» розглядають загальні засади та аналітичні методи вирішення завдань механіки матеріальних систем.

3.8.1.Можливі переміщення системи. Класифікація

деяких зв'язків

Можливими переміщеннями точок
Механічної системи називають будь-які уявні, нескінченно малі їх переміщення, що допускаються накладеними на систему зв'язками, у фіксований момент часу. За визначенням, числом ступенів свободи механічною системою називають число її незалежних можливих переміщень.

Зв'язки, накладені на систему, називають ідеальними якщо сума елементарних робіт їх реакцій на будь-якому з можливих переміщень точок системи дорівнює нулю

. (3. 43)

Зв'язки, для яких обмеження, що накладаються ними, зберігаються при будь-якому положенні системи, називають утримуючими . Зв'язки, що не змінюються в часі, до рівнянь яких явно не входить час, називають стаціонарними . Зв'язки, що обмежують лише переміщення точок системи, називають геометричними , а обмежуючі швидкості – кінематичними . Надалі розглядатимемо лише геометричні зв'язки та ті кінематичні, які можуть бути шляхом інтегрування зведені до геометричних.

3.8.2. Принцип можливих переміщень

Для рівноваги механічної системи з утримуючими ідеальними та стаціонарними зв'язками необхідно і достатньо, щоб

сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, на будь-яких можливих переміщеннях системи дорівнювала нулю

. (3.44)

У проекціях на осі координат:

. (3.45)

Принцип можливих переміщень дозволяє встановити у загальній формі умови рівноваги будь-якої механічної системи, не розглядаючи рівновагу її окремих частин. При цьому враховуються лише активні сили, що діють на систему. Невідомі реакції ідеальних зв'язків до цих умов не входять. Разом з тим цей принцип дозволяє визначати невідомі реакції ідеальних зв'язків шляхом відкидання цих зв'язків та введення їх реакцій до активних сил. При відкиданні зв'язків, реакції яких необхідно визначити, система набуває додатково відповідної кількості ступенів свободи.

Приклад 1 . Знайти залежність між силами і домкрата, якщо відомо, що при кожному повороті рукоятки АВ = l, гвинт Звисувається на величину h(Рис. 3.3).

Рішення

Можливі переміщення механізму – це поворот рукоятки  та переміщення вантажу  h. Умова рівності нулю елементарних робіт сил:

Pl– Qh = 0;

Тоді
. Оскільки h 0, то

3.8.3. Загальне варіаційне рівняння динаміки

Розглянемо рух системи, що складається з nточок. На неї діють активні сили та реакції зв'язків .(k = 1,…,n) Якщо до чинних сил додати сили інерції точок
, то, згідно з принципом Даламбера, отримана система сил буде перебувати в рівновазі і, отже, справедливий вираз, записаний на основі принципу можливих переміщень (3.44):

. (3.46)

Якщо всі зв'язки ідеальні, то 2 сума дорівнює нулю і в проекціях на осі координат рівність (3.46) виглядатиме таким чином:

Остання рівність є загальним варіаційним рівнянням динаміки в проекціях на осі координат, яке дозволяє скласти диференціальні рівняння руху механічної системи.

Загальне варіаційне рівняння динаміки – це математичний вираз принципу Даламбера-Лагранжа: « При русі системи, підпорядкованої стаціонарним, ідеальним, утримуючим зв'язкам, у кожний момент часу сума елементарних робіт всіх активних сил, прикладених до системи, і сил інерції будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю».

Приклад 2 . Для механічної системи (рис. 3.4), що складається з трьох тіл, визначити прискорення вантажу 1 і натяг троса 1-2, якщо: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; радіус інерції блоку 2 i = 1,5r 2 . Ковзанка 3 являє собою суцільний однорідний диск.

Рішення

Зобразимо сили, які виконують елементарну роботу на можливому переміщенні  sвантажу 1:

Запишемо можливі переміщення всіх тіл через можливе переміщення вантажу 1:

Виразимо лінійні та кутові прискорення всіх тіл через прискорення вантажу 1 (відносини такі ж, як і у разі можливих переміщень):

.

Загальне варіаційне рівняння для даної задачі має вигляд:

Підставляючи отримані раніше вирази для активних сил, сил інерції та можливих переміщень, після нескладних перетворень отримаємо

Оскільки  s 0, отже, дорівнює нулю вираз у дужках, що містить прискорення а 1 , звідки a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Для визначення натягу троса, що утримує вантаж, звільнимо вантаж від троса, замінивши дію його реакцією, що шукається. . Під дією заданих сил ,та доданої до вантажу сили інерції
він у рівновазі. Отже, до аналізованого вантажу (точці) застосуємо принцип Даламбера, тобто. запишемо, що
. Звідси
.

3.8.4. Рівняння Лагранжа 2-го роду

Узагальнені координати та узагальнені швидкості. Будь-які незалежні між собою параметри, що однозначно визначають положення механічної системи в просторі, називають узагальненими координатами . Ці координати, що позначаються q 1 ,....q i можуть мати будь-яку розмірність. Зокрема узагальнені координати можуть бути переміщеннями або кутами повороту.

Для систем, що розглядаються, число узагальнених координат дорівнює числу ступенів свободи. Положення кожної точки системи є однозначною функцією узагальнених координат

Таким чином, рух системи в узагальнених координатах визначається такими залежностями:

Перші похідні від узагальнених координат називають узагальненими швидкостями :
.

Узагальнені сили.Вираз для елементарної роботи сили на можливому переміщенні
має вигляд:

.

Для елементарної роботи системи сил запишемо

Використовуючи отримані залежності, цей вираз можна записати у вигляді:

,

де узагальнена сила, що відповідає i-ї узагальненої координати,

. (3.49)

Таким чином, узагальненою силою, що відповідає i-й узагальненої координати, є коефіцієнт при варіації цієї координати у вираженні суми елементарних робіт активних сил на можливому переміщенні системи . Для обчислення узагальненої сили необхідно повідомити систему можливе переміщення, у якому змінюється лише узагальнена координата q i. Коефіцієнт при
і буде шуканою узагальненою силою.

Рівняння руху системи в узагальнених координатах. Нехай дана механічна система з sступенями свободи. Знаючи сили, що діють на неї, необхідно, скласти диференціальні рівняння руху в узагальнених координатах
. Застосуємо процедуру складання диференціальних рівнянь руху системи – рівнянь Лагранжа 2-го роду – за аналогією виведення цих рівнянь для вільної матеріальної точки. Виходячи з 2-го закону Ньютона, запишемо

Отримаємо аналог цих рівнянь, використовуючи запис для кінетичної енергії матеріальної точки,

Приватна похідна від кінетичної енергії щодо проекції швидкості на вісь
дорівнює проекції кількості руху цієї вісь, тобто.

Щоб отримати необхідні рівняння, обчислимо похідні за часом:

Отримана система рівнянь є рівняннями Лагранжа 2-го роду матеріальної точки.

Для механічної системи рівняння Лагранжа 2-го роду представимо у вигляді рівнянь, у яких замість проекцій активних сил P x , P y , P zвикористовують узагальнені сили Q 1 , Q 2 ,...,Q i і враховують у випадку залежність кінетичної енергії від узагальнених координат.

Рівняння Лагранжа 2-го роду для механічної системи мають вигляд:

. (3.50)

Їх можна використовувати для вивчення руху будь-якої механічної системи з геометричними, ідеальними та утримуючими зв'язками.

Приклад 3 . Для механічної системи (рис. 3.5), дані для якої наведені в попередньому прикладі, скласти диференціальне рівняння руху, використовуючи рівняння Лагранжа 2-го роду,

Рішення

Механічна система має одну міру свободи. За узагальнену координату приймемо лінійне переміщення вантажу q 1 = s; узагальнена швидкість - . З урахуванням цього запишемо рівняння Лагранжа 2-го роду

.

Складемо вираз для кінетичної енергії системи

.

Виразимо всі кутові та лінійні швидкості через узагальнену швидкість:

Тепер отримаємо

Обчислимо узагальнену силу, склавши вираз елементарної роботи на можливому переміщенні  sвсіх чинних сил. Без урахування сил тертя роботу в системі здійснює тільки сила тяжіння вантажу 1
Запишемо узагальнену силу при  sяк коефіцієнт в елементарній роботі Q 1 = 5mg. Далі знайдемо

Остаточно диференціальне рівняння руху системи матиме вигляд:

Якщо розглядати систему, яка складається з кількох матеріальних точок, виділяючи одну певну точку з відомою масою, то під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил вона отримує деяке прискорення щодо інерційної системи відліку. Серед таких сил можуть бути активні сили, так і реакції зв'язку.

Сила інерції точки - це векторна величина, яка дорівнює модулю добутку маси точки на її прискорення. Цю величину іноді згадують як даламберівську силу інерції, вона спрямована протилежно до прискорення. У цьому випадку виявляється така властивість точки, що рухається: якщо в кожен момент часу додати силу інерції до фактично діючих на точку сил, то отримана система сил буде врівноважена. Так можна сформулювати принцип Даламбер для однієї матеріальної точки. Це твердження повністю відповідає другому закону Ньютона.

Принципи Даламбер для системи

Якщо повторити всі міркування для кожної точки в системі, вони призводять до наступного висновку, який виражає принцип Даламбера, сформульований для системи: якщо в будь-який момент часу прикласти до кожної з точок в системі, крім зовнішніх і внутрішніх сил, що фактично діють, то дана система буде перебувати у рівновазі, тому до неї можна застосовувати всі рівняння, що використовуються у статиці.

Якщо застосовувати принцип Даламбера для вирішення задач динаміки, то рівняння руху системи можна скласти у формі відомих рівнянь рівноваги. Цей принцип значно спрощує розрахунки та робить підхід до вирішення завдань єдиним.

Застосування принципу Даламбер

Слід враховувати, що на точку, що рухається, в механічній системі діють тільки зовнішні і внутрішні сили, які виникають як результат взаємодії точок між собою, а також з тілами, що не входять до цієї системи. Крапки рухаються з певними прискореннями під впливом усіх цих сил. Сили інерції не діють на точки, що рухаються, в іншому випадку вони б рухалися без прискорення або були в спокої.

Сили інерції вводяться лише у тому, щоб скласти рівняння динаміки з допомогою простіших і зручніших методів статики. Враховується також, що геометрична сума внутрішніх сил та сума їх моментів дорівнює нулю. Використання рівнянь, які з принципу Даламбера, робить процес розв'язання завдань простіше, оскільки дані рівняння не містять внутрішніх сил.