Наведемо зведену таблицю для зручності та наочності щодо теми.

Константаy = C Ступінна функція y = x p (x p) " = p · x p - 1	Показова функціяy = a x (a x) " = a x · ln a Зокрема, приa = eмаємо y = e x (e x) " = e x
Логарифмічна функція (log a x) "= 1 x · ln a Зокрема, приa = eмаємо y = ln x (ln x) " = 1 x	Тригонометричні функції (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Зворотні тригонометричні функції (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2	Гіперболічні функції (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

Розберемо, як було отримано формули зазначеної таблиці чи, інакше кажучи, доведемо висновок формул похідних кожному за виду функций.

Похідна постійною

Доказ 1

Для того щоб вивести цю формулу, візьмемо за основу визначення похідної функції в точці. Використовуємо x 0 = x , де xприймає значення будь-якого дійсного числа, або, інакше кажучи, xє будь-яким числом області визначення функції f (x) = C . Складемо запис межі відношення збільшення функції до збільшення аргументу при ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Зауважте, що під знак межі потрапляє вираз 0 ∆ x . Воно не є невизначеністю «нуль ділити на нуль», оскільки в чисельнику записана не нескінченно мала величина, а саме нуль. Інакше висловлюючись, збільшення постійної функції завжди є нуль.

Отже, похідна постійної функції f(x) = C дорівнює нулю по всій області визначення.

Приклад 1

Дано постійні функції:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4 . 13 7 22 f 4 (x) = 0 f 5 (x) = - 8 7

Рішення

Опишемо задані умови. У першій функції бачимо похідну натурального числа 3 . У наступному прикладі необхідно брати похідну від а, де а- будь-яке дійсне число. Третій приклад задає нам похідну ірраціонального числа 4 . 13 7 22 четвертий - похідну нуля (нуль - ціле число). Нарешті, у п'ятому випадку маємо похідний раціональний дроб - 8 7 .

Відповідь:похідні заданих функцій є нуль за будь-якого дійсного x(на всій області визначення)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22 " = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Похідна статечної функції

Переходимо до статечної функції та формули її похідної, що має вигляд: (x p) " = p · x p - 1 де показник ступеня pє будь-яким дійсним числом.

Доказ 2

Наведемо доказ формули, коли показник ступеня – натуральне число: p = 1, 2, 3, …

Знову спираємось на визначення похідної. Складемо запис межі відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Щоб спростити вираз у чисельнику, використовуємо формулу бінома Ньютона:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2+. . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p

Таким чином:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + .. + 0 = p !1! · (p - 1) !

Так, ми довели формулу похідної статечної функції, коли показник ступеня – натуральне число.

Доказ 3

Щоб навести доказ для випадку, коли p -будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, використовуємо логарифмічну похідну (тут слід розуміти на відміну від похідної логарифмічної функції). Щоб мати більш повне розуміння, бажано вивчити похідну логарифмічної функції і додатково розібратися з похідною неявно заданої функції та похідної складної функції.

Розглянемо два випадки: коли xпозитивні і коли xнегативні.

Отже, x> 0 . Тоді: x p> 0 . Логарифмуємо рівність y = x p за основою e і застосуємо властивість логарифму:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На цьому етапі отримали неявно задану функцію. Визначимо її похідну:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y" = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Тепер розглядаємо випадок, коли x –від'ємне число.

Якщо показник pє парне число, то статечна функція визначається при x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тоді x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Якщо pє непарне число, тоді статечна функція визначена і при x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Останній перехід можливий через те, що якщо p- непарне число, то p - 1або парне число, або нуль (при p = 1), тому, при негативних xправильна рівність (- x) p - 1 = x p - 1 .

Отже, ми довели формулу похідної статечної функції за будь-якого дійсного p .

Приклад 2

Дано функції:

f 1 (x) = 1 x 2 3 f 2 (x) = x 2 - 1 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12

Визначте їх похідні.

Рішення

Частину заданих функцій перетворимо на табличний вигляд y = x p , спираючись на властивості ступеня, а потім використовуємо формулу:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 "(x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 "( x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84

Похідна показової функції

Доказ 4

Виведемо формулу похідної, взявши за основу визначення:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Ми здобули невизначеність. Щоб розкрити її, запишемо нову змінну z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). У такому разі a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для останнього переходу використано формулу переходу до нової основи логарифму.

Здійснимо підстановку у вихідну межу:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Згадаймо другу чудову межу і тоді отримаємо формулу похідної показової функції:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Приклад 3

Дано показові функції:

f 1 (x) = 2 3 x f 2 (x) = 5 3 x f 3 (x) = 1 (e) x

Потрібно знайти їх похідні.

Рішення

Використовуємо формулу похідної показової функції та властивості логарифму:

f 1 "(x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x

Похідна логарифмічна функція

Доказ 5

Наведемо доказ формули похідної логарифмічної функції будь-яких xв області визначення та будь-яких допустимих значеннях підстави алогарифму. Спираючись на визначення похідної, отримаємо:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

З зазначеного ланцюжка рівностей видно, що перетворення будувалися з урахуванням властивості логарифму. Рівність lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e є вірною відповідно до другої чудової межі.

Приклад 4

Задано логарифмічні функції:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Необхідно обчислити їх похідні.

Рішення

Застосуємо виведену формулу:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x · ln e = 1 x

Отже, похідна натурального логарифму є одиниця, поділена на x.

Похідні тригонометричних функцій

Доказ 6

Використовуємо деякі тригонометричні формули та перша чудова межа, щоб вивести формулу похідної тригонометричної функції.

Відповідно до визначення похідної функції синуса, отримаємо:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формула різниці синусів дозволить нам зробити такі дії:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Нарешті, використовуємо першу чудову межу:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Отже, похідної функції sin xбуде cos x.

Цілком також доведемо формулу похідної косинуса:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тобто. похідної функції cos x буде - sin x.

Формули похідних тангенсу та котангенсу виведемо на основі правил диференціювання:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Похідні зворотних тригонометричних функцій

Розділ про похідну зворотних функцій дає вичерпну інформацію про доказ формул похідних арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу, тому дублювати матеріал тут не будемо.

Похідні гіперболічних функцій

Доказ 7

Виведення формул похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу здійснимо за допомогою правила диференціювання та формули похідної показової функції:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Доказ та виведення формул похідної експоненти (e у ступені x) та показової функції (a у ступені x). Приклади обчислення похідних від e^2x, e^3x та e^nx. Формули похідних вищих систем.

Зміст

Див. також: Показова функція – властивості, формули, графік
Експонента, e у ступені x - властивості, формули, графік

Основні формули

Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e у ступені x дорівнює e у ступені x):
(1) (e x )′ = e x.

Похідна показової функції з основою ступеня a дорівнює самій функції, помноженій на натуральний логарифм від a:
(2) .

Експонента - це показова функція, у якої основа ступеня дорівнює числу e, яке є такою межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної експоненти

Розглянемо експоненту, e у ступені x :
y = e x.
Ця функція визначена всім . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам знадобляться такі факти:
а)Властивість експоненти:
(4) ;
Б)Властивість логарифму:
(5) ;
в)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(6) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
г)Значення другої чудової межі:
(7) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі (3). Використовуємо властивість (4):
;
.

Зробимо підстановку. Тоді; .
В силу безперервності експоненти,
.
Тому за , . В результаті отримуємо:
.

Зробимо підстановку. Тоді. При , . І ми маємо:
.

Застосуємо властивість логарифму (5):
. Тоді
.

Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивна межа та логарифм безперервний, то:
.
Тут ми також скористалися другою чудовою межею (7). Тоді
.

Таким чином, ми отримали формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної показової функції

Тепер виведемо формулу (2) похідної показової функції з основою ступеня a. Ми вважаємо, що і . Тоді показова функція
(8)
Визначено для всіх.

Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показової функції та логарифму.
;
.
Отже, ми перетворили формулу (8) на такий вид:
.

Похідні вищих порядків від e до ступеня x

Тепер знайдемо похідні найвищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:
(14) .
(1) .

Ми, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.

Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідній функції:
.

Похідні вищих порядків показової функції

Тепер розглянемо показову функцію з основою ступеня a:
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(15) .

Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.

Ми, що кожне диференціювання призводить до множення вихідної функції на . Тому похідна n-го порядку має такий вигляд:
.

Див. також:

Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показової функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На цьому уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо складніші похідні, а також познайомимося з новими прийомами та хитрощами знаходження похідної, зокрема з логарифмічною похідною.

Тим читачам, які мають низький рівень підготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? Приклади рішеньяка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, зрозуміти та вирішувати всінаведені приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви впевнено диференціюватимете досить складні функції. Небажано дотримуватись позиції «Куди ще? Та й так вистачить!», оскільки всі приклади та прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіт і часто трапляються на практиці.

Почнемо із повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули низку прикладів із докладними коментарями. У ході вивчення диференціального обчислення та інших розділів математичного аналізу – диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Найкращими «кандидатами» для цього є похідні найпростіших із складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем матану в майбутньому такий докладний запис найчастіше не потрібний, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Припустимо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це має бути майже миттєва і ввічлива відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

Приклад 1

Знайти такі похідні усно, на одну дію, наприклад: . Для виконання завдання потрібно використовувати лише таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді наприкінці уроку

Складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, наступні два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і мучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні здаватиметься дитячим жартом.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Як зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, передусім, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідне значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшний вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, отже, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести до куба:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, зовнішня функція – це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосовуються у зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до внутрішньої. Вирішуємо:

Начебто без помилок.

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифму.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися дуже важко, але це ще не найбільш звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірку Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідної. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, чи розуміє студент, як знаходити похідну складної функції, чи не розуміє.

Наступний приклад самостійного рішення.

Приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності та правило диференціювання твору

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Настав час перейти до чогось більш компактного та симпатичного.
Не рідкісна ситуація, як у прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

Приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на твір двох функцій? Наприклад, якби у нас у творі було два багаточлени, то можна було б розкрити дужки. Але в прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твору два рази

Фокус у тому, що з «у» ми позначимо твір двох функцій: , а й за «ве» – логарифм: . Чому можна так зробити? А хіба - Це не твір двох множників і правило не працює? Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поплутатися і винести щось за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше перевірятиме.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

Приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення, у зразку він вирішений першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади із дробами.

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна йти кількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться компактніше, якщо в першу чергу використовувати правило диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

У принципі приклад вирішено, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але за наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна спростити відповідь? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника та позбавимося триповерховості дробу:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання та просять «довести до пуття» похідну.

Простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропоновано «страшний» логарифм

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший крок відразу кидає у зневіру - належить взяти неприємну похідну від дробового ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «накрученого» логарифму, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит із практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошита немає, перемалюйте їх на листочок, оскільки приклади уроку, що залишилися, буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропоновано подібний логарифм, його завжди доцільно «розвалити».

А зараз кілька нескладних прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 9

Знайти похідну функції

Приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення та відповіді в кінці уроку.

Логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів – це така солодка музика, виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть треба.

Приклад 11

Знайти похідну функції

Подібні приклади ми нещодавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, та був правило диференціювання твори. Недолік способу полягає в тому, що вийде величезний триповерховий дріб, з яким зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії та практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : т.к. функція може набувати негативних значень, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , які зникнуть внаслідок диференціювання Однак допустиме і поточне оформлення, де за умовчанням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією суворістю, то і в тому, і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально розвалити логарифм правої частини (формули перед очима?). Я розпишу цей процес докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правої частини досить проста, її я не коментуватиму, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено з нею впоратися.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю питання: «Чому, там же одна буква «ігрок» під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна літерка ігорок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(якщо не зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм – це зовнішня функція, а «гравець» – внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрок» із знаменника лівої частини нагору правої частини:

А тепер згадуємо, про який такий «гравець»-функцію ми міркували під час диференціювання? Дивимося на умову:

Остаточна відповідь:

Приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу цього типу наприкінці уроку.

За допомогою логарифмічної похідної можна було вирішити будь-який з прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіші, і, можливо, використання логарифмічної похідної не надто й виправдане.

Похідна статечно-показової функції

Цю функцію ми ще розглядали. Ступінно-показова функція – це функція, у якої і ступінь та основа залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам наведуть у будь-якому підручнику або на будь-якій лекції:

Як знайти похідну від статечно-показової функції?

Необхідно використовувати щойно розглянутий прийом – логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, у правій частині з-під логарифму виноситься ступінь:

У результаті в правій частині у нас вийшов добуток двох функцій, який диференціюватиметься за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього укладаємо обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

Остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміле, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прикладу №11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складнішою, ніж розглянутий лекційний приклад.

Приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа та твір двох множників – «ікса» та «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладено ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще одразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягуємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

Висновок формули похідної статечної функції (x у ступені a). Розглянуто похідні від коренів із x. Формула похідної статечної функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.

Зміст

Див. також: Ступінна функція та коріння, формули та графік
Графіки статечної функції

Основні формули

Похідна від x у ступені a дорівнює a , помноженому на x у ступені a мінус один:
(1) .

Похідна від кореня ступеня n з x до ступеня m дорівнює:
(2) .

Висновок формули похідної статечної функції

Випадок x > 0

Розглянемо статечну функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3) .
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.

Щоб знайти похідну функції (3), скористаємось властивостями статечної функції та перетворюємо її до наступного виду:
.

Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.

Формулу (1) доведено.

Висновок формули похідної від кореня ступеня n з x до ступеня m

Тепер розглянемо функцію, що є коренем такого виду:
(4) .

Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) бачимо, що
.
Тоді
.

За формулою (1) знаходимо похідну:
(1) ;
;
(2) .

Насправді немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечних функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. приклади наприкінці сторінки).

Випадок x = 0

Якщо , то статечна функція визначена при значенні змінної x = 0 . Знайдемо похідну функції (3) при x = 0 . Для цього скористаємося визначенням похідної:
.

Підставимо x = 0 :
.
При цьому під похідною ми розуміємо правосторонню межу, для якої .

Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що з , .
При , .
При , .
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1) .
Тому формула (1) справедлива і за x = 0 .

Випадок x< 0

Знову розглянемо функцію (3):
(3) .
При деяких значеннях постійної a вона визначена і при негативних значеннях змінної x . А саме, хай буде раціональним числом. Тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n – цілі числа, які не мають спільного дільника.

Якщо n непарне, то статечна функція визначена при негативних значеннях змінної x . Наприклад, при n = 3 та m = 1 ми маємо кубічний корінь з x :
.
Він і при негативних значеннях змінної x .

Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значеннях постійної a для яких вона визначена. Для цього представимо x у наступному вигляді:
.
Тоді ,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:

.
Тут. Але
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1) .

Похідні вищих порядків

Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3) .
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.

Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього та четвертого порядків:
;

.

Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає такий вигляд:
.

Зауважимо, що якщо a є натуральним числом, то n -я похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при .

Приклади обчислення похідних

приклад

Знайдіть похідну функції:
.

Перетворюємо коріння до ступенів:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.

Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.