Трикутник - це примітивний багатокутник, обмежений на площині трьома точками і трьома відрізками, що попарно з'єднують ці точки. Кути в трикутнику бувають гострими, тупими та прямими. Сума кутів у трикутнику величина безперервна і дорівнює 180 градусів.

Вам знадобиться

• Базові пізнання в геометрії та тригонометрії.

Інструкція

1. Позначимо довжини сторін трикутника a=2, b=3, c=4, яке кути u, v, w, кожен із яких лежить навпаки однієї сторін. По теоремі косинусів квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів довжин 2-х інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Тобто a 2 = b 2 + c 2 - 2bc * cos (u). Підставимо в цей вираз довжини сторін і отримаємо: 4 = 9 + 16 - 24cos (u).

2. Виразимо отриманої рівності cos(u). Отримаємо таке: cos(u) = 7/8. Далі знайдемо власне кут u. Для цього порахуємо arccos(7/8). Тобто кут u = arccos (7/8).

3. Аналогічним чином, висловлюючи інші сторони через інші, знайдемо кути, що залишилися.

Зверніть увагу!
Значення одного кута не може перевищувати 180 градусів. Під знаком arccos() неспроможна стояти число більше 1 і менше -1.

Корисна порада
Для того, щоб виявити всі три кути необов'язково висловлювати всі три сторони, можна виявити лише два кути, а третій отримати шляхом віднімання з 180 градусів значення інших двох. Це випливає з того, що сума всіх кутів трикутника величина безперервна і дорівнює 180 градусів.

У геометрії кутом називається фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки (вершини кута). Найчастіше кути вимірюють у градусах, причому повний кут, чи оборот, дорівнює 360 градусам. Ви можете обчислити кут багатокутника, якщо вам відомий тип багатокутника та величина інших його кутів або, у разі прямокутного трикутника, довжина двох його сторін.

Кроки

Обчислення кутів багатокутника

Порахуйте кількість кутів у багатокутнику.

Знайдіть суму всіх кутів багатокутника.Формула знаходження суми всіх внутрішніх кутів багатокутника виглядає як (n - 2) x 180, де n - число сторін, і навіть кутів багатокутника. Ось суми кутів деяких багатокутників, що часто зустрічаються:

• Сума кутів трикутника (трьохстороннього багатокутника) складає 180 градусів.
• Сума кутів чотирикутника (чотирьохстороннього багатокутника) складає 360 градусів.
• Сума кутів п'ятикутника (п'ятистороннього багатокутника) складає 540 градусів.
• Сума кутів шестикутника (шістьстороннього багатокутника) становить 720 градусів.
• Сума кутів восьмикутника (восьмистороннього багатокутника) складає 1080 градусів.

1. Визначте, чи багатокутник є правильним.Правильним називається такий багатокутник, у якого всі сторони та всі кути між собою рівні. Прикладами правильних багатокутників можуть бути рівносторонній трикутник і квадрат, тоді як будівля Пентагону у Вашингтоні побудована у формі правильного п'ятикутника, а дорожній знак «стоп» має форму правильного восьмикутника.

   Складіть відомі величини кутів багатокутника, а потім відніміть цю суму із загальної суми всіх його кутів.У більшості геометричних завдань такого роду йдеться про трикутники або чотирикутники, оскільки в них потрібно менше вихідних даних, тому ми зробимо аналогічно.

   • Якщо два кути трикутника рівні, відповідно, 60 градусів і 80 градусів, складіть ці числа. Вийде 140 градусів. Потім відніміть цю суму із загальної суми всіх кутів трикутника, тобто зі 180 градусів: 180 - 140 = 40 градусів. (Трикутник, усі кути якого нерівні між собою, називається нерівностороннім.)
   • Ви можете записати це рішення у вигляді формули a = 180 – (b + c), де а – кут, величину якого потрібно знайти, b та c – величини відомих кутів. Для багатокутників з кількістю сторін більше трьох замініть 180 на суму кутів багатокутника даного виду і додайте по одному доданку до суми в дужках для кожного відомого кута.
   • Деякі багатокутники мають свої «хитрощі», які допоможуть вам вирахувати невідомий кут. Наприклад, рівнобедрений трикутник - це трикутник з двома рівними сторонами та двома рівними кутами. Паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони та протилежні кути якого рівні.

   Обчислення кутів прямокутного трикутника

   1. Визначте, які дані ви знаєте.Прямокутний трикутник називається так тому, що один із його кутів є прямим. Ви можете знайти величину одного з двох кутів, що залишилися, якщо вам відома одна з наступних величин:

      Визначте, яку тригонометричну функцію слід використовувати.Тригонометричні функції виражають співвідношення двох із трьох сторін трикутника. Існує шість тригонометричних функцій, але найчастіше використовуються такі:

У житті нам часто доведеться стикатися з математичними завданнями: у школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій стикатимуться з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати чи згадувати математичні правила. У статті ми розберемо одне з них: знаходження катета прямокутного трикутника.

Що таке прямокутний трикутник

Спочатку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник – це геометрична фігура з трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один із кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою.

Знаходимо катет прямокутного трикутника

Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися про довжину катета. Хотілося б розглянути їх детальніше.

Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Якщо нам відомі гіпотенуза та катет, то ми можемо знайти довжину невідомого катета за теоремою Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c²=a²+b², де c – гіпотенуза, a та b – катети. Перетворюємо формулу та отримуємо: a²=c²-b².

приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет – 3 см. Перетворюємо формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далі вирішуємо: a? = 5? -3?; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (см).

Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона та будь-який гострий кут прямокутного трикутника. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: по синусу, косінусу, тангенсу, котангенсу. Для розв'язання задач нам допоможе таблиця, що знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синусу

Синус кута (sin) – це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin = a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу та отримуємо: a = sin * c.

приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою розв'язуємо: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса

Косинус кута (cos) – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos = b / c, де b - катет, що прилягає до цього кута, а з - гіпотенуза. Перетворимо формулу та отримаємо: b=cos*c.

приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенсу

Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg=a/b, де а – катет, що протилежить до кута, а b – прилеглий. Перетворимо формулу та отримуємо: a=tg*b.

приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. За таблицею обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a = tg∠A * b; a=1*10; a = 10 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенсу

Котангенс кута (ctg) – це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg=b/a, де b – катет, що прилягає до кута, а – протилежний. Інакше висловлюючись, котангенс – це “перевернутий тангенс”. Отримуємо: b=ctg*a.

приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. За таблицею тангенс кута А дорівнює √3. Обчислюємо: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет у прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так уже й складно, головне – запам'ятати формули.

У геометрії часто бувають завдання, пов'язані зі сторонами трикутників. Наприклад, часто необхідно знайти сторону трикутника, якщо дві інші відомі.

Трикутники бувають рівнобедреними, рівносторонніми та нерівносторонніми. З усієї різноманітності для першого прикладу виберемо прямокутний (у такому трикутнику один з кутів дорівнює 90°, прилеглі до нього сторони називаються катетами, а третя — гіпотенузою).

Швидка навігація за статтею

Довжина сторін прямокутного трикутника

Розв'язання задачі випливає з теореми великого математика Піфагора. У ній говориться, що сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату його гіпотенузи: a²+b²=c²

• Знаходимо квадрат довжини катета a;
• Знаходимо квадрат катета b;
• Складаємо їх між собою;
• З отриманого результату витягаємо корінь другого ступеня.

Приклад: a = 4, b = 3, c =?

• a²=4²=16;
• b? =3? = 9;
• 16+9=25;
• √25=5. Тобто, довжина гіпотенузи цього трикутника дорівнює 5.

Якщо ж трикутник немає прямого кута, то довжин двох сторін недостатньо. Для цього необхідний третій параметр: це може бути кут, висота площа трикутника, радіус вписаного в нього кола і т.д.

Якщо відомий периметр

І тут завдання ще простіше. Периметр (P) є сумою всіх сторін трикутника: P=a+b+c. Таким чином, вирішивши просте математичне рівняння, отримуємо результат.

Приклад: P = 18, a = 7, b = 6, c =?

1) Вирішуємо рівняння, переносячи всі відомі параметри в один бік від знаку рівності:

2) Підставляємо замість них значення та обчислюємо третю сторону:

c=18-7-6=5, разом: третя сторона трикутника дорівнює 5.

Якщо відомий кут

Для обчислення третьої сторони трикутника по куту та двом іншим сторонам рішення зводиться до обчислення тригонометричного рівняння. Знаючи взаємозв'язок сторін трикутника та синуса кута, неважко обчислити третю сторону. Для цього потрібно звести обидві сторони квадрат і скласти їх результати разом. Потім відняти з твору сторін, що вийшов, помножений на косинус кута: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Якщо відома площа

В цьому випадку однією формулою не обійтись.

1) Спочатку обчислюємо sin γ, виразивши його з формули площі трикутника:

sin γ= 2S/(a*b)

2) За наступною формулою обчислюємо косинус того ж кута:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) І знову скористаємося теоремою синусів:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Підставивши до цього рівняння значення змінних, отримаємо відповідь завдання.

Довжини сторін якого (a, b, c) відомі, використовуйте теорему косінусів. Вона стверджує, що квадрат довжини будь-якої зі сторін дорівнює сумі квадратів довжин двох інших, з якої віднімається подвоєний добуток довжин цих двох сторін на косинус кута між ними. Використовувати цю теорему можна для розрахунку кута у будь-якій з вершин, важливо знати лише його розташування щодо сторін. Наприклад, щоб знайти кут α, що лежить між сторонами b і c, теорему треба записати так: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Виразіть з формули косинус кута, що шукається: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). До обох частин рівності застосуйте функцію, зворотну косінус - арккосинус. Вона дозволяє за значенням косинуса відновити величину кута в градусах: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Ліву частину можна спростити і обчислення кута між сторонами b і c набуде остаточного вигляду: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

При знаходженні величин гострих кутів у прямокутному трикутнику знання довжин всіх сторін не обов'язково, достатньо двох із них. Якщо ці дві сторони - катети (a і b), розділіть довжину тієї, що лежить навпроти кута (α), що шукається, на довжину іншої. Так ви отримаєте значення тангенса потрібного кута tg(α) = a/b, а застосувавши до обох частин рівності зворотну функцію - арктангенс - і спростивши, як і попередньому кроці, ліву частину, виведіть остаточну формулу: α = arctg(a/b ).

Якщо відомі сторони – катет (a) та гіпотенуза (c), для обчислення величини кута (β), утвореного цими сторонами, скористайтеся функцією косинус та зворотною їй – арккосинус. Косинус визначається ставленням довжини катета до гіпотенузи, а формулу в остаточному вигляді можна записати так: β = arccos(a/c). Для розрахунку за цими ж вихідними гострого кута (α), що лежить навпроти відомого катета, використовуйте те саме співвідношення, замінивши арккосинус на арксинус: α = arcsin(a/c).

Джерела:

• формула трикутника при 2 сторонах

Порада 2: Як знайти кути трикутника по довжинах його сторін

Є кілька варіантів знаходження величин всіх кутів у трикутнику, якщо відомі довжини трьох його сторін. Один із способів полягає у використанні двох різних формул обчислення площі трикутника. Для спрощення розрахунків можна також застосувати теорему синусів та теорему про суму кутів трикутника.

Інструкція

Скористайтеся, наприклад, двома формулами обчислення площі трикутника, в одній з яких задіяні лише три його відомі сторіні (Герона), а в іншій - дві сторіны і синус кута між ними. Використовуючи у другій формулі різні пари сторін, Ви зможете визначити величини кожного з кутів трикутника.

Розв'яжіть завдання у загальному вигляді. Формула Герона визначає площу трикутникаяк квадратний корінь з твору напівпериметра (половини всіх сторін) на різниці між напівпериметром і кожною з сторін. Якщо замінити сумою сторінформулу можна записати в такому вигляді: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C інший сторіны площа трикутникаможна висловити як половину твору двох його сторінна синус кута між ними. Наприклад, для сторін a і b з кутом γ між ними цю формулу можна записати так: S=a∗b∗sin(γ). Замініть ліву частину рівності формулою Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Виведіть з цієї рівності формулу для